相似理論與量綱分析課件

相似理論與量綱分析相似理論與量綱分析§9.1相似理論基礎(chǔ)

為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)上同名物理量具有各自的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似。兩流動相似應(yīng)滿足的條件§9.1相似理論基礎(chǔ)為使模型流動一幾何相似（空間相似）

定義：兩流動流場的幾何形狀相似,即兩流動的對應(yīng)長度成比例，對應(yīng)角度相等。引入尺度比例系數(shù)

進(jìn)而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型流動用下標(biāo)m表示原型流動用下標(biāo)p表示一幾何相似（空間相似）定義：兩流動流場的幾何形狀相二運(yùn)動相似（時間相似）

定義：兩流動的速度場相似,即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)的速度方向相同,大小成比例。引入速度比例系數(shù)由于因此

二運(yùn)動相似（時間相似）定義：兩流動的速度場相運(yùn)動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運(yùn)動相似只需確定時間比例系數(shù)就可以了。故運(yùn)動相似也就被稱之為時間相似。運(yùn)動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運(yùn)動相似只需確定時間比運(yùn)動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組合形式。如：

的單位是m2/sQ的單位是m3/t運(yùn)動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組三動力相似（受力相似）

定義：兩流動的對應(yīng)點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)所受F的方向相同,大小成比例。引入力比例系數(shù)也可寫成

三動力相似（受力相似）定義：兩流動的對應(yīng)點(diǎn)上質(zhì)力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合形式，如：力矩M壓強(qiáng)p功率N動力粘度力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。動力相似（受力相似）用相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。綜上所述，要使模型流動和原型流動相三種相似之間的聯(lián)系：幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù);動力相似是決定兩個流動相似的主導(dǎo)因素;運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。三種相似之間的聯(lián)系：幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)§9.2相似準(zhǔn)則

相似準(zhǔn)則:幾何比尺、運(yùn)動比尺和動力比尺之間由力學(xué)基本定律規(guī)定了的一定的約束關(guān)系。一、牛頓相似準(zhǔn)則兩流動動力相似要求對應(yīng)點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)所受各種力大小成比例。粘性力、重力、動水壓力等是企圖改變流體運(yùn)動狀態(tài)的力；而慣性力是企圖維持液體運(yùn)動狀態(tài)的力，液體流動的變化是慣性力和其它各種力相互作用的結(jié)果。

§9.2相似準(zhǔn)則慣性力則慣性力之比：另一企圖改變流體運(yùn)動狀態(tài)的力為F，其比尺為CF。由動力相似有如下關(guān)系：CF=CI慣性力即：式中：是一個無量綱數(shù)即：因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即二、雷諾準(zhǔn)則

對于有壓流動，粘性力是主要作用力。

粘性力比尺

二、雷諾準(zhǔn)則

對于有壓流動，粘性力是主要作用力。

粘性力比尺要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即即要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即雷諾數(shù)的物理意義雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：雷諾數(shù)的物理意義雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：三、佛汝德準(zhǔn)則

對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。

重力比尺

三、佛汝德準(zhǔn)則

對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即即要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即佛汝德數(shù)的物理意義佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：佛汝德數(shù)的物理意義佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：四、歐拉準(zhǔn)則

作用在兩流動對應(yīng)點(diǎn)上的動水總壓力之比為：

四、歐拉準(zhǔn)則

作用在兩流動對應(yīng)點(diǎn)上的動水總壓力之比為：

要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即即要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即歐拉數(shù)的物理意義歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比：通常，對流動起作用的是液流中兩點(diǎn)壓強(qiáng)差△p，而不是某點(diǎn)的壓強(qiáng)p。故歐拉數(shù)常寫為：歐拉數(shù)的物理意義歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比：注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的結(jié)果。Eu準(zhǔn)則不是獨(dú)立的。只要主要的相似準(zhǔn)則（Re或Fr)得到滿足，則該準(zhǔn)則必定滿足。注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的

綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等。綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示§9.3模型實(shí)驗(yàn)什么是模型實(shí)驗(yàn)：通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價值的。

§9.3模型實(shí)驗(yàn)為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)?科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計需要做模型實(shí)驗(yàn)；?并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實(shí)驗(yàn)。做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必模擬實(shí)驗(yàn)。?并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實(shí)驗(yàn)。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認(rèn)識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實(shí)驗(yàn)。為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)?科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計需要做模型實(shí)驗(yàn)；一、相似準(zhǔn)則的選擇為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提下，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時得到滿足。這在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中往往很難實(shí)現(xiàn)，甚至是不可能的。一、相似準(zhǔn)則的選擇為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提例如：欲在某實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足：即要實(shí)現(xiàn)流動相似應(yīng)滿足兩個條件（1）模型流速原比型流速縮小倍；（2）模型流體的粘度應(yīng)比原型粘度縮小倍，這很難實(shí)現(xiàn)。例如：欲在某實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足：

因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上辦不到，我們尋求的是起主要作用的力相似——近似相似。例如：有壓管流——粘性力起主要作用——雷諾準(zhǔn)則明渠流動——重力起主要作用——佛汝德準(zhǔn)則因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上二、模型的設(shè)計1、首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地和模型制作的條件定出長度比尺Cl;2、根據(jù)選定的長度比尺Cl確定出模型流動的幾何邊界；3、根據(jù)所選用的相似準(zhǔn)則確定速度比尺和流量比尺，從而定出模型流動的流量。二、模型的設(shè)計1、首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地和模型制作的條件定出長度比

例1有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計時速vp=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實(shí)驗(yàn)來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(Cl=3/2)，并假定風(fēng)洞試驗(yàn)段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？

例1有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)解：首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，Rem=Rep，即CvCl/C=1，再根據(jù)決定型相似準(zhǔn)數(shù)相等，確定幾個比尺的相互約束關(guān)系，這里C=1，所以Cv=Cl-1，由于Cl=lp/lm=3/2，那么Cv=vp/vm=1/Cl=2/3最后得到風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是

vm=vp/Cv=108/(2/3)=162km/h=45m/s解：首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，這里選取Re作為

例2在例1中，通過風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，獲得模型轎車在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段中的風(fēng)速為45m/s時，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時，所受的空氣阻力有多大？

例2在例1中，通過風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，獲得模型轎車在風(fēng)解：在設(shè)計模型時，定下

C=1Cl=3/2Cv=2/3在相同的流體和相同的溫度時，流體密度比例系數(shù)C=1，那么力比例系數(shù)

CF=CCl2CV2CF=1×(3/2)2×(2/3)2=1因此，該轎車在公路上以108km/h的速度行駛所遇到的空氣阻力

Fp=FmCF=1000×1=1000N解：在設(shè)計模型時，定下相似理論與量綱分析課件§9.4量綱分析法一量綱的概念二量綱齊次性原理三量綱分析法

§9.4量綱分析法9.4.1量綱的概念量綱的定義:量綱是物理量的單位種類，又稱因次。如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用[L]表示。量綱的表示方法：物理量的代表符號外加上中括號。如[L]，[M]，[T]等。用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位9.4.1量綱的概念量綱的定義:用[]表示物理量的量綱量綱的分類：基本量綱導(dǎo)出量綱基本量綱是一組具有獨(dú)立性的量綱。在水力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：[L]，[T]，[M]。導(dǎo)出量綱由基本量綱組合或推導(dǎo)出來的量綱。如加速度的量綱[a]=LT-2；力的量綱[F]=[ma]=MLT-2

量綱的分類：基本量綱導(dǎo)出量綱9.4.2有量綱量和無量綱量水力學(xué)中任何物理量C的量綱可寫成[C]=[M][L][T]當(dāng)α、β、γ不全為0時，C稱為有量綱量。當(dāng)α、β、γ全部為0時，C稱為無量綱量或無量綱數(shù)。9.4.2有量綱量和無量綱量有量綱量水力學(xué)中的有量綱量可分為三類：1、幾何學(xué)的量，α＝γ＝0，β≠0；2、運(yùn)動學(xué)的量，α＝0，γ≠0；3、動力學(xué)的量，α≠0。有量綱量無量綱量

無量綱量9.4.3量綱齊次性原理量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱和諧性原理，指凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程,其各項(xiàng)的量綱必須是一致的。推論：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，必然可以寫成無量綱形式。

9.4.3量綱齊次性原理忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程?在無粘性圓柱繞流中前后駐點(diǎn)上下側(cè)點(diǎn)其他點(diǎn)?以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。柱面上：柱面外：流場中還與無量綱半徑有關(guān)·C·DABa忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無9.4.4量綱分析法

對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合進(jìn)行研究。量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準(zhǔn)則。量綱分析法有兩種：雷利法和π定理9.4.4量綱分析法

對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和雷利法解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的指數(shù)方程；然后以對應(yīng)的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。雷利法解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的例題a：自由落體運(yùn)動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求位移s的表達(dá)式。解：s=Kgatb[L]=[LT-2]a[T]b根據(jù)量綱和諧原理，方程兩側(cè)的量綱應(yīng)一致，則La=1T-2a+b=0得出：a=1,b=2s=Kgt2例題a：自由落體運(yùn)動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、ρ、g和μ有關(guān)。試求v的表達(dá)式。解：v=KHaρbgcμd[LT-1]=[L]a[ML-3]b[LT-2]c[ML-1T-1]d……例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個基本量綱，可把這n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,…n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為f(p,d,l,,,,v)=0有量綱的物理量個數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個，m=3，按定理，這n個變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式F(1,2,3,4)=0從7個物理量中選出基本物理量3個，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動1=l1v1d1

2=2v2d23=3v3d3

4=p4v4d41=l1v1d1將上述表達(dá)式寫成量綱形式[1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T

（1）

[2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0（2）

[3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0（3）

[4]=ML-1T-2(ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0(4）

將上述表達(dá)式寫成量綱形式求解方程（1）M:1=0T:1=0L:-31+1+1+1=0→1=-1所以1=l/d求解方程（2）M:2=0T:2=0L:1-32+2+2=0→2=-1所以2=/d求解方程（1）M:1=0求解方程（3）M:1+3=0→3=-1T:-1-3=0→3=-1L:-1-33+3+3=0→3=-1所以3=/vd=1/Re求解方程（4）M:1+4=0→4=-1T:-2-4=0→4=-2L:-1-34+4+4=0→4=0所以4=p/v2因此，所解問題用無量綱數(shù)表示的方程為F(l/d,/d,1/Re,p/v2)=0求解方程（3）M:1+3=0→3=-1至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對上式整理規(guī)范。由上式可知p/v2與其余三個無量綱數(shù)有關(guān)，那么p/v2=F1(l/d,/d,1/Re)=(l/d)F2(/d,1/Re)

p/g=p/=(l/d)(v2/2g)F2(/d,1/Re)至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對上式整理規(guī)范。由上式令=

F2(/d,1/Re)p/=(l/d)(v2/2g)這就是達(dá)西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長、速度水頭成正比，與管徑成反比。令=F2(/d,1/Re)相似理論與量綱分析相似理論與量綱分析§9.1相似理論基礎(chǔ)

為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)上同名物理量具有各自的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似。兩流動相似應(yīng)滿足的條件§9.1相似理論基礎(chǔ)為使模型流動一幾何相似（空間相似）

定義：兩流動流場的幾何形狀相似,即兩流動的對應(yīng)長度成比例，對應(yīng)角度相等。引入尺度比例系數(shù)

進(jìn)而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型流動用下標(biāo)m表示原型流動用下標(biāo)p表示一幾何相似（空間相似）定義：兩流動流場的幾何形狀相二運(yùn)動相似（時間相似）

定義：兩流動的速度場相似,即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)的速度方向相同,大小成比例。引入速度比例系數(shù)由于因此

二運(yùn)動相似（時間相似）定義：兩流動的速度場相運(yùn)動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運(yùn)動相似只需確定時間比例系數(shù)就可以了。故運(yùn)動相似也就被稱之為時間相似。運(yùn)動相似需要建立在幾何相似基礎(chǔ)上.因此運(yùn)動相似只需確定時間比運(yùn)動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組合形式。如：

的單位是m2/sQ的單位是m3/t運(yùn)動學(xué)物理量的比例系數(shù)都可以表示為長度比尺和時間比尺的不同組三動力相似（受力相似）

定義：兩流動的對應(yīng)點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)所受F的方向相同,大小成比例。引入力比例系數(shù)也可寫成

三動力相似（受力相似）定義：兩流動的對應(yīng)點(diǎn)上質(zhì)力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合形式，如：力矩M壓強(qiáng)p功率N動力粘度力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比尺的不同組合綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。動力相似（受力相似）用相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準(zhǔn)則都相等。綜上所述，要使模型流動和原型流動相三種相似之間的聯(lián)系：幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù);動力相似是決定兩個流動相似的主導(dǎo)因素;運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。三種相似之間的聯(lián)系：幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)§9.2相似準(zhǔn)則

相似準(zhǔn)則:幾何比尺、運(yùn)動比尺和動力比尺之間由力學(xué)基本定律規(guī)定了的一定的約束關(guān)系。一、牛頓相似準(zhǔn)則兩流動動力相似要求對應(yīng)點(diǎn)處液體質(zhì)點(diǎn)所受各種力大小成比例。粘性力、重力、動水壓力等是企圖改變流體運(yùn)動狀態(tài)的力；而慣性力是企圖維持液體運(yùn)動狀態(tài)的力，液體流動的變化是慣性力和其它各種力相互作用的結(jié)果。

§9.2相似準(zhǔn)則慣性力則慣性力之比：另一企圖改變流體運(yùn)動狀態(tài)的力為F，其比尺為CF。由動力相似有如下關(guān)系：CF=CI慣性力即：式中：是一個無量綱數(shù)即：因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即因此，兩個流動相似的重要標(biāo)志是它們的牛頓準(zhǔn)則數(shù)相等：即二、雷諾準(zhǔn)則

對于有壓流動，粘性力是主要作用力。

粘性力比尺

二、雷諾準(zhǔn)則

對于有壓流動，粘性力是主要作用力。

粘性力比尺要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即即要滿足慣性力相似，必須滿足CT=CI，即雷諾數(shù)的物理意義雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：雷諾數(shù)的物理意義雷諾數(shù)Re反映了慣性力與粘性力之比：三、佛汝德準(zhǔn)則

對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。

重力比尺

三、佛汝德準(zhǔn)則

對于具有自由表面的流動，重力是主要的作用力。要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即即要滿足重力相似，必須滿足CG=CI，即佛汝德數(shù)的物理意義佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：佛汝德數(shù)的物理意義佛汝德數(shù)Fr反映了慣性力與重力之比：四、歐拉準(zhǔn)則

作用在兩流動對應(yīng)點(diǎn)上的動水總壓力之比為：

四、歐拉準(zhǔn)則

作用在兩流動對應(yīng)點(diǎn)上的動水總壓力之比為：

要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即即要滿足動水總壓力相似，必須滿足CP=CI，即歐拉數(shù)的物理意義歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比：通常，對流動起作用的是液流中兩點(diǎn)壓強(qiáng)差△p，而不是某點(diǎn)的壓強(qiáng)p。故歐拉數(shù)常寫為：歐拉數(shù)的物理意義歐拉數(shù)Eu反映了動水總壓力與慣性力之比：注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的結(jié)果。Eu準(zhǔn)則不是獨(dú)立的。只要主要的相似準(zhǔn)則（Re或Fr)得到滿足，則該準(zhǔn)則必定滿足。注意：壓力場的相似不是兩個流動相似的原因，而是兩個流動相似的

綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示，若原型和模型流動動力相似，各同名相似準(zhǔn)數(shù)均相等。綜上所述，動力相似可以用相似準(zhǔn)則數(shù)表示§9.3模型實(shí)驗(yàn)什么是模型實(shí)驗(yàn)：通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價值的。

§9.3模型實(shí)驗(yàn)為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)?科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計需要做模型實(shí)驗(yàn)；?并不是所有的流動現(xiàn)象都需要做模型實(shí)驗(yàn)。做理論分析或數(shù)值模擬的流動現(xiàn)象都不必模擬實(shí)驗(yàn)。?并不是所有的流動現(xiàn)象都能做模型實(shí)驗(yàn)。只有對其流動現(xiàn)象有充分的認(rèn)識，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實(shí)驗(yàn)。為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)?科學(xué)研究和生產(chǎn)設(shè)計需要做模型實(shí)驗(yàn)；一、相似準(zhǔn)則的選擇為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提下，各獨(dú)立的相似準(zhǔn)則應(yīng)同時得到滿足。這在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中往往很難實(shí)現(xiàn)，甚至是不可能的。一、相似準(zhǔn)則的選擇為了使兩流動完全相似，在滿足幾何相似的前提例如：欲在某實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足：即要實(shí)現(xiàn)流動相似應(yīng)滿足兩個條件（1）模型流速原比型流速縮小倍；（2）模型流體的粘度應(yīng)比原型粘度縮小倍，這很難實(shí)現(xiàn)。例如：欲在某實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則的同時滿足：

因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上辦不到，我們尋求的是起主要作用的力相似——近似相似。例如：有壓管流——粘性力起主要作用——雷諾準(zhǔn)則明渠流動——重力起主要作用——佛汝德準(zhǔn)則因此，要使兩者達(dá)到完全的動力相似，實(shí)際上二、模型的設(shè)計1、首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地和模型制作的條件定出長度比尺Cl;2、根據(jù)選定的長度比尺Cl確定出模型流動的幾何邊界；3、根據(jù)所選用的相似準(zhǔn)則確定速度比尺和流量比尺，從而定出模型流動的流量。二、模型的設(shè)計1、首先根據(jù)實(shí)驗(yàn)場地和模型制作的條件定出長度比

例1有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計時速vp=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實(shí)驗(yàn)來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(Cl=3/2)，并假定風(fēng)洞試驗(yàn)段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)時，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？

例1有一轎車，高h(yuǎn)p=1.5m，在公路上行駛，設(shè)解：首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，Rem=Rep，即CvCl/C=1，再根據(jù)決定型相似準(zhǔn)數(shù)相等，確定幾個比尺的相互約束關(guān)系，這里C=1，所以Cv=Cl-1，由于Cl=lp/lm=3/2，那么Cv=vp/vm=1/Cl=2/3最后得到風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是

vm=vp/Cv=108/(2/3)=162km/h=45m/s解：首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準(zhǔn)則數(shù)，這里選取Re作為

例2在例1中，通過風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，獲得模型轎車在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段中的風(fēng)速為45m/s時，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時，所受的空氣阻力有多大？

例2在例1中，通過風(fēng)洞模型實(shí)驗(yàn)，獲得模型轎車在風(fēng)解：在設(shè)計模型時，定下

C=1Cl=3/2Cv=2/3在相同的流體和相同的溫度時，流體密度比例系數(shù)C=1，那么力比例系數(shù)

CF=CCl2CV2CF=1×(3/2)2×(2/3)2=1因此，該轎車在公路上以108km/h的速度行駛所遇到的空氣阻力

Fp=FmCF=1000×1=1000N解：在設(shè)計模型時，定下相似理論與量綱分析課件§9.4量綱分析法一量綱的概念二量綱齊次性原理三量綱分析法

§9.4量綱分析法9.4.1量綱的概念量綱的定義:量綱是物理量的單位種類，又稱因次。如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用[L]表示。量綱的表示方法：物理量的代表符號外加上中括號。如[L]，[M]，[T]等。用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位9.4.1量綱的概念量綱的定義:用[]表示物理量的量綱量綱的分類：基本量綱導(dǎo)出量綱基本量綱是一組具有獨(dú)立性的量綱。在水力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：[L]，[T]，[M]。導(dǎo)出量綱由基本量綱組合或推導(dǎo)出來的量綱。如加速度的量綱[a]=LT-2；力的量綱[F]=[ma]=MLT-2

量綱的分類：基本量綱導(dǎo)出量綱9.4.2有量綱量和無量綱量水力學(xué)中任何物理量C的量綱可寫成[C]=[M][L][T]當(dāng)α、β、γ不全為0時，C稱為有量綱量。當(dāng)α、β、γ全部為0時，C稱為無量綱量或無量綱數(shù)。9.4.2有量綱量和無量綱量有量綱量水力學(xué)中的有量綱量可分為三類：1、幾何學(xué)的量，α＝γ＝0，β≠0；2、運(yùn)動學(xué)的量，α＝0，γ≠0；3、動力學(xué)的量，α≠0。有量綱量無量綱量

無量綱量9.4.3量綱齊次性原理量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱和諧性原理，指凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程,其各項(xiàng)的量綱必須是一致的。推論：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，必然可以寫成無量綱形式。

9.4.3量綱齊次性原理忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無量綱化伯努利方程?在無粘性圓柱繞流中前后駐點(diǎn)上下側(cè)點(diǎn)其他點(diǎn)?以上結(jié)果對任何大小的來流速度，任何大小的圓柱都適用。柱面上：柱面外：流場中還與無量綱半徑有關(guān)·C·DABa忽略重力的伯努利方程物理方程的無量綱化（沿流線）（沿流線）無9.4.4量綱分析法

對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合進(jìn)行研究。量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準(zhǔn)則。量綱分析法有兩種：雷利法和π定理9.4.4量綱分析法

對于復(fù)雜的流動,常用量綱分析法和雷利法解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的指數(shù)方程；然后以對應(yīng)的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。雷利法解題步驟：首先找出影響流動的物理量，并用它們寫出假擬的例題a：自由落體運(yùn)動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求位移s的表達(dá)式。解：s=Kgatb[L]=[LT-2]a[T]b根據(jù)量綱和諧原理，方程兩側(cè)的量綱應(yīng)一致，則La=1T-2a+b=0得出：a=1,b=2s=Kgt2例題a：自由落體運(yùn)動的位移s與時間t、重力加速度g有關(guān)。試求例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、ρ、g和μ有關(guān)。試求v的表達(dá)式。解：v=KHaρbgcμd[LT-1]=[L]a[ML-3]b[LT-2]c[ML-1T-1]d……例題b:液體在恒定水頭H作用下從面積為A的孔口流出，v與H、Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個基本量綱，可把這n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,…n-m)=0這樣可以表達(dá)出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長l、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。解：所求解問題的原隱函數(shù)關(guān)系式為f(p,d,l,,,,v)=0有量綱的物理量個數(shù)n=7，此問題的基本量綱有L、M、T三個，m=3，按定理，這n個變量轉(zhuǎn)換成有n-m=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式F(1,2,3,4)=0從7個物理量中選出基本物理量3個，如取、d、v，而其余物理量用基本物理量的冪次乘積形式表示

例經(jīng)初步分析知道，在水平等直徑圓管道內(nèi)流體流動1=l1v