初中的幾何最值問(wèn)題解題策略

第第10頁(yè)共頁(yè)初中的幾何最值問(wèn)題解題策略幾何中的最值問(wèn)題，一直是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，多數(shù)同學(xué)在處理時(shí)思路不清晰的，下面我們從多年的解題經(jīng)驗(yàn)中跟大家分享下我們的解題思路，碰到這種類型的問(wèn)題應(yīng)該如何解決?？偨Y(jié)各種最值問(wèn)題，無(wú)外乎考查的知識(shí)點(diǎn)不過(guò)是三個(gè)，不管是初二，初三，還是總復(fù)習(xí)都是如此。我們主要從接下來(lái)的三個(gè)知識(shí)點(diǎn)入手，那么這種幾何最值問(wèn)題都會(huì)有一定思路，解題起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單許多。一、兩點(diǎn)之間線段最短二、三邊關(guān)系求最值(最大或最小)三、垂線段最短求最值接下來(lái)，我們逐個(gè)去介紹，并進(jìn)行相關(guān)的練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)解決問(wèn)題的思路，有時(shí)三個(gè)知識(shí)點(diǎn)也是共同使用的，不是單個(gè)解決的，這里需要我們總結(jié)思路，舉一反三，觸類旁通。(后面的題型豐富，題目較新，適合練習(xí)，大家務(wù)必認(rèn)真練練，必有所獲的)一、兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用中，通常的解題步驟是： 1、先作對(duì)稱2、用知識(shí)點(diǎn)3、算結(jié)果。在作對(duì)稱的過(guò)程中，一般都是作定點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后帶入知識(shí)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短直接找到最小值時(shí)的點(diǎn)的位置。這樣思路就打開(kāi)了。[例1]如圖，Rt^OAB勺直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，/AOB=30,B(6,2J3),C(2,0),P為OB上一動(dòng)點(diǎn).(1)若點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為E,求E的坐標(biāo)；(2)求出△PAC周長(zhǎng)的最小值.【變式1-1]

（2014?如皋市校級(jí)模擬） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， Rt^OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,J3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，求△PAC周長(zhǎng)的最小值為.【變式1-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， Rt^OAB勺直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,3）,點(diǎn)C和點(diǎn)P分別為直角邊OA斜邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC勺最小值.[例2]如圖，已知/AOB=30，點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部，OP=6,若OA上有一動(dòng)點(diǎn)MOB上有一動(dòng)點(diǎn)N,則△PMN勺周長(zhǎng)的最小值是.A【變式2-1]（2015秋?江津區(qū)校級(jí)期中） 如圖，點(diǎn)P是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，/AOB=30,OP=8cm點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線O府口射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則4PMN^長(zhǎng)的最小值是.B

【變式2-2】（2015秋？日照期末）如圖，四邊形ABC邛，/C=40°,/B=ZD=90°,E、F分別是BCDC上的一點(diǎn)，當(dāng)^AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，/EAF的度數(shù)為.、三邊關(guān)系求最值（最大或最小）關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，我們要從兩方面來(lái)思考，一是 線段之和的最小值，比如PB+PD的最小值是；另一方面是線段之差的最大值，比如例4中的PA-PB的最大值；有的時(shí)候我們還會(huì)碰到三個(gè)線段之和的最小值，其中一個(gè)線段的長(zhǎng)是定值，那么這時(shí)我們一般都是通過(guò)平行四邊形，把他們轉(zhuǎn)化成普通的線段之和的最小值來(lái)解決，這樣就比較簡(jiǎn)單了。[例1]（2016春?泰興市校級(jí)月考）已知：如圖，在等腰Rt^ABC中，/ABC=90,AB=2,D為BC的中點(diǎn)，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則PB+PM最小值為.【變式1-1]（2014春？沙坪壩區(qū)校級(jí)期末） 已知：如圖，在Rt^ABC中，/ABC=90,AB=BC=4D為AC中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，AE=1,P為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP勺最小值為（ ）C.D.6C.D.6【變式1-2】（2015春?涼山州期末）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,BD平分/ABC交AC于D點(diǎn)，AB=4,BD=5,點(diǎn)P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值是【變式1-3】(1)如圖，點(diǎn)A(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以D(4,4)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足/BPC=90則a的最大值是。(2)(2016?臺(tái)州)如圖，在^ABC中，AB=10,AC=8,BC=6以邊AB的中點(diǎn)。為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P,Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是( )32A.6 B.203+1 C.9D.——3【例2】(2013秋?金壇市期中)如圖，直角三角形ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=4在△ABC內(nèi)部以AC為斜邊任意作Rt△ACID連接BD則線段BD長(zhǎng)的最小值是.【變式2-1]如圖，矩形ABCDAB=3,BC=4E、F是A?BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為軸翻折^BEF得△B'EF,連接AB',求AB'的最小值.

【變式2-2】（2014?北塘區(qū)校級(jí)一模）如圖，/MON=90,矩形ABCDW頂點(diǎn)AB分別在邊OMON上，AB=4,BC=1.當(dāng)點(diǎn)B在邊ON±運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM±運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中矩形ABCD的形狀保持不變，則點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是.【變式2-3】（2015秋？宜興市校級(jí)期中）如圖，/MON=90,△ABC的頂點(diǎn)AB分別在OMON±,當(dāng)A點(diǎn)從。點(diǎn)出發(fā)沿著0則右運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OC若AC=4,BC=3,AB=5,則OC的長(zhǎng)度的最大值是.O A【變式2-4】（2014春？江岸區(qū)校級(jí)期末）如圖，/MON=90,正方形ABCD勺頂點(diǎn)AB分別在OMON±運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)為 2時(shí)，OD的最大值為.（2014?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF勺邊長(zhǎng)為2,兩頂點(diǎn)AB分別在x

【變式2-5】（2013孤漢）如圖，E,F是正方形ABCDW邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.【變式2-5】B C【例3】如圖，當(dāng)四邊形PABN!勺周長(zhǎng)最小時(shí)，a=3 33 3【變式3-1]（2015?鞍山一模）如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊BC上且CE=1,長(zhǎng)為J2的線段MNftAC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形BMNE勺周長(zhǎng)最小時(shí)，則tan/MBC勺值是（）1 2A B. C.2 D.1

【變式3-2】(2010秋？簡(jiǎn)陽(yáng)市期末)在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) A(-8,3)、B(-4,5)以及動(dòng)點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\zC(0,n)、D(m,0),則當(dāng)四邊形ABCM周長(zhǎng)最小時(shí)，比值m為( )nA.-- B.-2 C.-- D.-33 2【變式3-3】(2017學(xué)年江干區(qū)期末考試-10)1―如圖，AC是圓。的直徑，AC=4,弧BA=12(o，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OD+-BD2的最小值為( )..32B.3..3..32B.3..3C.12D.1 3【例4】如圖，已知兩點(diǎn)A,B在直線l的異側(cè)，A到直線l的距離AM=4B到直線l的距離BN=1,MN=4點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，則PA-PB的最大值是.【變式4-1]點(diǎn)A,B在直線MN勺同側(cè)，A到MN的距離AC=8,B到MN勺距離BD=5已知CD=4P是直線MN±的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PA+PB勺最小值為a,|PA-PB|的最大值為b,求a2-b2的值XfcpnN【變式4-2]如圖，已知直線MN<MN異側(cè)兩點(diǎn)A、B,在MN±求作一點(diǎn)P,使PA-PB最大.(保留作圖痕跡)?.■三、垂線段最短求最值運(yùn)用此知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題中，我們一般能夠找到已知條件的特點(diǎn)是，一個(gè)是頂點(diǎn)，另一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)，這樣就可以運(yùn)用垂線段最短的結(jié)論了。[例1]如圖，在銳角△ABG/BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D,MN分別是ADAB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN在何位置時(shí)，BM+MNt得最小值？【變式1-11如圖，在菱形ABCm，AB=Z/A=120°,點(diǎn)P,QK分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK勺最小值為【變式1-2】（2013秋？關(guān)B州校級(jí)月考）如圖，在銳角三角形ABC中AB=4J2,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,MN分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MNJ最小值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.2

【變式1-3】（2012秋慚水縣校級(jí)期中）如圖，銳角△ABC的邊AC=q^ABC的面積為15,AD平分/BAC交BC于D,MN分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN1最小值是.【變式1-4】如圖，在Rt^ABC中，/BAC=90,AB=3AC=4,點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PHAB于點(diǎn)E,PHAC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值為.四、其它【例11如圖，線段AB的長(zhǎng)為4,C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AGBC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角△ACM口等腰直角△BCE那么DE長(zhǎng)的最小值是.（2013?江都市模擬）如圖，已知AB=2,P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以ARPB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊4PFB,連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G連接PG則PG的最小值是.￡[例2]（2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，線段AB=4,C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以ACBC為邊作等邊4AC/口等邊^(qū)BCE。。外接于△CDE則。。半徑的最小值為（ ）

EA.423B. PEA.423B. P3-2C.D.2【例3】(2016?深圳模擬)已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線y=-芻x+6與x軸、y4軸的交點(diǎn)分別為AB,將/OBA對(duì)折，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形ODA斯平行四邊形？若存在，