工科數(shù)學(xué)分析課件：chap2-4微分中值定理及其應(yīng)用

定義1第4節(jié)

微分中值定理及其應(yīng)用一.微分中值定理定理1（費(fèi)馬（Fermat）定理):因?yàn)樘幙蓪?dǎo)，所以極限存在，因而左、右極限都存在且相等,即F費(fèi)馬(1601–1665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:1993年才被英國數(shù)學(xué)家證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.羅爾

羅爾,Rolle(1652-1719),法國數(shù)學(xué)家。羅爾年輕時(shí)因家境貧困，僅受過初等教育，是靠自學(xué)精通了代數(shù)和Diophantus分析理論。1682年，他解決了數(shù)學(xué)家Ozanam提出的一個(gè)數(shù)學(xué)難題，受到學(xué)術(shù)界的好評(píng)，從此他的生活有了轉(zhuǎn)機(jī)，得到了社會(huì)上層人士的經(jīng)濟(jì)援助。Rolle所處的時(shí)代正當(dāng)微積分誕生不久，因而微積分遭受到多方面的非議，Rolle就是反對(duì)派之一。他認(rèn)為：“微積分是巧妙的謬論的匯集”，從而Rolle和一些數(shù)學(xué)家之間展開了激烈的爭論，直到1706年秋，他才放棄自己的觀點(diǎn)，充分認(rèn)識(shí)到無窮小分析新方法的價(jià)值。他在1691年的論著《方程的解法》中論證了：在多項(xiàng)式方程的兩個(gè)相鄰的實(shí)根之間，至少有一個(gè)實(shí)根（當(dāng)時(shí)還沒有導(dǎo)數(shù)的概念和符號(hào)，不過根據(jù)定理的結(jié)論恰好相當(dāng)于多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)）。這個(gè)定理本來和微分學(xué)沒有關(guān)系，但在一百多年后，即1846年GiustoBellavitis將這一定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為Rolle定理，一直沿用至今

一個(gè)幾何事實(shí):切線,則曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于曲線弧兩端點(diǎn)A與B的連線。,若其上每一點(diǎn)都有一條連續(xù)曲線定理2（羅爾(Rolle)定理）設(shè)函數(shù)(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)使得將弧置于直角坐標(biāo)系中，分AB弦平行于軸與不平行于軸兩種情況討論。(1)在閉區(qū)間上連續(xù),R證由在閉區(qū)間上連續(xù)，若，則內(nèi)任一點(diǎn)均可作為。若，則由知與中至少有一個(gè)(不妨設(shè)為)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)取到，即。存在。知Fermat引理注：（1）羅爾定理結(jié)論的代數(shù)意義：在方程兩個(gè)根之間至少有方程的一個(gè)根。（2）定理結(jié)論的幾何意義是：曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于軸，即切線是水平的。例1.設(shè)不用求導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。解顯然，方程有四個(gè)實(shí)根，由羅爾定理，方程分別在(1,2)，(2,3),至多有三個(gè)實(shí)根，因而恰好有三個(gè)實(shí)根，它們分別在區(qū)間(1,2)，(2,3)，(3,4)內(nèi)。內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。但是三次多項(xiàng)式，(3,4)例2設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使證構(gòu)造輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),,使,即內(nèi)可導(dǎo)，在Rolle定理例3證明：Rolle定理例4證Rolle定理Rolle定理當(dāng)羅爾定理中的條件不滿足時(shí),“曲線上至少有一點(diǎn)的切線平行于AB弦,”的結(jié)論仍成立,此時(shí)有定理3（拉格朗日（Lagrange)中值定理）設(shè)函數(shù)(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)使得(1)在閉區(qū)間上連續(xù),L拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.證:法1.(逆推法構(gòu)造輔助函數(shù))即:令:即：Rolle定理法2（由幾何直觀構(gòu)造輔助函數(shù)）由羅爾定理，。即：注:1)公式可寫成不難看出,此式對(duì)于也成立。因此，不論的大小關(guān)系怎樣，都有上式稱為拉格朗日中值公式

。2)對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)，有或上式精確表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與它在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，稱為有限增量公式

。推論1若函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為0,則在I上是一個(gè)常數(shù)。事實(shí)上，對(duì)I上任意兩點(diǎn)，有推論2若在區(qū)間I上則在I上有簡證:例5

則應(yīng)至少存在一點(diǎn)

使得例6

證明不等式證明

將不等式變形為令,則在上滿足Lagrange定理的條件,于是所以即:例7當(dāng)曲線弧由參數(shù)方程表示時(shí),曲線上的點(diǎn)處的切線的斜率為，AB弦的斜率為，于是拉格朗日中值公式可表示為C定理4（柯西(Cauchy)中值定理）設(shè)函數(shù)(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)使得(1)在閉區(qū)間上連續(xù),柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,顯然,當(dāng)時(shí),Cauchy定理即為Lagrange定理。證明：令：上滿足Rolle定理的條件,于是則在即：例9.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，證明內(nèi)至少存在一點(diǎn)使在證明令，在上用Cauchy定理，存在使即或例10.例11設(shè)函數(shù)在鄰域內(nèi)有n階導(dǎo)數(shù)，證明:證明：在區(qū)間上對(duì)、利用Cauchy定理，得：且,此時(shí)，有兩個(gè)無窮小量或無窮大量之比的極限可能存在,也可能不存在,例如通常把這種極限稱為未定式的極限，并分別簡稱為二.未定式的極限（洛必達(dá)（L’Hospital）法則）L—法則洛必達(dá)(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書