拓?fù)鋵W(xué)理論教學(xué)大綱

拓?fù)鋵W(xué)理論教學(xué)大綱（Topology）課程代碼：0712603總學(xué)時：51學(xué)時（講課51學(xué)時）先修課程：集合論、數(shù)學(xué)分析一、課程的性質(zhì)、目的與任務(wù)《拓?fù)鋵W(xué)》是高等院數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修的專業(yè)課。它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支中、特別是在現(xiàn)代分析學(xué)中得到了大量的應(yīng)用。因此，它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其鄰近學(xué)科、乃至工程技術(shù)科學(xué)的學(xué)習(xí)與研究方面，其重要性已毋庸置疑了。通過對本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生初步掌握該課程的基礎(chǔ)概念、基礎(chǔ)理論與基礎(chǔ)方法，為學(xué)習(xí)后課程及進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在教學(xué)的同時，通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概括問題和邏輯推理能力和自學(xué)能力。二、教學(xué)基本內(nèi)容與基本要求第一章樸素集合論1.基本內(nèi)容（1）集合的基本概念、基本運(yùn)算（2）關(guān)系、等價關(guān)系（3）映射，有標(biāo)集族及其并和交（4）可數(shù)集、不可數(shù)集、基，集族的笛卡爾積2.教學(xué)要求本章是學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)的必備知識，要求熟練掌握基本概念，理解可數(shù)集與有關(guān)可數(shù)集的結(jié)論，理解可數(shù)集與不可數(shù)集的區(qū)別與聯(lián)系。第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射1.基本內(nèi)容（1）度量空間與連續(xù)映射（2）拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射（3）一些重要的拓?fù)涓拍睢徲颉⑧徲蛳担?）導(dǎo)集、閉集、閉包（5）內(nèi)部、邊界（6）基與子基（7）拓?fù)淇臻g中的序列2.教學(xué)要求（1）熟練掌握拓?fù)淇臻g、拓?fù)涞幕母拍睿私馔負(fù)淇臻g的其他重要的拓?fù)涓拍?。?）理解領(lǐng)會連續(xù)映射的定義，掌握連續(xù)映射的性質(zhì)以及它的一些刻畫。第三章子空間，積空間，商空間1.基本內(nèi)容（1）子空間（2）積空間（有限情形）（3）商空間2.教學(xué)要求（1）理解子空間、積空間、商空間拓?fù)涞亩x、性質(zhì)。（2）理解領(lǐng)會同一拓?fù)淇臻g的子集上子空間拓?fù)渑c其他拓?fù)渲g的關(guān)系，理解領(lǐng)會商映射、閉（開）映射的定義、性質(zhì)及商空間的例子。第四章連通性1.基本內(nèi)容（1）連通空間（2）連通性的簡單應(yīng)用（3）連通分支（4）局部連通空間（5）道路連通空間2.教學(xué)要求（1）理解連通空間的概念、了解連通分支的概念。（2）掌握連通性的簡單應(yīng)用。（3）了解局部連通空間、道路連通空間。第五章有關(guān)可數(shù)性的公理1.基本內(nèi)容（1）第一與第二可數(shù)性公理（2）可分空間（3）Lindeloff空間2.教學(xué)要求（1）理解掌握第一可數(shù)、第二可數(shù)公理的內(nèi)容；（2）理解領(lǐng)會可分空間與Lindeloff空間的內(nèi)容，理解領(lǐng)會關(guān)于這些空間之間關(guān)系的具體實(shí)例及性質(zhì)定理。第六章分離公理與可數(shù)性公理1.基本內(nèi)容（1）T0、T1.Hausdorff空間。（2）正則空間、正規(guī)空間、T3.T4空間。（3）Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理（4）完全正則空間、Tychonoff空間（5）可度量化空間2.教學(xué)要求（1）掌握T0、T1.Hausdorff、T3.T4.Tychonoff等分離性公理；（2）理解領(lǐng)會Urysohn引理及Urysohn度量化定理，理解領(lǐng)會分離公理的遺傳性質(zhì)和有限可積性質(zhì)，理解領(lǐng)會關(guān)于這些空間之間關(guān)系的具體實(shí)例及性質(zhì)定理，理解Tietze擴(kuò)張定理的內(nèi)容。第七章緊致性1.基本內(nèi)容（1）緊致空間（2）緊致性與分離性公理（3）n維歐式空間中的緊致子集（4）幾種緊致性以及其間的關(guān)系（5）度量空間中的緊致性（6）局部緊致空間、仿緊致空間2.教學(xué)要求（1）掌握理解緊致性的定義及性質(zhì)（2）理解領(lǐng)會緊致空間與Hausdorff空間的關(guān)系，理解領(lǐng)會緊致空間中Hausdorff、T3.T4等空間之間的關(guān)系，要求理解度量空間中緊致性質(zhì)，理解幾種緊致性之間的關(guān)系，領(lǐng)會局部緊致空間的定義、性質(zhì)及其與其他幾種空間的關(guān)系。三、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配教學(xué)內(nèi)容教學(xué)要求重點(diǎn)(☆)難點(diǎn)(Δ)學(xué)時安排備注第一章樸素集合論A☆6第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射A☆14第三章子空間、有限積空間、商空間BΔ6第四章連通性A☆8第五章可數(shù)性公理A☆6第六章分離性公理A☆Δ5第七章緊致性BΔ6合計51（教學(xué)要求：A—熟練掌握；B—掌握；C—了解）四、建議實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目及學(xué)時分配無實(shí)驗(yàn)。五、教學(xué)方法與教學(xué)手段課堂教學(xué)為主、小組討論為輔，板書為主、多媒體為輔。六、建議教材與參考書目1.教材：點(diǎn)集拓?fù)渲v義，熊金城，高等教育出版社（第四版），2011年6月。2.參考書目：（1）Topology，J.Mundres，機(jī)械工業(yè)出版社，2004；（2）GeneralTopology，J.L.Kelley，VanNostrandReinholdCo.，NewYork，1955。七、大綱編寫的依據(jù)與說明《拓?fù)鋵W(xué)》介紹了拓?fù)淇臻g的有關(guān)概念，及本課程最重要的幾個公理、定理和一些重要的結(jié)論。