人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第十章第7節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

第7節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

課程標(biāo)準(zhǔn)要求.通過具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題..了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題..通過誤差模型，了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質(zhì)，會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問題.必備知識(shí)?課前回顧:A知識(shí)梳理.兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，彳表示“失敗”,定義X=定義X=1,4發(fā)生,

0,彳發(fā)生.如果p(a)=p,則p(m=bp,那么x的分布列如表所示.X01P1-pP我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=p,D(X)=p(l-p)..二項(xiàng)分布(l)n重伯努利試驗(yàn)①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然,n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CApk(l-p)n",k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?B(n,p).(3)二項(xiàng)分布的均值與方差如果X?B(n,p),那么E(X)=皿,D(X)-np(l-p).■釋疑(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況.(2)二項(xiàng)分布是放回抽樣問題(獨(dú)立重復(fù))].超幾何分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)-CmC,m,女初，m+1,m+2,…，r.Cn其中n,N,M《N*,MWN,nWN,m=max{0,n-N+M),r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.⑵超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p4,則p是N件產(chǎn)品的次品率,而江是抽取的n件產(chǎn)品的次品率,則E(S=p,即n nE(X)=詈些.■釋疑超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征：(1)考察對(duì)象分兩類.(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù).(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古麗E.正態(tài)分布(1)連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸,但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.(2)正態(tài)密度函數(shù)—(X—從)2①f(x)T=e』一,xGR,其中uWR,。>0為參數(shù).aV27T對(duì)任意的x￡R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.②若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(X),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X?N(口，。)特別電當(dāng)口=0,。=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.③若X~N(U,。3,則如圖所示,X取值不超過x的概率P(XWx)為圖中區(qū)域&的面積，而P(aWXWb)為區(qū)域里的面積.⑶正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=R對(duì)稱；②曲線在x=11處達(dá)到峰值本篇；③當(dāng)IXI無限增大時(shí)，曲線無限接近X軸；④當(dāng)。取固定值時(shí),正態(tài)曲線的位置由U確定,且隨著U的變化而沿X軸平移,如圖所示.當(dāng)u取定值時(shí)，因?yàn)榍€的峰值義與。成反比,而且對(duì)任意的。＞0,曲線與X軸圍成的面積總為1.因此當(dāng)。較小時(shí),峰值高，曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;當(dāng)。較大時(shí),峰值低，曲線“矮勝”，表示隨機(jī)變量X的分布比較會(huì)散,如圖所示.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X?N(u,。2),則E(X)=&,D(X)=q2.(5)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的概率P(u-oWXWu+。)^0.6827,P(U-2。WXWU+2。)^0,9545,在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(u,。與的隨機(jī)變量X只?。踨-3。，R+3。］中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3。原則.會(huì)重要結(jié)論對(duì)于X?N(u,。2),由x=u是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知(1)對(duì)任意的a有P(X<u-a)=P(X>u+a);(2)P(X<xo)=l-P(X^Xo);P(a<X<b)=P(X<b)-P(XWa).三對(duì)點(diǎn)自測(cè)L(選擇性必修第三冊(cè)P59例1改編)設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和A,且P(A)=m,令隨機(jī)變量€J""發(fā)生’則當(dāng)?shù)姆讲頓(自)等于(0,“不發(fā)生，(D)A.mB.2m(l-m)C.m(m-l)D.m(l-m)解析:隨機(jī)變量&的分布列為01P1-mm所以E(g)=0,(l-m)+l?m=m,所以D(1)=(0-m)2,(l-m)+(l-m)2,m=m(l-m).故選D.2.若隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布M2,。)1在區(qū)間(4,+8)上取值的概率是0.2,則&在區(qū)間(0,2)上取值的概率為(A)A.0.3B.0.4C.0.6D.0.8解析：因?yàn)殡S機(jī)變量自服從正態(tài)分布N⑵。)所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又P(€>4)=0.2,所以P(W<0)=0.2,所以所求概率P(0<W<2)上2p；>4)=o.3.故選A.3.箱中有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球,從箱中一次摸出2個(gè)球,記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù),則獲獎(jiǎng).若有4人參與摸獎(jiǎng),恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是.解析：由題意知,獲獎(jiǎng)的概率p=^=l記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為W,則&?%5B（4,：）,所以4人中恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率為5p=c；x（2）3x三絲.4 5 5625答案白6254.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是，解析:設(shè)所選女生人數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中N=6,M=2,n=3,r0p3plp2a則P(XW1)=P(X=O)+P(X=1)j李+等=上C6C65答案q5關(guān)鍵能力?課堂突破戚考點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布CWD（2021?安徽合肥模擬）某地歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地.為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位實(shí)習(xí)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型,并在前幾年該旅行社接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在明年省內(nèi)有意向組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校,并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇“研學(xué)游”類型的概率（假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類,且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響）.⑴若這3所學(xué)校選擇的“研學(xué)游”類型是“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，求這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率;⑵設(shè)這3所學(xué)校中選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，學(xué)校選擇“科技體驗(yàn)游”的概率為;，選擇“自然風(fēng)光游”的概率為"5所以若這3所學(xué)校選擇“研學(xué)游”類型為“科技體驗(yàn)游”和“自然風(fēng)光游”，則這兩種類型都有學(xué)校選擇的概率為p=c|X(-)2x-+cjx(-)2X^―.(2)由題意知X?B(3,；),5則P(X=O)=C[xg)^^,所以X的分布列為X0123P2712554125361258125所以E（X）=0X牝+1X—+2X—+3X125 125 125 1255解題策略與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法(1)求隨機(jī)變量W的期望與方差時(shí),可首先分析&是否服從二項(xiàng)分布，如果€?B(n,p),則用公式E(C)=np,D(C)=np(l-p)求解,可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以綜合應(yīng)用E(aC+b)=aE(&)+b以及E(C)=np,求出E(a€+b),同樣還可求出D(a€+b).［針對(duì)訓(xùn)練］(2021?四川遂寧高三三模)某校數(shù)學(xué)教研組,為更好地提高該校高三學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的得分率,對(duì)學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓(xùn)練運(yùn)用最新的教育技術(shù)做了更好的創(chuàng)新,其學(xué)校教務(wù)處為了檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo),從中抽取了100名學(xué)生的訓(xùn)練成績(jī)(總分50分),經(jīng)統(tǒng)計(jì)質(zhì)量指標(biāo)得到如圖所示的頻率分布直方圖.頻率/組距0.0300.0250.0200.0150.0101020304050質(zhì)量指標(biāo)值(1)求所抽取的樣本平均數(shù)立同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)將頻率視為概率,從該校高三學(xué)生中任意抽取4名學(xué)生，記這4名學(xué)生《圓錐曲線》的選擇填空題的訓(xùn)練的質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30］內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(D根據(jù)頻率分布直方圖可得質(zhì)量指標(biāo)值位于［0,10］的頻率為0.010X10=0.1,(10,20］的頻率為0.020X10=0.2,(20,30］的頻率為0.030X10=0.3,(30,40］的頻率為0.025X10=0.25,(40,50］的頻率為0.015X10=0.15,所以元=5X0.1+15X0.2+25X0.3+35X0.25+45X0.15-26.5.(2)根據(jù)題意得質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30］內(nèi)的概率為0.2+0.3=0.5,所以X?B(4,1),X的所有可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=c：X(?W，P(X=1)=C；X9、P(X=2)=ClXg4=|,P(X=3)=第Xg4。P(X=4)=CfX94*所以X的分布列為X01234p116143814116所以E(X)=0X工+1X2+2X?+3XL+4XL=2.16 4 8 4 16愿考點(diǎn)二超幾何分布CWD在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者AbA2,A3,A,bA5,A6和4名女志愿者B?B2,Rs,Bb從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.⑴求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B,的概率；⑵用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.解：(D記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含BJ為事件M,則P(M)導(dǎo)攝So18(2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)A*,P(X=l)=等=(，JoQ乙 cioP(X=2)冬&U,p(x=3)考區(qū):三，Go21，' '121fP(X%)密喂因此X的分布列為X01234P1510514221212142[典例遷移1](變結(jié)論)在本例第(2)問，若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù),求X的分布列.解：由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,4,5,則P(X=l)等P(X=2)等嗡P(X=3)窄哼,P(X=4)誓吟P(X=5)卷*因此X的分布列為X12345P1425211021521142[典例遷移2](變結(jié)論)在本例第(2)問，若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求X的分布列.解：由題意知X的所有可能取值為3,1,-1,-3,-5,貝ljp(x=3)等P(X=l)=等4，P(X=-l)=警啰P(X=-3)誓備P(X-5)啜磊因此X的分布列為X31-1-3-5P1425211021521142異題策略求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值；第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步,用表格的形式列出分布列.啜考點(diǎn)三正態(tài)分布口角度-正態(tài)分布的計(jì)算霞D(2021?安徽合肥高三二檢)為了解A市高三學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況,該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測(cè)考試,并隨機(jī)抽取了部分高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.頻率/組距（1）根據(jù)頻率分布直方圖,試估計(jì)該市參加此次檢測(cè)考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)??；（精確到個(gè)位）（2）研究發(fā)現(xiàn),本次檢測(cè)考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N（R,。2）,其中u=u0,o=19.3.①按以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)成績(jī)能達(dá)到升一本分?jǐn)?shù)要求的學(xué)生約占46%,據(jù)此估計(jì)在本次檢測(cè)考試中達(dá)到升一本的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少分？（精確到個(gè)位）②已知A市高三學(xué)生約有10000名，某學(xué)生在此次檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?07分,則該學(xué)生在全市的排名大約是多少？[說明:P（x2xJ=l-①（"）表示xexi的概率，①（衛(wèi)）用來將非標(biāo)準(zhǔn)a a正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X?N（0,1）,從而利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①（Xo）,求X2X1時(shí)的概率P（x2xJ,這里Xo=（3」）.相應(yīng)于X。的值①a（Xo）是指總體取值小于Xo的概率，即①（Xo）=P（X<XO）.參考數(shù)據(jù):O（0.7054）=0.54,①（0.6772）=0.46,①（0.21）=0.5832]解：（1）由題意估計(jì)該市參加此次檢測(cè)考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)閛=65XO.05+75X0.08+85X0.12+95X0.15+105X0.24+115X0.18+125X0.1+135X0.05+145X0.03=103.2X03（分）.⑵①記在本次檢測(cè)考試中達(dá)到升一本的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閄I分,根據(jù)題意,P(x2xJ=l-①(紅與=1—①(紅羋)=0.46,即①(厘為加54.由①(0.7054)=0.54得，紅膽=0.7054=>x^ll6.6^117,19.3所以在本次檢測(cè)考試中達(dá)到升一本的數(shù)學(xué)成績(jī)約為117分.②P(x2107)=1-①(比照)n1-⑦(0.21)=1-0.5832=0.4168,19.3所以10000X0.4168=4168,所以數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?07分的該學(xué)生在全市的排名大約是第4168名.解題策略(1)利用3。原則求概率問題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的U,。進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系,確定它們屬于[以-。，U+O],[U-2O,U+2o],[u-3o,U+3。]中的哪一個(gè).⑵利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=U對(duì)稱,及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面結(jié)論的活用：①正態(tài)曲線關(guān)于直線x=u對(duì)稱,從而在關(guān)于x=u對(duì)稱的區(qū)間上概率相同.②P(X<a)=l-P(X2a),P(XWu-a)=P(X2u+a).解此類問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.幅度二正態(tài)分布的應(yīng)用dH)(2021?山西太原模擬)某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料，準(zhǔn)備從A農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花.廠方技術(shù)人員從A農(nóng)場(chǎng)存儲(chǔ)的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機(jī)抽取了100份棉花,分別測(cè)量了其纖維長(zhǎng)度(單位：mm)的均值,得到100個(gè)樣本數(shù)據(jù),并制成頻數(shù)分布表如表：長(zhǎng)度/mm[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33)[33,35)[35,37)[37,39]頻數(shù)4916241814105⑴求這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)元和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)取該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；⑵由得到的數(shù)據(jù)可以認(rèn)為這批棉花的纖維長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布，即X?N(u,。)其中11近似為樣本平均數(shù)五。2近似為樣本方差s2①利用該正態(tài)分布,求P(X2u-2。)；②紡織廠將A農(nóng)場(chǎng)送來的這批優(yōu)質(zhì)棉花進(jìn)行二次檢驗(yàn),從中隨機(jī)抽取20份測(cè)量其纖維長(zhǎng)度的均值Yi(i=l,2,…,20),得到的數(shù)據(jù)如表：Y,y2y3丫4y5y6y7y8y9Y.o24.131.832.728.228.434.329.134.837.230.8Yny12Y.3Ymy15y16Y17y18y19Y2030.625.232.927.135.928.933.929.535.029.9若這20個(gè)樣本中纖維長(zhǎng)度的均值丫2口-2。的頻率不低于①中的P(X2R-2。)，則可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格,否則認(rèn)為A農(nóng)場(chǎng)送來的棉花摻雜了次品，判斷該批棉花不合格,按照此依據(jù)判斷A農(nóng)場(chǎng)送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花,并說明理由.附:若Z?N(r,o2),蛆JP(u—。WZWu+o)^0.6827,P(u-2oWZ。+2。)、0.9545;V12.28^3.504.解：⑴±=^-X（4X24+9X26+16X28+24X30+18X32+14X34+10X36+5X38）=31,s?（4X72+9X52+16X32+24X12+18Xl2+14X32+10X52+5X7?）=11002.28.（2）棉花的纖維長(zhǎng)度X?N（u,。2）,其中u=31,0=712/^3.504.①P（X2口-2。）^1-X（1-0.9545）=0.97725.②A農(nóng)場(chǎng)送來的這批棉花是合格的優(yōu)質(zhì)棉花,理由如下：lx-2o-31-2X3.504=23.992,故P（丫2u-2。）=P（丫223.992）=1X）.97725,所以A農(nóng)場(chǎng)送來的這批棉花為合格的優(yōu)質(zhì)棉花.解題策略事件在［R-3。，u+3。］之外的為小概率事件,一旦發(fā)生,則說明生產(chǎn)存在問題,則要調(diào)整生產(chǎn).［針對(duì)訓(xùn)練］（2021?山東濰坊模擬）為了嚴(yán)格監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,某企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000個(gè)零件,并測(cè)量其內(nèi)徑（單位:cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的內(nèi)徑X服從正態(tài)分布N（U,。）如果加工的零件內(nèi)徑小于H-3。或大于R+3。均為不合格品，其余為合格品.⑴假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，請(qǐng)估計(jì)一天內(nèi)抽取的10000個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)；

(2)若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為合格品則該件產(chǎn)品盈利;若生產(chǎn)的某件產(chǎn)品為不合格品，則該件產(chǎn)品虧損.已知每件產(chǎn)品的利潤(rùn)L(單位:元)與零件的內(nèi)徑X有如F關(guān)系:L=-5,X<3<j,4, 3。件的內(nèi)徑X有如F關(guān)系:L=6,4p<X<p,+3a,-5,X>fi+3a.求該企業(yè)一天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000個(gè)零件的平均利潤(rùn).附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(u,。2),有P(廠。WXWu+o)七0.6827,P(u-2oWXWU+2。)勺0.9545,P(u-3。WXWu+3。)40.9973.解：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在［U-3。，以+3。］之內(nèi)的概率為0.9973,從而抽取一個(gè)零件為不合格品的概率為0.0027,因此一天內(nèi)抽取的10000個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)約為10000X0.0027=27.(2)結(jié)合正態(tài)分布曲線和題意可知，P(X<u-3o)^0.00135,P(u-3o^X<u-o)^1x(0.9973-0.6827)=0.1573,P(u-ou+3o)^0.9973-0.1573=0.8400,P(X>u+3o)^0.00135,故隨機(jī)抽取10000個(gè)零件的平均利潤(rùn)為10000L=10000X(-5X0.00135+4X0.1573+6X0.8400-5X0.00135)=56557(元).一備選例題CWD為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)，某公司為手機(jī)客戶端用戶推出了多款應(yīng)用，如“農(nóng)場(chǎng)”“音樂”“讀書”等.市場(chǎng)調(diào)查表明,手機(jī)用戶在選擇以上三種應(yīng)用時(shí)，選擇“農(nóng)場(chǎng)”“音樂”“讀書”的概率分別為;;?現(xiàn)236有甲、乙、丙三名手機(jī)客戶端用戶獨(dú)立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進(jìn)行添加.⑴求三人所選擇的應(yīng)用互不相同的概率；(2)記€為三人中選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場(chǎng)”與“音樂”的人數(shù),求€的分布列.解:記“第i名用戶選擇的應(yīng)用是‘農(nóng)場(chǎng)’‘音樂‘‘讀書'”分別為事件A,,Bi,Ci,i-1,2,3.由題意知Ai,A2,A3相互獨(dú)",Bi,B2,B3相互獨(dú)al,Ci,C2,C3相互獨(dú)乂,A“Bj,Ck(i,j,k—1,2,3且i,j,k互不相同)相互獨(dú)立,且P(A)4P(BJP(C)2 3 6(1)他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率為P=3!?P(AB2c3)=6P(A,)P(B2)P(C3)6⑵設(shè)3名用戶選擇的應(yīng)用是，讀書”的人數(shù)是n,由已知得n?1^3,。,O且€-3-n,所以P(4=0)=p(n=3)=GXP(g=D=P(n=2)=c數(shù)鏟x|=^,P(g=2)=P(n=i)啕令鏟啜嗯P(4=3)=P(n=o)=c?x(》嗤.故&的分布列為0123P15251252167272216CW(2021?江蘇徐州一模)近日，某調(diào)查小組在一家大型超市進(jìn)行了一項(xiàng)關(guān)于顧客使用移動(dòng)支付情況的調(diào)查,調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機(jī)抽取了200人,得到如表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年齡段個(gè)數(shù)類型[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]使用移動(dòng)支付45402515不使用移動(dòng)支付0102045(1)現(xiàn)從這200人中隨機(jī)依次抽取2人，在第1次抽到的人使用移動(dòng)支付的條件下,求第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付的概率；(2)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從使用移動(dòng)支付的人中抽取25人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查.再?gòu)倪@25人中隨機(jī)選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng),設(shè)這3人中年齡在［40,50)中的人數(shù)為X,求X的分布列.解：(1)由題意可知，使用移動(dòng)支付的人數(shù)為125,不使用移動(dòng)支付的人數(shù)為75.記事件A為“第1次抽到的人使用移動(dòng)支付"，事件B為“第2次抽到的人不使用移動(dòng)支付”，所以P(B|A)」嚶譽(yù)會(huì)(2)在年齡段［40,50)中抽取的人數(shù)為焉X25=5,則X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)-學(xué)，牝,P(X=l)=￡1^1=絲,p(X=2)=^^=-,P(X=3)=^^=—,C15115 C|546 C|523 %230則x的分布列為X0123P5711519462231230CW從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖.⑴求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)%和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（U,。9,其中R近似為樣本平均數(shù)五。,近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布,求P（175.6WZW224.4）;②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元,每件合格品（質(zhì)量指標(biāo)值Ze[175.6,224.4]）的定價(jià)為16元;若為次品（質(zhì)量指標(biāo)值Za[175.6,224.1）,除了全額退款外,每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出100件這種產(chǎn)品,用丫表示這100件產(chǎn)品的利潤(rùn),求E（Y）.附:7150^12.2.若Z?N（u,。2）,貝P（r-。WZWU+。）勺0.6827,P（u-2。WZWu+2。）^0.9545.解：（1）由題意得元=170X0.02+180X0.09+190X0.22+200X0.33+210X0.24+220X0.08+230X0.02=200,所以s2=(170-200)2XO.02+(180-200)2*0.09+(190-200)2XO.22+(200-200)2X0.33+(210-200)2X0.24+(220-200)2XO.08+(230-200)2XO.02=150,即樣本平均數(shù)為200,樣本方差為150.(2)①由(1)可知，u=200,o-V150^12.2,所以Z?N(200,12.22),所以P(175.6WZW224.4)=P(u-2。WZWU+2。)^0.9545.②設(shè)X表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，由題意得X?B(100,0.9545),所以E(X)=100X0.9545*95,所以E(Y)=16E(X)-48X5-100X10=280.■:里口葉偉、山 靈活》4名數(shù)提能選題明細(xì)表知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練二項(xiàng)分布1,2,4,6,1012超幾何分布3,5,1114,15正態(tài)分布7,8,913概率分布模型的綜合應(yīng)用16,1718A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練1.設(shè)袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回地抽取,每次抽取一個(gè),記下顏色后放回袋中，連續(xù)抽三次,X表示三次中紅球被抽中的次數(shù)，每個(gè)小球被抽取的概率相同，每次抽取相對(duì)獨(dú)立,則方差D(X)等于(C)TOC\o"1-5"\h\z3A.2B.1 C.- D.-4解析:每次取球時(shí),取到紅球的概率為馬取到黑球的概率為a所以取出紅球的概率服從二項(xiàng)分布,即X?B⑶,，所以D(x)-3x|x故選C.2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，規(guī)定正面向上得1分,反面向上得-1分，則得分X的均值與方差分別為(A)A.E(X)=O,D(X)=1E(X)=-,D(X)=i2 2E(X)=O,D(X)=|E(X) D(X)=1解析：由題意知，隨機(jī)變量X的分布列為X-11P1212所以E(X)=(~1)x1+lX-0,D(X)=-X(-l-0)2+-X(1-0)2=1.故選A.2 23.口袋中有5個(gè)形狀和大小完全相同的小球,編號(hào)分別為0,1,2,3,4,從中任取3個(gè)球，以X表示取出球的最小號(hào)碼，則E(X)等于(B)A.0.45B,0.5C.0.55D.0.6解析：易知隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,由古典概型的概率計(jì)算公式得P(X=0)=萼=*0.6,L5L5P(X=1)膂備0.3,P(X=2)=g1,所以C5CS C5E(X)=0X0.6+1X0.3+2X0.1=0.5.故選B.4.已知隨機(jī)變量X,Y滿足X?B(2,p),Y=2X+1,且P(X21)=|,則D(Y)等于(C).4 o7 八16n17A.- B.- C.—D.—9 3 9 9解析:因?yàn)閄?B(2,p),所以P(X2D=『P(X=0)=l—(1-p)23,解得P=,所以D(Y)=4D(X)=4X2X工X三竺.3 39故選c.5.(多選題)(2021?山東煙臺(tái)質(zhì)檢)某人參加一次測(cè)試，在備選的10道題中，他能答對(duì)其中的5道.現(xiàn)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，規(guī)定至少答對(duì)2題才算合格，則下列選項(xiàng)正確的是(CD)A.答對(duì)0題和答對(duì)3題的概率相同，都為：OB.答對(duì)1題的概率為:OC.答對(duì)2題的概率為5D.合格的概率為［解析:設(shè)此人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為自,則自的所有可能取值為0,1,2,3,p(1=0)=等*p(w=1)=警號(hào),P(&=2)=管*P(八3)=警*,則答對(duì)0題和答對(duì)3題的概率相同，都為已故A錯(cuò)誤;答對(duì)1題的概率為總故B錯(cuò)誤;答對(duì)2題的概率為高故C正確;合格的概率為P=P(目=2)+P(g=3)*+方=|,故D正確.故選CD.6.(多選題)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,取到白球記0分,黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則(ACD)A.X?B(4,9B.P(X=2)*C.X的數(shù)學(xué)期望E(X)qD.X的方差D(X)[解析:從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球記1分，取4次球的總分?jǐn)?shù),即為取到黑球的個(gè)數(shù)，所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X?B(4,，，故A正確；X=2,記其概率為P(X=2)=鬣X§2x(|)2=|1,故B錯(cuò)誤；因?yàn)閄?B(4,|),所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4X|=|,故C正確；因?yàn)閄?B(4,',所以X的方差為D(X)=4X[X故D正確.故選ACD..如圖是當(dāng)。取三個(gè)不同值。1,。2,。3時(shí)的三種正態(tài)曲線,那么。1,。2,。3的大小關(guān)系是(D)A.oA.oi>o3>o2>0C.O!>O2>O3>0D.0<O1<o2<o3解析：由題圖可知,三種正態(tài)曲線的口都等于0.當(dāng)11一定時(shí)，。越小,曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散,則0<oi<o2<03.故選D..(多選題)某農(nóng)戶承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N(u,302)和N(280,40%則下列選項(xiàng)正確的是(附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布限11,。2)41"(11-。0(<11+。)20.6826)(ABD)A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(U-30,280)的概率是0.6826,則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320)的概率約為0.3413解析:對(duì)于選項(xiàng)A,4+30=280,u=250,A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,C,利用。越小越集中，30<40,B正確,C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,P(280<X<320)=P(u<X<u+o)^0.6826X1=O.3413,D正確.故選ABD..對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量,并以測(cè)量結(jié)果的平均數(shù)作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差￡n?N(0,與，為使誤差￡0在n（-0.5,0.5）的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量 次（若X?N（u,。2）,則p（|x-口|<2。）-0.9545）.解析:根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知,要使誤差￡n在（-0.5,0.5）的概率不小于0.9545,則（口-2。，u+2o）U（-0.5,0.5）且口=0,。=所以7n0.522R=n232,所以至少要測(cè)量32次.答案：32（2021?重慶模擬）中國(guó)某科技公司生產(chǎn)一批同型號(hào)的光纖通信儀器，每臺(tái)儀器的某一部件由三個(gè)電子元件按如圖所示的方式連接而成.已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示,三個(gè)電子元件的使用壽命（單位:h）均服從正態(tài)分布N（10000,10%且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.現(xiàn)從這批儀器中隨機(jī)抽取1000臺(tái),檢測(cè)該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨(dú)立），那么這1000臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過10000h的臺(tái)數(shù)的均值為.解析：由正態(tài)分布可知,每個(gè)元件的使用壽命超過10000h的概率為a則該部件的使用壽命超過10000h的概率為［1-0尸］*^.由題意知1000臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過10000h的臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以臺(tái)數(shù)的均值為1OOOX|=375.O答案：375(2021?天津武清區(qū)高三模擬)已知一個(gè)袋子中裝有1個(gè)紅球,3個(gè)綠球，1個(gè)黃球.從袋中隨機(jī)取球,每次取3個(gè),則取出的3個(gè)球顏色各不相同的概率為;記取出的球顏色種數(shù)為&,則E(1)=.解析：由題意,共有5個(gè)球,從中取出3個(gè)球,則有髭=10種不同的取法.取出的3個(gè)球顏色各不相同，則紅球、綠球、黃球各取1個(gè)，有的=3種不同的取法，所以取出的3個(gè)球顏色各不相同的概率為*取出的球顏色種數(shù)&的可能取值為1,2,3,P(S3)*P(S1)*,p/E=2)C；C：+C；c￡6310 105’所以€的分布列為123P11035310所以E(1)=1X-+2X-+3X-=ii.10 5 105分案?_111口來.10 5B級(jí)綜合運(yùn)用練(多選題)為弘揚(yáng)我國(guó)古代“六藝”文化,某研學(xué)旅行夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程,若甲、乙、丙三名同學(xué)每人只能體驗(yàn)其中一門課程，則(BCD)A.甲、乙、丙三人選擇課程方法有120種B.恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為:9C.已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙、丙也不選擇課程“御”的概率為IID.設(shè)三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為"則E（m）帶解析：甲、乙、丙三名同學(xué)每人只能體驗(yàn)其中一門課程,則選擇方法有6二216種，故A錯(cuò)誤;恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中,表示三名同學(xué)每個(gè)人選擇了不重復(fù)的一門課程，所以概率為朱黑4,故B正確；6，2169已知甲不選擇課程“御”的概率為三甲、乙、丙都不選擇課程“御”6TOC\o"1-5"\h\z3 125的概率為全蕓,所以條件概率為率=2,故C正確;三名同學(xué)選擇課程60216 —366“禮”的人數(shù)為g,則g服從二項(xiàng)分布B⑶；），則E（g）=3X衿，故D6 62正確.故選BCD.13.（多選題）（2021?江蘇徐州高三模擬）已知某校有1200名同學(xué)參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N（100,225）,則下列說法正確的有（BD）（參考數(shù)據(jù):①P（R-。WXWR+。）勺0.6827;②P（U-2。WXWu+2。）^0.9545;③P（u-3。WXWR+3。）=0.9973）A.這次考試成績(jī)超過100分的約有500人B.這次考試分?jǐn)?shù)低于70分的約有27人C.P（115<X^130）=0.0514D.從中任取3名同學(xué),至少有2人的分?jǐn)?shù)超過100分的概率為：解析：由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,u=100,。=15,則P(X>100)W，則成績(jī)超過100分的約有1200X^600(人)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,P(X270)=P(70WXW100)+P(X>100)=-P(100-2X15WXW100+2X15)+0.5^X0.9545+0.5=0.97725,所以P(X〈70)=「P(X270)=1-0.97725=0.02275,所以分?jǐn)?shù)低于70分的人數(shù)約為0.02275X1200=27.3,即約為27人,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,P(X^115)=P(X<100)+1P(100-15^X^100+15)20.5+-X0.6827=0.84135,P(X 130)=P(X<100)+-P(100-2X15X2 2100+2X15)^0.5+|x0.9545=0.97725,所以P(115〈XW130)=P(XW130)—P(XW15)=0.97725-0.84135=0.1359,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)镻(X>100)三,且至少有2人的分?jǐn)?shù)超過100分的情況如下:①恰好有2人時(shí)概率為髭XG)2X；=1;②3人均超過100分時(shí)的2 28概率為9號(hào)則至少有2人的分?jǐn)?shù)超過100分的概率為|+導(dǎo)所以選項(xiàng)D正確.故選BD.14.某商場(chǎng)迎新游園摸彩球贏積分活動(dòng)規(guī)則如下：已知箱子中裝有1個(gè)紅球,3個(gè)黃球,每位顧客有放回地依次取出3個(gè)球,則摸到1個(gè)紅球,2個(gè)黃球的概率為,若摸到1個(gè)紅球得2積分,則顧客獲得積分的數(shù)學(xué)期望為.解析:根據(jù)題意,一次摸到紅球的概率為3摸到黃球的概率為34 4所以每位顧客有放回地依次取出3個(gè)球，則摸到1個(gè)紅球,2個(gè)黃球的概率為P:禺X：X(丁噌設(shè)每位顧客有放回地依次取出3個(gè)球,摸到紅球的個(gè)數(shù)為X,則X?B(3^),4設(shè)該顧客獲得積分為Y,則Y=2X,所以E(Y)=E(2X)=2E(X)=2X3X42所以顧客獲得積分的數(shù)學(xué)期望為|.答案噌1(2021?天津南開區(qū)高三模擬)一個(gè)袋中共有10個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是占從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是白則白球的個(gè)數(shù)為;從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為C,則隨機(jī)變量€的數(shù)學(xué)期望E(1)=解析:設(shè)白球的個(gè)數(shù)為y,又從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球的概率是巳則受警q,解得y=5.L1O9由題設(shè)知C的所有可能取值是0,1,2,3,P(E)=tW，P(g)=KP&=2)=篝卷P(&=3)強(qiáng)=*則隨機(jī)變量C的分布列為€0123P112512512112所以EG)噌+會(huì)2+總答案：5|（2021?河北唐山模擬）由商務(wù)部和北京市人民政府共同主辦的2020年中國(guó)國(guó)際服務(wù)貿(mào)易交易會(huì)（簡(jiǎn)稱服貿(mào)會(huì)）于9月4日開幕，主題為“全球服務(wù),互惠共享”.某高校為了調(diào)查學(xué)生對(duì)服貿(mào)會(huì)的了解情況,決定隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行采訪.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,采訪的學(xué)生中男女比例為3：2,已知抽取的男生中有10名不了解服貿(mào)會(huì)，抽取的女生中有25名了解服貿(mào)會(huì),請(qǐng)解答下面所提出的相關(guān)問題.⑴完成2X2列聯(lián)表,并回答“是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)服貿(mào)會(huì)的了解情況與性別有關(guān)”.性別了解情況合計(jì)了解不了解男生女生合計(jì)100（2）若從被采訪的學(xué)生中利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人在校內(nèi)開展一次“介紹服貿(mào)會(huì)”的專題活動(dòng)，記抽取男生的人數(shù)為&,求出自的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：黑工3產(chǎn)a+b+c+d.a50.0250.0100.0050.001Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：⑴2X2列聯(lián)表如表:性別了解情況合計(jì)

了解不了解男生501060251540合計(jì)7525100X2=100X（50X15-25X10）晨5.556<6.635,60X40X75X25所以沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)服貿(mào)會(huì)的了解情況與性別有關(guān).⑵根據(jù)題意,抽取的5人中男生有3人，女生有2人.從這5人中隨機(jī)抽取3人,則男生人數(shù)&的所有可能取值為1,2,3,則P（八1）窄*P（&=2）=萼*^5U J.UP（「3）得喘所以自的分布列為123P310610110所以E(C)=1X-+2X—+3X-=^.10 10 105（2021?江西南昌模擬）有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使用壽命都超過5000h.經(jīng)銷商對(duì)B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.030003200340036003800使用頻Zh某商家因原店面需重新裝修,需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn),合約期一年.新店面需安裝該品牌節(jié)能燈5只（同種型號(hào)）即可正常營(yíng)業(yè).經(jīng)了解,A型20W和B型