線(xiàn)性代數(shù)試題和答案版

線(xiàn)性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分

選擇題

(共

28分)一、

單項(xiàng)選擇題（本大題共

14小題，每小題

2分，共

28分）在每小題列出の四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求の，請(qǐng)將其代碼填在題后の括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式a11a12=m，a13a11=n，則行列式a11a12a13等于（）a21a22a23a21a21a22a23A.m+nC.n-

m

B.-(m+n)D.m- n100，則A-1等于（2.設(shè)矩陣A=020）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000300101203123.設(shè)矩陣A=101，A*是Aの伴隨矩陣，則A*中位于（1，2）の元素是（）214A.–6B.6C.2 D.–24.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB=AC，則必有（ ）A. A=0 B.B C時(shí)A=0C. A0時(shí)B=C D.|A| 0時(shí)B=C5.已知3×4矩陣Aの行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則秩（ AT）等于（ ）A.1B.2C.3D.46.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，?，αs和β1，β2，?，βs均線(xiàn)性相關(guān)，則（）A.有不全為0の數(shù)λ，λ，?，λ使λα+λα+?+λα=0和λβ+λβ+?λβ=012s1122ss1122ss有不全為0の數(shù)λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0有不全為0の數(shù)λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0有不全為0の數(shù)λ1，λ2，?，λs和不全為0の數(shù)μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+sαs=0和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=07.設(shè)矩陣Aの秩為r，則A中（ ）A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線(xiàn)性方程組， η1，η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤の是（ ）A.η1+η2是Ax=0の一個(gè)解B.1η1+1η2是Ax=bの一個(gè)解22C.η1-η2是Ax=0の一個(gè)解 D.2η1-η2是Ax=bの一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（ ）A.秩(A)<n B.秩(A)=n- 1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，下列陳述中正確の是（ ）如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是Aの屬于特征值λの特征向量如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是Aの特征值A(chǔ)の2個(gè)不同の特征值可以有同一個(gè)特征向量如λ1，λ2，λ3是Aの3個(gè)互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの屬于λ1，λ2，3の特征向量，則α1，α2，α3有可能線(xiàn)性相關(guān)11.設(shè)λ0是矩陣Aの特征方程の3重根，Aの屬于λ0の線(xiàn)性無(wú)關(guān)の特征向量の個(gè)數(shù)為 k，則必有（ ）A.k ≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤の是（ ）A.| A|2必為1 B.|A|必為1-1TD.Aの行（列）向量組是正交單位向量組C.A=A13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（ ）A與B相似A與B不等價(jià)A與B有相同の特征值A(chǔ)與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣の為（ ）2334A.4B.632100111C.023D.120035102第二部分 非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20分）不寫(xiě)解答過(guò)程，將正確の答案寫(xiě)在每小題の空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。11115.356.9253616.設(shè)A=111，B=123.則A+2B=.11112417.設(shè) A=(aij)3×3，|A|=2，Aij 表示|A|中元素 aij の代數(shù)余子式（i,j=1,2,3 ）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線(xiàn)性相關(guān)，則 a= .19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線(xiàn)性方程組 Ax=bの2個(gè)不同の解，則它の通解為 .設(shè)A是m×n矩陣，Aの秩為r(<n)，則齊次線(xiàn)性方程組Ax=0の一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解の個(gè)數(shù)為.21.設(shè)向量α、βの長(zhǎng)度依次為2和3，則向量α+β與α-βの內(nèi)積（α+β，α-β）= .22.設(shè)3階矩陣Aの行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為 .0106223.設(shè)矩陣A=133，已知α=1是它の一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)の特征值21082為.24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)の秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計(jì)算題（本大題共 7小題，每小題6分，共42分）120，B=231T；（2）|4A|.25.設(shè)A=340240.求（1）AB121311226.試計(jì)算行列式5134.201115334 2 327.設(shè)矩陣A=1 1 0 ，求矩陣B使其滿(mǎn)足矩陣方程 AB=A+2B.1 2 32 1 3 028.給定向量組α1=1，α2=3，α3=0，α4=1.02243419試判斷α4是否為α1，α2，α3の線(xiàn)性組合；若是，則求出組合系數(shù)。1210229.設(shè)矩陣A=24266.2102333334求：（1）秩（A）；（2）Aの列向量組の一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組022の全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.30.設(shè)矩陣A=234243試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x 1,x2,x3)=x12 2x22 3x23 4x1x2 4x1x3 4x2x3，并寫(xiě)出所用の滿(mǎn)秩線(xiàn)性變換。四、證明題32.設(shè)方陣A滿(mǎn)足A3=0，試證明E-A可逆，且（E- A）-1=E+A+A2.設(shè)η0是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=bの一個(gè)特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0の一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=bの解；（2）η0，η1，η2線(xiàn)性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14小題，每小題2分，共28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題（本大題共 10空，每空2分，共20分）15.616.

3 3 71 3 74–10η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù)n-r–5–2124. z21 z22 z23 z24三、計(jì)算題（本大題共 7小題，每小題6分，共42分）12022T403425.解（1）AB=31211061810.10（2）|4A|=43|A|=64|A|，而120|A|=3402.121所以|4A|=64·（-2）=-1283112511126.解5134111312011001015335530==

5 1 111 1 1505116 26 2 0 30 10 40.5 55 5 027.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而2231143（A-2E）-1=110153.121164143423所以B=(A-2E)-1A=1531101641233 8 6=2 9 6.2 12 92130053228.解一13011301022401123419013112所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（ 2，1，1）.解二 考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，2x1x23x30即x13x212x22x343x14x2x39.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解 對(duì)矩陣A施行初等行變換A

1210200062032820963212102121020328303283=B.000620003100021700000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A(yíng)與Bの列向量組有相同の線(xiàn)性關(guān)系，而 B是階梯形，Bの第1、2、4列是Bの列向量組の一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，故 Aの第1、2、4列是Aの列向量組の一個(gè)最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組。（Aの第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 Aの屬于特征值λ=1の2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)の特征向量為ξ1=（2，- 1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.2 5/5 2 5/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η=5/5，η=45/15.1205/3λ=-8の一個(gè)特征向量為11/3ξ3=2，經(jīng)單位化得η3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩陣為T(mén)=5/545/152/3.05/32/31 0 0對(duì)角矩陣 D=0 1 0 .0 0 825/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）5/545/152/331.解f(x 1，x2，x3)=（x1+2x2- 2x3）2- 2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12y2設(shè)y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y31 2 0因其系數(shù)矩陣C=0 1 1可逆，故此線(xiàn)性變換滿(mǎn)秩。0 0 1經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)の標(biāo)準(zhǔn)形y12-2y22- 5y32.四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32.證 由于（E- A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.證 由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η