復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

2第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日部分和級(jí)數(shù)收斂3第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定和函數(shù)

4第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、

冪級(jí)數(shù)（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形）或級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).5第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日1.冪級(jí)數(shù)的收斂集合

定理1(阿貝爾定理)6第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日所以由定理4.3因此存在一個(gè)正常數(shù)M,對(duì)于任意的非負(fù)正數(shù)n均有，證明：7第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日收斂，同時(shí)根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知，收斂，從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.8第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理1的幾何意義說明：9第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日推論推論的幾何意義10第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日11第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日12第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.收斂半徑的求法方法1:比值法:那末收斂半徑方法2:

根值法那末收斂半徑說明:如果13第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日解答課堂練習(xí)試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.14第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?注意:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.例1：求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑,并討論它們?cè)谑諗繄A周上的斂散性。15第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(并討論時(shí)的情形)解說明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，16第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算17第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時(shí),說明:此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).18第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日19第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日20第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)21第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即22第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為23第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂