經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)二元函數(shù)的極值配套課件

23十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)與思考練習(xí)18十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值第六章(23十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有18十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則23十二月20223說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故定理1(必要條件)18十二月20223說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐23十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)這個(gè)定理不加證明.時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)定理2(充分條件)18十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二23十二月2022518十二月2022523十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別.時(shí),具有極值1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.18十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別23十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)的極值其次，考察函數(shù)在三角形區(qū)域的邊界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)23十二月20228

從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜.

在通常遇到的實(shí)際問題中，根據(jù)問題的實(shí)際背景往往可以斷定函數(shù)的最大值與最小值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，這時(shí)就可以不考慮函數(shù)在區(qū)域邊界上的取值情況了.如果又求得函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么則可直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值或最小值.說明:18十二月20228從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x23十二月2022918十二月2022923十二月20221018十二月20221023十二月20221118十二月20221123十二月20221218十二月20221223十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化18十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問23十二月202214如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有方法2拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202214如方法1所述,則問題等價(jià)于一23十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗23十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件推廣18十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和23十二月202217解設(shè)所求平面的方程為18十二月202217解設(shè)所求平面的方程為23十二月202218解方程組18十二月202218解方程組23十二月20221918十二月20221923十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：18十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格23十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法18十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步23十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).3.函數(shù)的最值問題第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)18十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值23十二月202223習(xí)題6－4課外練習(xí)已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.思考練習(xí)解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則18十二月202223習(xí)題6－4課外練習(xí)已知平面上兩定點(diǎn)23十二月202224設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與

E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停18十二月202224設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對應(yīng)面23十二月202225第四節(jié)二元函數(shù)的極值

第六章(Absolutemaximumandminimumvalues)一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)與思考練習(xí)18十二月20221第四節(jié)二元函數(shù)的極值第六章(23十二月202226一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有18十二月20222一、二元函數(shù)的極值定義若函數(shù)則23十二月202227說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故定理1(必要條件)18十二月20223說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐23十二月202228時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)這個(gè)定理不加證明.時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)定理2(充分條件)18十二月20224時(shí),具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二23十二月20222918十二月2022523十二月202230提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別.時(shí),具有極值1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.18十二月20226提示:第一步求駐點(diǎn).第二步判別23十二月202231提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)的極值其次，考察函數(shù)在三角形區(qū)域的邊界上的最大值和最小值.18十二月20227提示:首先考察函數(shù)z在三角形區(qū)域D內(nèi)23十二月202232

從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜.

在通常遇到的實(shí)際問題中，根據(jù)問題的實(shí)際背景往往可以斷定函數(shù)的最大值與最小值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，這時(shí)就可以不考慮函數(shù)在區(qū)域邊界上的取值情況了.如果又求得函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么則可直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值或最小值.說明:18十二月20228從上例可以看出，計(jì)算函數(shù)f(x23十二月20223318十二月2022923十二月20223418十二月20221023十二月20223518十二月20221123十二月20223618十二月20221223十二月202237二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化18十二月202213二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法極值問23十二月202238如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有方法2拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202214如方法1所述,則問題等價(jià)于一23十二月202239引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.18十二月202215引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗23十二月202240拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件推廣18十二月202216拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和23十二月202241解設(shè)所求平面的方程為18十二月202217解設(shè)所求平面的方程為23十二月202242解方程組18十二月202218解方程組23十二月20224318十二月20221923十二月202244提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：18十二月202220提示：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造拉格23十二月202245內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法18十二月202221內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步23十二月202246設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組在條件求駐點(diǎn).3.函數(shù)的最值問題第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)18十二月202222設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值23十二月202247習(xí)題6－4