十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編新高考卷與全國(guó)專(zhuān)題12立體幾何與空間向量解答題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新高考卷與新課標(biāo)理科卷)專(zhuān)題12立體幾何與空間向量解答題...◎真題匯總....1.【2022年全國(guó)甲卷理科18】在四棱錐P-48CD中，PD_L底面48CD,CDII=DC=CB=L4B=2,DP=V3.(1)證明：BD1PA-.(2)求尸。與平面PAB所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；【解析】(1)證明：在四邊形4BC。中，作DE14B于E,CFLAB^F,因?yàn)镃D〃4B,4D=CD=CB=l.AB=2,所以四邊形48C。為等腰梯形，AE F8所以4E=BF=5故DE=—.BD=\lDE2+BE2=V3.2所以業(yè)+8。2=朋,所以4。1BD,因?yàn)镻。_L平面4BCC,BDu平面ABCD,所以PDJ.B。，乂PDnAD=D,所以8。_L平面PAD,又因P4u平面PAD,所以8DJ.P4(2)解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,AZXBD=V3?則4(1,0,0),3(0,V3,0),P(0,0,V5),則Q=(-1,0,V3),前=(0,—AV3),DP=(0,0,V3),設(shè)平面P4B的法向量濟(jì)=(x,y,z)?則有｛一,=T+岳=°,可取五n-BP=—\[3y+V3z=0則cos值前＞=贏=?,所以P。與平面PAB所成角的正弦值為2.【2022年全國(guó)乙卷理科18】如圖，四面體4BCC中，AD1CD,AD=CD.^DB=/.BDC,E為4c的中點(diǎn).D(1)證明：平面BEDI平面4CD；(2)設(shè)AB=BD=2,乙4cB=60。，點(diǎn)尸在BD上，當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求CF與平面4BD所成的角的正弦值.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)CF與平面4BC所成的角的正弦值為華【解析】(1)因?yàn)锳D=C。，E為4c的中點(diǎn)，所以4C1DE；在4/18。和4CBD中，因?yàn)锳。=CD/ADB=Z.CDB,DB=DB,所以△48。三ACBO,所以4B=CB,又因?yàn)镋為4c的中點(diǎn)，所以4C1BE；又因?yàn)镈E,BEu平面BED,DEnBE=E,所以AC1平面BED,因?yàn)锳Cu平面4CD,所以平面BE。1平面4CD.(2)連接EF,由(1)知，AC_L平面BE。，因?yàn)镋Fu平面BE。，所以4C1EF,所以S“fc="C,EF,當(dāng)EF_LB。時(shí)，EF最小，即aAFC的面積最小.因?yàn)椤髁D三ACBD,所以CB=4B=2,又因?yàn)镹4CB=60。，所以△48C是等邊三角形，因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以4E=EC=1,BE=6因?yàn)锳。1C。，所以DE=g/lC=l,在△CEB中，DE2+BE2=BD2,所以BEJ.CE.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則4(1,0,0),8(0,6,0),。(0,0,1),所以標(biāo)=(-1,0,1),南=(-1,73,0),設(shè)平面48。的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),則|/遂=一：+怖=°,取y=V5,m=(3,73,3),in-AB=—x+73y=0z v7又因?yàn)镃(-1,0,0),「(0,亨,3,所以汴=(I,弟3,/一E：\ n-27 6 4V3所以cos(n,CF)=而同=菽^=丁，設(shè)CF與平面4BD所成的角的正弦值為。(0<0<^),所以sine=|cos(n,CF)|=竽，所以"與平面ABC所成的角的正弦值為竽3.【2022年新高考1卷19］如圖，直三棱柱ABC-AiBig的體積為4,△4BC的面積為2注.B⑴求/到平面4BC的距離；(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，441=4B,平面4BC1平面ABBMi，求二面角4一BD-C的正弦值.【答案】⑴夜【解析】(1)在直三棱柱4BC-4B1C1中，設(shè)點(diǎn)力到平面418c的距離為〃，則V4-418c=]Sa4[BC,h=苧八=Vai-ABC=(Sa48C?4送=ABC-AiBjCx=J'解得h=V2>所以點(diǎn)4到平面ABC的距離為我：(2)取4出的中點(diǎn)E,連接4E,如圖，因?yàn)?4i=AB,所以AEJ.4B.又平面4BC1平面平面418CC平面4BB14=AXB,且AEu平面ABB14,所以AE1平面&BC,在直三棱柱48C-4B1C1中，8811■平面4BC,由BCu平面&BC,BCu平面ABC可得AE1BC,BBX1BC,又AE,BBiu平面48B1&且相交，所以8C_L平面488送1,所以兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,由(1)得AE=&，所以44i=4B=2,AXB=2V2.所以BC=2,則4(0,2,0),%(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以41c的中點(diǎn)。(1,1,1),則前=(1,1,1).BA=(0,2,0),FC=(2,0,0),設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量記=(x,y,z),則產(chǎn)廿二"+y+z=0,m-BA=2y=0可取記=(1,0,-1),設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量元=(a,b,c),則｛記, +b+c=0,m-BC=2a=0可取元=(0,1,—1)?則85(叫磔=而而=析=5，所以二面角A-BD-C的正弦值為Jl-(1)2=爭(zhēng)4.【2022年新高考2卷20］如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中點(diǎn).p(1)證明：OE〃平面24C：(2)若乙4B0=/CBO=30。，P0=3,PA=5,求二面角C-AE—B的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】(1)證明：連接BO并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)。，連接04、PD,因?yàn)镻0是三棱錐P-4BC的高，所以POJ■平面ABC,40,80u平面ABC,所以P0_L4。、P01B0,又P4=P8,所以△POAMAPOB,即OA=OB,所以/O4B=nOB4又481AC,即MAC=90。，所以NOAB+NOA。=90。，/.OBA+/.ODA=90°,所以NODA=LOAD所以40=DO,即4。=DO=OB,所以。為BC的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以。E〃PD,又OEU平面PAC,PDu平面P4C,所以O(shè)E〃平面PAC(2)解：過(guò)點(diǎn)A作4z〃0P,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)镻O=3,AP=5,所以O(shè)A=，Ap2-po2=4,y八又=NOBC=30。，所以8。=204=8,則4。=4,AB=4瓜所以4c=12,所以0(2心2,0),B(4V3,0,0),P(2V3,2,3),C(0,12,0),所以￡(3百,1身，則荏=AB=(473,0,0),m=(0,12,0),設(shè)平面AEB的法向量為if=(x,y,z),則""^3V3x+y+-z°,令％=2,則y=-3,x=0,所以五=(n-AB=4>/3x=0(0,-3,2)；設(shè)平面AEC的法向量為沅=(a,瓦c),貝“沆.4E=^a+"+Tc=°,令&=百，則c=-6,b=0,所以Im-AC=12b=0m=(V3,0,-6)；所以cos(ntm)==——、，/向利^J3xV39 13設(shè)二面角C-AE-8為仇由圖可知二面角C-AE-8為鈍二面角，所以cos0,所以sin。=Vl-cos2013 13故二面角C一AE-8的正弦值為日；5.12021年全國(guó)甲卷理科19】已知直三棱柱43。一418傳1中，側(cè)面4413/為正方形，AB=BC=2,E,產(chǎn)分別為4c和CCi的中點(diǎn)，。為棱41占上的點(diǎn).BF141B1

(1)證明：BFLDE-,(2)當(dāng)々D為何值時(shí)，面B/CiC與面DFE所成的二面角的正弦值最?。俊敬鸢浮?1)見(jiàn)解析；(2)因?yàn)槿庵?BC-41B1C1是直三棱柱，所以881_L底面4BC,所以BB114B因?yàn)?18/AB,BFlAiBi，所以又= 所以4BJ■平面BCCiB「所以兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.Vk所以B(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),8式0,0,2),4式2,0,2),口(0,2,2),E(l,1,0),尸(0,2,1).由題設(shè)。(a,0,2)(0<a<2).(1)因?yàn)锽F=(0,2,1),DE=(1—a,1,-2),所以BFDF=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0.所以BF1DE.(2)設(shè)平面OFE的法向量為沆=(x,y,z),因?yàn)镋F=(-1,1,1),DF=(1-a,l,-2)咐、“mEF=O即,-x+y+z=0所以{mOE=。'BP{(l-a)x+y-2z=0-令z=2—a,則m=(3,1+a,2—a)因?yàn)槠矫鍮CG%的法向量為瓦J=(2,0,0)，設(shè)平面BCC/i與平面OEF的二面角的平面角為。，則如四=黯=前』=而占方當(dāng)a=軻，2q2-2a4-4取最小值為學(xué)3V6此時(shí)cos。取最大值為量=T.所以(SinO)min=J1-(孚)2=亭此時(shí)/D6.【2021年新高考1卷20］如圖，在三棱錐4—BCD中，平面4BD_L平面BCD,AB=AD,。為BD的中點(diǎn).(1)證明：OA1CD.(2)若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱40上，DE=2EA,且二面角E—BC-D的大小為45。,求三棱錐A—BCD的體積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)在6(1)因?yàn)锳B=AD,0為BD中點(diǎn)，所以AOJ_BD因?yàn)槠矫鍭BDCI平面BCD=BD,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,因此AO_L平面BCD,因?yàn)镃OU平面BCD,所以AOJ_CD⑵作EFJ_BD于F,作FMJ_BC于M,連FM因?yàn)锳O_L平面BCD,所以AO_LBD,AO1CD所以EF±BD,EF1CD.BDdCD=D,因此EF_L平面BCD,即EF1BC因?yàn)镕M_LBC,FMClEF=F，所以BCJ■平面EFM,HPBC1MF則4EMF為二面角E-BC-D的平面角，/EM尸=彳因?yàn)?。=OO.AOCD為正三角形，所以△OCD為直角三角形因?yàn)锽E=ZED,：FM=-BF=-(1+-)=-從而EF=FM=：AO=1?：AO_L平面BCD,所以，=^AO-Sabcd=；xlx；xlxV3=與J J L O7.【2021年全國(guó)乙卷理科18］如圖，四棱錐P-4BCD的底面是矩形，PC_L底面4BCD,PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且PB14M.(1)求BC；(2)求二面角4一PM-B的正弦值.

【答案】(I)V2;(2)叵14(1)PO1平面4BC0,四邊形4BCD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC.DP所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,[P設(shè)BC=2q,則0(0,0,0)、P(0,0,1),B(2a,1,0),M(a,1,0).A(2a,0,0).則同=(2a,l,-1)，AM=(-a,l,0).???PB1AM,則麗?詢=-2a?+1=o，解得a=弓，故BC=2a=低；(2)設(shè)平面P4M的法向量為記=(xqlzD，則加=(一手1,0),AP=(-V2,0,l)，^2.-AM= 無(wú)1+Vl=0⑶ r--rzn>r—由｛ 2 ,取無(wú)i=/，可得m=(魚(yú),1,2),m-AP=-叵X]+Zi=0設(shè)平面PBM的法向量為證=(M，y2，Z2)，BM=(-y,0,0),BP=(-V2,-1,1).瓜由｛n=-yx2=0 ，取力=1,可得完=(o,i,l),nBP=-\/2xz-y2+z2=0TOC\o"1-5"\h\z一一?I—mn3 3V14cos<tn.n>= =-7=—z== ,' |m||n| V7x>/2 14所以，sin<m,n>=J1—cos2<m,n>=叱14因此，二面角4-PM-B的正弦值為迪.8.[2021年新高考2卷19】在四棱錐Q-4BCD中，底面4BC。是正方形，若40=2,QD=QA=y[5,QC=3.

（1）證明：平面Q4D1平面4BCD；（2）求二面角B-Q。-4的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（2）*（1）取4D的中點(diǎn)為0,連接Q0,C0.因?yàn)镼4=QD,0A=0D.則Q01AD,而4D=2,QA=V5.故Q。=<5-1=2.在正方形ABCD中，因?yàn)?。=2,故。0=1,故C0=Z，因?yàn)镼C=3,^QC2=QO2+OC2,故△Q0C為直角三角形且Q。_L0C,因?yàn)閛cean=0,故qoi平面ABC。，因?yàn)镼Ou平面”。，故平面Q4D，平面4BCD.（2）在平面4BCD內(nèi)，過(guò)0作OT//CD,交BC于T,則。T14D,結(jié)合（1）中的QOL平面48CD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

B則D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),故的=(-2,1,2),FD=(-2,2,0).設(shè)平面QBD的法向量記=(x,y,z),則U黑二即取xr則”Lz.故證=(1,1彳).而平面Q4。的法向量為沅=(1,0,0),故cos(記屈＞=$=*2二面角B-QD-4的平面角為銳角，故其余弦值為g.9.【2020年全國(guó)1卷理科18］如圖，。為圓錐的頂點(diǎn),0是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,4￡=4。248(7是底面的內(nèi)接正三角形，P為00上一點(diǎn)，P0嶗DO.(1)證明：PA_L平面PBC；(2)求二面角B—PC-E的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）箜.【解析】（1）由題設(shè)，知AZME為等邊三角形，設(shè)AE=1,TOC\o"1-5"\h\z則口0=更，CO=BO=：4E=3所以PO=揖DO=立，2 2 2 6 4\o"CurrentDocument"PC=y/PO2+OC2=—,PB=VPO2+OB2=—,4 4又AABC為等邊三角形，則岑=204,所以B4=3,sin60 2PA2+PB2=-=AB2,則ZJ1P8=9O。，所以PA1PB.4同理PA1.PC,又PCPlPB=P,所以P4JL平面PBC；（2）過(guò)O作0N〃8c交43于點(diǎn)N,因?yàn)镻O_L平面ABC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O/為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（一；,0,0）,P（0,0,巧,8（一0）,C（一；,一￡0）,設(shè)平面PCB的一個(gè)法向量為元=Gq,yi，Zi）,由｛"器=3得卜”二￡%-竺=°，令”伍得ZL1JL。，InPB=0 [-5+何[-V^zi=0所以M=（四,0,-1）,設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為=（x2,y2，z2）由UH,得卜必一何'岳2=0,令1,得Z2?牖力=亭tmPE=0 （ -2x2-V2z2=0 3所以市=（1年,一偽

故cos故cos<m,n>=n-rfi設(shè)二面角B-PC-E的大小為。，則cos。=詈.10.【2020年全國(guó)2卷理科20]如圖，已知三棱柱ZBC-小81G的底面是正三角形，側(cè)面881GC是矩形,M,N分別為8C,81G的中點(diǎn)，尸為AM上一點(diǎn)，過(guò)81cl和尸的平面交力8于E,交4c于F.C1（1）證明：AA\//MN,且平面/“A/NLESG/7；（2）設(shè)。為△48iG的中心，若40〃平面E81GR且/O=48,求直線8行與平面44WN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）端【解析】（1）tM,N分別為BC, 的中點(diǎn)，??MNHBBi，乂AA\"BB\MNHAA、,在△ABC中，M為BC中點(diǎn)，則BC14M又?.?側(cè)面BBigC為矩形，BC1BBX,vMNHBB],MN1BC,由MNCAM=M,MMAMu平面44MNaBC1平面44MN又???B4//BC,且Big仁平面ABC,BCu平面ABC,??B￡〃平面4BC又r u平面EBiCiF,且平面EB]CiFr(平面48c=EF:,BXCJ/EF??EFUBC,又丫BCJ_平面/MNEF1平面4"MNvEFu平面EBiC/二平面EBiC/1平面4/lMN(2)連接NP??40〃平面EBigF,平面40NPnTSlfBiQF=NP：.AOIINP,根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面41NM4。平面ABC=AM,面A[NM4C平面4擔(dān)16=①NAONHAP,故：四邊形0NP4是平行四邊形設(shè)44BC邊長(zhǎng)是61n(m>0)可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m??O為△&B1G的中心，且4&B1C1邊長(zhǎng)為67naON=gx6xsin60°=V3m,故：0N=4P=bm???EF//BC,AP_EP"am~贏’.6_EP"3VS-T,解得：EP=m在B1G假取B1Q=EP=m,故QN=2mvBiQ=EPRBQEP???四邊形BiQPE是平行四邊形，???B國(guó)/PQ,由(1)BiCi1平面A4MN故NQPN為BiE與平面A4MN所成角在Rt4QPN,根據(jù)勾股定理可得：PQ=，QP2+PN?=J(2m)2+(6m)2=./CQN2m710???sxn^QPN=蕓=t-7=—=,yPQ2v40m 10直線/E與平面44MN所成角的正弦值：嚕.11.[2020年全國(guó)3卷理科19]如圖，在長(zhǎng)方體4BCD- 中，點(diǎn)E,F分別在棱D%, 上,且2DE=ED1,BF=2FBX.4/4(1)證明：點(diǎn)G在平面4EF內(nèi)；(2)若4B=2,AD=1,4Ai=3,求二面角4一EF-&的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)手.【解析】(1)在棱eg上取點(diǎn)G,使得gG=gCG,連接DG、FG、gE、CtF,在長(zhǎng)方體4BCD—AiBigDi中，4D〃BC且40=BC,BB/CC1且BBi=CQ,???CiG=^CG,BF=2FBi，*CG=：CCi= =BFFLCG=BF,所以，四邊形BCGF為平行四邊形，^\AFHDG[\.AF=DG,同理可證四邊形DECiG為平行四邊形，:GE//OG且gE=DG,???gE〃A/且C[E=AF,則四邊形4EC/為平行四邊形，因此，點(diǎn)Ci在平面4EF內(nèi)：(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，gOi、Ci/、CiC所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系g—xyz,則4(2,1,3)、①(2,1,0)、￡(2,0,2),產(chǎn)(0,1,1),3E=(0,-l,-l),4F=(-2,0,-2),取=(0,-1,2),取=(-2,0,1),設(shè)平面4EF的法向量為市=(M，yi，Zi),由粗空=>得匚｝工廠_°0取為=-1，得必=%=1，則抗kmAF=0I -u設(shè)平面AEF的法向量為近=(0,及，々)，由EfU，得廠之二2；2：〉取Z2=2,得必=1，'2=4,則冗=(1,4,2),(n-ArF=0(一4無(wú)2十Z2-u

,一一、ffin3V7cos<m,n>="―――=-y=—；==—,|m|-|H|V3xV2i7設(shè)二面角4-E產(chǎn)一4的平面角為0,則|cosO|=1,sinfl=V1-cos20=因此，二面角4-Er一A的正弦值為苧.12.【2020年山東卷20］如圖，四棱錐P-48C。的底面為正方形，P￡)_L底面/8CZ).設(shè)平面以。與平面P8C的交線為/.(1)證明：/_L平面尸DC；(2)已知PZA/O=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面0co所成角的正弦值的最大值.【答案】⑴證明見(jiàn)解析；(2)當(dāng)【解析】(1)證明：在正方形4BCD中，AD//BC,因?yàn)?。(￡平面。8。，BCu平面PBC,所以平面PBC,乂因?yàn)?。u平面PAO,平面P4OC平面PBC=I,所以4D//1,因?yàn)樵谒睦忮FP-4BCD中，底面4BCD是正方形，所以4D_L1CC,且P。平面4BCO,所以401P0???11PD,因?yàn)镃DCtPD=D所以IJ_平面PQC；(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,因?yàn)镻D=AD=1,則有D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),B(1,1,O),設(shè)Q(m,0,1),則有覺(jué)=(0,1,0),DQ=(m,0,1),西=(1,1,一1),設(shè)平面QCD的法向量為冗=(x,y,z),DCn=0即］y=0DQ-n=0'Imx+z=0令x=l,則z=-m,所以平面QCD的一個(gè)法向量為n=(1,0,-m),則_一, nPB 1+0+mcos<n,PB>=—,.=—, \n\\PB\V3-Vm2+1根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>\= =T-J1+Xim2=T-J1+烹T-T,J1+瑞~y-V1T1=y,當(dāng)且僅當(dāng)m=l時(shí)取等號(hào)，所以直線P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值為當(dāng)13.[2020年海南卷20]如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PO_L底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為/.(I)證明：/!.平面PDC；(2)已知尸￡>=40=1,。為/上的點(diǎn)，求尸8與平面0co所成角的正弦值的最大值.【答案】⑴證明見(jiàn)解析：(2)y.【解析】(I)證明：在正方形ABCD中，AD//BC,因?yàn)槠矫鍼BC,BCu平面PBC,所以AD〃平面PBC,又因?yàn)?。u平面P4D,平面P4DCI平面PBC=I,所以4D//1,因?yàn)樵谒睦忮FP-48C0中，底面48CD是正方形，所以4。1DC,JLDC,且PD1平面4BCD,所以401PD,l_LPD,因?yàn)镃DCPC=D所以11平面PDC；(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,因?yàn)镻D=4D=1,則有。(0,0,0),C(0,l,0),4(l,0,0),P(0,0,1),B(l,1,0),設(shè)Q(m,0,1),則有配=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=設(shè)平面QCD的法向量為T(mén)t=(x,y,z),

DCn=0即［y=0DQn=0'tmx+z=0'令x=l,則2=-帆，所以平面QCD的一個(gè)法向量為元=(1,0,-m).則cos<則cos<n,PB>=nPB

\n\\PB\1+0+my/3-\/m2+l根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于|3＜幾兩＞|=興禹=澤若?斤粵W= 當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為當(dāng)14.【2019年新課標(biāo)3理科19】圖1是由矩形/?！?、RtZL48C和菱形8/GC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=\,BE=BF=2,NFBC=60；將其沿48,8c折起使得BE與8F重合，連結(jié)OG,如圖2.圖1 圖2(1)證明：圖2中的4C,G,力四點(diǎn)共面，且平面/8C_L平面8CGE；(2)求圖2中的二面角8-CG-4的大小.【答案】證明：(1)由已知得CG//BE,：.AD//CG,：.AD,CG確定一個(gè)平面，：.A,C,G,。四點(diǎn)共面，由已知得AB1.BC,：.ABk^BCGE,*8u平面ABC,二平面/1BC_L平面BCGE.解：(2)作EHLBC,垂足為“，；EHu平面BCGE,平面8CGE_L平面ABC,平面48C,由已知，菱形8CGE的邊長(zhǎng)為2,NEBC=60：EH=?以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系〃-型,

則/(-1,1,0),C(I,0,0),G(2,0,V3),—? —>CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0),設(shè)平面ZCGO的法向量蔡=(x,v,z),JcG.n=x+V3z=0>取尸3,得心⑶6,—同(AC?n=2x—y=0又平面8CGE的法向量為藐=(0,I,0),TT i—? 1―-?n-m v3..cos<n, —=-y,二面角8-CG-4的大小為30°.【答案】證明：【答案】證明：(I)15.【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科17］如圖，長(zhǎng)方體488-418cgi的底面48co是正方形，點(diǎn)E在棱4小上，BE±ECi.(1)證明：8EJ■平面EB\C\；(2)若求二面角8-EC-Ci的正弦值.長(zhǎng)方體4BCD-小BCifh中，8iCiJ_平面皿1曲,：.B\C\LBE,'：BEVEC\,.?.8E_L平面EB\C\.

解：(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4E-1, 從L平面：.BELEB\,：.AB=\,則E(1,1,1),A(1,1,0),5i(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),,：BCX.EB\, 面ESC,. T T故取平面E8C的法向量為m=E8i=(-1,0,1),設(shè)平面￡CCi的法向量％=(x,y,z),由匕作1=°,得｛二;+z=o,取x=l，得a(1，7,。)，vn?CE=0—?—?—tTTl,Tlcos<m，n>=—―=—y,V3，二面角8-EC-。的正弦值為彳.ZBAD16.【2019年新課標(biāo)1理科18］如圖，直四棱柱Z8CC-小81cl5的底面是菱形，44i=4,AB=1,ZBAD=60°,E,M,N分別是8C,BB\,4。的中點(diǎn).(1)證明：MV〃平面CiOE；(2)求二面角Z-M41-N的正弦值.

【答案】(I)證明：如圖，過(guò)N作NHUD,則M7〃44”n.NH=^AAi,又MB〃AA\,MB=^AAX,；.四邊形為平行四邊形，則MW〃8〃，由M/〃44i，N為4D中點(diǎn),得H為AD中點(diǎn),而￡為8(7中點(diǎn)，J.BE//DH,BE=DH,則四邊形5E。4為平行四邊形，則J.NM//DE,平面CiDE,OEu平面C\DE,，A/N〃平面CiDE；(2)解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于OC得直線為x軸，以。C所在直線為y軸，以。。所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 2),M(V3,1,2),A\(V3,-1,4),2 4*=(空，0),N%=(亨，-1.2),設(shè)平面/iMN的?個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),-?T[a3取x=V5,得m=（取x=V5,得m=（百，—1,—1）,m-N&=停x— +2z=0又平面A74小的一個(gè)法向量為九=(1,0,0),..cos<m,￡>=居=4=塔.|m|-|n|V5$工二面角4?A/小?N的正弦值

17.【2018年新課標(biāo)17.【2018年新課標(biāo)1理科18］如圖，四邊形力88為正方形，E,F分別為40,8c的中點(diǎn),痕把△。/C折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PFLBF.(1)證明：平面PE凡1平面48FZ)；(2)求OP與平面48皿所成角的正弦值.以。尸為折【答案】(1)證明：由題意，點(diǎn)E、F分別是8c的中點(diǎn),1 1則=BF=訶,由于四邊形/8CZ)為正方形，所以EFLBC.由于PF1BF,EFDPF=F,則8尸_L平面PEF.又因?yàn)橛闷咂矫?8O,所以：平面平面48尸￡>.(2)在平面PEF中，過(guò)P作PHVEF于點(diǎn)，，連接DH,由于E尸為面ABCD和面PEF的交線，PHLEF,則「〃，面/夕產(chǎn)O,故PHLDH.在三棱錐尸-￡>即中，可以利用等體積法求產(chǎn)”，因?yàn)镈E//BFS.PFLBF,乂因?yàn)椤?>。尸烏△CDF,所以NFP￡>=NFCC=90°,所以尸凡LPD,由于DEOPD=D,則尸尸_L平面PDE,故Vfpde=gPF'S"DE，因?yàn)锽F//DA且面PEF,所以J■面PER所以DEYEP.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,則PZ)=2。，DE=a在△「￡)￡中，PE=V3a,所以SaPDE=苧a?，故Vf.pde=第涼，又因?yàn)镾adeF=2。,2q=q2,所以尸〃=3七/￡=4小aL/所以在△PH。中，sinNP￡>"=/=?，V3即NP0H為。P與平面力"。所成角的正弦值為：—.418.【2018年新課標(biāo)2理科20］如圖，在三棱錐尸-N8C中，AB=BC=2y/2,PA=PB=PC=AC=4,。為ZC的中點(diǎn).(1)證明：尸。_L平面ZBC；(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角M-A4-C為30°,求尸C與平面以M所成角的正弦值.【答案】(1)證明：連接80,,:AB=BC=2>J1.,O是4C的中點(diǎn)，：.BOLAC,且8。=2,又PA=PC=PB=AC=4,J.POLAC,尸0=2百，貝ljPB2^PO2+BOi,則POLOB,'：OB^AC=O,.,.尸0_1_平面43(7：(2)建立以。坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:A(0,-2,0),P(0,0,2V3),C(0,2,0),B(2,0,0),BC=(-2,2,0),T ->iSLBM=XBC=(-2入，2入，0),0<入<1則京=俞一易=(-2入，2人，0)-(-2,-2,0)=(2-2入，2入+2,0),則平面21c的法向量為茄=(1,0,0),設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),則易=(0,-2,-2V3),貝i」n?P4=-2y-2bz=0,n^AM=(2-2A) (2A+2)y=0令z=l,貝x=")尸,口-z(A+l)V3廠、即^^=(~~~，—V3,1)?

?.?二面角以-C為30°,a+i)V5即，——?a+i)V5即，——?mn；.cos30°=|-=r^r|m||n|解得人=3或入=3(舍),則平面A/口的法向量n=(2V3,-V3,1),PC=(0,2,-2V3), _ ->- -2V3-2V34店J5PC與平面以M所成角的正弦值sin8=|cosVPC,n>|=|■^鬲鬲~|=帑=19.【2018年新課標(biāo)3理科19］如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形488所在的平面與半圓弧前所在平面垂直，M是加上異于C,。的點(diǎn).(1)證明：平面平面8A/C；(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面”>18與面所成二面角的正弦值.【答案】解：(1)證明：在半圓中，DMLMC,?.?正方形Z8C。所在的平面與半圓弧而所在平面垂直,???4Q_L平面QCM,則ZQ_LA/C,

"：ADr\DM=D,平面ADM,平面MBC,，平面平面BMC.(2)?.?△48C的面積為定值，，要使三棱錐M-48c體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)用為圓弧的中點(diǎn)，建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖?.?正方形N8CO的邊長(zhǎng)為2,：.A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),則平面的法向量/=(1,0,0),設(shè)平面M48的法向量為￡=(x,y,z)則n=(0,2,0),AM=(-2,1,1),TT tT由n?4B=2y=0,n9AM=-2x+jH-z=0,令x=l,則y=0,z=2,即ti=(1,0,2),T則cosOn,—?n>=T則cosOn,—?n>=則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sina=2店20.【2017年新課標(biāo)1理科18］如圖，在四棱錐尸-/8C。中，AB//CD,且N8ZP=NC。尸=90。.(1)證明：平面以8,平面R1Q；(2)若P4=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角Z-P8-C的余弦值.

【答案】(1)證明：:NBAP=NCDP=90°,C.PAVAB,PD1.CD,'：AB//CD,：.AB±PD,又?.'%。尸。=尸，且孫u平面9W,PDu平面目W,二力8_1_平面PAD,又48u平面PAB,平面￡48，平面PAD；(2)解：'：AB//CD,AB=CD,，四邊形488為平行四邊形，由(1)知平面刈￡>,J.ABLAD,則四邊形/8CC為矩形，在△/PO中，由/M=PO,NZP￡)=90°,可得△以。為等腰直角三角形，設(shè)以=月8=2。，則｛0=2夜a.取4。中點(diǎn)O,BC中點(diǎn)、E,連接PO、OE,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以04、OE、O尸所在直線為小小z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則：D(-V2a,0,0).B(V2a,2a,0),P(0,0,V2a),C(-V2a,2a,0).PD=(-V2a,0,-V2a),PB=(V2a,2a,-V2a),BC=(-2夜a,0,0).設(shè)平面尸8c的一個(gè)法向量為1=(x,y,z),由付四=0,得產(chǎn)*+2ay-&az=0,取產(chǎn)］,得￡=（（）,1，的.tn.BC=0l-2V2ax=0?.78_L平面刃O,ZDu平面A4O,J.ABVPD,又PDJ-P4,PAQAB=A,平面R18,則訪為平面以8的一個(gè)法向量，P￡>=（-yj2a,0,-V2a）.—2a_—2a_x/32ax6--T- -PDn：.cos<PD,n>=\PD\\n\由圖可知，二面角/f-PS-C為鈍角,二面角/--C的余弦值為一字.X21.【2017年新課標(biāo)2理科19］如圖，四棱錐中，側(cè)面以。為等邊三角形且垂直于底面48CQ,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE〃平面以8；(2)點(diǎn)M在棱尸C上，且直線8M與底面/8CO所成角為45°,求二面角A/-Z8-￡＞的余弦值.【答案】(1)證明：取R1的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)椤晔恰浮５闹悬c(diǎn)，所以￡尸||%￡),AB=BC=^AD,NBAD=NABC=90。,：.BC//^AD,BCE尸是平行四邊形，可得CE〃BF,8尸u平面以5,CEC平面印8,直線CE〃平面PAB；(2)解：四棱錐P-48CO中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=%。，ZBAD=ZABC=90°,E是尸。的中點(diǎn).取的中點(diǎn)O,A/在底面48。上的射影N在。C上，設(shè)力。=2,則Z8=8C=1,OP=V3,：.ZPCO=60a,直線BA/與底面/BCC所成角為45°,可得：BN=MN,CV=*MMBC=\,可得：l+gBN2=BN2,BN=A/N=坐，作NQLAB于Q,連接MQ,AB人MN,

所以NM0N就是二面角M-48-。的平面角，Ji?+(孚)2二面角M-AB-D的余弦值為：壺=祟222.【2017年新課標(biāo)3理科19］如圖，四面體/8C￡＞中，△/8C是正三角形，△4CO是直角三角形，NABD=NCBD,AB=BD.(1)證明：平面AC。J_平面48C；(2)過(guò)4C的平面交8。于點(diǎn)E,若平面/EC把四面體力88分成體積相等的兩部分，求二面角O-/E-C的余弦值.【答案】(I)證明：如圖所示，取4c的中點(diǎn)O,連接80,OD.；△ABC是等邊三角形，.".OS1AC.4ABD與ACBD中,AB=BD=BC,NABD=/CBD,:.&ABDm4CBD,:.AD=CD.是宜角三角形，

是斜邊，：.ZADC=90a.：.DO=，DO1+BO2=AB2=BD2.：.ZBOD=90°.J.OBLOD.又￡>OCI4c=O,，O8J_平面4co.又O8u平面ABC,二平面/CDJ_平面ABC.(2)解：設(shè)點(diǎn)。，B到平面/CE的距離分別為如hE.則/'=靛.?.?平面/EC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，.AACE.hDh[)DE^Saace?hE如BE.?.點(diǎn)E是8。的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取月8=2.則O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,V3,0),E(0,坐，J).AD=(-1,0,1),AE=(-1,亨，AC=(-2,0,0).ft7k_n (~x+Z=0設(shè)平面/OE的法向量為茄=(x,y,z),則加"二。，即,V3,1八，取益=(3,VL3).tm-4E=0H+彳丫+產(chǎn)=0同理可得：平面ZCE的法向量為7=(0,1,-V3).23.【2016年新課標(biāo)1理科18]如圖，在以HB,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面月BE尸為正方形,AF=2FD,ZAFD^90°,且二面角￡>-4F-E與二面角C-BE-尸都是60°./.cos<m，n>=m-n/.cos<m，n>=m-n-2/34i=~~-|rn||n|&Ix2(1)證明平面平面EFDC；(H)求二面角6-8C-4的余弦值.【答案】(I)證明：為正方形，VZAFD=90°,：.AFA.DF,'：DFC\EF=F,；.NF_L平面EFDC,?；/尸u平面ABEF,：.平面 平面EFDC；(H)解：由AF±DF,AF±EF,可得NDFE為二面角D-AF-E的平面角；由為正方形，NEL平面EFDC,'：BELEF,平面EFDC即有CELBE,可得/CEF為二面角C- 的平面角.'CAB//EF,48c平面EFDC,EFu平面EFDC,二/8〃平面EF￡>C,;平面EFDCC平面ABCD=CD,48u平面ABCD,J.AB//CD,：.CD//EF,二四邊形EEDC為等腰梯形.以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a,, ax/3貝i]E(0,0,0),B(0,2a,0),C(-,0,—a),A(2a,2a,0),

t ->aV3-EB=(0,2a0),BC= ,-2at—?),AB=(-2a,0,0)2 2設(shè)平面8EC的法向量為益=（xi，"z）則［,?=°1m?BC=0(2ay1=0則|q J3，取巾=(V3,0,-1).(2xi- +號(hào)az1=0設(shè)平面/8C的法向量為7=（X2,”，Z2）,貝11n,呼=°ln-AB=0則R*2-2ay2+Vaz2=°,取蔡=(0,6，4).(2q%2=0設(shè)二面角E-8C-Z設(shè)二面角E-8C-Z的大小為。，則cos0=T—>

m-n

|m|-|n|-4 _2V1973+1-73+1^ 19'則二面角E-BC-A則二面角E-BC-A的余弦值為一耳￡.24.【2016年新課標(biāo)2理科19］如圖，菱形/8C。的對(duì)角線/C與8。交于點(diǎn)。，48=5,ZC=6,點(diǎn)E,F分別在4。，CD上,AE=CF=^,EF交于BD于點(diǎn)H,將△OM沿所折到△/）'a'的位置，OD'=V10.（I）證明：D'4_L平面48C。：（II）求二面角B-D'A-C的正弦值.D'【答案】（I）證明：?.18co是菱形,:.AD=DC,又4E=CF=%,

DEDFi—=—,貝IE尸〃4C,EAFC又由48co是菱形，得ZC_L3O,則:?EFLDH,則防_L。'H,,?ZC=6,.\AO=3f又”=5,AO^OB,：?OB=4,：.OH=^OD=1,則 H=3,：.\OD'|2=|O/7|2+|D,//|2,則。'HLOH,又OHCEF=H,：.D'4_L平面488；(II)解：以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，"：AB=5,/C=6,T4c=(0,6,0),：.B(5,0,0),C(1,3,0),D'T4c=(0,6,0),4B=(4,3,0),AD'=(-1,3,3),設(shè)平面力80'設(shè)平面力80'的一個(gè)法向量為%=(x,y，Z),少望=0,得少望=0,得%?AD'=O4x+3y=0—x+3y+3z=O'取x=3,得y=-4,z=5.ni=(ni=(3,—4,5).同理可求得平面Z。'C的一個(gè)法向量3=(3,0,1),設(shè)二面角二面角8-O'4-C的平面角為。,則|cosB|則|cosB|二扃￡|_|3x3+5xl|_7>[5而I扃I 5/2x/10 25二面角B-D'A-C的正弦值為sin0=今等.25.【2016年新課標(biāo)3理科19］如圖，四棱錐尸-N8C。中，以J_底面488,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,A/為線段力。上一點(diǎn)，AM=2MD,N為尸C的中點(diǎn).(1)證明：MV〃平面/M8：(2)求直線/N與平面PMN所成角的正弦值.【答案】(1)證明：法為尸C的中點(diǎn)，J.NG//BC,且NG=：BC,XAM^^AD=2,5C=4,S.AD//BC,：.AM//BC,且/M=；8C,則NG〃/M,且NG=ZM,，四邊形AMNG為平行四邊形，則NM//AG,：?!Gu平面PAB, 平面PAB,.?.MV〃平面PABx法在△HC中，過(guò)N作NE_L/C,垂足為E,連接ME,, . . , , 424.Q2—q29在△43C中，由已知/8=/C=3,BC=4,得cosN/CB=己—；=('：AD//BC,：.cosZEAM=I，則sinZEAM=卓,在中，■:AM= =2,AE=由余弦定理得：EM=ylAE2+AM2-2AE-AM-cos^EAM=/1+4-2x|x2x|=1,74 ZJz（7）24-（7）2-4 1/.cosZAEM=- —=□，2x|x1 9___, 32+32.421而在△ZBC中，cos/A4C=晨二=卷ZXjXoV：.cosZAEM=cosZBAC,即NAEM=N8ZC,:.AB〃EM,則EM〃平面P48.由刃J_底面48CO,得刃_L/C,XNELAC,J.NE//PA,則NE〃平面以￡■:NECEM=E,二平面NEM〃平面以8,則MN〃平面四8；⑵解：在中，由AM=2,AC=3,cosZjWJC=|,得。序=4。2+.2.2AC-AM'cosZMAC=9+422x3x2x^=5.：.AM2+MC2^AC2,則AMLMC,?.?玄，底面Z8CC,以u(píng)平面AW,平面平面處。，且平面/8C￡>n平面以0=40,，CA/_L平面以。，則平面尸MW_L平面總D在平面口。內(nèi)，過(guò)4作彳尸，尸M,交PM于F,連接NF,則N4N尸為直線4N與平面PMN所成角.在RtZ\HC中，由N是尸C的中點(diǎn)，得AN=,PC=襯P42+pc2=當(dāng)在RtAZMA/中，由PA'AM=PM'AF,得AF=止鬻"=-7===隼，rM'42+22 5../'庇AF等8行■■sm^ANF=AN=—=^5-2o-/F二直線AN與平面PMN所成角的正弦值為ft.26.【2015年新課標(biāo)1理科18］如圖，四邊形48co為菱形，乙48c=120°,E,尸是平面48co同一側(cè)的兩點(diǎn)，8E1.平面48CD,QF_L平面NBCC,BE=2DF,AEA.EC.(I)證明：平面/ECJ■平面47cA(II)求直線A(II)求直線/E與直線CF所成角的余弦值.E【答案】解：(I)連接5。，設(shè)8QC4C=G,連接EG、EF、FG,在菱形力88中，不妨設(shè)BG=\,由/4BC=120°,可得ZG=GC=V3,8E_L平面/8C￡>,AB=BC=2,可知/4E=EC,又AELEC,所以￡G=V5,且EG1.4C,L 萬(wàn)在直角△EBG中，可得BE=a,故。尸=竽，在直角三角形FOG中，可得尸G=當(dāng)，在直角梯形8OFE中，由8。=2,BE=V2,FD=導(dǎo),可得￡/=+(夜一乎尸=挈，從而EG2+FG2=EF2,則EGX.FG,

—, EBFD「也(或由tanNEG8?tanN尸6。=券?防=y2?=1,可得NEG8+NFG￡>=90°,則EG_LFG)ACOFG=G,可得EGJ■平面//C,由EGu平面AEC,所以平面/EC_L平面AFC；(11)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G8,GC為x軸，y軸，|G8|為單位長(zhǎng)度,建立空間直角坐標(biāo)系G-孫z,由(1)可得/(0,-V3,0),E(1,0,V2),0,y),C(0,V3,0),L憶

瓜T)f故cosVZE,CF>=AECFL憶

瓜T)f故cosVZE,CF>=AECF-1-3+18c=10,44=8,點(diǎn)E,F\AE\-\CF\V6xJ1分別在小81,01cl上，A\E=DiF=4,過(guò)點(diǎn)￡,尸的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);(2)求直線力尸與平面a所成角的正弦值.DiFC;3：DiFC;3：【答案】解：(1)交線圍成的正方形EFG”如圖:(2)作垂足為則:EH=EF=BC=IQ, =8：.MH=>JEH2-EM2=6,?=10；以邊D4,DC,所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，貝人A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8)；.,.FF=(-10,0,0),E7/=(0,6,-8)；設(shè)％=(x,y,z)為平面EFG”的法向量，則：n-EF=-10x=0，取z=3,則3=(0,4,3)；n?EH=6y-8z=0若設(shè)直線力尸和平面EFG”所成的角為。，則：sin0=|cos<AF.n>\=(-12--=1 1/180-5 15，4V5直線4尸與平面a所成角的正弦值為28.【2014年新課標(biāo)1理科19］如圖，三棱柱Z8C-481。中，側(cè)面881cle為菱形，ABYB\C.(I)證明：AC=AB\i(H)^ACLAB\,NC88i=60°,AB=BC,求二面角Z-小歷-。的余弦值.【答案】解：(1)連結(jié)8G，交81c于點(diǎn)O,連結(jié)40,?.?側(cè)面881cle為菱形，：.BCi±BiC,且。為8cl和8c的中點(diǎn)，又?：ABLBiC,.,.8iC_L平面480,?.【Ou平面"O,：.B\CLAO,又BiO=CO,J.AC^ABi,(2)'：AC±ABi，且。為BiC的中點(diǎn),：.AO=CO,又"：AB=BC,.?.△804絲△8OC,：.OA±OB,：.OA,OB,081兩兩垂直，T以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8的方向?yàn)閄軸的正方向，［0B|為單位長(zhǎng)度，。面的方向?yàn)閥軸的正方向，&的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,,：ZCBBi=60°,.,.△C88i為正三角形，又4BV3 V3：.A(0,0,―),B(1,0,0,),B\(0,―,'- T T/?ABX=(0,,—彳)，=AB=(1,0,設(shè)向量n=(x,y9z)是平面44i8i的法向量，廠J乃厲n1n-ABs=-5-y--5-z=0 1則_33 ,可取九=(1,V3,［n-41B1=x-2yZ=0同理可得平面48［。的一個(gè)法向量肅=(L一、->T. “I—、mn1..cos<m, =__；=弓,|m||n|71...二面角/-/iBi-Ci的余弦值為,29.【2014年新課標(biāo)2理科18］如圖，四棱錐7PO的中點(diǎn).、=BC,0),C(0,一冬0)-鄂，BiCr=BC=(-1.一堂，0),，V3),/3,V3),中，底面Z8CZ)為矩形，%_L平面”8,E為(I)證明：尸8〃平面4EC；(II)設(shè)二面角O-4E-C為60°,AP=\,AD=V3,求三棱錐E-MB C【答案】(I)證明：連接8。交AC于O點(diǎn)，連接EO,?；。為8。中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn),：.EO//PB,EOu平面ZEC,/W平面XEC,所以P8〃平面4EC；(II)解：延長(zhǎng)4E至M連結(jié)DM,使得ACD的體積.'.81,平面4^。,CDLMD二面角DC為60E為PD'.81,平面4^。,CDLMD二面角DC為60E為PD的中點(diǎn)DM=tan60x-AD證明/8J_4C；三棱錐E-ACD的體積為四棱錐P-48C。中，底面45。為矩形，以_1_平面N8CO【2013年新課標(biāo)1理科18］如圖，三棱柱NBC-3若平面48C，平面448由，AB=CB=2,求直線4C與平面881cle所成角的正弦值OA\tA]B,因?yàn)椤?=C8,所以。C_L/18,由于Z8=44i，/844i=60°,所以△4/由為等邊三角形，所以。又因?yàn)镺CCO/i=O,所以48_L平面。4C，又/iCu平面CMC，故｛8_L/iC；(II)由(I)知OC_L/8,OAilAS,又平面/8(7_1平面441818,交線為48,所以O(shè)CJ_平面44i8i8,故04,OAi，0c兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，04的方向?yàn)閤軸的正向，|。4|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系,可得力(1,0,0),Ai(0,y/3,0),C(0,0,V3),5(-1,0,0),則/=(1,0,V3),BBr=AAi=(-I,V3,0),4；C=(0,-V3,V3),設(shè)n=(設(shè)n=(x,y,z)為平面881cle的法向量，則三?m=。,即n?BB[=0x+y/3z=0-x+V3y=0'T TT可取T TT可取y=l,可得幾=(百，1,-1),故cosVn,ArC>=n-ArC_710TTInlMiQ又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值,故直線小。與平面581cle所成角的正弦值為：-.31.【2013年新課標(biāo)2理科18］如圖，直棱柱48C-481G中，D,E分別是48,881的中點(diǎn)，AA\=AC=CB=~^~AB.(I)證明：8。〃平面418(II)求二面角D-AiC-E的正弦值.【答案】解：(I)證明：連結(jié)4cl交4。于點(diǎn)兄則尸為4。的中點(diǎn)，又。是中點(diǎn)，連結(jié)。尸，則8ci〃￡>R因?yàn)?。尸u平面小CD,8cle平面//￡),所以8?！ㄆ矫嬗蒀D(II)因?yàn)橹崩庵?BC-mSiG，所以44i_LC￡),由已知4C=C8,。為48的中點(diǎn)，所以C〃_LX8,5LAA\HAB=A,于是，CZ)J_平面48814，設(shè)48=2位，則/小=/C=C8=2,得NACB=90°,CD=V2,A\D=V6,DE=V3,A\E=3故/iJ+CEZu/nE?,gpde^_A\D,所以。EJ_平面/1￡>C,又4c=2位，過(guò)。作。凡L/C于尸，NZJFE為二面角。-4C-E的平面角,在△出。C中，DF=A1?'rC=半，EF=VDE2+DF2=挈，所以二面角D-A\C-E的正弦值.sinNOF￡=等=苧.模擬好題1.如圖，四棱柱4BCD—4B1C1C1中，平面AigCA_L平面4BCD,底面4BCC為菱形，AC與BD交于點(diǎn)O,Z.ABC=60°,AB=AAi=4cl=2.(1)求證：Ci。1平面4BCD：(2)線段DO】上是否存在點(diǎn)尸，使得CF與平面B】AC所成角的正弦值是:？若存在，求出品：若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在：器書(shū)【解析】【分析】⑴=ACt,AAi=CCi，：.ACi=CCr,又。是AC中點(diǎn)，C1OJ.4c?平面41cle4，平面4BCC,平面41cle4C平面ABC。=AC,gou平面&C1C4,，Ci。11平面4BCD(2),.?底面ABC。是菱形，：.AC1BD以。為原點(diǎn)，08,0C,0Ci所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則4(0,-1,0),C(0,l,0),Ci(0,0,V3),B(V3,0,0),D(-V3,0,0).又兩=西=(0,—1,V5),所以8式百，一1,何，-,.AC=(0,2,0),瓦7(=(-V3,0,-V3), =(0,-1,V3).設(shè)平面為47的法向量是元=(x,y,z)佇器...產(chǎn)2。歷八，[n-BXA=0 (—V3r—V3z=0

令x=l,則元=(1,0,—1),假設(shè)線段。上存在點(diǎn)尸，且加=2西=4萬(wàn)瓦>=(0,-4,752)，(0<A<1)V3,-A,V3A)./.CF=(-V3,-A-1,V3A).：.\cos(n,CF)\同函_ 國(guó)_3：.\cos(n,CF)\|n|*|CF| j3+(-入-1)2+3入2 4平方整理得：2"-5/+2=0,.?/=(或4=2(舍)，孤■=(時(shí)，即存在點(diǎn)尸是。。1中點(diǎn)時(shí)，CF與平面々AC所成角的正弦值是2.四棱雉P-4BCD中，PC1平面4BCD,底面4BCD是等腰梯形，且=2,CD=1,乙4BC=60°,PC=3,點(diǎn)M在棱PB上.(1)當(dāng)M是棱PB的中點(diǎn)時(shí)，求證：CM〃平面PAD;(2)當(dāng)直線CM與平面PAB所成角6最大時(shí)，求二面角C—4M-B的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)90°【解析】

(1)取4/1中點(diǎn)可1 1???PB的中點(diǎn)為M,:?NN*AB,MN=；AB,MN//CD,且MN=CD,.,?四邊形CON"是平行四邊形，CM//DN,"CMC平面P4D,???CM〃平面PAD；(2)等腰梯形(2)等腰梯形ABC。中，AB=2,CD=1,/.ABC=60°.作CE1A8于E,則BE=LBC=1,△ABC中，由余弦定理得，AC=V3,AC2+BC2=AB2,即乙4cB=90。，vPCL^ABCD,則CP、CA.CB兩兩垂直如圖，以C為原點(diǎn)，CA,CB.而為x軸、y軸、z軸為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,,8(0,1,0),C(0,0,0),P(0,0,3),???P^=(V3,0,-3),AB=(-V3,l,0),CA=(V3,0,0).設(shè)平面PAB法向量沅=(x,y,z),則？-普=六一資,[m-AB=-V3x+y=0平面/MB的一個(gè)法向量沆=(b,3,1),設(shè)的=4而(04241)，則由=謂+前=(0,1—兒34),asin?=Icos<CM,m>\=L= 3 =皿1。"-、+】g.麻工花，???0W/IW1,.?.當(dāng)入="^時(shí)，sin。取得最大值，???奇=(。磊，粉，箱=(一百W)，則4(6,0,0)設(shè)平面。設(shè)平面。4M法向量后=TTJ?CA=>/3xi=0斤兩=a1+/=0二平面CAM的一個(gè)法向量瓦=(0,1,-3),nJ,AB=-V3xj+y2=0設(shè)平面4MB法向量力=（X2，y2，Z2），則一方向上;Jn（畋-AM=-V3x2+—y2+—z2=0平面4MB的一個(gè)法向量布=（但3,1）,??,n7n^=0xV3+lx3+（—3）x1=0,二匹"1n^,二.二面角C-AM-8的大小為90°..如圖，01，。分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，為圓。的直徑，以08為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓O的直徑48所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接8c交圓E于點(diǎn)。，AAVBBi，Cg為圓臺(tái)的母線，AB=2A1B1=8.(1)證明；gC〃平面0B/01；(2)若二面角G-8C-。為會(huì)求01。與平面ACi。所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析：Q?！窘馕觥?1)連接。瓦。山，C為圓O的直徑所對(duì)弧的中點(diǎn),所以ABOC為等腰直角三角形，即=45。，乂。在圓E匕故ABED為等腰直角三角形，所以z)e〃oc且de=；oc,又cq是母線且。住1=goc,則01C"/0C,故DE〃0iG且DE=。1的，則。EOig為平行四邊形，所以而E0Iu面。B8]0i，OCiC面08々。1，故〃平面OBBiOi.(2)由題設(shè)及(1)知：。1。、OB、0C兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系,過(guò)Ci作C/〃010,則F為0C的中點(diǎn)，再過(guò)F作尸G〃。。，連接gG,由。1。1圓0,即C/1圓。，8。＜=圓。，則gF1BC,又0D1BC,則尸G18C,故二面角C1一BC—。的平面角為NFGCi=p而FG=-0D=—0B=V2.所以01。=CjF=FGtan^=V6.X則4(0,-4,0),0(2,2,0),Ci(2,0,76).Oj(0,0,76),所以而=(2,6,0)，C^D=(0,2,-V6)，O^D=(2,2,-V6).若記=(x,y,z)為面ACi。的一個(gè)法向量，則2"+6;^_°,令、=n，則記=(一3乃,乃,2),km-C1D=2y-V6z=0|cos<m,OlD>|=3焉=等工故。1。與平面AC4所成角的正弦值.如圖所示，已知矩形48C。和矩形月。E尸所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分別是對(duì)角線BD,4E上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且BM=AN.(1)求證：直線MN||平面C￡)￡(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求二面角A-MN-D的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析瑤【解析】⑴過(guò)N作NM||4D與"交于N'點(diǎn)，過(guò)M作MM'||4。與CQ交于M'點(diǎn)，連接M'N'.由已知條件4。=2AF=2AB=2,可知矩形/8CO與矩形/OEF全等.'：BM=AN,AE=BD,NN'||AD||MM'.空_4E-AN_BD-BM_MAT_MAT??石―AE~BD~一~AD：.NN'=MM'又NV||AD||MAT,則四邊形MNNM為平行四邊形,所以MN||N'M'.平面COE,M'N'u平面COE,:.MN||平面CDE.(2)由平面/8C￡>_L平面ADEF,平面ABCDCI平面4DEF=AD,又4Fu平面ADEF,AFA.AD,r.AFmABCD.以4為原點(diǎn)，分別以Z8,AD,4尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,過(guò)M點(diǎn)作MG_L4。，垂足為G,連接NG,易知NG1AD,設(shè)4G=a(0<a<2)可得M(—,a,0)，N(0,a，9，；?5川?。竊=產(chǎn)，可知當(dāng)a=1時(shí)，A/N長(zhǎng)最小值為成.2此時(shí)“?，1，°)，n(o,i3),又4(0,0,0),D(0,2,0),.?.加=(”0),WV= DM=(1,-1,0)設(shè)平面AMN的法向量為記=(x〕yi，zi),fl由巴?他=0可得考+%=。，Im-MN=0一工/+[21=0令M=2,可得記=(2,—1,2)設(shè)平面MND的法向量為五=(無(wú)2,>2，/2)，由『0=?？傻?彳一'2二°bfMN=o[_%+%=0令無(wú)2=2,可得同=(2,1,2). /—?—Im-n7?"岡皿力|=麗『，?'-sin(m,n)= =竽則二面角A-MN-D的正弦值為史&95.如圖甲，平面圖形4BCDE中，AE=DE=BD=BC=1,BC1BD,DE//AB,乙EAB=60",沿BD將△BCD折起，使點(diǎn)C到F的位置，如圖乙，使BFJ.BE,eg=bf.⑴求證；平面GEBFJ"平面AEG；(2)點(diǎn)M是線段FG上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4M與平面4EG所成角的正弦值為，時(shí)，求平面MAB與平面AEG所夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】(1)證明：翻折前8clB。，翻折后，對(duì)應(yīng)地，BF工BD,又因?yàn)锽E18F,BEC\BD=B,所以，8F_L平面48DE,???AEu平面ABDE,.-.AE1BF,在底面4BCDE中，AE=DE=BD=BC=1,DE//AB,所以，四邊形4BCE為等腰梯形，因?yàn)?E4B=60。，.?.乙4ED=4BCE=120。，因?yàn)锽C=DE,則/BE。=408E=30。，Z.AEB=/.AED-/.BED=90",AE1BE,又因?yàn)锳E_LBF,BECBF=B,AEJ_平面GEB尸，因?yàn)?Eu平面AEG,因此，平面GEBP1平面AEG.(2)解：在Rt^ABE中，Z.AEB=90",Z.EAB=60°,AE=1,則BE=AEtan60°=6,因?yàn)槎?罰，則EG〃8F且EG=B尸=8C=1,因?yàn)锽F平面4BDE,???EG_L平面4BDE,vAELBE,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA.EB、EG所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則4(1,0,0)、B(0,V3,0),設(shè)點(diǎn)M(O,Z1),其中0WAV心,所以，AM=(-1,2,1).易知平面AEG的一個(gè)法向量為記=(0,1,0),由已知條件可得|皿(麗記>|=繇=總=率因?yàn)镺WAwVl解得;l=g,所以，AB=(-l,V3,0),AM=(-1，Y，1)-設(shè)平面的法向量為元=(x,y,z),Cn-而=—x+V3y=0則I一TM,v^ ，取y="可得元=(3,代,2),(n-AM=—x+—y+z=0cos<m,n>=罟g=，，因此，平面M4B與平面4EG所夾角的余弦值為里|m||n| 4 46.如圖，是圓。的直徑，點(diǎn)。是圓。上異于4B的點(diǎn)，直線尸C1平面力BC,瓦F分別是PA,PC的中點(diǎn).(1)記平面8EF與平面4BC的交線為2,求證：直線〃/平面PAC；(2)若PC=48=2,點(diǎn)C是檢的中點(diǎn)，求二面角E-，一C的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【解析】(1)因?yàn)镋,尸分別是P4PC的中點(diǎn)所以EF〃4C,又因?yàn)?Cu平面4BC,EFC平面ABC所以EF〃平面4BC又EFu平面BEF,平面8EF與平面ABC的交線為I,所以EF〃，，而IC平面PAC,EFu平面PAC,所以〃/平面P4C(2)如圖，因?yàn)锳B是圓。的直徑，點(diǎn)C是矽的中點(diǎn)，AB=2所以CA1CB,CA=CB=&因?yàn)橹本€PC，平面4BC所以PC1CA,PC1CB所以以C為原點(diǎn)，直線C4,CB,CP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C一xyz,則F(O,O,1),F(0,V2,0),E(￥，O,1)所以於=(0,-&,1),BF=(y,-V2,l)設(shè)平面"b的法向量元=(x,y,z),貝q絲五二°,即一0(前五=0(yx-V2y+z=0令y=1>則x=0,z=V2得元=(0,1,V2)因?yàn)橹本€PC_L平面ABC所以汴=(0,0,1)為平面4BC的法向量、CPny12V6所以85<°憶日>=記麗=君=彳所以湎角E-I-C的正弦值為三7.如圖，已知四棱臺(tái)ABCQ-ABiCiDi的底面是矩形，平面。。的小J■平面4BCD,DDX1CD,M為4B的中點(diǎn)，且MCLB%.(1)證明：平面BiMC,平面BDOi；(2)若AD=DDi=1,DC=2Di(?i，求二面角/一MC-B的余弦值【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2卜場(chǎng)13【解析】(1)證明：?.?平面。。的。11■平面4BC。，平面DCCi”in平面ABCD=CD,DD11CD,0。1u平面DCgOi，DD1_L平面48co.又MCu平面ABC。，；.DDX1MC.■■■MC1fiDpBDi，叫u平面BDD”BDX(\DDX=Dx,:.MC，平面BDD「又MCu平面為MC,：.平面JMCl平面B。/.(2)解：設(shè)AB=t,則MB=由(1)知MC_LBD,故&BCDfMBC.所以霹=器即工工，解得t=VI，所以。?=；8=4又由棱臺(tái)的性質(zhì)可知萼=粵=9故8?=/。=].dCDCL Z Z由(1)可知DA,DC,0%所在直線兩兩垂直，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一七"，如圖所示，

則M(l,號(hào),0), C(0, V2, 0),為?與,1)，所以靛=(-l,苧，0), = 0, 1).(上迎, t ]-%+—y設(shè)rA=(x,y,z),且蔡，平面B】MC,則薪.MC=0,m-MBX=0>即{x2{-2x+z：故可取荒=(2, 2\[2, 1).設(shè)平面MBC,可取￡=(0, 0, 1),所以cos而，=#由圖可知二面角%-MC-B為鈍角，所以二面角%一MC-B的余弦值為一嚕.⑴求證：BCi||平面4CD；(2)求二面角B-&C-G的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)-^【解析】(1)證明：連接AC1交4c⑴求證：BCi||平面4CD；(2)求二面角B-&C-G的余弦值.【