2014年高考數(shù)學(xué)黃金易錯(cuò)點(diǎn)專題匯編：專題15 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1．設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,則f2005(x)()A.sinx2．已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，f（x）的解析式可能為（）A．f（x）=(x-1)3+32(x-1)B．f(x)=2x+1C．f()=2(x-1)2D．f(x)-x+3B.-sinxC.cosxD.-cosx3.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_(kāi)________.4．設(shè)t≠0,點(diǎn)P（t,0）是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖像在P點(diǎn)處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。5．已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若f(x)在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。6．已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。7．已知a∈R,討論函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。8．設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。（1）當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程f(x)=0，在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。又因?yàn)閒(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt,∵a=-t2,∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在[-1，2]因?yàn)樵冢?1，3）上f’(x)>0,所以f(x)在[-1，2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[-2，-1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f{-1}=1+3-9-2=-7即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，2]上的最小值為-7。【正確解答】f’(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]令f’(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.故當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。易錯(cuò)起源1、導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算例1．已知f(3)=2f’(3)=-2，則A．-4B．0C．8的值為（）D．不存在1．理解導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則的運(yùn)用。2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3．求導(dǎo)數(shù)時(shí)，先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)是運(yùn)算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡(jiǎn)單的分式函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項(xiàng)式的積的求導(dǎo)，先展開(kāi)再求導(dǎo)等等。易錯(cuò)起源2、導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用例2．已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小值。（2）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(diǎn)(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f’(x0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線的斜率為f’(x0),在此點(diǎn)處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義可將解析幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解。易錯(cuò)起源3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3．用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問(wèn)該容器高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？【錯(cuò)解分析】上面解答有兩處錯(cuò)誤：一是沒(méi)有注明原函數(shù)定義域；二是驗(yàn)算f’(x)的符號(hào)時(shí)，計(jì)算錯(cuò)誤，∵x<10,V’>0;10<x<36,V’<0;x>36,V’>0.1．證函數(shù)f(x)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明，前者較繁，后者較易，要注意若f(x)在（a、b）內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上滿足f’(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點(diǎn)滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)。2．函數(shù)的極值是在局部對(duì)函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個(gè)，而且有時(shí)極小值大于它的極大值，另外，f’(x)=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對(duì)于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導(dǎo)）時(shí)可以是不必要條件。3．函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個(gè)區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值的比較，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a、b]上必有一個(gè)最大值和一最小值，最多各有一個(gè)，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在（a、b）的最大值時(shí),f’(x)=0在（a,b）的解只有一個(gè)，由題意最值確實(shí)存在，就是f’(x)=0的解是最值點(diǎn)。1已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為1，則等于（）]A．B．1C．2D．2函數(shù)y=xsinx+cosx在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）A．（0，π）B．（-π,0）C．(,π)D．(-π,-)3已知函數(shù)f(x)=在（1，+∞）上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（）A．0<a<B．0<a≤eC．a(chǎn)≥eD．a(chǎn)≤e4函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分別是（）A．5，-15C．-4，-15B．5，-4D．5，-165設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=0且g(3)=0,則不等式f(x)·g(x)<0的解集是（）A．（-3，0）∪（3，+∞）B．（-3，0）∪（0，3）C．（-∞，-3）∪（3，+∞）D．（-∞，-3）∪（0，3）6函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交且過(guò)圓心D．相離C．相交但不過(guò)圓心7．設(shè)集合A＝[0,1)，B＝[1,2]，函數(shù)f(x)＝若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，則x0的取值范圍是()A.C.B．(log32,1)D.8．函數(shù)f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，有下列命題：①f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②f(x)的最小值是2；③f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)；④f(x)沒(méi)有最大值．其中正確命題的序號(hào)是________．(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))9．設(shè)函數(shù)f(x)＝n－1，x∈[n，n＋1)，n∈N，則滿足方程f(x)＝log2x根的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝(1)求a，b的值；是奇函數(shù)．(2)若對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．11．已知函數(shù)f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，則()A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)12．下列四個(gè)命題中，正確的是()A．對(duì)于命題p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，則綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0B．函數(shù)f(x)＝e－x－ex切線斜率的最大值是2C．已知函數(shù)f(a)＝sinxdx，則f＝1＋cos1D．函數(shù)y＝3·2x＋1的圖象可以由函數(shù)y＝2x的圖象僅通過(guò)平移變換得到13．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[2,3]上的值域?yàn)閇－2,6]，則函數(shù)g(x)在[－12,12]上的值域?yàn)?)A．[－2,6]B．[－20,34]C．[－22,32]D．[－24,28]14．由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為()A.C.B.D．115．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是________．①當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值；②f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值；④當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值．16.函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______.17.曲線y=2-x2與y=x3-2在交點(diǎn)處的切線夾角是__________.18.已知函數(shù)f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。19.求函數(shù)f(x)=20.函數(shù)f(x)=在[，3]上的最大值和最小值。+x+1在x=x1,及x=x2處有極值，且1<≤5.(1)求a的取值范圍；（2）當(dāng)a取最大值時(shí)，存在t∈R，使x∈[1，m]（m>1）時(shí)，f’(t-x)≤恒成立，試求m的最大值。1.答案：A解析：∵f′(x)=2.答案：D解析：y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π,-)時(shí)，y′>0.9．答案：C解析：方法一：詳細(xì)畫出f(x)和g(x)＝log2x在同一坐標(biāo)系中函數(shù)圖象，由圖中不難看出有三個(gè)交點(diǎn)，故選C.12．答案：A解析：本題主要考查邏輯用語(yǔ)和導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，積分的綜合運(yùn)算．屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查．對(duì)于A，存在性命題的否定為特稱命題，且否定結(jié)論，所以A對(duì)；f(x)＝e－x－ex，f′(x)＝－e－x－ex≤－2，故B錯(cuò)；f(a)＝－cosx＝－cosa＋1，f＝f(1)＝1－cos1，故C錯(cuò)；函數(shù)y＝3·2x