數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和

數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和

數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和.選擇題（共2小題）（2014秋?葫蘆島期末）已知函數(shù)f（x）=xa的圖象過點(diǎn)（4,2）'令a=1，nQ4?，記n數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為氣，則S2015=（）A.?蘇TB.?蘇TC?莎-1d.，商T（2014春?池州校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x2?cos（xn），若a=f（n）+f（n+1），則⑥4a=（）攔iA.-2015B.-2014C.2014D.2015二?填空題（共8小題）VL則f(a)+f(1?a)=3.（2015春?溫州校級(jí)期中）設(shè)心尸，若0Va4x+2）"（赤）十???+「（襤），f(——)+f(2Q15____(2011春?啟東市校級(jí)月考)S=1-2+3-4+5nn+1-6+???+(-1VL則f(a)+f(1?a)=）"（赤）十???+「（襤）n+1100200301(2010?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬)數(shù)列｛a｝滿足a(n6)'氣=1，S是｛%｝的前n項(xiàng)和，則S21=

6.（2012?新課標(biāo)）數(shù)列｛a｝滿足a「（-1）na=2n-1,貝血｝的前60項(xiàng)和為山?nnTOC\o"1-5"\h\z7?（2015?張家港市校級(jí)模擬）已知數(shù)列｛aj滿足a=1,a?a=2n（n€N*）,則S=?8：（2009?上海模擬）在數(shù)列｛打中，％=0,氣=2,且a-a=1+（-1）（n€N*）,則n+2nns1尸—9.（2012?江蘇模擬）設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為n\o"CurrentDocument"2，則lal+lal+???+la1=?Sn=n2-4n+l八"12n10（2013春?溫州期中）等比數(shù)列｛a｝中，若a=,n1萬a=-4,Ulal+lal+…+lal=?412n三?解答題（共15小題）.在數(shù)列伍｝中，a=-18,a=a+2,求：lal+lal+???+lal.（2010?云r南模擬）已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和nSn=25n-2n2（1）求證：｛a｝是等差數(shù)列?n（2）求數(shù)列｛lanl｝的前n項(xiàng)和Tn?13?已知在數(shù)列伍｝中，若a=2n-3+^，求S.2nnn_mn14?(2014?2nSn=1+2x+3x2+???+nxnt.15.求下列各式的值:(2-1)+(22+2)+(23-3)+???+[2。+(-X)nn]；l+2x+4x2+6x3+??*+2nxn?16.(2010春?寧波期末)在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)列An(n=0,1,2,…),其中A。(0,0),An(xn,n)(n=L2,3,…)，并且線段AnAn+i所在直線的斜率為刀(n=0,1,2,…).求x”x2求出數(shù)列｛Xj的通項(xiàng)公式設(shè)數(shù)列｛nxj的前n項(xiàng)和為S“求S”.17.(2013秋?嘉興期末)已知等差數(shù)列｛aj的公差大于0,a3,志是方程x2-14x+45=0的兩根.求數(shù)列伉｝的通項(xiàng)公式；記求數(shù)列｛bn｝的前n和&.18.(2014秋?福州期末)已知等比數(shù)例仇｝的公比q>l,a”a?是方程x2-3x+2=0的兩根,(1)求數(shù)列3｝的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列｛211?孔｝的前n項(xiàng)和&?19.（2011春?孝感月考）求和:S=（x+i）+（x+i）22n苦普2+..?+（Xn+七）②.20（2014春?龍子湖區(qū)校級(jí)期中）求數(shù)列｛nX^｝2n前n項(xiàng)和S.n21.（2011秋?文水縣期中）已知數(shù)列伍｝中,a=2nnn-33，求數(shù)列｛la1｝的前n項(xiàng)和S.nn.數(shù)列｛3｝中，a=n?2n，求S..已知數(shù)列伍｝市，a=（2n：1）?3n,求S..求數(shù)列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6，…的前n項(xiàng)和S.n.已知數(shù)列用｝中，_pn-!Cn^奇藪），試求數(shù)列伍｝n%［尸（口為偶數(shù)）n的前n項(xiàng)之和S.n數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和參考答案與試題解析一.選擇題（共2小題）1.（2014秋?葫蘆島期末）已知函數(shù)f（x）=xa的圖象過點(diǎn)（4,2）,令a=1,n（N*,記n數(shù)列｛氣｝的前n項(xiàng)和為氣，則S2015=（）A??蘇TB??蘇TC?莎-1d?，商T【解答】解：函數(shù)f（x）=xa的圖象過點(diǎn)（4,2）,則：4=2,a解得：a=_,所以：f（x）=｝,則:1:=二_=.瑚-.口Vn+1貝U：S=a+a+???+an12n—姬-i+V^-如+…-崩=口+i-i,則：——一S201E=V2O15+l一1=\-'2016一1故選：D.2?(2014春?池州校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)=x2?cos(xn),若a=f(n)+f(n+1)，貝膽】4a=()攔iA.-2015B.-2014C.2014D.2015【解答】解:V函數(shù)f(x)=x2?cos(xn),若a=f(n)+f(n+1),n??*』a=(a+a+a+???+a)+(a+a+a+???+a)—i135201324620141=1=(3+7+11+…+4027)?(5+9+13+?.?+4029)=-2X1007=-2014.故選：B.二.填空題（共8小題）3.（2015春?溫州校級(jí)期中）設(shè)心好，若0Va芯）二—V1,則f（a）+f（1-a）=1,氏點(diǎn)（赤）頂盤）+…由噩）=“可【解答】解:-/,f二—妒+2當(dāng)0VaV1時(shí)，f(a)+f(1-a)〃+小一旦=-+砂=-+W=1,4丑+241-a+24丑+2Ef力?療一14丑+24性

=1007X1=1007,2014=1007X1=1007,20142015）+「'歡均）十???+?〔故答案為：1,1007.4.（2011春?啟東市校級(jí)月考）S=1-2+3-4+5n-6+???+（-1）n+1?n,貝US傾+S頒+S’尸1.【解答】解：由題意可得，'S傾=1-2+喪+???99-100=-50,S頒=1-2+3-4+-+199-200=-100s=1-2+3-4+???+299-300+301=-150+301=151.'?s+s+s=-50-100+151=1故答案為：1．5.（2010?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列｛a｝滿足a+%日心）,a1=1，Sn是｛%｝的前n頂和，則S21=6*2【解答】解：；,a+a=a+a,寫計(jì)［二亍Cnt1223.?a=a,a+a=a+a3445.?—€1—€1—a=a=a==a，1352n-1即奇數(shù)項(xiàng)都相等?a21=a1=1

「?S=(a+a)+(a+a)+???+(a+a)+a=102又i+i2341920212=6.答案：6.6.（2012?新課標(biāo)）數(shù)列｛a｝滿足a「（-1）na=2n?1,貝U｛a｝的前60項(xiàng)和禺1830.nn【解答】解：?.?N,51+（一1）等如一1=2n-l-(-D”寫令bn+1=a4n+1+a4n+2+a=2n-l-(-D”寫令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，■(a4n+2-a4n+1)a+a=(a-a)+4n+24n+44n+44n+3寫十iW(UL1(a+a)=16n+8,n+14n+14n+24n+34n+44n_34n_24n_+a+16=b+16「.?豪列｛b｝是以16為公差的等差數(shù)列，｛a｝的前60項(xiàng)和為i即為數(shù)列｛b｝的前15項(xiàng)和nnVb=a+a+a+a=1011234.「15X14=1830S二項(xiàng)XIS―2-X1&7.(2015?張家港市校級(jí)模擬)已知數(shù)列｛%｝滿足a=1,a?a=2(nGN)，則S=3X21006-3.1n+1nn2012【解答】解：?.?數(shù)列｛叩滿足a1=1,an-an+1=2n,nGN*

??n=1時(shí)，a=2,??n=1時(shí)，a=2,2Va?a=2,「?nN2時(shí)，a?a=2,n-1nn_1n??寫+1an-1.??數(shù)列｛a｝的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，n?S=i-乏皿+2（1-產(chǎn)叫=3X2-3.20121-21006故答案為：3X21006?3.8.（2009?上海模擬）在數(shù)列｛叩中，a1=0,a2=2,且a2-a=1+（?1）n（n€N*）,，則s傾」2550.【解答】解：據(jù)已知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：a-a=0na=0,TOC\o"1-5"\h\zn+2nn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a-a=2na=n,n+2nn0（口奇數(shù)）,n（口這偶數(shù)）故翥二S=0+2+4+6+???+100=0+50X2+1。0=2550.0（口奇數(shù)）,n（口這偶數(shù)）100—-故答案為：25509.（2012?江蘇模擬）設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為nz［，則lal+lal+…+lal=爵二虹+112n一\left\{\begin{array}{l}{{-n}A{2}+4n-1,1WnW2)\\{{n}人{(lán)2}-4n+7,nN3}\end{array}\right.【解答】解：?.?S=n2-4n+1,n..a=一％打-1,2n_5,n》2.①當(dāng)nW2時(shí)，aV0,n.S'=la1=-a=2,S'=lal+la1=-a-a=3；11121212②當(dāng)nN3,|a|+|a|+???+|a|=-a-a+a+???+a=12n123n-2S2+S=n2-4n+7.?.|a|+|a|+,?,+|a|=f'+如-1,i<n<2..n"4n+7,n)3故答案為：l<n<2.n‘-4n+7\n梁310.（2013春?溫州期中）等比數(shù)列｛a｝中，若a%,n12a=-4，則|a|+|a|+???+|a|=2n-1-412n\frac｛1｝｛2｝.【解答】解：Va1^,氣=-4,-4=【Xq/解得q=-2即數(shù)列｛a｝是以］為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)n列則數(shù)列｛|a|｝是以上為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)n列

故lal+lal+-+la|=X*)=2n1-2-1~212nT故答案為：2]n-1a=a+2,求:n+1na=-18,a=a+2,三?解答題(共15小題)11.在數(shù)列｛%｝中，a1=-18,lal+lal+???+lal【解答】解：皿..?數(shù)列伍｝n1-2-1~2a=a+2,求:n+1na=-18,a=a+2,...｛a｝是首項(xiàng)為-18，公差為2的等差數(shù)列,n.La=-18+(n-1)X2=2n-20,由a=2n-20N0,nN10,n設(shè)俱｝的前n項(xiàng)和為S「當(dāng)nN10時(shí)，laJ+laJ+^+lal=-S=-[-18n+*-1)]=-n+19n.2當(dāng)n>10時(shí),:laJ+la2l+???+lal=S-2S】。=n2-19n+180..lal+lal+???+lal=n2+l9n,irClO.n2-19n-H80,n>1012.（2010?云南模擬）已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和nS*-電（1）求證：｛a｝是等差數(shù)列.n

(2)求數(shù)列｛lai｝的前n項(xiàng)和T.a=S=23.-[25(n-【解答】解：(i)證明：①n=i時(shí)，②nN2時(shí)，a=S-S=(25n-2n2)1)-2(nT)2]=27-4n,而a=S=23.-[25(n-于是伍｝為等差數(shù)列.n(2)因?yàn)閍=27-4n，若a>0,則nV業(yè),當(dāng)1WnW6時(shí)，T=a+a+a=25-2n2,n12nn當(dāng)nN7時(shí)，T=a+a++a-(a+a++a)n12678n6n625n-2n2(l<n<&).2n2-25n+156(n>7)綜上所知13?已知在數(shù)列｛a｝中，若a=2n-3+^，求S.nn_mn=S-(S6n625n-2n2(l<n<&).2n2-25n+156(n>7)綜上所知13?已知在數(shù)列｛a｝中，若a=2n-3+^，求S.nn_mn數(shù)列是等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和的數(shù)列，222232nS=(-1+1+3+5+???+(2n-3))+(i1.1???+i)n=口(-1+如-3]+時(shí)'勺=n(n-2)+1-i222232n(2014?海淀區(qū)校級(jí)模擬)求和：Sn=1+2X+3X2+…”「【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，s=1；n當(dāng)x=1時(shí)，S=1+2+3+…+n=(n+D；當(dāng)x乂1，且x，0時(shí)，S=1+2x+3x2+???+nXn」①nxSn=X+2X2+3X3+?"+nXn?②(1-X)Sn=1+X+X2+X3+?“+Xn_1-叫X=0時(shí)，上式也成立，求下列各式的值：(1)(2-1)+(22+2)+(23-3)+???+[2n+(1)n]；n

（2）l+2x+4x+6x+-+2nxn.【解答】解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-1+2-3+…+(■1)n=n-1-n=-n+l9n22當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，-1+2-3+-+(-1)n=n,n—2XV2+2+2+???+!+=2a-=2-2,23nn+11-2iBS=(2-1)+(2+2)+(2-3)+-+[2+(-23nn1)n],n.n為奇數(shù)TOC\o"1-5"\h\z??D—?O—1+?O—1+x十夕KKnI1_K11[w*玲-A門為偶數(shù)(2)記S=l+2x+4x+6x+…+2nx,23nn則當(dāng)x=l袖，S=l+2+4+6+???+2n=l+2?延電=n,+n+l；11~2~當(dāng)xUl時(shí),xS=x+2x+4x+???+2nx,n23以.L(1-x)S=l+x+2(x+x+???+x)-2nx23nn+1n=l+x+2*(i-廣勺-2nx,n+12nxn+1；(1-k)2lrn2+n+l,x2-k1^11+真-2nyA+i(1-k)21一真綜上所述，S=

nK=1rH-11-K

(2010春?寧波期末)在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)列A(n=0,1,2,…),其中A0(0,02nxn+1；(1-k)2lrn2+n+l,x2-k1^11+真-2nyA+i(1-k)21一真綜上所述，S=

nK=1rH-1求x,xliiJ求出數(shù)列｛乂｝的通項(xiàng)公式x設(shè)數(shù)列｛nxj的前n項(xiàng)和為&，求Sn.liiJ【解答】解：(1)A。(0,0),A1(x1,i),A2(%,2)直線A0A1的斜率為20=1,12?x1=1直線A1A2的斜率為2,*2-2(x,n),A(x,n+1),(2)當(dāng)n(x,n),A(x,n+1),??n+l-n_51f"Sif二專/W與f3累加得：2二專)％q-2+普?十檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)也成立，snn-1蘆-(+產(chǎn)七成if)令b令b=2n,對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和T=n.?.「］+*，解得皿ai+4d=9I1.*?a=a+(n-1)d=2n-1???(6分)⑶一…，nsn"2n寥—(n+1)令%蕓T對(duì)應(yīng)的前碩和H』”二備十…專*TOC\o"1-5"\h\zlTr1,23,,,11云L二尸乒+Q+…歹兩式相減得：、^21n云4二1偵項(xiàng)十…??？一詼(2013秋?嘉興期末)已知等差數(shù)列｛%｝的公差大于0,a3,a5是方程x2-14x+45=0的兩根.liiJ求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n記b=2%，求數(shù)列｛bn｝的前n和Sn.liiJ【解答】1解(1)Va3,a5是方程x2-14x+45=0的兩根，35且數(shù)列｛a｝的公差d>0,n解方程x2-14x+45=0,得x=5,x=9,?a=5,a=9,???(2分)"i???(4分)（2）Va=2n-1,n???史寄-1?"（8分）bn=2n+n=2^1+n??aa.a.a?（9Sn=b1+b2+b3+■■■+b^=（2'+2"+2^,■■+2f+（l+2+3+,??+n）分）?^.一a、ja1352n~12（1-4”）2-+2IZ5+■■■+2"=2^2+2+"-+2=—二（11分）ewf*"（13分）?.?數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和：n2時(shí)-1）"口+i廣"（14分）*3*2（2014秋?福州期末）已知等比數(shù)例伍｝的公n比q>1,a「a2是方程x2-3x+2=0的兩根，liii（1）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n（2）求數(shù)列｛2n?a｝的前n項(xiàng)和S.liii【解答】解：（1）方程x廣3x+2=0的兩根分別為1、2,???（1分）依題意得a=1,a=2,???（2分）12所以q=2,???（3分）liil所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=2n.1；-（4分）（2）由（1）知2n?a=n?2；???（5分）nnliil所以S=1X2+2X2+???+nX2，①2nn

由①-②得：-S=2+22+23+???+4-nX2+i,-（8分）n即-S=-八w-nX2n/…（11分）n1-2n+1所以S=2+（n-1）?2小…（12分）n19.（2011春?孝感月考）求和:S=（x+i）+（x,+i）22n宣21x2+..?+（g）2.【解答】解：當(dāng)x=±1時(shí)，?」（x+i）=4,「?S=4n,n32n當(dāng)x乂±1時(shí)，.'?S=（x2+x4++x2n）+2n+（i+1++i）nVa=x2n+2+i242nsss=/（乂匝-1）+廣.'?S=（x2+x4++x2n）+2n+（i+1++i）nK2-11-I~2=m*+i）+2n,/”（＞-1）所以當(dāng)x=±1時(shí)，S=4n；n當(dāng)xU±1時(shí)，S=（/ji）Jg2+i）+2n?n技（＞-1）

20.（2014春?龍子湖區(qū)校級(jí)期中）求數(shù)列｛nX^｝2n前n項(xiàng)和S.n【解答】解：..?數(shù)列｛n^｝前n項(xiàng)和S.n①…（3分）*=1*2十52*整打②（6分）①…（3分）*=1*2十52*整打②（6分）①-②，得:1S=j,1,1.1nn2計(jì)/尸尸十11-L2混12=1-1_口???（10分）F尹：?S=2口+2...（13分）n_r.21.（2011秋?文水縣期中）已知數(shù)列用｝中,a=2nnn-33，求數(shù)列｛la1｝的前n項(xiàng)和S.nn【解答】解：令a=2n-33>0,解得n>絲n所以當(dāng)nW16時(shí)，a<0,又%=2-33=-31,則數(shù)列｛la1｝的前n項(xiàng)和S=-虹也=-nn2nt-SR2n-33）=32n-烏；當(dāng)nN17時(shí)，a>0,n則數(shù)列｛lanl｝的前n項(xiàng)和Sn=Si6+Sn=i&(i+3i)+(口一(i+血-33)=n2-32n+512,綜上，S=[32口一口氣口=￡16).nIn2-32n+512(n>17)22.數(shù)列｛a｝中，a=n?2n,求S?【解答】解法一：S=1?2+2?22】3?23+???+n?4,nn2氣=1.22+2.23+3.24+???+n?4+i，兩式相減可得，-S=2+22+23+???+2廣n*21n=2(i-zn〉--n*2+1n+1化簡可得S=2+(n-1)?2?n+1n解法二、由a=nZ=(n-1)*^+1-(n-2)Z,nnn+n可得S=[0-(-1)?2]+[1?8-0]+[2?24-1?8]+…n+[(n-2)?2n-(n-3)?2j+[(n-1)%-(n-2)?2]n=2+(n-1)?2?n+123?已知數(shù)列伍｝中，a=(2n-1)?3n，求S?【解答】解:Va=(2；-1)?3,nnn..?S=3+3X32+5X33+???+(2n-1)?3n,

..?3S=32+3X33+5X34+???+(2n-3)