數(shù)項級數(shù)理論及其應(yīng)用

刖言我們學習了級數(shù)理論，但是我們知道的僅僅是結(jié)果，對于過程確實不甚了解。級數(shù)理論的發(fā)展經(jīng)歷了一個相當漫長的時期，從芝諾（ZenoofElea，約公1111元前490一約公元前425）的二分法涉及到把1分解成無窮級數(shù)2，才「+^+偵.…，亞里士多德（Aristotle）也認為這種公比小于1的幾何級數(shù)有和，到阿基米德（Archimedes，公元前287一公元前212）在他的《拋物線圖形求積法》一書中，在求拋物線弓形面積的方法中使用了幾何級數(shù)，并且求出了它的和，這時中國對于級數(shù)也有所發(fā)現(xiàn)，中國古代的《莊子?天下》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”含有極限的思想，用數(shù)學形式表達出來也是無窮級數(shù)。而級數(shù)理論的形成和建立是在19世紀，柯西是第一個認識到無窮級數(shù)論并非多項式理論的平凡推廣而應(yīng)當以極限為基礎(chǔ)建立起完整理論的數(shù)學家，之后在經(jīng)過了幾十年，級數(shù)理論才得以真正的完善，大致分為數(shù)項級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，幕級數(shù)，傅里葉級數(shù)。級數(shù)理論的發(fā)展可以分成幾個時期：級數(shù)的早期工作、函數(shù)的展開、級數(shù)的求和、收斂與發(fā)散的初探、理論的形成、理論的建立、一致收斂、影響與發(fā)展、漸近級數(shù)、級數(shù)的可和性。每個時期都經(jīng)過很長的時間才得以發(fā)展，都是經(jīng)過很多數(shù)學家的共同努力才得出的結(jié)果。無窮級數(shù)在18世紀的形式發(fā)展，促成了數(shù)學家在19世紀建立無窮級數(shù)理論。無窮級數(shù)作為分析的一個有效工具，豐富了數(shù)學理論的發(fā)展。此外，發(fā)散級數(shù)在天文、物理上的廣泛應(yīng)用，推動了人類發(fā)展的進步。級數(shù)理論的發(fā)現(xiàn)極大的豐富了數(shù)學的內(nèi)容，也使得數(shù)學史上的很多問題得以解決，也使得我們的生活更加便捷。一，數(shù)項級數(shù)一般概念定義1:給定一個數(shù)列｛/｝，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式nu+u+?+u+...（1）稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中u稱12nn為數(shù)項級數(shù)（1）的通項。數(shù)項級數(shù)（1）也常寫作：切un或簡單寫作Sun。n=1定義2：在數(shù)項級數(shù)Su中，每一項都是正數(shù)時，則稱為正項級數(shù)。n任意項級數(shù)：①若級數(shù)的各項符號正負相間，即u—u+u—u+...+（-1）n+1u+...（u>0,n=1,2,...）稱為交錯級數(shù)。②級數(shù)TOC\o"1-5"\h\z1234nn-111\o"CurrentDocument"a+aq+aq2+...+aqn+…稱為等比級數(shù)（幾何級數(shù)）。③級數(shù)1++=+…+—+…稱23n為調(diào)和級數(shù)。數(shù)項級數(shù)（1）的前n項之和，記為s=￡u=u+u+…+u，稱它為數(shù)項nk12nk=1級數(shù)（1）的第n個部分和，也簡稱部分和。定義2：若數(shù)項級數(shù)（1）的部分和數(shù)列｛七｝收斂于s（即limsn=s），則稱ns數(shù)項級數(shù)（1）收，稱s為數(shù)項級數(shù)（1）的和，記作s=u+u+…u+…或s=Su。12nn若｛S｝是發(fā)散數(shù)列斂，則稱數(shù)項級數(shù)（1）發(fā)散。n又若E|uI收斂，則稱級數(shù)Su絕對收斂；而Su收斂，但SIuI發(fā)散，nnnn則稱級數(shù)Eun條件收斂。基本性質(zhì)（1）.級數(shù)Eu與Ekun（k是常數(shù)）有相同的斂散性，且若Eun=s，則（2），若Eun=a，Ebn=b（即它們收斂），則E（un土bn）=Eun土Eb廣a土b；若Eu，Eb之一發(fā)散（另一收斂），則E（un±bn）發(fā)散；若Eun，Ebn皆發(fā)散，則Z（匕土bn）斂散不定。（3）,加減有限不改變其斂散性（若級數(shù)收斂，其和有變化）。（4）,收斂級數(shù)不改變順序的任意結(jié)合添加括號后，所得級數(shù)收斂，且有同一和數(shù)；反之任意結(jié)合后的級數(shù)發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散；任意結(jié)合后的級數(shù)收斂，原級數(shù)不一定收斂。級數(shù)收斂的判別必要條件limu=0（即limu。0，則Zu發(fā)散）。nsnnsnn充要條件（柯西準則）任給￡>0，存在N，使當n>N時，對任意正整數(shù)m均有Is—S1<￡。充分條件（級數(shù)收斂的判定）級數(shù)收斂的充分條件，即級數(shù)收斂的判定條件，我們區(qū)分正項級數(shù)和任意級數(shù)進行討論：正項級數(shù)：①比較法：若a<b，則Zb收斂nNa收斂；Za發(fā)散nnnnnnZ氣發(fā)散。常用的比較級數(shù)有：幾何級數(shù)，調(diào)和級數(shù)和p-級數(shù)。②比值法（達朗貝爾（d’Alembert，J.）判別法）lim土+1=p，若p<1，msunZa收斂；若p>1，Za發(fā)散；若p=1，Za斂散不定。nnn③高斯（Gauss，C.F.）判別法："n=入+凹+—，當人>1或X=1，unn2n+1日>1，級數(shù)收斂；當X<1或X=1，日<1，級數(shù)發(fā)散（X，h為常數(shù)，。為有界變量）。根值法：limn.a=p，當p<1，Zu收斂；當p>1，Zu發(fā)散;TOC\o"1-5"\h\znnnnTs當p=1，Zu斂散不定。積分法（柯西準則）（這里f（n）=u）：jsf（x）d存在nZu收斂；n1xn「f（x）dx不存在nZun發(fā)散。其它方法。交錯級數(shù)（萊布尼茲判別法）：Z（-1）nu,u>0，則當u>u，且\o"CurrentDocument"nnnn+1

lim七=0時，級數(shù)收斂。交錯級數(shù)（萊布尼茲判別法）：Z（-1）nns任意級數(shù)：若Eiuni收斂，則Sun亦收斂。幾何級數(shù)，調(diào)和級數(shù)，p-級數(shù)收斂判別表幾何級數(shù)Saqkk=01ql<1收斂（和為）1-qlql>1發(fā)散調(diào)和級數(shù)S1kk=1發(fā)散P-級數(shù)S一（P>0為常數(shù)）kpk=0P>1收斂P^1發(fā)散4,一般應(yīng)用例1，若正項級數(shù)工an=1（1），數(shù)項級數(shù)收斂TOC\o"1-5"\h\z與Sb都收斂，試證級數(shù)乙演與Sa也收斂。

n例1，若正項級數(shù)工an=1n=1n=1n=1證:注意到題設(shè)an,bn均為正數(shù)，由算數(shù)一幾何平均值不等式Sb均收斂，則1S(a+b)也收斂，從而￡n2nnnnn=1n=1n=1故S土亦收斂。證:故S土亦收斂。n=1令b=-12-，則加b二，匕，注意到SL收斂，n=1值。例2,若級數(shù)（1）￡'m+i'nna（2）n=值。例2,若級數(shù)（1）￡'m+i'nna（2）n=1S(L-sin1/收斂，求a，P的n=1解：（1）注意到卻+"'nna1.、(n—8時)，na+2\o"CurrentDocument"<n+1-?n〃1、lim/()n—8naa+1Ln2即S'孫-插與S(1-sin1)P同斂散，故a〉nannn=1n=1(2)若p<0,由(1-n1)P#>(n—8)，級數(shù)發(fā)散；若P>0,將sinx展nn1111.,開成Maclaurin級數(shù)有一s卜n=+o(一)(n—8),故nn6n3n3(1-s1)眠一-一+o(1)(n—8)。從而丈(1-sin1)'收斂當且僅當3p>1,nn6PnP3n3nnn=11即p>1時。31?1綜上(1)(2)得a>1,P>—。23(2),數(shù)項級數(shù)求和1的和。例3,求級數(shù)尤9k2-3k-2k=119k2—3k—211111(_^—L_)33k-23k+1=_(—(3k+1)(3k-2)33k-23k+1%=￡9k2—3k—2='k=1k=11、A1、A11的和。19k2—3k—21(_^—L_)33k-23k+11、A1、A1_11、，11、，11、/(1——)+(———)+(——)+,??+(34477104477103n—2一日+1)11消相得V3(1一E),故切=limS=—9k2—3k—2〃—8n3k=1n=1解：因為u=xn—2、n+1+un+2,所以nS=<1—2^2+、-；3+還—2、耳+、.4+…+\、—2n+1+：n+2=、—-互■.■^+1—-.■'n+2n，從而S=limS=limGl-克+xn+2—Jn+1)nn—8n—8=lim(1-克+n—8=1-切二，函數(shù)項級數(shù)

1，一般概念定義1：設(shè)(4(x)｝是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，表達式nu(x)+u(x)++u(x)+...,xeE(2)，稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記TOC\o"1-5"\h\z12\o"CurrentDocument"為Zu(x)或Zu(x)，稱s(x)=￡u(x),xeE,n=1,2,…為函數(shù)項級數(shù)(2)的nnnkn=1k=1部分和函數(shù)，s(x)為(2)的和函數(shù)，則r(x)=s(x)-s(x)稱為余和?；拘再|(zhì)定義2：若余和Ir(x)\<&，對n>N時，xeE一致成立，稱Zu(x)在E上一致收斂。判別法：對于Zu(x)與Zm(m>0)，若對于xeE總有Iu(x)I<m，又且Zun(x)一致收斂則，①，對于任何LxLE恒有1,2Zmn收斂，則S七3)在E上一致收斂(M-判別法)。性質(zhì)：⑴，若E七⑴的每項均在E連續(xù)，和函數(shù)s(x)=Zun(x)也在上E連續(xù)，②jx2s(x)d=jx且Zun(x)一致收斂則，①，對于任何LxLE恒有1,2(x)均在E上連續(xù)，又Zu'(x)x1x1⑵，若Zu(x)在E上收斂于S(x)，且u'在E上一致收斂，則S'(x)=Zu'(x)。(可逐項微分)一般應(yīng)用(x)均在E上連續(xù)，又Zu'(x)2n—11+xn=1,1—x、

u(x)()n+1解：因為limlu,1—x、

u(x)()n+1解：因為limlunn(x)I=limI—u(x)nT8nT82n+12n—11—x.\=|E1'所以當IIV1，即x>0時，級數(shù)絕對收斂。1+x.1一x.?當II>1，即x<0時，級數(shù)發(fā)散。1+x當1二1=1,即x=0級數(shù)為切（一1）=二，這是一個收斂的交錯級數(shù)。1+x2n-1n=1因此，函數(shù)項級數(shù)蘿^1n（U）n的收斂域為［0，+8）。2n-11+xn=1例2，利用Weiersyrass判別法證明函數(shù)項級數(shù)尤在［0,+8）上一致收斂。1+n4x2n=1xI2n2x1昇、，亍1證：當x>0時，11=——^―=M，級數(shù)乙M=^—1+n4x2（1+n4x2）x2n22n2nn2n2n=1n=1收斂，從而級數(shù)￡［x在［。,+8）上一致收斂。1+n4x2n=1三，幕級數(shù)1,一般概念定義1：由幕級數(shù)列I,（x-%）nj所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)（1）它稱為幕級數(shù)。當x=0時得到幕級數(shù)切axn=a+ax+ax2+—axn+—（2）0n012nn=02，基本性質(zhì)定理1（阿貝爾定理）：若幕級數(shù)（2）在x=x^0收斂，則對滿足不等式IxKIxI的任何x幕級數(shù)（2）收斂而且絕對收斂；若幕級數(shù)（2）在x=x時發(fā)散，則對滿足不等式IxI>IxI的任何x，幕級數(shù)（2）發(fā)散。幕級數(shù)（2）的收斂域是以原點為中心的區(qū)間，若以2R表示區(qū)間的長度，則稱R為幕級數(shù)的收斂半徑，稱（-R,R）為幕級數(shù)（2）的收斂區(qū)間。定理2：若幕級數(shù)（2）的收斂半徑為R>0，則在它的收斂區(qū)間（-R,R）內(nèi)任一閉區(qū)間［a,b］上級數(shù)（2）都一致收斂。定理3：對于幕級數(shù)（2），若lim氣：1uI=p，則當nnT3（i）0Kp<+8時，幕級數(shù)（2）的收斂半徑R=1；p（ii）p=0幕級數(shù)（2）的收斂半徑R=+8；(iii)p=+8冪級數(shù)(2)的收斂半徑R—0。在收斂區(qū)間內(nèi)和函數(shù)s3)連續(xù)，可逐項微分，逐項積分。定理4：(i)幕級數(shù)(2)的和函數(shù)是(-R,R)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；(ii)若幕級數(shù)(2)在收斂區(qū)間的左(右)端點上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點上左(右)連續(xù)。定理5：設(shè)幕級數(shù)(2)在收斂區(qū)間(-R,R)上的核函數(shù)為f,若x為(-R,R)內(nèi)任意一點，貝U(i)f在x可導，且f'(x)—工naxn-i;nn—1(ii)f在0與x這個區(qū)間上可積，且jxfQ)H-工--a^-Xn+1。0tn+1n—03,函數(shù)的幕級數(shù)展開定義1:如果函數(shù)f在x—x0處存在任意階的導數(shù)，這時稱形式為f(x)+f'(x)(x一x)+f(*0)(x一x)2+…+f(n)(*0)(x一x)n+…(3)的級數(shù)0002!0n!0稱為為函數(shù)f在x0的泰勒級數(shù)。如果f能在x0的某領(lǐng)域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)f在x0的這一領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù)，并稱等式f(x)=f(x)+f'(x)(x一x)+f(“0)(x一x)2+…+f(n)(“0)(x一x)n+…的右邊0002!0n!0為f在x—x0處的泰勒展開式，或稱幕級數(shù)展開式。在實際應(yīng)用上，主要討論函數(shù)在x0—0處的展開式，這時(3)式可以寫作f(0)+f'(0)x+/"辰x2+...+丑四xn+…稱為麥克勞林級數(shù)。2!n!一般應(yīng)用(1)，收斂域與展開例1，將函數(shù)f(x)—三展開成(x-2)的幕級數(shù)，并指出其收斂域。x2解E=iX-2)(—-2心古，及重要公式上=工(―1)〃-1加-1(1X1<1)，得1+Xn=1f(X)=匕=-胃(—)'X22]+X-2~^2~f[工(-1)n-1(頊)n-1]'2n=12X-2""

=-—(一1)n-12n=2n—1(X—2)n-22n-1=￡(-1)n^-1(X—2)n-1(|^-2|<1，即0<X<4)。2n、'2n=2(2)，求和例2,試求級數(shù)切(-1)n"2；+1的和。n=0解：所求級數(shù)的和為幕級數(shù)尤(n2+n+1)Xn在x=-1的值，設(shè)n=02S(x)=工(n2+n+1)Xn=工[n(n+1)+1]xnn=0n=0=工n(n+1)Xn+工xn(|x1<1)，n=0n=0不妨再設(shè)g(x)=工n(n+1)Xn-1(|xl<1)，n=1則卜[jXg(X)d]d00Ex2Xn+1=XX1—Xn=1故g(x)=(三)"=^^，所以1—X(1—x)3S(X)=切(n2+n+1)xn=x尤n(n+1)xn-1切xnn=0n=1,、12x1=Xg(X)+=+1—X(1—x)31—Xn=01+X2(|X|<1)(1—x)31+X2|(1—X)3X=-_101=272號.n2+n+1乙(—1)nn=010四，傅里葉級數(shù)1,一般概念對于級數(shù)A+￡Asin(n①x+中)，只要當w=1(如果w。1，可用&x代替x)，n=1由于sin（nx+甲）=sin甲cosnx+cos甲sinnx所以A+切Asin（nwx+中）=A+切（Asin中cosnx+Acos中sinnx）（1）。0nn0nnnnn=1n=1a=-20,Asin中=a，Acos中=b,n=1,2,…，則級數(shù)（1）可與成a0+工（acosnx+bsinnx）（2），它是由三角函數(shù)列1,cosx,sinx,cos2x,sin2_￥,???,cosnx,sinnx,—所產(chǎn)生的一般形式的三角級數(shù)。2,基本性質(zhì)定理1：若級數(shù)伊」+工(|aI+1bI)收斂，則級數(shù)(2)在整個數(shù)軸上絕對收斂且2nn一致收斂。定理2：若在整個數(shù)軸上f(x)=號+切(acosnx+bsinnx)n=0且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式:iRa=f(x)cosnxd,n=0,1,2，…，b=上卜f(x)sinnxd,n=0,1,2，…，(3)n兀一兀x一般地說，若f是以2兀為周期且在L兀,兀］上可積的函數(shù)，則可按公式(3)計算出a.和^，它們稱為f的傅里葉系數(shù)，以f的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱為f的傅里葉級數(shù)，記作f(x)?紜+工(acosnx+bsinnx)。(4)定理3：若以2兀為周期的函數(shù)f在L兀，兀］上按段光滑，則在每一點xcL兀，兀］f的傅里葉級數(shù)(4)收斂于f在點x的左，右極限的算術(shù)平均值，即'(**°)+'(*_—=幻+尤(acosnx+bsinnx),其中a,b為f的傅里葉系數(shù)。22nnnnn=1預(yù)備定理1(貝塞爾(Bessel)不等式)：若函數(shù)f在［-兀,兀］上可積，則其中a,,氣為f的傅里葉系數(shù)，稱為貝塞爾不“o+工(a2+b2)<1卜f2(x)d，21其中a,,氣為f的傅里葉系數(shù)，稱為貝塞爾不預(yù)備定理2：若f(x)是以2兀為周期的函數(shù)，且在L兀,兀］上可積，則它的傅里葉級數(shù)部分和S”(x)可寫成七(x)=上j兀f(x+1)-Ksin(傅里葉級數(shù)部分和S”(x)可寫成七(x)=上j兀f(x+1)-Ksin(n+—)td，當t=0時，被2sin't2限來確定。3，以2l為周期的函數(shù)的展開式設(shè)f是以21為周期的函數(shù)，通過變量置換7=t或x=?可以把f變換成以2兀為周期的t的函數(shù)F(t)=f(約。若f在L/,/］上可積，則F在L兀,兀］上也可積，兀這時函數(shù)F的傅里葉級數(shù)展開式是：F(t)?“o+工(acosnt+bsinnt)n=1TOC\o"1-5"\h\z其中a=—卜F(t)cosntd,n=0,1,2，…，n兀-兀t,1，b=—JF(t)sinntd,n=1,2，…，因為牛=t,所以f(x)=F(t)=f(竺,于是得l兀a，",nnxnn^^1Rnnx,f(x)?一o+，(acos+bsin)(5)與a=lf(x)cosd,n=0,1,2，…，2nlnlnl-llxn=1b=1jlf(x)sin岑d,n=1,2，…，(6)這里(5)式是以2l為周期的函數(shù)f的傅里葉nl-llx系數(shù)，(5)式是f的傅里葉級數(shù)。設(shè)f是以2l為周期的函數(shù)，或是定義在Ll,l］上的偶函數(shù)，則在Ll,l］上，

是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，方切an—1數(shù)。cos竺F稱為余弦函數(shù)，￡bsin竺是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，方切an—1數(shù)。4一般應(yīng)用(1)展開與求和例1,將函數(shù)f⑴=2+Ix1(-1<x<1)展開成以2為周期的Fourier級數(shù)，并由此求級數(shù)￡—的和。n2n=1解：函數(shù)f(x)是符合Dielchlet條件的偶函數(shù)，故級數(shù)中的b—0，只需計