同構(gòu)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

同構(gòu)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用【類型1】同構(gòu)式在不等式中的應(yīng)用如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性，可以比較大小或解不等式。-f(x)f(xJ⑵k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1kx2f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx為增函數(shù)x1x2/af(x1)f(x2)kk(xx2)kkkkk⑵(xix2)f(xi)f(x2)——f(xi)-f(x2)-yf(x)一為x1x2x1x2x1x2x2x1x1x2x減函數(shù)。含有地位同等白^兩個(gè)變量xi,x2或p,q等不等式，如果整理(即同構(gòu))后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性(需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大小)5(x1)2xsin(x1)3nrt【例1】設(shè)x,yR,滿足，則xy(y1)52ysln(y1)15(x1)52(x1)sln(x1)1-,【思路分析】本題研究對(duì)象并非x,y,而是x1,y1,進(jìn)而可變形為[，觀察上下(y1)52(y1)sln(y1)1兩個(gè)式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而可將相同結(jié)構(gòu)視為一個(gè)函數(shù)，而等式右邊兩個(gè)結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解。5(x1)52xsln(x1)35_(y1)2ysin(y1)1(x1)55(x1)52xsln(x1)35_(y1)2ysin(y1)1(x1)5(y1)52(x1)sln(x1)2(y1)sln(y1)1，設(shè)f(t)1t52tslnt,易知yf(t)是奇函數(shù)，由題可知,f(x1)1f(y1)1f(x1)f(y1),x1(y1)xy2。【例2】不等式(x21)1011x20222x210的解集為2/、10112),2、101122、101122、1011/21011【解析】不等式可以變形為(x1)x1(x)x0,(x)x(1x)1x,令f(x)xx,f(x2)f(1x2),顯然f(x)在R上單調(diào)遞增，x21x2,x2-,—xY2,故不等式的解集為222、222，2.【例3】如果cos5sln57(sln3cos3),0,2,那么的取值范圍是【思路分析】本題很難去直接解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于sin,cos的項(xiàng)分居在不等號(hào)兩側(cè)，則左右53呈現(xiàn)同構(gòu)的特點(diǎn)，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f(x)x7x?！窘馕觥縌cos5sin57(sln3cos3),cos57cos3sin57sln3,設(shè)f(x)x37x,易知f(x)x37x是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故f(cos)f(sin)等價(jià)于cossin，結(jié)合正弦函數(shù)圖像與余弦函數(shù)圖像，易得易得【例4】若0為X21,則()Aex2Aex2ex1Inx2Inx1B.exex2Inx2Inx1C.x2eX1x1eX2D.x2eX1x1ex2xixi,x2分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點(diǎn),所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在(0,1)上的單調(diào)性即可。1【解析】A選項(xiàng)：e2e1Inx21nxie2Inx2e“1nxi，設(shè)f(x)eInx,f'(x)e—,xx1f''(x)exF0,而f'(1)e10,f'(0)0,x(0,1),st:f'(%)0,f(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，xTOC\o"1-5"\h\z在(x0,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,1)不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立；B選項(xiàng)：ex1ex2Inx2Inx1B.ex1Inx1ex2Inx2,設(shè)f(x)exInx,易知f(x)exInx在(0,1)單調(diào)遞增,所以f(x1)f(x2),故錯(cuò)誤；(x2/，則f'(x)(x2/，則f'(x)0在(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)xv%eeeC選項(xiàng)：x2ex1x1ex2—J,設(shè)f(x)—,f'(x)x1x2x單調(diào)遞減，故f(x1)f(x2)成立；C選項(xiàng)：由C選項(xiàng)分析過程易知D選項(xiàng)錯(cuò)誤綜上所述，答案選C?！纠?】若函數(shù)f(x)jx~7m在區(qū)間a,b上的值域?yàn)?,-(ba1),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為22f(a)【思路分析】注意到f(x)是增函數(shù)，從而得到f(b)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而a,b為該方程的兩個(gè)根，a2,f(a)【思路分析】注意到f(x)是增函數(shù)，從而得到f(b)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而a,b為該方程的兩個(gè)根，a2,即b2,b1a2,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子為b2m的取值只需要保證方程有兩根即可。a,b的同構(gòu)式，進(jìn)【解析】Qf(x)是增函數(shù),aaf(a),a1m2,即2f(b)—bb―1m—22a,b為方程?—1m-在1,2m—&—1有兩個(gè)不同的根。令tVx—1,t0,得x1t2,所以方程變形為m-(t21)t22上的兩根，即12…二(t1)2,結(jié)21合圖像可得m0,—。2【例6】設(shè)a,bR,則“ab”是“aabb”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【思路分析】觀察aab|b|可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f(x)x|X，分析其單調(diào)性?！窘馕觥吭O(shè)f(x)XXx2,x0,結(jié)合圖像可知，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以abf(a)f(b),即“ab”x2,x0是"a|a|b|b|"的充要條件。1O【例7】已知函數(shù)【思路分析】觀察aab|b|可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f(x)x|X，分析其單調(diào)性?！窘馕觥吭O(shè)f(x)XXx2,x0,結(jié)合圖像可知，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以abf(a)f(b),即“ab”x2,x0是"a|a|b|b|"的充要條件。1O【例7】已知函數(shù)f(X)alnx-x2(a0),若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有2f(X1)f(X2)2恒成立,X1X2則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1a【解析】法一：易知函數(shù)f(x)alnx-X2定義域?yàn)?0,),f'(x)一x,Q對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)為,x2,2x2恒成立，故Wx2在(0,)上恒成立，即ax22x(x1)21,故實(shí)數(shù)a的取值范x圍為1,12法一：易知函數(shù)f(x)alnx-xte義域?yàn)?0,2),Q對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)X1,X2,都有f(X1)f(X2)2恒XiX2成立，不妨設(shè)xix2,則有f(X1)f(x2)2(x1X2)，即f(Xi)2x1f(X2)2x2,令g(x)f(x)2x,則g(x)f(X)2X在(0,)上單調(diào)遞增，g'(x)f'(x)2axx20在(0,)上恒成立，故芻xx2在(0,)1,AcabB.abcC.cbaDbac【解析】又a,b,c兩邊都取自然對(duì)數(shù)得lnaeln1上恒成立，即ax22x(x1)21,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為上恒成立，即ax22x(x1)21,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為e1【例8】已知a11,b11,c43,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a,b,c的大小關(guān)系是eTOC\o"1-5"\h\ze3xx得上,、x1n(X),設(shè)g(x)/一ln(x1)得g(x)2,0,g(x)在(0,)單調(diào)遞減，f(x)2x1(x1)x1.1.g(x)g(0)0,f'(x)0,f(x)在(0,)單調(diào)遞減，又Inaf-,lnbf-,lncf(3),e,,1,1f(3)f-f一,cab。e【例9】若對(duì)于任意的0【例9】若對(duì)于任意的0工qx21nxix1lnx2X1X2a都有-一=21,則實(shí)數(shù)a的最大值為()x1x2A2eB.eC.2A2eB.eC.2D.1x2Inx1x1Inx2Inx11nx211r為x2x1x2x2x1【斛析】Q1,x21nxix11nx2x1x2,兩邊同時(shí)除以為*為x2x1x2x2x1Inx11Inx2Xix1x2x21…1Inx1一，則f'(x)———xxxInx人Inx，口r。令f'(x)。得0x1,xx故實(shí)數(shù)a的最大值為1。【例10】已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf(x1)【例10】已知函數(shù)f(警)的值為(A01B.-2C.15D.-2【解析】觀察條件可變?yōu)閒(x1)UN,從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為他的形式，且括號(hào)內(nèi)的數(shù)間隔為t1,2015

f(c)2201522013

f(c)220132f(2)124，Qf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，故2201511f(2)f(2)f(2)。，進(jìn)而也全22015f(2)0。a【例11】已知函數(shù)(x)—a_,a是正常數(shù)，若g(x)Inx(x),且對(duì)任意A01B.-2C.15D.-2【解析】觀察條件可變?yōu)閒(x1)UN,從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為他的形式，且括號(hào)內(nèi)的數(shù)間隔為t1,2015

f(c)2201522013

f(c)220132f(2)124，Qf(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，故2201511f(2)f(2)f(2)。，進(jìn)而也全22015f(2)0。a【例11】已知函數(shù)(x)—a_,a是正常數(shù)，若g(x)Inx(x),且對(duì)任意x”x20,2都有x1g(x2)g(xj1求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【思路分析】觀察到已知不等式為輪換對(duì)稱式，所以考慮定序以便于化簡，令為,則不等式變形為g(x2)g(x)x〔x?,將相同變量放在一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn)，所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h(x)g(x)x,從而由x2X且h(x2)h(xj可知，只需h(x)為增函數(shù)即可，只需不等式h'(x)0即可，從而求出實(shí)數(shù)a的范圍?！窘馕觥坑深}可知,g(x)InxQg(x2)g(x1)1,不妨設(shè)為xx2為貝Ug(x2)g(x1)x1x2,即g(x2)x2g(x1)x1。設(shè)h(x)g(x)x,Q為x2,g(x2)x2g(x1)h(x2)h(xj恒成立,則h(x)g(x)0,2上單調(diào)遞增，即h'(x)0在0,2恒成立。h(x)Inx則h'(x)1a12x(x1)a(x1)20,即a(x1)2(x1)2..--心恒成立，所以只需要x(x1)2(x1)2Oxmin令p(x)(x1)2(x1)2

x2(x1)xp'(x)2(x1)2x(x1)2(x1)2(2x1)1、p(x)在(0,一)單倜遞

211.27_27減，在(2,2)單倜遞增’P(XLnP(2)工,實(shí)數(shù)a的取值范圍為0ah【類型2】指對(duì)跨階同構(gòu)★指對(duì)跨階同構(gòu)的基礎(chǔ)(1)InexxxInxxInxxxInxee；⑵xeeee；⑶一xxe-InxeInxx(1)InexxxInxxInxxxInxee；⑵xeeee；⑶一xxe-InxeInxx；(4)—eInxexeInxxexxexeInxexInxx⑸xInxInexInxIn(xex)；⑹xInxInxInxIn—；(7)ex

xxInxexInxxxxe2:xe2:xeInxxeInxxx2Inxex2Inxex2lnx1e(x2lnx)★對(duì)跨階同構(gòu)三種基本模式:同右：aaeInebInbf(x)xInx⑴積型：aeabInb同左：取對(duì)：aInbae(Inb)eaInaInbf(x)In(Inb)xxef(x)xInxm如：2x3Inxme,,x■InxIogax兩邊互為反函數(shù)，所以還可以這樣化為aIogaxaxIna——22xInxmmx2,—exInxxm2mxexx；【注意】在對(duì)”積型“進(jìn)行同構(gòu)時(shí),取對(duì)數(shù)時(shí)最快捷的，向構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知。⑶和差型:如：eaxa同右：eabx,ef(x)一IneInbxabaInbe同左：eexf(x)aInbaInbInx取對(duì)：aInaInbIn(Inb)⑵商型:f(x)xaxInb同左:同右:aeaeInbaeIneabInbInbf(x)f(x)InxInxIn(x1)xax1eaxIn(x1)eIn(x1)axIn(x1).Inx.Inxx■xeIne從以上三種模型可以看出，對(duì)于指對(duì)跨階型同構(gòu)，主要抓住一點(diǎn)★同構(gòu)變形技巧:⑴aeaxInxaxaxe⑵exaIn(axa)axInx,1x—ea后面的轉(zhuǎn)化為積型結(jié)構(gòu)Ina(x1)1xInaeInaIn(x1)1xInaexInaIn(x1)xIn(x1)1eIn(x1)xInaIn(x1)⑵axIogaxxInaeInx_xInaeInaInxxInaexInaInaxInx,后面的轉(zhuǎn)化為積型結(jié)構(gòu)【注意】由于ax對(duì)于某些不等式，兩邊互為反函數(shù)是比較隱蔽的，若能發(fā)現(xiàn)，則難者亦易矣。如:-e*******x1lna(x1),左右兩邊a11x111互為反函數(shù)，所以只需一ex1x,即一所以可得一。aaeae★常見的一些同構(gòu)變形：①xexxlnxxexinx.e1nx可以構(gòu)造函數(shù)f(x)xex來進(jìn)行研究為x2inxalnaainxx2lnxaln-xlnx31n3,可以構(gòu)造f(x)xinx來進(jìn)行研究xxxx③e1ln(axa)(a0)axxee一ln一ln(x1)xaaxxee一1lnaln(x1)一xlnaaa1,可以構(gòu)造f(x)xlnx來進(jìn)行研究ln(x1)x1x—xalnxax0—ln—xxxeeea1xxalnxxxealnxxexeaxxalnxa,可以構(gòu)造f(x)xlnx來進(jìn)行研究alnx.ea1nx，可以構(gòu)造f(x)xee【例e【例14】已知實(shí)數(shù)，滿足ee3,(ln1)e4,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ln【解析】由已知可得eeln-e—ln—ln—ee,設(shè)f(x)xex,則f()fln-,當(dāng)然f(x)在eeeee【例12】設(shè)實(shí)數(shù)0,若對(duì)任意的x(e2,),關(guān)于x的不等式exlnx0恒成立，則的最小值為【解析】Qexlnx0,exlnx,xexxlnxxexlnx.e1nx，令f(x)xex,f(x)f(lnx),顯然f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，xlnx叫二令g(x)膽，當(dāng)x(e2,)時(shí)，g'(x)11nx0,g(x)在區(qū)間TOC\o"1-5"\h\zxxx(e2,)單調(diào)遞減，叫g(shù)(e2)馬，故的最小值為~1.xmaxee【例13】設(shè)a0,若對(duì)任意的x(0,),不等式aeaxlnx0恒成立，則a的最小值為()A1eB.—2ec.2eA1eB.—2ec.2e“3lnxlnxlnx【解析】法1：Qyeax與y——互為反函數(shù)，Qeax——0,只需要eaxx0即可，即axlnx,則a——，aaxlnx、1lnx1lnx1lnx設(shè)g(x)——,g'(x)——2—，令g'(x)——2—0,得0xe,令g'(x)———0,得xe,故xxxx

(0,)上單調(diào)遞增,【例15】已知(0,)上單調(diào)遞增,【例15】已知a0,不等式ln—ea1xxe一,得e1，又ee3e1e4ealnx0對(duì)任意白實(shí)數(shù)x1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為【分析】xa1exalnx0,xexa1nxalnx.ea1nx，構(gòu)造函數(shù)f(x)xex,f(x)f(alnx)顯然，f(x)在axe,故實(shí)數(shù)e,故實(shí)數(shù)a的最小值為(0,)上單調(diào)遞增，故xalnxa一，易得a—lnxlnxmax【例16】已知函數(shù)f(x)exaln(axa)a(a0),若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為x【解析】法一：f(x)exaln(axa)a0恒成立，exaln(axa)aeln(x1)lna1,axlnaxlnaxlnaxlnaln(x1)exlnaln(x1)x1,exlnaeln(x1),令g(x)exx,易得g(x)在(1,)上單調(diào)遞增，xlnaln(x1),lnaln(x1)x,ln(x1)xx2x2,lna2,0ae2,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,e2)。法二：f(x)0exaaln(axx

e

即1

aln(axa)Inaln(x1)xe一lnaln(x1)1axe—法二：f(x)0exaaln(axx

e

即1

aln(axa)Inaln(x1)xe一lnaln(x1)1axe—xaInaln(x1)ln(x1)x1,構(gòu)造函數(shù)f(x)x

ef—f(x1),顯然af(x)在(0,)上單調(diào)遞增,x_ea,x1x設(shè)h(x)e,x1h'(x)ex(x1)exex(x2)(x1)2(x1)2,令h'(x)0可得x令h'(x)0可彳導(dǎo)1x2，故h(x)minh(2)的取值范圍為(0,e2)?！纠?7】已知不等式xalnxxa對(duì)x(1,)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為(【例17】已知不等式xalnxxa對(duì)x(1,)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為(C.eD.2e【解析】Qxalnx1aaaax,x—xalnxxlnx,e1ln—xlnx,構(gòu)造函數(shù)f(x)xlnx,e1.1x1fvf(xa),Qf'(x)1———，易得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減。當(dāng)x1時(shí),exx1,xa與1的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí)0xa1;當(dāng)0x1時(shí)，f(x)單1xxlnx1倜遞減，故二x,兩邊取對(duì)數(shù)xalnx,a,令g(x)—,則g(x)2—,g(x)在(1,e)上elnxlnxlnx單調(diào)遞增，在(e,)單調(diào)遞減，g(x)g(e)e,故a的最小值是【例18］若函數(shù)f(x)x(e2xa)Inx1沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為【解析】注意到x時(shí)，f(x)0,要使函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，只需f(x)0在(0,)上恒成立，而而f(x)x(e2xa)Inx1e2xlnxaxInx12xInx1axInx(2a)x,令(2a)x0得a2,且上面不等式取等時(shí)2xInx0,記其零點(diǎn)為小，當(dāng)a2時(shí)，f(x0)x0(e2x0a)Inx01e2x01nx°ax0Inx01e2x01nx02x0Inx。10,顯