高數(shù)復(fù)習(xí)題庫100題

考點19.利用拉格朗日中值定理證明連體不等式102、試證：當。>匕>0,〃>1時，nb'-'(.a-b)<cf-b'<nd''(a-b).證明：構(gòu)造函數(shù)/(x)= >1).,顯然函數(shù)在［〃,a.上連續(xù)且可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理的條件，從而存在b<長<a使頷a)-<6)=〃長"(a-b)即cf-b'=〃長1H(a-b)［b<長<a),又因為nbr'(a-h)<n長"(a-b)<nd''(a-b),故〃"t(a-b)<a"-bn<nd11(a-b).當天>0時，證明：不等式x<ex-\<xex證明：構(gòu)造函數(shù)火x)=e1則/(x)=",當X>0時，函數(shù)次x)在區(qū)間［o,x.上連續(xù)且可導(dǎo)，即滿足拉格朗日中值定理的條件，所以，=/(長江,(0<長<x),即e匚1=eKx,(0<長<x).而x<e長x<xe',故當當x>0時，有x<e'-I<xe'TOC\o"1-5"\h\z1 1 1</(a>1,〃21)aa**</(a>1,〃21)a.證明：二<?_(?+I)3Ina證明:構(gòu)造函數(shù)/□)=￡:，它在區(qū)間_L_ 內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知,ina L-1至少存在長￡至少存在長￡島9使得宿一/島卜次母島i?即有島卜二回島〈華)

I 1而有所以a/<a-<而有所以(n+I)2n(n+1)n2)1_ iiia**4/，-a"】/""/、1oix

7< <-="3>1,〃21)(n+1)Inaa.證明：當x>0時，—<ln(x+l)<xx+1證明：構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(x+1),它在區(qū)間［0,x］(x>0)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，至少存在長e(0,x),使得於)-施)=H(長)x,即有l(wèi)n(x+1)=之猖<假x),而有 」一<*J"1+x I長所以 —<ln(x+l)<x14^.試證：當〃>/?>0,n>1時，nlf'\a <nanX(a-h).證明：構(gòu)造函數(shù)*X)=X"(〃>1),顯然函數(shù)在［40上連續(xù)且可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理的條件,從而存在b<長<a使欲a)-<份=〃長""(a-b)即 a"-b"=張”|(。-6)(bv長<a)又因為〃/嚴(a-6)<〃長""(a-b)<na"'l(a-b),故nbn'(a-b)<a"-bn<na(a-b).考點20.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間.函數(shù)y=雷的單調(diào)減區(qū)間為.2.1解：yl=—x,<0.x<0.(-O,0).3.函數(shù)*x)=—的單調(diào)遞增區(qū)間為1+JC答案：(-O,-2)和(0,+O)解：函數(shù)的定義域為(-o,-l)u(-1,+O),又H(x)=W+七=總+?令/l(x)>0.x>0或x<-2.故單調(diào)增a+力2(i+*y0+4加區(qū)間為(-0,-2)和(0,+O).求曲線y=x3-3x+2單調(diào)區(qū)間和極值。解：函數(shù)的定義域為)-o,+o),yl=3爐-3=3(%+l)(x-1).令yl=0,可得駐點X1=1,x2=-1,列表:X)-0,-1)-1)T，1)1)1,+。)十0-0十y4、0X由此可知：函數(shù)在區(qū)間>。,-1)和)1,+o)上單調(diào)遞增，在區(qū)間)-1,1)上單調(diào)遞減;在x=-1處取得極大值4,在％=1處取得極小值0..曲線/(x)=ax'+br+x在x=1取得極大值5,求/(x)的極小值。解：/(x)=3ar+2hx+1,TOC\o"1-5"\h\z. 2=-9函數(shù)&=1處取得極大值可得：人1)=5,/(I)=0,即｛.，解得｛. .*+乃+1=0 [?=13'fix)=-9x*+13jt+x,yl(x)=-27U+26x+1=(27x+l)(-x+1).令/l(x)=0,可得駐點M=1,x2= ，列表:X戶-2741一271副1)1+0)M-0+0-y4121875由此可知：函數(shù)的極小值為/'(-1-)=±1.27 2187考點21.求函數(shù)的極值或極值點.下列說法正確的是A.函數(shù)的極值點一定是函數(shù)的駐點B.函數(shù)的駐點一定是函數(shù)的極值點C.二階導(dǎo)數(shù)非零的駐點一定是極值點D.以上說法都不對解：根據(jù)駐點和極值點關(guān)系知，A、B均不正確，C二階導(dǎo)數(shù)非零也有可能二階不可導(dǎo)，并非一定大于0或小于0,如函數(shù)/(x)= ，x=0是駐點，二階導(dǎo)數(shù)也非零，但不是極值點.應(yīng)選D.112.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，在點演,處不可導(dǎo)，x0E(a,b),則( )A,看是大幻的極大值點 B、玉)是汽外的極小值點C、/不是/(x)的極值點 D、玉)可能是/(X)的極值點答案：D解：根據(jù)極值點的定義可知：極值點是駐點或者是不可導(dǎo)點，所以不可導(dǎo)的點可能是極值點.D113.若/(X)和g(x)在x=/都取得極小值,A. 必取得極小值 1C. 不可能取得極值 1解：在X。的某去心鄰域內(nèi)有/(X)+g(x)＞也則函數(shù)/(X)+g(x)在X=X。處3.必取得極大值D.可能取極大值，也可能取極小值))+g(x())，應(yīng)選A.

114.已知函數(shù)/(x)=，，114.已知函數(shù)/(x)=，，討論其單調(diào)性及極值.解：函數(shù)7U)的定義域為X。1,且/(X)=含常在定義域內(nèi)都有意義.令/!(%)=0得駐點工=0,x=3,它們把定義域分成四個區(qū)間，列表如下:X)-0.o)0(0,1)(1,3)3)3,+。)H(x)符號+0+0+一X)的刀0刀*274刀所以函數(shù)/U)單調(diào)減區(qū)間為)1,3),單調(diào)增區(qū)間為)-0,1),)3,+o).27在x=3時取得極小值/*(3)=彳,無極大值.115..設(shè)曲線/)=a?+bx2+x在x=1取得極大值5,求/(x)的極小值解：yl(x)=3加+2bx+L函數(shù)在1處取得極大值可得：yu)=5,/(i)=o,即｛. ■解得｛.即+乃+1=0 3=13々x)=-9X3+13<+x,yl(x)=-27a2+26x+1=(27x+l)(-x+1).令/l(x)=0,可得駐點再=1,x2=-—,27列表：X22741■27127)1)1,+。)yl-0+0-y、4121875、由此可知：函數(shù)的極小值為"一5)=22.考點22.利用函數(shù)的單調(diào)性證明單體不等式.116.證明：當0<工<4時，cosx<--—+1.2 62證明：構(gòu)造函數(shù)兒￥) +1-cosx,則yl(x)=—-x+sinx,6 2 2yl(x)=x-1+cosx,/ll(x)=1-sinx,因為=1-Sinx>0,所以/(x)在0<X<Z內(nèi)增函數(shù)，所以0<x<E時，fl(x)>yll(O)=0,故/(x)在0<x<三內(nèi)也是增函數(shù),2 2所以ovx<E時，yl(x)>yl(o)=o,故y(x)在o<x<色內(nèi)也是增函數(shù),所以0<X<M時，<幻><0)=0,即有cosx<---+1成立.2 6 2117.當x>0時,arctanx+—>—x2證明：構(gòu)造函數(shù)/(x)=arctanx+白-三，它的定義域為(-O,0)U(0,+O),*2.11-1則/|。)= -F 1~~5T-5-<0,1+/ ， (1+AT>所以函數(shù)ZU)在(0,+O)內(nèi)是減函數(shù)，而Hm/x)=0,所以當+o>X>0時，/+O)<7U),即凡。>lim/x)=0.X-M?故,為>0時，arctanx+—>—.x2.當x>0時，(1+x)e~lr>1-x證明:領(lǐng)x)=(1+x)e。-(1-x),貝ij/(x)="(1+2x)e'2'+1,/(x)=4xe2x,當x>0時，直/l(x)=4xe2x>0,所以/(x)是增函數(shù)，從而直H(x)>,Ao)=0,故/U)也是增函數(shù)，即有/U)>10)=0.所以當x>0時，(1+x)/21>1-x成立..證明：當l>x>0時，21n(1+x)+In2(l+x)<2x證明:令?x)=2x-2ln(l+x)-In2(1+x),則/(x)= [x-ln(l+x)],1+x再令g(x)=x-ln(l+x),有g(shù)l(x)=1——=—>0,1+x1+x所以g(x)在1>X>0內(nèi)是增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=0；故/l(x)=>0,所以/(x)在1>x>0內(nèi)是增函數(shù)，即有/U)>A0)=0,1+彳所以當1>x>0時，2ln(l+x)+ln2(l+x)<2x..證明：當x>0時，(1+x)ln(l+x)>arctanx證明：構(gòu)造函數(shù)/(x)=(1+x)ln(l+x)-arctanx則/(x)=1+ln(l+x)- >0，所以/(x)在[0,+O)內(nèi)為增函數(shù)，而_/(0)=0,故，當x>0時，j(x)>/0)=0,即有(1+x)ln(l+x)>arctanx成立考點23.求曲線的凹凸區(qū)間..函數(shù)")=V-5V+3x+5的凹區(qū)間為.解：H(x)=3<-10x+3.yll(x)=6x-10>0.x> ,+0.求函數(shù)y=ln(f+1)的凹凸區(qū)間解：函數(shù)/(x)的定義域為(-0,+O)，X/I(x)=怖寧，所以力⑶=令H(x)=0,可得x=1或-1.令H(x)>0,有-1<x<1；令H(x)<0,可得X>1或X<-1.因此)-0,-1)和)1,+O)是函數(shù)的凸區(qū)間，)-1,1)是函數(shù)的凹區(qū)間.町(x)=(x-3)(x+1),x￡(-0,+0),則曲線在區(qū)間(3,+O)內(nèi)()A.單調(diào)增加且是凹的 B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的 D.單調(diào)減少且是凸的解：在(3,+O)內(nèi)/(x)>0恒成立，因此曲線在(3,+O)內(nèi)單調(diào)增加；在(3,+O)內(nèi)/(x)=2x-2>0,因此曲線是凹函數(shù),選A..函數(shù)y=白9-爐的凹區(qū)間為 ( )2A.(-0,0) B.(0,+O) C.(~0,+0)D.(-0,1)解：該函數(shù)的定義域為(-0,+0),yl=x-e',yl=1- ；令yl>0,可知x<0,即xG(-0,0),選A.考點24.求曲線的拐點坐標.曲線y=%-d的拐點坐標為.答案：(0,-1)解：y\=x-e',yl=1-,令yl=0.x=0,此時y=-1.當x>0時，yl<0；當x<0時，yl>0.故(0,-1)是曲線的拐點..設(shè)函數(shù)y=大幻在區(qū)間3,份內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則點(c,火c))(a<c<h)是曲線y=fix)的拐點的充分條件為 ( )A,71(c)=0 B、/(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加C、/(c)=0,川尤)在(a,份內(nèi)單調(diào)增加D、川無)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少答案：C解：根據(jù)拐點定義知，在點左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號即為拐點的橫坐標，只有c能得到點(c,7(c))是拐點.應(yīng)選C..曲線y=_?+5尤-2的拐點是

A、x=0B、(0,-2)A、x=0B、(0,-2)C、無拐點D、(0,2)答案：B解：yl=6c,令yl=0,可得x=0,此時y=考點25.函數(shù)極值，最值，單調(diào)性,凹向性，拐點結(jié)合綜合題3-128.函數(shù)4元)=x--X*的極值點的個數(shù)為A.0個 B.1個.1!解：1(尤)=1-x*=—.令J\(x)=0,防在這兩點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都是異號，故都是極值點,-2.經(jīng)判斷可知該點是曲線的拐點.故選B.)C.2個 D.3個可得x=1,x=0是導(dǎo)數(shù)不存在的點。顯然選C..點(0,1)為曲線y=加*+bf+c的拐點，則有 ( )Aa=\,b=-3,c=1 B.a為任意不等于零的值,b=0,c=1C.a=l,b=0,c為任意值 D.a,b為任意值，c=l解：點(0,1)在曲線上，且在點x=0處的二階導(dǎo)數(shù)為零，.c=l,yl(0)=6ae0+2b=0.因此c= =0.選B.若在區(qū)間［-1,1.上有/l(x)=(x-I)2,則曲線J(x)在區(qū)間［-1,1.內(nèi)是( )A.單調(diào)減少且是凸函數(shù) B.單調(diào)減少且是凹函數(shù)C.單調(diào)增加且是凹函數(shù) D.單調(diào)增加且是凸函數(shù)解：/l(x)>0恒成立，所以在區(qū)間［-1,1.內(nèi)是單調(diào)增加的/(x)=2(x-1)在區(qū)間［-1,1.內(nèi)是恒小于。的，也就是說在該區(qū)間上是凸函數(shù).選D.設(shè)函數(shù)/(x)滿足H(x)=3-/,若/(/)=0,則有( )A.j(x0)是犬外的極大值 B.火與)是火幻的極小值C.(X。，八/))是曲線*x)的拐點D./U。)不是/U)的極值，(/，九”))也不是是曲線/U)的拐點解：/l(x)=3-d./l(x)="e'./I(xo)<0.由極值的第二充分條件可知，為極大值點。選A..設(shè)函數(shù)y=段)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則點(a<c<份是曲線y=Ax)的拐點的充分條件為A./ll(c)=0 B./ll(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加

C./ll(c)=0,/ll(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加 D./ll(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少解：根據(jù)拐點定義知，在點左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號即為拐點的橫坐標，只有C能得到點(c,7(c))是拐點.應(yīng)選C考點26.求函數(shù)某種形式的漸近線.函數(shù)y=1+ln(l+e')A.僅有水平漸近線 B.僅有垂直漸近線C.既有水平漸近線，又有垂直漸近線 D.既無水平漸近線，又無垂直漸近線[1解[1解:因limy=limTI-+111(1+/)1xIx J=0,所以有水平漸近線y=0；又因Imv=ln(l+又因Imv=ln(l+/)所以有垂直漸近緞=0.應(yīng)選C.134..曲線y=2r+134..曲線y=2r+1x2+3x-4A.有一條水平漸近線，一條垂直漸近線C.有兩條水平漸近線，一條垂直漸近線.()B.有一條水平漸近線，兩條垂直漸近線.D.有0條水平漸近線，兩條垂直漸近線.2+1解:所以y=0是水平漸近線;Im-= =?ins-解:所以y=0是水平漸近線;Xx2r2.v+1 ..2x+1 —..2x+1 2t+1 _hm =lim =Qhm—; =hm =O,+3x-4l-4(x+4)(x-1)x-ix2+3x-4(x+4)(x-1)所以x=1,x=-4是垂直漸近線,選B..函數(shù)y="+ln(l+er)jtA.僅有水平漸近線C.既有水平漸近線，又有垂直漸近線B.僅有垂直漸近線.D.既無水平漸近線，又無垂直漸近線.所以有水平漸近線y=0；又因tov=解：因limv=limTIln(l+e)J?X所以有水平漸近線y=0；又因tov=ln(l+e‘)=O,所以有垂直漸近線x=0.應(yīng)選C..下列曲線有垂直漸近線的是x2-3x-4B.y=evD.y=ln(l+x2)

解：垂直漸近線就是找函數(shù)沒有意義的點，只可能是A或者B,而曠=二~——中》=1不x+1是垂直漸近線，只荀5r=。.因此選B.137.曲線137.曲線y=4x-lA.只有垂直漸近線A.只有垂直漸近線C.既有垂直又有水平漸近線B.只有水平漸近線D.既無垂直又無水平漸近線解：1解：1血：4*2=0.y=0是水平漸近線;一(“一1丁lim^X~\=O.x=1是垂直漸近線。選TQ-1)2考點27.一元函數(shù)最值的實際應(yīng)用問題138.某工廠銷售某產(chǎn)品需做兩種方式的廣告宣傳，當宣傳費分別為x和y(單位：千元)，銷售量是x和y的函數(shù)_200xIQOy

vz一 十,5+x10+y若銷售產(chǎn)品所得的利潤是銷售量的2減去總的廣告費，兩種方式的廣告費共25(單位:5千元).問應(yīng)怎樣分配兩種方式的廣告費，能使利潤最大？最大利潤是多少？解：根據(jù)題意可知，利潤函數(shù)為L(x,y)="-25= -25,(25>%>0,25>y>0)；5 5+X10+J而有約束條件x+y=25,代入得利潤函數(shù)為I,、 40彳,500-20" 、、八、L(x)= + 25,(25>x>0)；5+Jt45T問題就轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.令〃 1600315一-=0得唯一駐點=15,且是定義域內(nèi)唯一可能的極值點，(5+牙(35-*『在該點兩側(cè)Ll(x)左正右負，從而x=15是極大值點，即為最大值點.此時y=10,最大利潤為卬5,10)=竺巫+碼W-25=15.5+1510410故當兩種宣傳方式的廣告費分別為15千元和10千元時，其利潤最大，最大利潤是15千元.

139.由曲線y=0,x=8,y=x2圍成曲邊三角形。48,在曲邊。8上求一點，過此點作y二￡的切線，使該切線與直線段OA、A8所圍成的三角形面積為最大.解:如圖所示,設(shè)切點為。。，垢?)，則％=yl[=Ki=2x0,切線方程為y-x02=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02.該切線與x軸的交點為(&,0),與x=8的2交點為(8,圍成的三角形面積S=Se(8-4)e(16x0-x02)=±-&x()2+64/(0</S8),2 2 4令51=過-+64=0,解得定義域內(nèi)唯一可能的極值點%=—,此時SI<0,故4=”是面積的最大值點.此時耳=—.故所求點切點坐標為(空，空)時，所圍成的三角形面積最大3 9.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費用是400+2jc+3y+0.01(3^+孫+3y元，求取得最大利潤時，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解：L(x,y)表示獲得的總利潤，則總利潤等于總收益與總費用之差，即有利潤目標函數(shù)L(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3/+xy+3y2)]=Sx+6y-0.01(3jt+xy+3y2)-400,(x>0,y>0)."1=8-0.01(6x+y)=0令｛,； /cc”(、八，解得唯一駐點(120,80).iLlv=6-0.01(x+6y)=0又因A=￡|1?=-0.06<0,B=L||=-0.01,C=L|lv=-0.06,得AC-B2=3.5X10-3>o.由定理知：當x=120,y=80時，￡(120,80)=320是極大值.而利潤函數(shù)的定義域是

開區(qū)域，即為最大值.故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時，所得利潤最大..某廠生產(chǎn)電視機x臺的成本C(x)=500+250x-0.0lx2,銷售收益是/?(x)=400x-0.02r,如果生產(chǎn)的所有電視機都能售出，問應(yīng)生產(chǎn)多少臺，才能獲得最大利潤？解：由題意，利潤函數(shù)為：L(x)=7?(x)-C(x)=(400-0.02%2)-(500+250x-0.0lx2)=150x-0.0Ijc2-500,而Ll(x)=150-0.02x,令Ll(x)=0,可得駐點x=7500,此時〃l(x)<0,從而x=7500是最大值點.故當生產(chǎn)7500臺電視機時，該廠能獲得最大利潤..將一長為a的鐵絲切成兩段，并將其中的一段圍成正方形，另一段圍成圓形，為使正方形和圓形的面積之和最小，問兩段鐵絲的長各為多少？解：設(shè)圍成圓形的鐵絲的長為x,則圍成正方形的鐵絲的長為a-X,于是兩圖形的面積之和為S=(―)2=—+4144r16因為Si=二+生？X(-1),令Sl=0,可得x=」一a,此時有Si>0.因此x=」一a2? 8 4+富 4+r就是最小值點.所以當圍成圓形的鐵絲長為上一a,圍成正方形的鐵絲長為一上一a時，兩圖形的面4+< 4+<積之和最小.考點28.涉及原函數(shù)與不定積分的關(guān)系，不定積分的性質(zhì)的題目.143.設(shè)不定積分J(143.設(shè)不定積分J(- =F(x)+C,則函數(shù)F(x)=解：根據(jù)已知條件知：F(x)為-3的一個原函數(shù),所以「(X)="1.選C.

144..若函數(shù)J(x)滿足d/(x)=-sinx*7dx,且/0)=0,則/x)為解：對等式d/U)=-sinxeCO5'dx兩邊同時求積分得/(x)=*'+C；D.ecosvD.ecosvX/(0)=0,可知C=-e.所以/(x)=ecosx-e,選D..設(shè)y(x)的一個原函數(shù)是arctanx,則/(x)=解：/(x)=(arctanx)l=—二,所以y|(x)=--",.1+jc2 (i+y*).設(shè)")有一個原函數(shù)e%,則J/I(x)dx= ( )A.+CB.-2elv+CC.--e2x+CD.e，+C2解：火x)=(e2v)l=-2e2x,所以J/I(x)dx=/)+C=-2r'+。，選B..設(shè)函數(shù)4x)在區(qū)間［a,瓦上連續(xù)，則下列正確的是 ( )A.J/(x)cLr是)的一個原函數(shù) B.j'%x)dx是/(x)的一個原函數(shù)C?7/COdx是-4工)的一個原函數(shù) D.jX/(x)cLr是2狀%2)的全體原函數(shù)解：(J)⑶出)=H。2)，故J'y(x)dx是次3)的一個原函數(shù)，A,D錯誤；,bI兀0公是個常數(shù)，不星/a)的原函數(shù)，故b錯誤；?a=-fix),故J八x)dx是-危)的一個原函數(shù)，所以C正確，選C..設(shè)鞏r)為連續(xù)函數(shù)，則—J：/(x)dx=A加)?A加)?加)B.M)C.-7(a)D.0解：定積分表示一個常數(shù)，因此有7⑺力=0.選D.考點29.利用第一第二換元法或者分部積分法求不定積分..若Jf(x)dx=曳三+C,則JM(x)dx=XA.A.竽+C B.l+C解：Jf(x)dx=萼+CJ(x)=C.xlnx-x+CD.-_2E*+CJ4(x)dr=Jxd/(x)=求x)-J")dr=1-lnx_c=1-21nxt，c,選D.J-：dr=-Jl+cosJx￥?解：I ^—dx=-I r-dco&r=-arctancosx+C.JI+cos2^ '1+cm2*JN三dx=.arctanx . 1 2解：J -dr=Jarctanxdarctanx="(arctanx)"+C.J—_-rZv=Je*+lB.2ln(l+ev)-x+CA.B.2ln(l+ev)-x+CC.x-21n(l+d)+C D.ln(er-1)+C解：J；-卜=J上￥12at=J仆Jj—dx=]dx+2j二)=x+21n(l+ex)+C=21n(l+^)-x+C,應(yīng)選B.也可以對選項的函數(shù)求導(dǎo)進行驗證.TOC\o"1-5"\h\ziQyl(cos2x)=sin2x,且J(0)=0,則J(x)等于 ( )A.cosx+-cos2xB.cos2x--cos4xC.x+-x2D.x--x2\o"CurrentDocument"2 2 2 2解：/l(cos2x)=sin2x=1-cos2x,即yl(x)=1-x.積分可酬(x)=x-+C,又2y(o)=o,可知c=o.選d.已知函數(shù)y=3f的一條積分曲線過(1,1)點，則其積分曲線方程為( )A.y=x3B.y=x3+1C.y=x3+2D.y=x3+C解：y—J3Tdx—x+C,把點(1,1)代入得C=0,應(yīng)選A.Jxj\\(x)dx= ( )A.x/l(x)-Jfix)dx B.a/I(x)-/l(x)+CC.x/l(x)-y(x)+C D.火龍)-x/l(x)+C解：JVRx)公=Jx劭(x)=x/l(x)-J/I(x)dr=x/l(x)-/(x)+C.應(yīng)選C.考點30.綜合運用三種方法求不定積分(計算題).求不定積分Jxln(l+x2)dx.解：Jxln(l+V)dx=gjln(l+)C)6jC-Xrln(I+x2)-J

=rln(l+r)-J__p-dx="rln(l+r)-J="ATln(l+x2)—；r+-ln(l+；r)+C2 2 2Jn2J.求定積分J 7/-Idx..In2J ).1 21I=)2r-2arctan/)：=2-/?解：J,Je*=)2r-2arctan/)：=2-/?158,求J也埒』.COS^JC解：J‘3+^3P4r=J73+2taxesec2xdx=J，3+2tan；dtanxCOSX=；J-V3+2tan^d(3+2tanx)=^J(3+2tan^y+C&力Iarctaiix. ■&力Iarctaiix. ■ .解：J -dr=Jarctanxd--1=--arctanx+I ?="dxI“XJqiS)=--arctanx+J―】言卜--arctanx+ILlx-I-L7d(id)X JJLT1+J2117=--arctanx+Inx-—ln(1+jt)+C.TOC\o"1-5"\h\z.求定積分J￡ 交 dx.解：廣就日河果1舒=Hlsinr=-4-3=五乂\o"CurrentDocument"-Asmi smjr 1一 4考點31.定積分的概念,性質(zhì)和幾何意義等基本題目161.設(shè)/!(%)在［1,2?上可積，且加)=1,/2)=1,J7(x)dr=-1,則j'xf\(x)dx=

()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.1 C.0 D.-l解：JRI(x)dx=J?xdf(x)=xf(x)；-J'f(x)dx=52)-y(l)-J^f(x)dx=2-1-(-1)=2.A.J4 = ()J,1+jc2解：被積函數(shù)叫與cos犬是奇函數(shù)，積分區(qū)間是1VA.n B.-71解：被積函數(shù)叫與cos犬是奇函數(shù)，積分區(qū)間是1V,關(guān)于原點對稱的區(qū)間，所以22J乙a：co&?dr=0.選C.163,設(shè)”)為連續(xù)函數(shù)，則，：/(x)dx= ( )A.冊)-/(a) B.火b) C.-/(a) D.0解：定積分表示一個常數(shù)，因此有eJ⑺力=0.選D.dx".若函數(shù)Ax)滿足4/U)=-Sinx/S'dr,M/(0)=0,則火x)為 ( )A.ermx-1B.esinx C.e'inx-eD.efXKX-e解：對等式WU)=-sinxe'g'dr兩邊同時求積分得犬尤)=+C；又40)=0,可知C=-e.所以/㈤=一°"-e,選D..J1-xdr= ( )A.1 B.2 C.0 D.4解：J；l-xdx=J：(l-x)dx+J：(x-l)dr=(x-gjr2)+之幺-x)=1,選A...]”畫“?cosxdx= ( )A.it B.2兀 C.-n D.0解：被積函數(shù)署:cosx是奇函數(shù)，故在對稱區(qū)間[-兀，兀.上積分為0,選D.考點32.涉及變上限函數(shù)的題目.設(shè)F(x)==「J ,其中7(x)為連續(xù)函數(shù)，則limE(x)=( )x-a° 、*

A.a2 B.cffia) C.0 D.不存在解：lim/*{%))11lim— 111im(2x J(f)dt+jcj(x)))\\JCj(a)TOC\o"1-5"\h\zX個3 X個4-Q a X個7 (I選B.. 1Jv213a|dxJ11C.3D.0A.2C.3D.004-Ii川3選C.0解： [Jf13x|dx川 ]JY13x|dx+ (|，I04-Ii川3選C.0Jl| i(yi3x)ck+ 儼df)dxJl|169.設(shè)函數(shù)/(x)川 sinfdt,g(x)川一+—,則當x個。時，是g(x)的\o"CurrentDocument"5 6A.低階無窮小B.高階無窮小 C.等價無窮小 D.同階非等價無窮小llcwX、解：血)11lim-。，&：\||加岬-皿”根疝I掰g(l) xx小x4+.rTOC\o"1-5"\h\z5 6\ ￡y5川1汕地發(fā)幻廣川hm?，川1加一^川0,應(yīng)選B.

rtOx+X小X+JF4(1+X).ct(x)JI| x1eldt,則合SB。)川 ( )A.3x2 edtB.xV C.3x2 edt+erx3D.不存在o o解：合x)Jll—()Ped川F—Zd/,所以臺郵⑴川3f—Zd/+Jd,選C..若函數(shù)一：/?)山川cos2x,則7U)川.解：兩邊求導(dǎo)得道2x)川12sin2x,即有大幻川Isinx.已知函數(shù)/⑴在[0句上連續(xù)，設(shè)尸㈤川——\f(t)dt,xu[a,b]9試證：用阻)川危).a證明：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知：函)川lim地電處川lim-＞始一＞h40 卜 力布)

-jr -x+h ax -x+hJ川)由+JJ J.AOdr=lim-a u =lim-4— ；h h3h根據(jù)積分中值定理，可知存在點長￡卜,x+/1)，使得J：'梃)di=/(長油.又因_/u）為連續(xù)函數(shù)，所以!呼長）=晚"長）=火幻.故Fl（x）=1加上- =1油五長涉=lim/（長）=y（x）〃Xh h3hh3考點33.簡單函數(shù)求定積分.J；J2x-，dx=.

解:J：j2x-V公=」/一（1-a公==-jJcos'd/=J0s巳〃■ 2考點34.綜合利用積分方法求定積分（計算題）7T27T2|-isin2rjJJ芻)x+sin2a)cof^xdx=.2n 、 k ?n解：JW)x+sin2x)cos2Azix=J2fsin2xco^xdx=-J2tsin22xdx■*2 5 4下175.解:176.—x--sin175.解:176.—x--sin4xal4IM設(shè)J(J⑺力=：￡，貝UJ()A)公=.)兩邊求導(dǎo)符/(x)=2x3,所以f(Jx)=2x’414— |41— .4故］—=ftjx)dx=I—=x^dx=Ixdx=8.人G 人G人設(shè)/W有一原函數(shù)為J，則J"￡)dx=.解：/(幻=(/)1=2x/,所以j"d)公=2J，e'%=qJ?dx-三178.求定積分J"JZ-ldx.2?,+2-2J ；~~2?,+2-2J ；~~d/1+P解：J。J--1dx== =J"ZeT+?dz=Jd/=)2r-2arctanr)'=2-*179.求定積分179.求定積分J白——充——dx.解:?石1 .??%!sec2t解:'Vjl+J--：tan2tsec/s -也」5~<lsinr=-」—=^--一.smtsmx"34180.hlI _0 。 .1 “解:f(x-l)dx=J1/r)d/=Jt(l+j^)dx+j解:(x+jx(x+jx3)j_37_J024e181.設(shè)181.設(shè)/(x)=2,求J7(x)dxx 1X-- <XS71,22解：根據(jù)題意知:Jj/(x)dx=J?sinxdx+J1(x-泉dx=-cosx?+ =cosl+1?fl+Jt,0?x<24.5182.iW)={' /求JJ(x-2)dxI一1,2<744解：令x-2=f,則x=，+2,dr=龍，當x=3時，t=1；當x=5時，t=3.5 .3- .2 .3, j,, 1,all*Jj(x-2)dx-Jf(t)dt= (1+x)dt+J(x--l)dr=(x+—x~)[+(—x3-x)2=—

考點35.積分等式證明JT183.證明j；sin"gj：cos"3.-J：cos"以-J：cos"以=J*cos/7Jr證明：J"sin"M￥==J.sin' 2=J2cosMx6(r.Jo1 2.證明J。xf(x)dx.證明：因為J：力(犬)公=x2J(jC)dx2==i-JJ,q ? J所以J()4(犬)公="Juxf(x)dx..設(shè)/(x),g(x)在［-a,a］上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，J(-x)+J(x)=2,證明:J：/(x)g(x曲=2J；g(x)dx.證明：因為J-f(x)g(x)dx=Jf(x)g(x)dx+J7(x)g(x)dr.而Jfix)g(x)dr=J°/H)g(-r)d(-f)=J%-t)g(/)d/=J'(2-/(0)g⑺由=2j：g(r)dt-jjf(r)g⑺dr=2J：g(x)dx-J，(x)g(x)dx故Jf(x)g(x)dx=21"g(x)dx-Jy(x)g(x)dr+J"/(x)g(x)dLr=2j"g(x)dx考點36.判斷廣義積分收斂或發(fā)散..下列廣義積分收斂的是 ( )AJ -rdx B.J—drC.J—<lv D.Jexdx解：根據(jù)J：3-p>1時收斂，可知A收斂，其他都是發(fā)散的。選A..下列廣義積分中收斂的是 ( ：D.Jelxdx,+0 ?2 ］ D.JelxdxA.I3cosxdxB.I-； dxC.IJxdxJ7x-l解：J-rJat=2J口；=2，故收斂，其他全都發(fā)散,選B..Jx-l.下列廣義積分中發(fā)散的是?dxA.J**—1—.dxB.jT公C.J-T——?dx「1+z2「x >

解:廣^<1%=Jidx+J°-^dxp積分且當解:廣^<1%=Jidx+J°-^dxp積分且當p=l時，顯然是發(fā)散的,選B.?+odx189.J——=解：J*dt——考點37.直角坐標系下已知平面圖形，求面積及這個平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.設(shè)兩拋物線y=2X2、y=3-%2及x軸所圍成的平面圖形為。;求:(1)平面圖形。的面積;(2)平面圖形。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.解：平面圖形。如圖所示：看成解：平面圖形。如圖所示：看成Y型圖形。(1)根據(jù)對稱性，平面圖形。的面積為.設(shè)由曲線丁=x,y=-,x=2,y=0所圍成的平面圖形為。.求：*(1)這個平面圖形。的面積；TOC\o"1-5"\h\z(2)這個圖形。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積. >解：如圖所示：取X為積分變量，fixe[0,l]u[l,2],(1)平面圖形。的面積為J .21S=Ixdx+I—dr“° 〃x=—x2+In/=—+In2.\o"CurrentDocument"2 1 2(2)平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為

匕=必改+兀J：g)?！?191.設(shè)。是由曲線y=G與它在(1,1)處的法線及x軸所圍成的區(qū)域,(1)求。的面積；(2)求此區(qū)域繞y匕=必改+兀J：g)?！?191.設(shè)。是由曲線y=G與它在(1,1)處的法線及x軸所圍成的區(qū)域,(1)求。的面積；(2)求此區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：平面圖形，如圖所示:在點(1,1)處切線斜率為_1——,2從而法線2法=-2,法線方程為y=-2x+3.取y為積分變量，且y￡[O,l]3-y2(1)。的面積為(2)此區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為11123dy=jf"+E-y' 2 4.*號1i83=it0 60(1)求平面圖形D的面積；(2)求該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.解：如圖所示：把積分區(qū)域看成是X型圖形，且x￡[0,ln2],(1)平面圖形。的面積為Jn2 - 1s=J(1(―=?+e")：2=今(2)該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的體積為.In2Vy=2nJx(e-e1)dx=27t[(xer-ex)q2+(xex+