新教材人教B版高中數(shù)學(xué)必修2教學(xué)課件：第六章-621-向量基本定理

6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理第六章平面向量初步6.2向量基本定理與向量的坐標第六章平面向量初步學(xué)習目標1.理解共線向量基本定理及其應(yīng)用.2.了解平面向量基本定理及其含義.重點：1.共線向量基本定理；2.平面向量基本定理.難點：平面向量基本定理的應(yīng)用.學(xué)習目標1.理解共線向量基本定理及其應(yīng)用.重點：1.共線向量知識梳理一、共線向量基本定理如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得

.b＝λaλ＝μ在共線向量基本定理中：（1）b＝λa時，通常稱為b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果還有b＝μa，則有

.由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，則a＝0，與已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.

知識梳理一、共線向量基本定理如果a≠0且b∥a，則存在唯一的二、平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對（x，y），使得

.c＝xa+yb如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.當a與b不共線時，xa+yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0.平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，此時如果c＝xa+yb，則稱xa+yb為c在基底{a，b}下的分解式.二、平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平例1一共線向量基本定理<1>判定向量共線?？碱}型

【解題提示】關(guān)鍵看向量a，b是否存在倍數(shù)關(guān)系.例1一共線向量基本定理?？碱}型

【解題提示】關(guān)鍵看向量a

判定向量共線的方法分別將要判斷的向量表示出來，并觀察能否找到實數(shù)λ，使b＝λa，若能找到，則a，b共線，若不能找到，則a，b不共線.解題歸納判定向量共線的方法解題歸納［2019·山東日照高一檢測］下列各組向量：①a＝2e1，b＝-2e1；②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2；③a＝4e1-

e2，b＝e1-

e2；④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2.若e1，e2不共線，則其中a，b共線的有

（填序號）.1.①②③變式訓(xùn)練［2019·山東日照高一檢測］下列各組向量：1.①②③變式訓(xùn)［2019·江蘇宿遷高一檢測］下列命題中正確的是

（填序號）.①-5（6a）＝-30a；②7（a+b）+6b＝7a+13b；③若a＝m-n，b＝3（m-n），則a，b共線；④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，則a，b共線.2.變式訓(xùn)練①②③［2019·江蘇宿遷高一檢測］下列命題中正確的是（填例2<2>利用基本定理求參數(shù)［2019·湖北省黃梅一中高一檢測］已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma-3b與a+（2-m）b共線，則實數(shù)m的值為

.【解題提示】利用共線向量的性質(zhì)列出方程（組），由此求出m的值.

【答案】-1或3例2<2>利用基本定理求參數(shù)［2019·湖北省黃梅一中高一檢利用基本定理求參數(shù)的方法若向量a，b（a≠0）共線，則由基本定理可得，存在一個實數(shù)λ，使得向量b能用非零向量a來表示，即若b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa，再利用對應(yīng)系數(shù)相等這一條件，列出方程組，從而求解.解題歸納利用基本定理求參數(shù)的方法解題歸納已知e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1+me2與b＝-3e1-e2共線，則m＝

.（2）已知e1和e2不共線，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共線，則λ的值是

.2變式訓(xùn)練1.

已知e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1+me2與b＝-

2.

2.

<3>利用共線向量基本定理解決幾何問題例3

<3>利用共線向量基本定理解決幾何問題例3

解題歸納

解題歸納

解題歸納

解題歸納1.變式訓(xùn)練

32.

1.變式訓(xùn)練

32.

解題歸納

解題歸納二平面向量基本定理<1>基底的判斷例4如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是

.①λe1+μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1+μe2的實數(shù)對（λ，μ）有無窮多個；③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1+μ1e2＝λ（λ2e1+μ2e2）；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1+μe2＝0，則λ＝μ＝0.二平面向量基本定理例4如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于③，當λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個.【答案】②③【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的；【注意】1.基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量a，b組成的集合{a，b}都可以作為基底.2.基底給定時，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一確定的數(shù)值.3.平面內(nèi)的任意向量c都可在給出的基底下進行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.4.若{a，b}是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當c與a共線時，y＝0；當c與b共線時，x＝0；當c＝0時，x＝y(tǒng)＝0.解題歸納【注意】解題歸納變式訓(xùn)練

④變式訓(xùn)練

④<2>用基底表示向量例5

<2>用基底表示向量例5

用基底表示向量的方法平面內(nèi)任何一個向量都可以用一組基底進行表示，轉(zhuǎn)化時一定要看清轉(zhuǎn)化的目標，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，同時結(jié)合數(shù)乘向量的定義，牢記轉(zhuǎn)化方向，把未知向量逐步往基底方向進行組合或分解.具體表示方法有兩種：1.利用向量的線性運算法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；2.列向量方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.解題歸納用基底表示向量的方法解題歸納1.變式訓(xùn)練［2019·安徽滁州高一期末］已知向量a，b不共線，設(shè)向量m＝2a-3b，n＝4a-2b，p＝3a+2b，若用基底{m，n}表示p，則p＝

.

1.變式訓(xùn)練［2019·安徽滁州高一期末］已知向量a，b不共變式訓(xùn)練

2.

a+b2a+c變式訓(xùn)練

2.

a+b2a+c<3>利用平面向量基本定理求參數(shù)例6

<3>利用平面向量基本定理求參數(shù)例6

變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練

小結(jié)共線向量基本定理

小結(jié)共線向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對（x，y），使得c＝xa+yb.平面向量基本定理中，當a與b不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是c用a，b表示時，表達式唯一，即如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，特別地，當a與b不共線時，因為0＝0a+0b，所以對于xa+yb來說，當x≠0或y≠0時，必定有xa+yb≠0.也就是說，當a與b不共線時，xa+yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0.平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，此時如果c＝xa+yb，則稱xa+yb為c在基底{a，b}下的分解式.平面向量基本定理特別地，當a與b不共線時，因為0＝0a+0b，所以對于xa+6.2向量基本定理與向量的坐標6.2.1向量基本定理第六章平面向量初步6.2向量基本定理與向量的坐標第六章平面向量初步學(xué)習目標1.理解共線向量基本定理及其應(yīng)用.2.了解平面向量基本定理及其含義.重點：1.共線向量基本定理；2.平面向量基本定理.難點：平面向量基本定理的應(yīng)用.學(xué)習目標1.理解共線向量基本定理及其應(yīng)用.重點：1.共線向量知識梳理一、共線向量基本定理如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得

.b＝λaλ＝μ在共線向量基本定理中：（1）b＝λa時，通常稱為b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果還有b＝μa，則有

.由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，則a＝0，與已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.

知識梳理一、共線向量基本定理如果a≠0且b∥a，則存在唯一的二、平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c，存在唯一的實數(shù)對（x，y），使得

.c＝xa+yb如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.當a與b不共線時，xa+yb≠0的充要條件是x與y中至少有一個不為0.平面內(nèi)不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，此時如果c＝xa+yb，則稱xa+yb為c在基底{a，b}下的分解式.二、平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平例1一共線向量基本定理<1>判定向量共線?？碱}型

【解題提示】關(guān)鍵看向量a，b是否存在倍數(shù)關(guān)系.例1一共線向量基本定理?？碱}型

【解題提示】關(guān)鍵看向量a

判定向量共線的方法分別將要判斷的向量表示出來，并觀察能否找到實數(shù)λ，使b＝λa，若能找到，則a，b共線，若不能找到，則a，b不共線.解題歸納判定向量共線的方法解題歸納［2019·山東日照高一檢測］下列各組向量：①a＝2e1，b＝-2e1；②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2；③a＝4e1-

e2，b＝e1-

e2；④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2.若e1，e2不共線，則其中a，b共線的有

（填序號）.1.①②③變式訓(xùn)練［2019·山東日照高一檢測］下列各組向量：1.①②③變式訓(xùn)［2019·江蘇宿遷高一檢測］下列命題中正確的是

（填序號）.①-5（6a）＝-30a；②7（a+b）+6b＝7a+13b；③若a＝m-n，b＝3（m-n），則a，b共線；④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，則a，b共線.2.變式訓(xùn)練①②③［2019·江蘇宿遷高一檢測］下列命題中正確的是（填例2<2>利用基本定理求參數(shù)［2019·湖北省黃梅一中高一檢測］已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma-3b與a+（2-m）b共線，則實數(shù)m的值為

.【解題提示】利用共線向量的性質(zhì)列出方程（組），由此求出m的值.

【答案】-1或3例2<2>利用基本定理求參數(shù)［2019·湖北省黃梅一中高一檢利用基本定理求參數(shù)的方法若向量a，b（a≠0）共線，則由基本定理可得，存在一個實數(shù)λ，使得向量b能用非零向量a來表示，即若b與a（a≠0）是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa，再利用對應(yīng)系數(shù)相等這一條件，列出方程組，從而求解.解題歸納利用基本定理求參數(shù)的方法解題歸納已知e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1+me2與b＝-3e1-e2共線，則m＝

.（2）已知e1和e2不共線，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共線，則λ的值是

.2變式訓(xùn)練1.

已知e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1+me2與b＝-

2.

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<3>利用共線向量基本定理解決幾何問題例3

<3>利用共線向量基本定理解決幾何問題例3

解題歸納

解題歸納

解題歸納

解題歸納1.變式訓(xùn)練

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1.變式訓(xùn)練

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解題歸納

解題歸納二平面向量基本定理<1>基底的判斷例4如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是

.①λe1+μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1+μe2的實數(shù)對（λ，μ）有無窮多個；③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使得λ1e1+μ1e2＝λ（λ2e1+μ2e2）；④若存在實數(shù)λ，μ使得λe1+μe2＝0，則λ＝μ＝0.二平面向量基本定理例4如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于③，當λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時，這樣的λ有無數(shù)個.【答案】②③【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正確的；【注意】1.基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量a，b組成的集合{a，b}都可以作為基底.2.基底給定時，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一確定的數(shù)值.3.平面內(nèi)的任意向量c都可在給出的基底下進行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.4.若{a，b}是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當c與a共線時，y＝0；當c與b共線時，x＝0；當c＝0時，x＝y(tǒng)＝0.解題歸納【注意】解題歸納變式訓(xùn)練

④變式訓(xùn)練

④<2>用基底表示向量例5

<2>用基底表示向量例5

用基底表示向量的方法平面內(nèi)任何一個向量都可以用一組基底進行表示，轉(zhuǎn)化時一定要看清轉(zhuǎn)化的目標，要充分利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，同時結(jié)合數(shù)乘向量的定義，牢記轉(zhuǎn)化方向，把未知向量逐步往基底方向進行組合或分解.具體表示方法有兩種：1.利用向量的線性運算法則對所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；2.列向量方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解.解題歸納用基底表