大學物理角動量轉動慣量及角動量的守恒定律課件

數(shù)學家和哲學家追求數(shù)學的最初生長點的研究，恰像一次向遠處的地平線走去的旅行。終點似乎就在前面，可是走過去之后發(fā)現(xiàn)，它還在前方。但是旅行者畢竟一次又一次地大開眼界。他發(fā)現(xiàn)了越來越廣大的世界。

－摘自張景中（院士）《數(shù)學與哲學》同學們好！?顯然，這段話對物理學也適用。第五章角動量角動量守恒定律剛體定軸轉動定律角動量轉動慣量

角動量的時間變化率力矩角動量定理角動量守恒定律重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋轉運動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量遵守守恒定律，與空間旋轉對稱性相對應。學時：

6難點：角動量概念，角動量定理及角動量守恒定律的應用重點：概念：角動量，轉動慣量，力矩，角沖量，規(guī)律：剛體定軸轉動定律，角動量定理的微分形式和積分形式，角動量守恒定律，1.質(zhì)點的角動量定義：大?。悍较颍簒yzmo物理意義：*質(zhì)點對某參考點的角動量反映質(zhì)點繞該參考點旋轉運動的強弱。*必須指明參考點，角動量才有實際意義。2.質(zhì)點系角動量系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點對同一參考點角動量的矢量和oo有'：對質(zhì)心無'：對參考點與i無關第一項：即將質(zhì)點系全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的一個質(zhì)點上，該質(zhì)點對參考點的角動量以質(zhì)心為代表，描述質(zhì)點系整體繞參考點的旋轉運動，稱為質(zhì)點系的軌道角動量。反映質(zhì)點系繞質(zhì)心的旋轉運動，與參考點O的選擇無關，描述系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)：第三項：各質(zhì)點相對于質(zhì)心角動量的矢量和于是：與i有關剛體對z

軸的總角動量為：在軸上確定正方向，角速度表示為代數(shù)量，則定義質(zhì)點對z軸的角動量為:對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：剛體對軸的轉動慣量J與剛體總質(zhì)量有關與剛體質(zhì)量分布有關與轉軸的位置有關2.計算積分元選?。壕毩?.由長l的輕桿連接的質(zhì)點如圖所示，求質(zhì)點系對過A垂直于紙面的軸的轉動慣量2.一長為Ｌ的細桿，質(zhì)量m均勻分布，求該桿對過桿一端端點且垂直于桿的z軸的轉動慣量。z3.求質(zhì)量m,半徑R的均勻球殼對直徑的轉動慣量解：取離軸線距離相等的點的集合為積分元m4.求質(zhì)量m,半徑R的均勻球體對直徑的轉動慣量解：以距中心，厚的球殼為積分元m注意：對同軸的轉動慣量具有可加減性。or1r2m1m2同軸圓柱r1r2m1m2空心圓盤z平行軸定理正交軸定理對平面剛體證明見教材92頁一、質(zhì)點角動量的時間變化率質(zhì)點位矢合力§5.2角動量的時間變化率力矩二、力矩1.對參考點的力矩：大小：方向：服從右手定則質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受合力的力矩力矩即：力對o點的力矩在z軸方向的分量注意：力矩求和只能對同一參考點（或軸）進行。矢量和代數(shù)和思考：合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？例：三、質(zhì)點系角動量的時間變化率對Ｎ個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，由可得兩邊求和得注意：合外力矩是質(zhì)點系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。注意：質(zhì)點系內(nèi)力矩的作用不能改變質(zhì)點系總角動量，但是影響總角動量在系內(nèi)各質(zhì)點間的分配。

[例]質(zhì)量為，長為的細桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉，桿的密度與離軸距離成正比，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，求摩擦力矩。解：設桿的線密度實際意義半徑R，質(zhì)量m的勻質(zhì)圓盤，與桌面間摩擦系數(shù)μ，求摩擦力矩等效簡化模型：長R，線密度總質(zhì)量m的細桿本講內(nèi)容：三個基本概念1.角動量質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體2.轉動慣量3.力矩1.角動量質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體2.轉動慣量§5.1角動量轉動慣量上講§5.2角動量的時間變化率(續(xù))一、質(zhì)點角動量的時間變化率質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受的合力矩二、力矩1.對參考點的力矩：2.對z軸的力矩:對參考點的力矩在z軸上的投影。三、質(zhì)點系角動量的時間變化率質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受外力矩的矢量和。內(nèi)力矩不影響總角動量，只改變質(zhì)點系總角動量在質(zhì)點系內(nèi)的分配。四.剛體定軸轉動定律由得剛體定軸轉動定律比較是物體轉動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉動狀態(tài)的原因地位相同剛體定軸轉動問題平動問題－矢量式－標量式例1:一定滑輪的質(zhì)量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：質(zhì)點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題，隔離法，分別列方程，先求角加速度解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。思考：×+四個未知數(shù)：三個方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：解得滑輪m：以順時針方向為正方向如圖示，兩物體質(zhì)量分別為和，滑輪質(zhì)量為，半徑為。已知與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，求下落的加速度和兩段繩中的張力。解：在地面參考系中，選取、和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得：練習1.列方程如下：可求解向里+例2.質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為m、長為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側繩長差為s時，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖x坐標，設繩兩端坐標分別為x1，x2，滑輪半徑為r有：ox1x2sMABrx用隔離法列方程：（以逆時針方向為正）T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBgo＋＋＋ox1x2sMABrxCBCA解得：ox1x2sMABrxCBCA§5.3角動量定理一、角動量定理的微分形式1.質(zhì)點2.質(zhì)點系3.定軸剛體二、角動量定理的積分形式積分形式（有限時間過程）微分形式質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體瞬時效應注意1.力矩對時間的積累：角沖量（沖量矩）定義：效果：改變角動量3.同一式中，等角量要對同一參考點或同一軸計算。一定時間過程的變化量與對應時間變化率與對應2.比較：一定時間過程的變化量與對應時間變化率與對應三、角動量定理的應用舉例——旋進(進動)錄象1-2-9②角動量定理8分鐘1.回轉儀實驗：如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋轉時，移動平衡物B，桿不會傾斜，而是在水平面內(nèi)繞O旋轉。這種運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產(chǎn)生的回轉效應。(1)若時：在重力矩作用下，陀螺將繞垂直于黑板的軸轉動，即倒地。（2）當時：重力矩，將不改變的大小，只改變的方向。使陀螺繞豎直軸旋轉——旋進2.陀螺重力矩始終不改變角動量的大小，只改變角動量的方向。形成角速度矢量不斷向外力矩方向靠攏的趨勢。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉——旋進旋進角速度：3.車輪的旋進討論：改變的方向，旋進方向是否改變？改變配重，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？1.2.34、炮彈的旋進c5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質(zhì)的磁化的本質(zhì)；…...錄像片：1－2－9角動量守恒定律10分鐘開普勒的宇宙模型：行星軌道在正多面體的內(nèi)接、外切球面上。1597年發(fā)表于《神秘的宇宙》由此成為第谷的學生和助手。1609年《探索成因的新天文學或天體物理學》：第一定律：橢圓軌道定律（否定圓軌道）；第二定律：等面積定律（否定勻速率運動）。1619年《宇宙的和諧》：第三定律：周期定律（建立各行星軌道間的聯(lián)系）開創(chuàng)了物理學中將實驗觀測數(shù)據(jù)表達為準確的數(shù)學定律的先河?！?.3角動量守恒定律一、角動量守恒定律分量式：對定軸轉動剛體，當時，恒矢量由角動量定理：研究對象：質(zhì)點系當質(zhì)點系所受外力對某參考點（或軸）的力矩的矢量和為零時，質(zhì)點系對該參考點（或軸）的角動量守恒。角動量守恒定律：2.守恒條件或能否為注意1.與動量守恒定律對比當時，恒矢量恒矢量當時，彼此獨立角動量守恒現(xiàn)象舉例適用于一切轉動問題，大至天體，小至粒子...為什么銀河系呈旋臂盤形結構？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？體操運動員的“晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水…...為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？茹科夫斯基凳實驗例1.一半徑為R、質(zhì)量為M的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動,質(zhì)量為m的人站在轉臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周(不計阻力)，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？R思考：1.臺為什么轉動？向什么方向轉動？2.人相對轉臺跑一周，相對于地面是否也跑了一周？3.人和臺相對于地面轉過的角度之間有什么關系？選地面為參考系，設對轉軸人：J,;臺：J′,′解：系統(tǒng)對轉軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：R設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為t人相對地面轉過的角度：臺相對地面轉過的角度：二.有心力場中的運動物體在有心力作用下的運動力的作用線始終通過某定點的力力心有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對力心的角動量守恒。應用廣泛，例如：

天體運動（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星...）

微觀粒子運動（電子繞核運動；原子核中質(zhì)子、中子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射...）例2.

已知：地球R=6378km衛(wèi)星近地：h1=439kmv1=8.1km.s-1

遠地:h2=2384km求：

v2=?h2h1解：建立模型

衛(wèi)星~質(zhì)點m地球~均勻球體OdFmdmdm′dF1dF2對稱性：引力矢量和過地心對地心力矩為零衛(wèi)星m對地心o角動量守恒衛(wèi)星m對地心o角動量守恒增加通訊衛(wèi)星的可利用率探險者號衛(wèi)星偏心率高近地遠地h1h2R.o地球同步衛(wèi)星的定點保持技術衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面傾角為零軌道嚴格為圓形運行周期與地球自轉周期完全相同（23小時56分4秒）嚴格同步條件地球同步衛(wèi)星：相對地球靜止，定點于赤道上空，軌道半徑約36000km，實現(xiàn)全球24小時通信。地球扁率，太陽、月球攝動引起同步衛(wèi)星星下點漂移用角動量、動量守恒調(diào)節(jié)~定點保持技術研究微觀粒子相互作用規(guī)律自學教材P108[例4]第五章角動量角動量守恒習題課復習提要：三個概念，兩條規(guī)律一、轉動慣量二、角動量

質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體

三、力矩質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體五、角動量守恒四、角動量定理例1.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉動，求：接觸且無相對滑動時.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.請自行列式。解1：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸，外力矩為零，則J1+J2系統(tǒng)角動量守恒，以順時針方向旋轉為正：接觸點無相對滑動：又：聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？o1..o2問題：（1）式中各角量是否對同軸而言？（2）J1+J2系統(tǒng)角動量是否守恒？系統(tǒng)角動量不守恒！分別以m1,m2為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f2解2：分別對m1,m2用角動量定理列方程設：f1=f2=f，以順時針方向為正m1對o1軸：m2對o2軸：接觸點：o2F2o1.F1f1f2聯(lián)立各式解得：解1：m和m2系統(tǒng)動量守恒

mv0=(m+m2)v解2：

m和(m1+m2)系統(tǒng)動量守恒mv0=(m+m1+m2)v解3：mv0=(m+m2)v+m1?2v以上解法對不對？m2m1mA例2.

已知：輕桿，m1=m,m2=4m,油灰球m，m以速度v0撞擊m2，發(fā)生完全非彈性碰撞

求：撞后m2的速率v?因為相撞時軸A作用力不能忽略不計，故系統(tǒng)動量不守恒。因為重力、軸作用力過軸，對軸力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：區(qū)分兩類沖擊擺水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

對o

點：，守恒mv0l=(m+M)vl軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對o軸合力矩為零，角動量守恒（1）olmM質(zhì)點質(zhì)點柔繩無切向力質(zhì)點定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點）(2)olmMFxFy回顧習題P844-10mMFOA、B、C系統(tǒng)不守恒；A、B、C系統(tǒng)對o軸角動量守恒回顧習題P844-11CBNxNyAo練習：已知m=20克，M=980克,v0=400米/秒，繩不可伸長。求m射入M后共同的v=?思考：Ｍ＋ｍ系統(tǒng)哪些物理量守恒？（總動量、動量分量、角動量）解：m、M系統(tǒng)水平方向動量守恒（Fx

=0)豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）對o點軸角動量守恒（外力矩和為零）omM或：v=4m.s-1得：解：碰撞前后AB棒對O的角動量守恒思考：碰撞前棒對O角動量L=?碰撞后棒對O角動量=？例3.

已知：勻質(zhì)細棒m,長2l；在光滑水平面內(nèi)以v0

平動，與固定支點O完全非彈性碰撞。

求：碰后瞬間棒繞O的v0clBAl/2l/2

O撞前：（1）思考：碰撞后的旋轉方向？（2）各微元運動速度相同，但到O距離不等，棒上段、下段對軸O角動量方向相反設垂直向外為正方向，總角動量：質(zhì)元角動量：線密度：取質(zhì)元：xdm-l/23l/2撞后：令：得：xC-l/23l/2平行軸定理例4.

P1135-16有的恒星在其核燃料燃盡，達到生命末期時，會發(fā)生所謂超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質(zhì)噴射到星際空間，同時該星的內(nèi)核向內(nèi)收縮，坍縮成體積很小、異常致密的中子星。由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的磁場并發(fā)射出很強的電磁波。當中子星的輻射束掃過地球時，地面上就測得脈沖信號。因此，中子星又稱為脈沖星。目前，我們探測到的脈沖星已超過550個。設某恒星繞自轉軸每45天轉一周，它的內(nèi)核半徑約為，坍縮為半徑僅為6000m的中子星，將星體內(nèi)核當作質(zhì)量不變的勻質(zhì)圓球，計算中子星的角速度。赫威斯(1924～)英國物理學家

1967年利用射電望遠鏡第一次發(fā)現(xiàn)了脈沖星。于1974年獲諾貝爾獎。脈沖星（左邊照片中間白點為變亮的脈沖星，右邊為脈沖星變暗后的照片）恒星：發(fā)光的星體（亮度不一定恒定）變星：較短時間內(nèi)，亮度規(guī)則或不規(guī)則變化新星：亮度突然增大幾千倍超新星：不到一天內(nèi)亮度突然增大幾億倍，10秒內(nèi)釋放的能量比太陽在全部壽命中釋放的總能量大100倍，其中光能占10-4，已足以蓋過整個銀河發(fā)光的總和(10

37J/s)已確認的超新星爆炸事件：公元（年）：185， 1006，1054，

1181， 1572， 1604，198