特殊的平行四邊形-矩形(含答案)

第23頁（共23頁）特殊的平行四邊形——矩形一．選擇題（共20小題）1．（2013?棗莊）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）A．20 B．12 C．14 D．132．（2014?寧波）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是（）A．2.5 B． C． D．23．（2015?德陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，若點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．75°4．（2013?南充）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．12 D．165．（2013?包頭）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S26．（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為（）A． B．2 C． D．17．（2007?萊蕪）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF，若CD=6，則AF等于（）A． B． C． D．88．（2014?河池）平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個條件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD9．（2009?濱州）順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形10．（2015?臨沂）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE11．（2004?青島）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，要使四邊形EFGH為矩形，則四邊形ABCD應具備的條件是（）A．一組對邊平行而另一組對邊不平行B．對角線相等C．對角線互相垂直D．對角線互相平分12．（2004?徐州）順次連接等腰梯形四邊中點得到一個四邊形，再順次連接所得四邊形四邊中點得到的圖形是（）A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形13．（2013?邵陽模擬）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.514．（2011?臨沂）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D、F，BE⊥DF交DF的延長線于點E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．415．（2013秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AE⊥BD于E，則EC=（）A． B． C． D．16．（2014春?金牛區(qū)期末）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角相等 B．對邊相等C．對角線相等 D．對角線互相平分17．（2011秋?新區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果∠BAF=60°，則∠AEF=（）A．60° B．70° C．75° D．80°18．（2014春?廣東校級期末）如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）A．36° B．18° C．27° D．9°19．（2014春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一點，且AE=AB，則∠CBE的度數(shù)是（）A．30° B．22.5° C．15° D．10°20．（2014春?嘉峪關校級期末）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，則點A到對角線BD的距離為（）A． B．2 C． D．二．解答題（共8小題）21．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結(jié)EF交CD于點M，連接AM．（1）求證：EF=AC．（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關系．22．（2015?南平）如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF．23．（2013?寧夏）在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；求證：DF=DC．24．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．25．（2014?宜興市校級模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．（1）求證：BD=CD；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．26．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．27．（2010?聊城）如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點F，連接CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．28．（2012?青海）已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．①求證：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求證：四邊形ADCN是矩形．

特殊的平行四邊形——矩形參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．（2013?棗莊）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）A．20 B．12 C．14 D．13【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵點E為AC的中點，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14．故選：C．2．（2014?寧波）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是（）A．2.5 B． C． D．2【考點】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：如圖，連接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中點，∴CH=AF=×2=．故選：B．3．（2015?德陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，若點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，則∠B的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．75°【考點】直角三角形斜邊上的中線；軸對稱的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，點A關于CD所在直線的對稱點E恰好為AB的中點，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，∴△ACE是等邊三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=∠CED=30°．故選：C．4．（2013?南充）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．12 D．16【考點】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折點B恰好落在AD邊的B′處，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等邊三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面積=AB?AD=2×8=16．故選D．5．（2013?包頭）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關系是（）A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2【考點】矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：矩形ABCD的面積S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故選B．6．（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為（）A． B．2 C． D．1【考點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：設AP=x，PD=4﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；∴△AEP∽△ADC，故=①；同理可得△DFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．故選A．7．（2007?萊蕪）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF，若CD=6，則AF等于（）A． B． C． D．8【考點】矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：由折疊的性質(zhì)得BF=EF，AE=AB，因為CD=6，E為CD中點，故ED=3，又因為AE=AB=CD=6，所以∠EAD=30°，則∠FAE=（90°﹣30°）=30°，設FE=x，則AF=2x，在△AEF中，根據(jù)勾股定理，（2x）2=62+x2，x2=12，x1=2，x2=﹣2（舍去）．AF=2×2=4．故選：A．8．（2014?河池）平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，如果添加一個條件，即可推出平行四邊形ABCD是矩形，那么這個條件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：A、是鄰邊相等，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不正確；B、是對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確；C、是對角線互相垂直，可得到平行四邊形ABCD是菱形，故不正確；D、無法判斷．故選B．9．（2009?濱州）順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是（）A．矩形 B．直角梯形 C．菱形 D．正方形【考點】矩形的判定；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：如圖：∵E、F、G、H分別為各邊中點∴EF∥GH∥DB，EF=GH=DBEH=FG=AC，EH∥FG∥AC∵DB⊥AC∴EF⊥EH∴四邊形EFGH是矩形．故選A．10．（2015?臨沂）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE【考點】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴BE∥BC，且DE=BC，∴四邊形BCED為平行四邊形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四邊形DBCE不能為矩形，故本選項正確；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴?DBCE為矩形，故本選項錯誤．故選B．11．（2004?青島）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD四條邊的中點，要使四邊形EFGH為矩形，則四邊形ABCD應具備的條件是（）A．一組對邊平行而另一組對邊不平行B．對角線相等C．對角線互相垂直D．對角線互相平分【考點】矩形的判定；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：要是四邊形EHGF是矩形，應添加條件是對角線互相垂直，理由是：連接AC、BD，兩線交于O，根據(jù)三角形的中位線定理得：EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH一定是平行四邊形，∴EF∥AC，EH∥BD，∵BD⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF=90°，故選C．12．（2004?徐州）順次連接等腰梯形四邊中點得到一個四邊形，再順次連接所得四邊形四邊中點得到的圖形是（）A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形【考點】矩形的判定；三角形中位線定理；等腰梯形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵等腰梯形的兩條對角線相等，∴順次連接等腰梯形四邊中點得到的四邊形是菱形，∵菱形的對角線互相垂直，∴再順次連接所得四邊形四邊的中點得到的圖形是矩形．故選D．13．（2013?邵陽模擬）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5【考點】矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理的逆定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP．因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，∴EF的最小值為2.4，故選C．14．（2011?臨沂）如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D、F，BE⊥DF交DF的延長線于點E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．4【考點】矩形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分線，F(xiàn)是AB的中點，∴DF∥BC，∴∠C=90°，∴四邊形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴AC==2．∴BE=CD=．∴四邊形BCDE的面積為：2×=2．故選A．15．（2013秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AE⊥BD于E，則EC=（）A． B． C． D．【考點】矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=3，AB=CD=，∠BAD=90°．∴tan∠ADB==，∴∠ADB=30°，∴∠ABE=60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE===，∴BE=，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE===，∴BF=，∴EF==，∴CF=3﹣=，在Rt△CFE中，CE==．故選D．16．（2014春?金牛區(qū)期末）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角相等 B．對邊相等C．對角線相等 D．對角線互相平分【考點】矩形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：矩形的對角線相等，而平行四邊形的對角線不一定相等．故選：C．17．（2011秋?新區(qū)校級期末）如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果∠BAF=60°，則∠AEF=（）A．60° B．70° C．75° D．80°【考點】矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵∠EAF是∠DAE折疊而成，∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°，∠EAF===15°，在△AEF中∠AFE=90°，∠EAF=15°，∠AEF=180°﹣∠AFE﹣∠EAF=180°﹣90°﹣15°=75°．故選C．18．（2014春?廣東校級期末）如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）A．36° B．18° C．27° D．9°【考點】矩形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：已知∠ADE：∠EDC=3：2?∠ADE=54°，∠EDC=36°，又因為DE⊥AC，所以∠DCE=90°﹣36°=54°，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DOC=180°﹣2×54°=72°所以∠BDE=180°﹣∠DOC﹣∠DEO=18°故選：B．19．（2014春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一點，且AE=AB，則∠CBE的度數(shù)是（）A．30° B．22.5° C．15° D．10°【考點】矩形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；中心對稱．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：∵AB=2AD，AE=AB．∴AE=2AD．∴直角△ADE中∠AED=30°．∵AB∥CD∴∠EAB=∠AED=30°．又∵AE=AB．∴∠AEB=∠ABE==75°．∴∠CBE=15°．故選C．20．（2014春?嘉峪關校級期末）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，則點A到對角線BD的距離為（）A． B．2 C． D．【考點】矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】解：因為BC=4，故AD=4，AB=3，則S△DBC=×3×4=6，又因為BD==5，S△ABD=×5AE，故×5AE=6，AE=．故選A．二．解答題（共8小題）21．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結(jié)EF交CD于點M，連接AM．（1）求證：EF=AC．（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關系．【考點】直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】（1）證明：∵CD=CB，點E為BD的中點，∴CE⊥BD，∵點F為AC的中點，∴EF=AC；（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵點F為AC的中點，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．22．（2015?南平）如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF．【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC=BD，則BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．23．（2013?寧夏）在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F；求證：DF=DC．【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】證明：連接DE．（1分）∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．（1分）∵有矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．（1分）∴∠ADE=∠DEC，（1分）∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，（1分）∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．（1分）24．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．【考點】矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．25．（2014?宜興市校級模擬）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．（1）求證：BD=CD；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE=DE，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）四邊形AFBD是矩形．理由：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°∵AF=BD，∵過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，即AF∥BC，∴四邊形AFBD是平行四邊形，又∵∠ADB=90°，∴四邊形AFBD是矩形．26．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．【考點】矩形的判