11光學(xué)習(xí)題解答

第十一章光學(xué)11-1在雙縫干涉實驗中，若單色光源 S到兩縫Si、S2距離相等，則觀察屏上中央明條紋位于圖中O處，現(xiàn)將光源S向下移動到圖中的S位置，則( )(A)中央明紋向上移動，且條紋間距增大(B)中央明紋向上移動，且條紋間距不變(C)中央明紋向下移動，且條紋間距增大(D)中央明紋向下移動，且條紋間距不變分析與解由S發(fā)出的光到達Si、S2的光程相同，它們傳到屏上中央 O處，光程差A(yù)=0,形成明紋.當光源由S移到S'時，由S到達狹縫Si和S2的兩束光產(chǎn)生了光程差.為了保持原中央明紋處的光程差為 0,它會向上移到圖中。處.使得由S沿Si、S2狹縫傳到。處的光程差仍為0.而屏上各級條紋位置只是向上平移， 因此條紋間距不變.因此正確答案為(B).題11-1題11-1圖11-2如圖所示，折射率為n2,厚度為e的透明介質(zhì)薄膜的上方和下方的透明介質(zhì)的折射率分別為ni和n3,且nivn2,n2>n3,若用波長為入的單色平行光垂直入射到該薄膜上,則從薄膜上、下兩表面反射的光束的光程差是( )A2n2e B2n2e-- C2n2e- ?.D2n2e 2 2n2n\"3"3題11-2圖卜表面的反射光分析與解由于ni<n2,n2>n3,因此在上表面的反射光有半波損失,卜表面的反射光沒有半波損失，故它們的光程差 A=2n2e±t,這里入是光在真空中的波長.因此正確答案為2（B）.11-3如圖（a）所示，兩個直徑有微小差別的彼此平行的滾柱之間的距離為 L,夾在兩塊平面晶體的中間，形成空氣劈形膜，當單色光垂直入射時，產(chǎn)生等厚干涉條紋，如果滾柱之間的距離L變小，則在L范圍內(nèi)干涉條紋的（ ）（A）數(shù)目減小，間距變大 （B）數(shù)目減小，間距不變（C）數(shù)目不變，間距變小 （D）數(shù)目增加，間距變小題11-3圖分析與解圖（a）裝置形成的劈尖等效圖如圖（b）所示.圖中d為兩滾柱的直徑差，b為兩相鄰明（或暗）條紋間距.因為d不變，當L變小時，0變大，L'、b均變小.由圖可得sin8=%/2b=d/L',因此條紋總數(shù)N=L'/b=2d/%，因為d和加不變，所以N不變.正確答案為（C）11-4在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，波長為 入的單色光垂直入射在寬度為 3入的單縫上，對應(yīng)于衍射角為30°的方向，單縫處波陣面可分成的半波帶數(shù)目為（ ）（A）2個（B）3個 （C）4個（D）6個分析與解根據(jù)單縫衍射公式土2k入 （暗條紋）2bsin8=< 2 k=1,2,...±（2k+1）-（明條紋）. 2因此第k級暗紋對應(yīng)的單縫波陣面被分成 2k個半波帶，第k級明紋對應(yīng)的單縫波陣面被分成2k+1個半波帶.由題意bsin8=3九/2,即對應(yīng)第1級明紋，單縫分成3個半波帶.正確答案為（B）.11-5波長入=550nm的單色光垂直入射于光柵常數(shù) d=1.010—4cm的光柵上，可能觀察到的光譜線的最大級次為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1分析與解由光柵方程dsin8=±2kXk=0,1,...）,可能觀察到的最大級次為即只能看到第1級明紋，答案為(D).11-6三個偏振片Pl、P2與P3堆疊在一起，Pl與P3的偏振化方向相互垂直，P2與Pl的偏振化方向間的夾角為 45。，強度為I。的自然光入射于偏振片 Pi ,并依次透過偏振片 Pl、P2與P3,則通過三個偏振片后的光強為( )(A)1。/16 (B)3Io/8 (C)I0/8 (D)1。/4分析與解 自然光透過偏振片后光強為 Ii=Io/2.由于Pi和P2的偏振化方向成450,所以偏振光透過P2后光強由馬呂斯定律得 I2=11cos245o=I。/4,而P2和P3的偏振化方向也成45。，則透過P3后光強變?yōu)镮3=I2cos245°=1。/8.故答案為(C).11-7一束自然光自空氣射向一塊平板玻璃，如圖所示，設(shè)入射角等于布儒斯特角 iB,則在界面2的反射光( )(A)是自然光(B)是線偏振光且光矢量的振動方向垂直于入射面(C)是線偏振光且光矢量的振動方向平行于入射面(D)是部分偏振光題11-7圖分析與解 由幾何光學(xué)知識可知，在界面2處反射光與折射光仍然垂直，因此光在界面 2處的入射角也是布儒斯特角，根據(jù)布儒斯特定律，反射光是線偏振光且光振動方向垂直于入射面.答案為(B).11-8在雙縫干涉實驗中，兩縫間距為0.30mm,用單色光垂直照射雙縫，在離縫1.20m的屏上測得中央明紋一側(cè)第5條暗紋與另一側(cè)第5條暗紋間的距離為22.78mm.問所用光的波長為多少，是什么顏色的光？d分析與解在雙縫干涉中，屏上暗紋位置由 x=d(2k+1)一決定，式中d為雙縫到屏的d2距離，d為雙縫間距.所謂第5條暗紋是指對應(yīng)k=4的那一級暗紋.由于條紋對稱，該暗紋到中央明紋中心的距離x=22.78mm,那么由暗紋公式即可求得波長 入此外，因雙縫干涉是2d等間距的，故也可用條紋間距公式 Ax=—九求入射光波長.應(yīng)注意兩個第 5條暗紋之間所包d含的相鄰條紋間隔數(shù)為9（不是10,為什么？），故&x=2278mm。9TOC\o"1-5"\h\zd ■ 22.78 3解1屏上暗紋的位置x=d-（2k+1 ,把k=4,x=——8M10m以及d、d值代入，d 2 2可得上632.8nm,為紅光.,解2屏上相鄰暗紋（或明紋）間距 Ax=d九，把Ax=—8xl0^m,以及d、d值代d 9入，可得上632.8nm.11-9在雙縫干涉實驗中，用波長入=546.1nm的單色光照射，雙縫與屏的距離 d=300mm.測得中央明紋兩側(cè)的兩個第五級明條紋的間距為 12.2mm,求雙縫間的距離.分析雙縫干涉在屏上形成的條紋是上下對稱且等間隔的.如果設(shè)兩明紋間隔為 Ax,則由中央明紋兩側(cè)第五級明紋間距x5—x-5=10Ax可求出Ax,再由公式瓜=d'Vd即可求出雙縫間距d.解根據(jù)分析：M=（x5—x-5）/10=1.22M0-3m雙縫間距： d=d Ax=1.3410-4m11-10一個微波發(fā)射器置于岸上，離水面高度為d,對岸在離水面h高度處放置一接收器，水面寬度為D,且D|_|d,D」h,如圖所示.發(fā)射器向?qū)γ姘l(fā)射波長為 入的微波，且x>d,求接收器測到極大值時，至少離地多高？分析由發(fā)射器直接發(fā)射的微波與經(jīng)水面反射后的微波相遇可互相干涉，這種干涉與勞埃德鏡實驗完全相同.形成的干涉結(jié)果與縫距為 2d,縫屏間距為D的雙縫干涉相似，如圖（b）所示，但要注意的是和勞埃德鏡實驗一樣，由于從水面上反射的光存在半波損失，使得兩束光在屏上相遇產(chǎn)生的光程差為2dsin8+N2,而不是2dsin0.(a) (b)題11-10圖解由分析可知，接收到的信號為極大值時，應(yīng)滿足2dsin8+N2=kk（k=1,2,...）

hDtam:Dsini-D2k—1/4d取k=1時，得hmin=D九/4d.11-11如圖所示，由光源S發(fā)出的壯600nm的單色光，自空氣射入折射率n=1.23的一層透明物質(zhì)，再射入空氣.若透明物質(zhì)的厚度為d=1.0cm,入射角。=30。，且SA=BC=5.0cm,求：（1）折射角?為多少？ （2）此單色光在這層透明物質(zhì)里的頻率、速度和波長各為多少？ （3）S到C的幾何路程為多少？光程又為多少?解（1）由折射定律sn?=n可得sin』*=arcsin'sin*=arcsin'sin日)i=arcsinn)sin30o'1.23」=24°（2）單色光在透明介質(zhì)中的速度 Vn,波長為和頻率Y分別為c 8vn=—=2.44108msn左J=4.8810,m=488nm

nc 14v=—=5.010Hzn(3)S到C的幾何路程為dSC=SAABBC=SA——一BC=0.111m

cos*S到C的光程為vniDi-SA1ABnBC1-0.114m題11-11題11-11圖11-12—雙縫裝置的一個縫被折射率為 1.40的薄玻璃片所遮蓋，另一個縫被折射率為 1.70的薄玻璃片所遮蓋.在玻璃片插入以后，屏上原來中央極大的所在點，現(xiàn)變?yōu)榈谖寮壝骷y.假定Q480nm,且兩玻璃片厚度均為d,求d值.題11-12圖分析本題是干涉現(xiàn)象在工程測量中的一個具體應(yīng)用，它可以用來測量透明介質(zhì)薄片的微小厚度或折射率.在不加介質(zhì)片之前，兩相干光均在空氣中傳播，它們到達屏上任一點 P的光程差由其幾何路程差決定，對于點 O,光程差A(yù)=0,故點O處為中央明紋，其余條紋相對點O對稱分布.而在插入介質(zhì)片后，雖然兩相干光在兩介質(zhì)薄片中的幾何路程相同，但光程卻不同，對于點O,A#,故點O不再是中央明紋，整個條紋發(fā)生平移.這時，干涉條紋空間分布的變化完全取決于光程差的變化.因此，對于屏上某點 P（明紋或暗紋位置），只要計算出插入介質(zhì)片前后光程差的變化，即可知道其干涉條紋的變化情況.插入介質(zhì)前的光程差&=ri—r2=kiX對應(yīng)ki級明紋），插入介質(zhì)后的光程差2=[（ni—1）d+ri]—[（n2—1）d+「2]=k2入（對應(yīng)k2級明紋）.光程差的變化量為&—Ai=（n2—ni）d=（k2—ki）入式中（k2 —ki ）可以理解為移過點 P的條紋數(shù)（本題為 5）.因此，對于這類問題，求解光程差的變化量是解題的關(guān)鍵.解由上述分析可知，兩介質(zhì)片插入前后，對于原中央明紋所在點 O,有：2-r=：，n2-Rd=51將有關(guān)數(shù)據(jù)代入可得5'cC

d= =8.0（1mn2-ni11-13白光垂直照射到空氣中一厚度為 380nm的肥皂膜上.設(shè)肥皂的折射率為 i.32.試問該膜的正面呈現(xiàn)什么顏色？ 背面呈現(xiàn)什么顏色？分析這是薄膜干涉問題，求正面呈現(xiàn)的顏色就是在反射光中求因干涉增強光的波長（在可見光范圍），求背面呈現(xiàn)的顏色就是在透射光中求干涉增強（即反射減弱）光的波長.解根據(jù)分析對反射光加強，有2ne/2=k-k=i,2,...=4ne/2k-1在可見光范圍，k=2時，九=668.8nm（紅光）k=3時，九=401.3nm（紫光）故正面呈紅紫色.同理，對透射光加強，有2ne=kX（k=1,2,…）在可見光范圍僅有k=2時，壯501.6nm（綠光）.即背面呈綠色.11-14在折射率n3=1.52的照相機鏡頭表面涂有一層折射率 n2=1.38的MgF2增透膜，若此膜僅適用于波長上550nm的光，則此膜的最小厚度為多少？分析在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都將對兩反射光 （或兩透射光）的光程差產(chǎn)生影響，從而可使某些波長的光在反射（或透射）中得到加強或減弱，這種選擇性使薄膜干涉在工程技術(shù)上有很多應(yīng)用.本題所述的增透膜，就是希望波長上550nm的光在透射中得到加強，從而得到所希望的照相效果（因感光底片對此波長附近的光最為敏感）.具體求解時應(yīng)注意在 d>0的前提下，k取最小的允許值.解1因干涉的互補性，波長為550nm的光在透射中得到加強，則在反射中一定減弱，兩反射光的光程差&=2n2d,由干涉相消條件A2=（2k+1）士，得2d=2k1——4n2取k=0,貝Udmin=99.6nm.解2由于空氣的折射率n1=1,且有n1vn2vn3,則對透射光而言，兩相干光的光程工， C ，，九 ，一、「『一， 3差4=2n2d+一,由干涉加強條件A1=k入得2d22k1——4n2取k=1,則膜的最小厚度dmin=99.6nm.11-15利用空氣劈尖測細絲直徑.如圖所示，已知入=589.3nm,L=2.888俅-2m,測得30條條紋的總寬度為4.259W-3m,求細絲直徑d.分析在應(yīng)用劈尖干涉公式d=-L時，應(yīng)注意相鄰條紋的間距 b是N條條紋的寬度2nbAx除以（N-1）.對空氣劈尖n=1.x斛由分析知，相鄰條紋間距b= ,則細絲直徑為N-1N-1 .5d=——L= =5.7510m2nb2nx題11-15圖11-16集成光學(xué)中的楔形薄膜耦合器原理如圖所示.沉積在玻璃襯底上的是氧化鋰(TazOs)薄膜，其楔形端從A到B厚度逐漸減小為零.為測定薄膜的厚度，用波長壯632.8nm的He-Ne激光垂直照射，觀察到薄膜楔形端共出現(xiàn) 11條暗紋，且A處對應(yīng)一條暗紋，試求分析置于玻璃上的薄膜AB段形成劈尖，求薄膜厚度就是求該劈尖在 A點處的厚度.由于TazOs對激光的折射率大于玻璃，故從該劈尖上表面反射的光有半波損失，而下表面沒有，因而兩反射光光程差為 △=2ne+"2.由反射光暗紋公式2nek+"2=(2k+1)乂2,k=0,2,3,…，可以求厚度ek,又因為AB中共有11條暗紋(因半波損失B端也為暗紋)，則k取10即得薄膜厚度.解根據(jù)分析，有2nek+12=(2k+1)X2(k=0,1,2,3,…)取k=10,得薄膜厚度e〔o=10M2n=1.410-6m.11-17如圖(a)所示，將符合標準的軸承鋼珠 a、b和待測鋼珠c一起放在兩塊平板玻璃之間，若垂直入射光的波長 入=580nm,問鋼珠c的直徑比標準小多少？ 如果距離d不同，對檢測結(jié)果有何影響？分析很顯然，如鋼珠c與標準件a、b相同，則呈現(xiàn)厚度相同的薄膜干涉；如鋼珠與標準件不同，則為劈尖干涉.后者有等厚干涉條紋出現(xiàn)， a與c之間的條紋分布如圖(b)所示.由于相鄰條紋的厚度差A(yù)d=X2n.而空氣的折射率nM,則兩鋼珠之間的直徑差A(yù)x=N'，式中2N為a與c之間的條紋間隔數(shù)目(注：條紋數(shù)目較多時，也可用條紋數(shù)目作近似計算)，由圖1(a)知N約為6—.4改變鋼珠間的距離d,將鋼珠c移至c處，如圖(c)所示，a與c'之間條紋數(shù)并未改變，但由于相鄰條紋間距變小，從而影響觀測.(a) (b) (c)題11-17圖解鋼珠c和a、b的直徑不同，則兩平板玻璃形成空氣劈.由分析得，鋼珠c的直徑與標準件直徑相差_ 6.：x=N =1.8110m2當距離d稍微改變時，a、b與c之間條紋數(shù)目未變，故不影響檢驗結(jié)果.11-18折射率為1.60的兩塊標準平面玻璃板之間形成一個劈形膜(劈尖角 。很小).用波長上600nm的單色光垂直入射，產(chǎn)生等厚干涉條紋.假如在劈形膜內(nèi)充滿n=1.40的液體時的相鄰明紋間距比劈形膜內(nèi)是空氣時的間距縮小 Al=0.5mm,那么劈尖角。應(yīng)是多少？分析劈尖干涉中相鄰條紋的間距 l="2n。，其中。為劈尖角，n是劈尖內(nèi)介質(zhì)折射率. 由于前后兩次劈形膜內(nèi)介質(zhì)不同，因而l不同.則利用l=X2n。和題給條件可求出0.解劈形膜內(nèi)為空氣時，l空=?」2日劈形膜內(nèi)為液體時，l液=/I2n8則由Al=l空一l液=Z/0—九/2n6,得]=1_1/n=1.7110“rad2l11-19如圖所示的干涉膨脹儀，已知樣品的平均高度為 3.0M0-2m,用彩589.3nm的單色光垂直照射.當溫度由 17C上升至30C時，看到有20條條紋移過，問樣品的熱膨脹系數(shù)為多少？

題11-19圖題11-19圖分析溫度升高AT=丁2-T1后，樣品因受熱膨脹，其高度l的增加量Al=l困.由于樣品表面上移，使在傾角 。不變的情況下，樣品與平板玻璃間的空氣劈的整體厚度減小.根據(jù)等厚干涉原理，干涉條紋將整體向棱邊平移，則原k級條紋從a移至a處，如圖（b）所示，移過某一固定觀察點的條紋數(shù)目 N與Al的關(guān)系為Al=N-,由上述關(guān)系可得出熱膨脹系數(shù)2解由題意知，移動的條紋數(shù)N=20,從分析可得九N-=l-T2九N則熱膨脹系數(shù) 二?二上二1.5110*IT11—20在利用牛頓環(huán)測未知單色光波長的實驗中，當用已知波長為 589.3nm的鈉黃光垂直照射時，測得第一和第四暗環(huán)的距離為 Ar=4.00M0-3m；當用波長未知的單色光垂直照射時，測得第一和第四暗環(huán)的距離為 Ar=3.8510-3m,求該單色光的波長.分析牛頓環(huán)裝置產(chǎn)生的干涉暗環(huán)半徑r=JkRu,其中k=0,1,2…，k=0,對應(yīng)牛頓環(huán)中心的暗斑，k=1和k=4則對應(yīng)第一和第四暗環(huán)，由它們之間的間距△r=r4-r1=JR］，可知Ar^ ,據(jù)此可按題中的測量方法求出未知波長 X.解根據(jù)分析有T_ 1二r故未知光波長 入'=546nm11-21在牛頓環(huán)實驗中，當透鏡與玻璃之間充以某種液體時，第 10個亮環(huán)的直徑由1.4010-2m變?yōu)?.2710-2m,試求這種液體的折射率.

分析 當透鏡與平板玻璃間充滿某種液體（n2 >1）,且滿足n1>n2, n2 vn3或n1 < n2 ,n2>n3時，在厚度為d的地方，兩相干光的光程差為△=2n2d+—.由此可推導(dǎo)出牛頓環(huán)暗2 kR環(huán)牛徑r= kR環(huán)牛徑r=I 和明環(huán)半徑r二ri2k—i—,這里明、暗環(huán)半徑和充入的介質(zhì)折射率 n2有n2關(guān).有興趣的讀者可自行推導(dǎo).必須指出，在牛頓環(huán)中，若介質(zhì)不均勻或分析的是透射光而不是反射光，那么關(guān)于暗環(huán)、明環(huán)半徑的公式與教材中的公式是不同的，不能隨意套用.解當透鏡與玻璃之間為空氣時， k級明紋的直徑為dk=2rk=2jk-1jRZ當透鏡與玻璃之間為液體時， k級明紋的直徑為1 1RRKdk=2rk=2k—二i—

2j2解上述兩式得2n2=J"-1.22dn2=11—22如圖所示，折射率n2=1.2的油滴落在11—22如圖所示，折射率n2=1.2的油滴落在似于球面的油膜，測得油膜中心最高處的高度油膜，求（1）油膜周邊是暗環(huán)還是明環(huán)？dmn3=1.50的平板玻璃上，形成一上表面近=1.1口，用入=600nm的單色光垂直照射（2）整個油膜可看到幾個完整的暗環(huán)?題11-22圖分析本題也是一種牛頓環(huán)干涉現(xiàn)象，由于n1<n2vn3,故油膜上任一點處兩反射相干光的光程差A(yù)=2n2d.（1）令d=0,由干涉加強或減弱條件即可判斷油膜周邊是明環(huán).（ 2）由2n2d=（2k+1）M2,且令d=dm可求得油膜上暗環(huán)的最高級次（取整），從而判斷油膜上完整暗環(huán)的數(shù)目.解 （1）根據(jù)分析，由2n22n2d=，“、k=0,1,2,...（2k+1%（喑條紋）油膜周邊處d=0,即A=0符合干涉加強條件，故油膜周邊是明環(huán).（2）油膜上任一暗環(huán)處滿足△=2n2d=2k1/2k=0,1,2,...令d=dm，解得k=3.9,可知油膜上暗環(huán)白^最高級次為 3,故油膜上出現(xiàn)的完整暗環(huán)共有 4個，即k=0,1,2,3.11-23把折射率n=1.40的薄膜放入邁克耳孫干涉儀的一臂，如果由此產(chǎn)生了 7.0條條紋的移動，求膜厚.設(shè)入射光的波長為 589nm.分析邁克耳孫干涉儀中的干涉現(xiàn)象可以等效為薄膜干涉（兩平面鏡相互垂直）和劈尖干涉（兩平面鏡不垂直）兩種情況，本題屬于后一種情況.在干涉儀一臂中插入介質(zhì)片后，兩束相干光的光程差改變了，相當于在觀察者視野內(nèi)的空氣劈尖的厚度改變了，從而引起干涉條紋的移動.解插入厚度為d的介質(zhì)片后，兩相干光光程差的改變量為 2（n—1）d,從而引起N條條紋的移動，根據(jù)劈尖干涉加強的條件，有2（n—1）d=N%彳#d=NXN■ 上d= =5.15410m2n-111-24如圖所示，狹縫的寬度 b=0.60mm,透鏡焦距f=0.40m,有一與狹縫平行的屏放置在透鏡焦平面處.若以單色平行光垂直照射狹縫，則在屏上離點 O為x=1.4mm處的點P,看到的是衍射明條紋.試求：（1）該入射光的波長；（2）點P條紋的級數(shù)；（3）從點P看來對該光波而言，狹縫處的波陣面可作半波帶的數(shù)目.分析單縫衍射中的明紋條件為bsin④=±（2k+1 在觀察點P確定（即巾確定）后，2由于k只能取整數(shù)值，故滿足上式的 入只可取若干不連續(xù)的值，對照可見光的波長范圍可確定入射光波長的取值.此外，如點 P處的明紋級次為k,則狹縫處的波陣面可以劃分的半波帶數(shù)目為（2k+1）,它們都與觀察點P有關(guān)，。越大，可以劃分的半波帶數(shù)目也越大.x解 （1）透鏡到屏的距離為d,由于d>>b,對點P而百，有sin邛定一.根據(jù)單縫衍射明d紋條件bsin中=（2k+1）-,有2bx=2k1-d 2將b、d（d葉）、x的值代入，并考慮可見光波長的上、下限值，有?=400nm時，**=4.75max=760nm時，kmax=2.27因k只能取整數(shù)值，故在可見光范圍內(nèi)只允許有 k=4和k=3,它們所對應(yīng)的入射光波長分別為A=466.7nm和卜=600nm.（2）點P的條紋級次隨入射光波長而異，當%=600nm時，k=3;當2=466.7nm時，k=4.(3)當=600nm時，k=3,半波帶數(shù)目為(2k+1)=7;當尬=466.7nm時，k=4,半波帶數(shù)目為9.題11-24題11-24圖11-25單縫的寬度b=0.40mm,以波長壯589nm的單色光垂直照射，設(shè)透鏡白^焦距f=1.0m.求：（1）第一級暗紋距中心的距離；（2）第二級明紋距, * ? 中心的距離；（3）如單色光以入射角i=30斜射到單縫上，則上述結(jié)果有何變動.題11-25題11-25圖分析對于問題（3）單色光傾斜入射單縫的情況，在入射光到達單縫時，其上下兩列邊界光線之間已存在光程差bsini（若為光柵，則為dsini）,對應(yīng)等光程的中央主極大將移至點 O'（此時（f）=i=30°）,屏上衍射條紋原有的對稱性受到一定的破壞.如圖所示，對于點。上方的條紋（此時入射光與衍射光位于法線兩側(cè)，且bsini-sin中)=?bsini-sin中)=?-(2k+1?/I2「k九（明條紋）

（暗條紋）如令sin平=1,可求得最大條紋級次 kmi.對于點O下方的條紋（此時入射光與衍射光位于法線同側(cè)），滿足

b(sini+sin中)=?」（b(sini+sin中)=?」（2k+1p/2 （明條紋）（暗條紋）如令sin中=1,可求得另一側(cè)的最大條紋級次 km2,對于點。與O之間的條紋（此時入射光與衍射光位于法線兩側(cè)，但 （f）vi）,滿足b(sini-sin邛)=?b(sini-sin邛)=?f（2k+1>/12 （明條紋）k-（暗條紋）需要說明的是，點。'與O之間的條紋與點O下方的條紋屬于中央主極大同一側(cè)的各級條紋，同的是前者k值較小，后者k值較大，且k值在點O附近連續(xù)變化.k，=1)=2)解（1）由單縫衍射的暗紋條件bsin%=k，-得%定sin%==，則第一級（kb=1)=2)暗紋距中心的距離為（2）由明紋條件X=ftan1:f；=1.4710-3（2）由明紋條件bsin④2=(2k+1 ,得學(xué)2%sin%=(2k+1 ，則第二級(k明紋距中心的距離為x2=ftan2f2=3.6810-3m在上述計算中，由于k取值較小，即（））較小，故審定sin審定tan中.如k取值較大，則應(yīng)嚴格計算.* .、一 .（3）斜入射時，中央主極大移至點 O',先計算點O'上方條紋的位置：對于第一級暗紋，有b（sin30o—sin邛11）=—九，sin%1=—+0.5,該暗紋距中心的距離bx；=ftani=x；=ftani=ftanarcsin-0.5=0.580mb對于第二級明紋，有bsin30o-sin:2=51——，sin卬2=22b+0.5,該明紋距中心的距離x2=ftan2工ftanarcsin必x2=ftan2工一2b再計算。點下方條紋的位置（由于所求k值較小，其條紋應(yīng)在。與O之間）：對于第一級暗紋，有b（sin30o-sin中i"）=九，sin中；=0.5-卜，該暗紋距中心的距離x1=ftan；-f=ftan[arcsin0.5x1=ftan；-f=ftan[arcsin0.5——二575mb對于第二級明紋，有b(sin30o-sin^2)=—,sin中2*=0.522b，該明紋距中心的距離X2=ftan2一ftanarcsin20.5 =0.572m一2b討論斜入射時，中央主極大移至點 O'（此時i=30。），它距中心點O的距離為xo=ftan30o=0.577m,由上述計算數(shù)據(jù)可知，此時衍射條紋不但相對點O不對稱，而且相對中央主極大的點O也不再嚴格對稱了.11-26—單色平行光垂直照射于一單縫，若其第三條明紋位置正好和波長為 600nm的單色光垂直入射時的第二級明紋的位置一樣，求前一種單色光的波長.分析采用比較法來確定波長.對應(yīng)于同一觀察點，兩次衍射的光程差相同，由于衍射明紋條件bsin中=（2k+1故有（2匕+1'=（2kz+1瓦，在兩明紋級次和其中一種波長已知2的情況下，即可求出另一種未知波長.解根據(jù)分析，將%=600nm,k2=2,k1=3代入（（2kl+1囚=（2k2+1九2，得2k2 1，22ki111= =4282ki111-27 已知單縫寬度b=1.010-4m,透鏡焦距f=0.5m,用為=400nm和尬=760nm的單色平行光分別垂直照射，求這兩種光的第一級明紋離屏中心的距離，以及這兩條明紋之間的距離.若用每厘米刻有1000條刻線的光柵代替這個單縫， 則這兩種單色光的第一級明紋分別距屏中心多遠？ 這兩條明紋之間的距離又是多少？分析用含有兩種不同波長的混合光照射單縫或光柵，每種波長可在屏上獨立地產(chǎn)生自己的一組衍射條紋，屏上最終顯示出兩組衍射條紋的混合圖樣.因而本題可根據(jù)單縫（或光柵）衍射公式分別計算兩種波長的 k級條紋的位置X1和X2,并算出其條紋間距AX=X2—X1.通過計算可以發(fā)現(xiàn)，使用光柵后，條紋將遠離屏中心，條紋間距也變大，這是光柵的特點之一.解（1）當光垂直照射單縫時，屏上第 k級明紋的位置x=2k1.f當加=400nm和k=1時， X1=3.010-3m當加=760nm和k=1時， X2=5.710-3m其條紋間距 Ax=X2—X1=2.7便-3m（2）當光垂直照射光柵時，屏上第k級明紋的位置為而光柵常數(shù)當加而光柵常數(shù)當加=400nm和k=1時,當卜=760nm和k=1時,其條紋間距k',

X=——fd」1。2 5d=——-m=10m103X1=2.010-3mX2=3.810-3mX=x2-X；=1.8101m11-28迎面而來的一輛汽車的兩車頭燈相距為 1.0m,問在汽車離人多遠時，它們剛能為人眼所分辨？ 設(shè)瞳孔直徑為3.0mm,光在空氣中的波長入=500nm.分析兩物體能否被分辨，取決于兩物對光學(xué)儀器通光孔（包括人眼）的張角 0和光學(xué)儀器的最小分辨角E0的關(guān)系.當e00時能分辨，其中仁出為恰能分辨.在本題中60=1.22—D為一定值，而10ft2，式中l(wèi)為兩燈間距，d為人與車之間的距離. d越大或l越小，。就越d小，當?！瓷鷷r兩燈就不能被分辨，這與我們的生活經(jīng)驗相符合.l解當。=G時，-=1.22—,此時，人與車之間的距離為dD」Dld= =4918m1.2211-29老鷹眼睛的瞳孔直徑約為6mm,問其最多飛翔多高時可看清地面上身長為 5cm的小鼠？設(shè)光在空氣中的波長為600nm.解根據(jù)上題的分析：00=1.22>D,這里D是鷹的瞳孔直徑.而0=L/h,其中L為小鼠的身長，h為老鷹飛翔的高度.恰好看清時。=h則由L/h=1.22"D,得飛翔高度：h=LD/（1.22N=409.8m.11-30一束平行光垂直入射到某個光柵上，該光束中包含有兩種波長的光：1=440nm和卜=660nm.實驗發(fā)現(xiàn)，兩種波長的譜線（不計中央明紋）第二次重合于衍射角 60。的方向上，求此光柵的光柵常數(shù).分析根據(jù)光柵衍射方程dsin中=±k九，兩種不同波長的譜線，除k=0中央明紋外，同級明紋在屏上位置是不同的，如果重合，應(yīng)是它們對應(yīng)不同級次的明紋在相同衍射角方向上重合.故由dsin（j）=kM=k'2入可求解本題.解由分析可知 dsin9=*=k%得 k/k=2/1=3/2上式表明第一次重合是 加的第3級明紋與加的第2級明紋重合，第二次重合是 九的第6級明紋與力的第4級明紋重合.此時，k=6,k=4,60°,則光柵常數(shù)d"k"/sin爐=3.05106m=3.0511-31用一個1.0mm內(nèi)有500條刻痕的平面透射光柵觀察鈉光譜（ 入=589nm）,設(shè)透鏡一一\一一 *.......焦距f=1.00m.問：（1）光線垂直入射時，最多能看到第幾級光譜； （2）光線以入射角30。入射時，最多能看到第幾級光譜；（ 3）若用白光垂直照射光柵，求第一級光譜的線寬度.104分析（1）首先確定光柵常數(shù)d=m,式中N為刻痕數(shù)，然后由光線垂直照射光柵時N的衍射條件，即可解得結(jié)果.（2）如同光線傾斜入射單縫一樣， 此時光柵衍射的明紋條件改變?yōu)?d（sini±sin*）=±k九（詳見題11-25的分析），由于兩側(cè)條紋不再對稱，令sin*=1,可求得km1和km2兩個值，其中一個比垂直入射時的km值小，另一個比km值大，因而，在其他條件不變的情況下，傾斜入射時可以觀察到較高級次的條紋.（3）用白光照射光柵，除中央明紋仍為白光外，其余處出現(xiàn)一系列光譜帶，稱為光柵光譜.每個光譜帶是由同一級次不同波長的明紋依次排列而成.所謂第一級光譜的線寬度是指入射光中最小波長（取%所=400nm）和最大波長（取%ax=760nm）的第一級明紋在屏上的間距，其余波長的第一級明紋均出現(xiàn)在此范圍內(nèi).需要指出的是，對于較高級次的光譜會出現(xiàn)相鄰光譜間的交錯重疊的現(xiàn)象.解（1）光波垂直入射時， 光柵衍射明紋的條件為dsin中=±k九，令sin中=1,可得km=一。=_3.39A取整數(shù)km=3,即最多能看到第3級光譜.（2）傾斜入射時，光柵明紋的條件為dsini二sin--二k令sinful,可求得位于中央主極大兩側(cè)， 能觀察到條紋的最大km值分另為kmi=5和km2=1（已取整數(shù)值）.故在法線兩側(cè)能觀察到的最大級次分別為五級和一級.（3）白光的波長范圍為400nm?760nm,用白光垂直照射時，由dsin中=kZ可得第一級（k=1）光譜在屏上的位置.對應(yīng)于入=400nm和后=760nm的明紋的衍射角為-1=arcsin—;;2=arcsin—,利用tan=二可得明紋的位置為d d fx1=ftan1=0.2m,x2=ftan2=0.41m則第一級光譜的線寬度為x=x2-x1=0.21m11-32波長為600nm的單色光垂直入射在一光柵上，第二級主極大出現(xiàn)在 sin中=0.20處，第四級缺級.試問（1）光柵上相鄰兩縫的間距是多少？ （2）光柵上狹縫的寬度有多大？（3）在—90°v 90°范圍內(nèi)，實際呈現(xiàn)的全部級數(shù).分析 （1）利用光柵方程dsin邛=（b+b'sin甲=±k八，即可由題給條件求出光柵常數(shù) d（即兩相鄰縫的間距）.（2）光柵衍射是多縫干涉的結(jié)果，也可看成是光透過許多平行的單縫衍射的結(jié)果.缺級就是按光柵方程計算屏上某些應(yīng)出現(xiàn)明紋的位置，按各個單縫衍射計算恰是出現(xiàn)暗紋的位置.因此可以利用光柵方程 dsin中=（b+b'sin中=k九和單縫衍射暗紋公式bsin邛=k'九計算縫寬和屏上缺級的情況，從而求出屏上條紋總數(shù).解（1）由題已知k=2時，sin邛=0.20,則由分析可得光柵常數(shù)：d=k入sin中=6父10"6m=6pm/、4八化.同皿"對<b+b'sin*=k尢（k=0,士1,…）（2）由分析知缺級條件」 ,,Qsin@=k，u（k'=0,土1,...）則（b+b'）/b=k/k'=m,k=mk'，即mk級明紋缺級.由題意k=4缺級，即（b+b'）/b=4/k'當k'=1時，m=4,lb=1.5Nm,即％,九，小2,…級缺級.（符合題意）1b=4.5[im當k=2時，m=2,第i2, i6,…級缺級.（第二級已存在，不符合題意，舍去）解得 解得 x=2/3題題11-34圖、“， 4 4 'b=4.5um當k=3時，m=-,』 ”，第甘，±8,±12,…級缺級.（符合題意）3 b=1.5nm當k'=4時，m=1,第±1,i2,匕，甘，…級全部缺級.（不符合題意，舍去）因此，狹縫寬度b為1.5（1m或者4.5pm,而缺級只發(fā)生在M,為，±2,…級.（3）由光柵方程（b+b'Sin邛=±k九，可知屏上呈現(xiàn)條紋最高級次應(yīng)滿足k＜（b+bHy九=10,故考慮到缺級，實際屏上呈現(xiàn)的級數(shù)為： 0,土，及，匕，巧，生,立，均，共15條.11-33以波長為0.11nm的X射線照射巖鹽晶體，實驗測得X射線與晶面夾角為11.5時獲得第一級反射極大.（1）巖鹽晶體原子平面之間的間距d為多大？（2）如以另一束待測X射線照射，測得X射線與晶面夾角為17.5。時獲得第一級反射光極大，求該X射線的波長.分析X射線入射到晶體上時，干涉加強條件為2 dsin。=k入（k=0,1,2,…）式中d為晶格常數(shù)，即晶體內(nèi)原子平面之間的間距（如圖）.解（1）由布拉格公式2dsinH=kZ（k=0,1,2，…）第一級反射極大，即k=1.因此，得d=1/sin』=0.276nm（2）同理，由2dsin2=k六，取k=1,得2dsin%=0.166nm題11-33圖11-34測得一池靜水的表面反射出來的太陽光是線偏振光， 求此時太陽處在地平線的多大仰角處？ （水的折射率為1.33）

分析設(shè)太陽光（自然光）以入射角 i入射到水面，則所求仰角 9=--i.當反射光起偏2時，根據(jù)布儒斯特定律，有i=io=arctan正（其中ni為空氣的折射率，n2為水的折射率）.ni解根據(jù)以上分析，有TOC\o"1-5"\h\z. .冗c ,n2i0=i=一―0=arctan—\o"CurrentDocument"2 n1f=--arctann2=36.9o2 n111-35使自然光通過兩個偏振化方向相交 60°的偏振片，透射光強為11,今在這兩個偏振片之間插入另一偏振片，它的方向與前兩個偏振片均成 30。角，則透射光強為多少？分析設(shè)入射自然光強為Io,偏振片I對入射的自然光起起偏作用，透射的偏振光光強恒為,而偏振片n對入射的偏振光起檢偏作用，此時透射與入射的偏振光