九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測題

Page26直角三角形的邊角關(guān)系【本檢測題滿分:120分，時(shí)間:120分鐘】一、選擇題（每小題3分，共30分）1.計(jì)算：tanA.2B.C.D.2.在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）A．B． C．D．3.（2015·浙江麗水中考）如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示cosα的值，錯(cuò)誤的是（）A.BDBCB.BCAB C.ADAC第3題圖第4題圖第5題圖4.（2015?湖北荊門中考）如圖，在△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接BD,則tan∠DBC的值為（）A.13 B.2-1 C.2-3 D.5.(2015·山西中考)如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是()

A.2 B.255 C.6.已知在中，，則的值為（）A.B. C. D.7.如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i=1∶2的坡面向上前進(jìn)了10m，此時(shí)小球距離地面的高度為()第7題圖A.5mB.2mC.4mD.m第7題圖8.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠A．B．2C．D．9.直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（）A.5B.37C.7D.3810.（2015·哈爾濱中考）如圖，某飛機(jī)在空中A處探測到它的正下方地平面上目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC＝1200m,從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角α＝30°，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為（）A.1200mB.12002mC.12003mD.2400m第10題圖二、填空題（每小題3分，共24分）11.（2014·山東東營中考）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行_________米．12.（2015·陜西中考）如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為________.（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1°）第12題圖13.如圖，小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為_________m.（小蘭身高忽略不計(jì)，）14.等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于________．15.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=416.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA17.(2015·江西中考)如圖①是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖②所示的幾何圖形，已知BC=BD＝15cm，∠CBD=40°，則點(diǎn)B到CD的距離為___________cm(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結(jié)果精確到0.1cm，可用科學(xué)計(jì)算器). ①②第17題圖18.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D三、解答題（共66分）19.（8分）計(jì)算下列各題：(1)；（2）.20.（7分）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測量校園內(nèi)一棵大樹的高度，設(shè)計(jì)的方案及測量數(shù)據(jù)如下：(1)在大樹前的平地上選擇一點(diǎn)A，測得由點(diǎn)A看大樹頂端C的仰角為35°；(2)在點(diǎn)A和大樹之間選擇一點(diǎn)B（A，B，D在同一直線上），測得由點(diǎn)B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；(3)量出A，B兩點(diǎn)間的距離為4.5m.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.(精確到0.1m)21.（7分）每年的5月15日是“世界助殘日”.某商場門前的臺(tái)階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人便于輪椅行走，準(zhǔn)備拆除臺(tái)階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°，已知此商場門前的人行道距商場門的水平距離為8米(斜坡不能修在人行道上)，問此商場能否把臺(tái)階換成斜坡?（參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.1564，22.（8分）如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m，此時(shí)自B處測得建筑物頂部的仰角是45°.已知測角儀的高度是1.5m，請(qǐng)你計(jì)算出該建筑物的高度．（取≈1.732，結(jié)果精確到1m）23.（8分）已知：如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜坡前進(jìn)400米到D處（即∠DCB=30°，CD=400米），測得A的仰角為，求山的高度AB．24.（8分）一段路基的橫斷面是直角梯形，如左下圖所示，已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6，現(xiàn)不改變土石方量，全部充分利用原有土石方進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，達(dá)到如右下圖所示的技術(shù)要求．試求出改造后坡面的坡度是多少？25.（10分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD，AE分別與CD，CB相交于點(diǎn)H，E，AH＝2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD＝，求BE的值.26.（10分）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào)．已知A，B兩船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東75°方向上．（1）分別求出A與C，A與D間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）.（2）已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測題參考答案一、選擇題1.C解析：2.C解析：設(shè)，則，，則，所以△是直角三角形，且∠．所以在Rt△ABC中，．3.Ｃ解析：在Rt△BCD中，，故A項(xiàng)正確；在Rt△ABC中，，故B項(xiàng)正確；，，，，故D項(xiàng)正確；而，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.4.A解析：根據(jù)題意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,設(shè)DE=CE=x，則CD=x，AC=AB=2x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根據(jù)銳角三角函數(shù)，在Rt△DBE中，tan∠DBE===，即tan∠DBC=.5.D解析：如圖所示，連接AC，則AC，2；AB2，8；BC，10.∵，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角，第5題答圖ABC第6題答圖ABC第6題答圖6.A解析：如圖，設(shè)則由勾股定理知，所以tanB.7.B解析：設(shè)小球距離地面的高度為則小球水平移動(dòng)的距離為所以解得8.B解析：設(shè)又因?yàn)樵诹庑沃?，所以所以所以由勾股定理知所?9.A解析：設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為則所以斜邊長10.D解析：根據(jù)題意，得∠B==30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB=2AC.∵AC=1200m，∴AB=2400m.故選D.二、填空題11.10解析：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BC,則AC=8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根據(jù)勾股定理，得AB====10（米）.12.27.8°解析：根據(jù)正切的定義可知,然后使用計(jì)算器求出的度數(shù)約為27.8°.13.43.3解析：因?yàn)?，所以所以所?.14.15°或75°解析：如圖，.在圖①中，，所以∠∠；在圖②中，，所以∠∠.第第14題答圖BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①15.解析：在Rt△中，∵，∴sinB=，．在Rt△中，∵，sinB=，∴．在Rt△中，∵，∴．16.解析：設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，利用網(wǎng)格,從點(diǎn)向所在直線作垂線,利用勾股定理得,所以sinA=.17.14.1解析：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵BC=BD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，得∠CBE=∠CBD=20°.在Rt△BCE中，cos∠CBE=，∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）.第17題答圖18.解析：如圖，延長、交于點(diǎn)，∵∠，∴．∵，∴，∴．∵，∴．三、解答題19.解：（1）（2）20.解：∵∠90°,∠45°，∴∵，∴則m，∵∠35°，∴tan∠tan35°.整理，得≈10.5.故大樹的高約為10.521.解：因?yàn)樗孕逼碌钠陆切∮?，故此商場能把臺(tái)階換成斜坡.22.解：設(shè)，則由題意可知，m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，即3x(x＋100)，解得x50＋50.經(jīng)檢驗(yàn)，50＋50是原方程的解．∴故該建筑物的高度約為23.解:如圖，過點(diǎn)D分別作⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，在Rt△中，∠，米，所以（米），（米）.在Rt△ADE中，∠ADE=60°，設(shè)米，則（米）.在矩形DEBF中，BE=DF=200米，在Rt△ACB中，∠，∴，即，∴，∴米．24.解：由原題左圖可知：BE⊥DC，m，.在Rt△BEC中，（m）.由勾股定理得，m. 在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，則梯形的面積＝梯形的面積．，解得＝80（m）. ∴改造后坡面的坡度.25.分析：(1)根據(jù)已知條件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sinB的值.（2）通過解Rt△ABC求出AC與BC的長，解Rt△ACH求出CE的長，利用BE=BC-CE得到答案.解：（1）∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD,∴∠B＝∠DCB.∵∠ACB＝90°，AE⊥CD，∴∠DCB=∠CAE,∴∠B=∠DCB=∠CAE.∵AH＝2CH，∴sinB=sin∠CAE==＝.（2）∵CD=，∴AB=2.∴BC=2·cosB=4，AC=2·sinB=2,∴CE=AC·tan∠CAE=1,∴BE=BC-CE=3.點(diǎn)撥：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形.26.分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形.設(shè)AE=a海里，通過解直角三角形，用含a的代數(shù)式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根據(jù)BE=CE，列出方程，求出a，進(jìn)而求出AC.(2)判斷巡邏船A在沿直線AC去營救船C的途中有無觸礁危險(xiǎn)，只要求出觀測點(diǎn)D到AC的距離，然后與100海里比較即可.因此，過點(diǎn)D作DF⊥AC，構(gòu)造出Rt△ADF，求出DF，將DF與100海里進(jìn)行比較.解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)AE=a海里，則BE=AB-AE=100(+1)-a（海里）.在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，∴AC===2a（海里），CE=AE·tan60°=a（海里）.在Rt△BCE中，BE=CE，∴100(+1)-a=a，∴a=100（海里）.∴AC=2a=200（海里）.在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=,即=.∴AD=200(-1)(海里).答：A與C間的距離為200海里，A與D間的距離為200(-1)海里.（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.在Rt△ADF中，∠DAF=60°，∴DF=AD·sin60°=200(-1)×=100(3-)≈127>100.∴船A沿直線AC航行，前往船C處途中無觸礁危險(xiǎn).點(diǎn)撥：（1）解斜三角形的問題時(shí)，一般通過作高構(gòu)造直角三角形求解；（2）已知兩個(gè)直角三角形邊長的和或邊長的差，常通過列方程的方法解直角三角形.第一章直角三角形的邊角關(guān)系檢測題參考答案一、選擇題1.C解析：tan452.C解析：設(shè)BC=5x，則CA=12x，AB=13x所以△ABC是直角三角形，且∠C=90所以在Rt△ABC中，cosB=．3.Ｃ解析：在Rt△BCD中，，故A項(xiàng)正確；在Rt△ABC中，，故B項(xiàng)正確；，，，，故D項(xiàng)正確；而，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.4.A解析：根據(jù)題意DE⊥BC，∠C=45°，得DE=CE,設(shè)DE=CE=x，則CD=x，AC=AB=2x，BC=4x，所以BE=BC-CE=3x.根據(jù)銳角三角函數(shù)，在Rt△DBE中，tan∠DBE===，即tan∠DBC=13.5.D解析：如圖所示，連接AC，則AC＝12＋12＝2，AC2＝2；AB＝∵AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC第6題答圖∴tan∠ABC第6題答圖6.A解析：如圖，設(shè)AB=5x，則由勾股定理知，AC=4x.所以tanBACBC=7.B解析：設(shè)小球距離地面的高度為xm，則小球水平移動(dòng)的距離為2x8.B解析：設(shè)AD=5x，則AE=3x.又因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，AD=AB，所以AB=AE+BE=3x+2=5x，所以x=1，所以AD=5，9.A解析：設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，則10.D解析：根據(jù)題意，得∠B=α=30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB=2AC.∵AC=1200m，∴AB=2400m.故選D.二、填空題11.10解析：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BC,則AC=8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根據(jù)勾股定理，得AB====10（米）.12.27.8°解析：根據(jù)正切的定義可知,然后使用計(jì)算器求出的度數(shù)約為27.8°.13.43.3解析：因?yàn)椤螧AD=30o，∠DBC=6014.15°或75°解析：如圖，BD⊥在圖①中，∠A=30o，所以∠ABC=在圖②中，∠BAD=30o，所以∠ABC=第14題答圖第14題答圖BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①15.5解析：在Rt△ABC中，∵cosB=45，∴sinB=在Rt△ABD中，∵AD=4，sinB=35，∴在Rt△ABC中，∵tanB=34，AB=16.解析：設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，利用網(wǎng)格,從C點(diǎn)向AB所在直線作垂線,利用勾股定理得AC=,所以sinA=.17.14.1解析：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵BC=BD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，得∠CBE=∠CBD=20°.在Rt△BCE中，cos∠CBE=，∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）.第17題答圖18.83解析：如圖，延長AD、BC交于E∵∠A=60°，∴∵CD=9，∴CE=9×∴BE=6+18=24．∵tanE∴AB=三、解答題19.解：（1）（2）20.解：∵∠CDB=90°,∠CBD=45°，∴CD=BD∵AB=4.5m，∴設(shè)高CD為xm，則∵∠CAD=35°，∴tan∠CAD=tan35°=.整理，得≈10.5.故大樹CD的高約為10.5m.21.解：因?yàn)?.28=0.15＜故此商場能把臺(tái)階換成斜坡.22.解：設(shè)CE=xm，則由題意可知在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，即3x=(x＋100)，解得x=50＋50.經(jīng)檢驗(yàn)，x=50＋50是原方程的解．∴CD=故該建筑物的高度約為138m.23.解:如圖，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，CD所以DF=CD?CF=CD?在Rt△ADE中，∠ADE=60°，設(shè)DE＝則AE=tan60在矩形DEBF中，BE=DF=200米，在Rt△ACB中，∠ACB=45°，∴AB即，∴x＝200，∴24.解：由原題左圖可知：BE⊥DC，BE＝30m，在Rt△BEC中，（m）.由勾股定理得，EC＝在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD的面積＝梯形A1，解得EC∴改造后坡面的坡度.25.分析：(1)根據(jù)已知條件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sinB的值.（2）通過解Rt△ABC求出AC與BC的長，解Rt△ACH求出CE的長，利用BE=BC-CE得到答案.解：（1）∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD,∴∠B＝∠DCB.∵∠ACB＝90°，AE⊥CD，∴∠DCB=∠CAE,∴