概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(離散型隨機(jī)變量)課件

2.2離散型隨機(jī)變量2.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．如擲骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)，一晝夜110接到的呼叫次數(shù)等均為離散型隨機(jī)變量．第2章隨機(jī)變量及其分布定義2.3設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，若X的全部可能取值為x1，x2，…，xn，…，則稱X取xi的概率P{X=xi}=pi，i=1，2，…為X的概率分布或簡(jiǎn)稱分布律，也可以稱為概率函數(shù)．

XX的分布律也可用如下的表格形式來表示：2.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律顯然分布律應(yīng)具有如下性質(zhì)：(1)非負(fù)性：pi

0，i=1，2，…(2)歸一性：上述兩條性質(zhì)是分布律必須具有的性質(zhì)，也是判別某個(gè)數(shù)列能否成為某個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律的充要條件．根據(jù)分布函數(shù)的定義，易知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：（–<x<）2.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律X的分布函數(shù)為的圖形呈階梯形右連續(xù)，如圖所示，在X的可能取值-1，2，3處有跳躍點(diǎn)，其躍度分別為1/4，1/2，1/4．2.2.1離散型隨機(jī)變量及其分布律2.2.2常用離散分布1.0-1分布如果隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是則稱X服從0-1分布或兩點(diǎn)分布．0-1分布的分布律也可寫成(其中0<p<1)

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)1、2，我們總能在上定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．2.2.2常用離散型分布實(shí)例1200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.2.2.2常用離散型分布

0-1分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明2.2.2常用離散型分布顯然，B(1，p)就是0-1分布，實(shí)際上二項(xiàng)分布是n重伯努利試驗(yàn)的概率模型．二項(xiàng)分布是一種常用的離散分布，例如“產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中次品數(shù)”；“在相同條件下獨(dú)立重復(fù)射擊的射中次數(shù)”；等等都服從二項(xiàng)分布.

2.2.2常用離散型分布分析：元件的總數(shù)很大,抽查元件的數(shù)量相對(duì)很小,可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.2.2.2常用離散型分布【補(bǔ)充例】解2.2.2常用離散型分布圖示概率分布2.2.2常用離散型分布【例2.6】設(shè)X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X

1}=5/9，試求P{Y

1}．

解：由P{X

1}=5/9，知P{X=0}=4/9，所以(1–p)2=4/9，由此得p=1/3．再由Y～B(3，p)，可得P{Y

1}=1–P{Y=0}=1–(1–1/3)3=19/27．2.2.2常用離散型分布【例2.7】某種鑄件的砂眼（缺陷）數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，試求該鑄件至多有一個(gè)砂眼（合格品）的概率和至少有2個(gè)砂眼（不合格品）的概率．

解：以X表示鑄件的砂眼數(shù)，由題意知X～P(0.5)，則該種鑄件上至多有1個(gè)砂眼的概率為至少有2個(gè)砂眼的概率為P{X

2}=1–P{X

1}=0.092.2.2常用離散型分布在二項(xiàng)分布B(n，p)的概率計(jì)算中，往往計(jì)算量很大，利用下面的泊松定理近似計(jì)算，可以大大減少計(jì)算量．下面不加證明地給出泊松定理．定理2.1（泊松定理）設(shè)>0是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)np=

（p與n有關(guān)），則對(duì)于任一非負(fù)整數(shù)k，有

2.2.2常用離散型分布Born:21June1781inPithiviers,France

Died:25April1840inSceaux(nearParis),FranceSiméonPoisson泊松資料泊松定理于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入！下面給出一個(gè)利用泊松分布作近似計(jì)算的例子．2.2.2常用離散型分布【例2.8】已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率為多少？

解：設(shè)該單位患有這種疾病的人數(shù)為X，則有X～B(5000，0.001)，則所求概率為取=np=5，用泊松分布近似計(jì)算并查附表1得2.2.2常用離散型分布為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理(我們也只考慮這種情況),問至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解:所需解決的問題使得2.2.2常用離散型分布?課堂練習(xí)由泊松定理得故有個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備82.2.2常用離散型分布解:所需解決的問題使得【實(shí)驗(yàn)2.1】用Excel計(jì)算例2.8中的概率．

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：函數(shù)BINOMDIST的使用格式：BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)功能：返回二項(xiàng)式分布的概率值．number_s為試驗(yàn)成功的次數(shù)，trials為獨(dú)立試驗(yàn)的總次數(shù)，probability_s為每次試驗(yàn)中成功的概率，Cumulative為一邏輯值，用于確定函數(shù)的形式．實(shí)驗(yàn)步驟：(1)在單元格B2中輸入n值：5000(2)在單元格B3中輸入p值：0.001(3)在單元格B4中輸入公式：=BINOMDIST(5,B2,B3,TRUE)

計(jì)算例2-8中的概率

【實(shí)驗(yàn)2.2】用Excel驗(yàn)證二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系．

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：函數(shù)POISSON的使用格式：POISSON(x,mean,cumulative) 功能：返回泊松分布的概率值．其中x為事件數(shù)，mean為期望值，cumulative為一邏輯值，確定所返回的概率形式．如果cumulative為TRUE，函數(shù)POISSON返回泊松累積概率；如果為FALSE，則返回泊松概率函數(shù)值．

實(shí)驗(yàn)步驟：(1)在Excel中輸入?yún)?shù)：在單元格B2中輸入n值：10在單元格D2中輸入值：4在單元格F2中輸入p值公式：=D2/B2如圖2.3(a)所示．

圖2.3計(jì)算二項(xiàng)分布與泊松分布的概率值

(2)在單元格B4中輸入計(jì)算二項(xiàng)分布B(n，p)的公式：=BINOMDIST(A4,B$2,F$2,FALSE)并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域B5:B16中；(3)在單元格C4中輸入計(jì)算泊松分布P()的公式：=POISSON(A4,D$2,FALSE)并將公式復(fù)制到單元格區(qū)域C5:C16中，計(jì)算結(jié)果如圖2.3(b)所示．

(4)作折線圖:選中單元格區(qū)域B4:C16，單擊“圖表向?qū)А卑粹o，打開“圖表向?qū)А睂?duì)話框．在“圖表類型”中選擇“折線圖”，直接單擊“完成”按鈕，即可得到概率分布的折線圖，如圖2.4所示．圖2-4