正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)

.z6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)〔1〕函數(shù)的概念在*個變化過程中有兩個變量、，假設(shè)對于在*個實(shí)數(shù)集合的每一個確定的值，按照*個對應(yīng)法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對應(yīng)，則就是的函數(shù)，記作，?！?〕三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線，設(shè)它與角的終邊〔當(dāng)在第一、四象限角時〕或其反向延長線〔當(dāng)為第二、三象限角時〕相交于.規(guī)定：當(dāng)與軸同向時為正值，當(dāng)與軸反向時為負(fù)值；當(dāng)與軸同向時為正值，當(dāng)與軸反向時為負(fù)值；當(dāng)與軸同向時為正值，當(dāng)與軸反向時為負(fù)值；根據(jù)上面規(guī)定，則,由正弦、余弦、正切三角比的定義有：；；；這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線。二、講授新課【問題驅(qū)動1】——結(jié)合我們剛學(xué)過的三角比，就以正弦(或余弦)為例，對于每一個給定的角和它的正弦值(或余弦值)之間是否也存在一種函數(shù)關(guān)系.假設(shè)存在，請對這種函數(shù)關(guān)系下一個定義；假設(shè)不存在，請說明理由．1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義〔1〕正弦函數(shù)：；〔2〕余弦函數(shù)：【問題驅(qū)動2】——如何作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)圖象.2、正弦函數(shù)的圖像〔1〕的圖像【方案1】——幾何描點(diǎn)法步驟1：等分、作正弦線——將單位圓等分，作三角函數(shù)線〔正弦線〕得三角函數(shù)值；步驟2：描點(diǎn)——平移定點(diǎn)，即描點(diǎn)；步驟3：連線——用光滑的曲線順次連結(jié)各個點(diǎn)小結(jié)：幾何描點(diǎn)法作圖準(zhǔn)確，但過程比擬繁?！痉桨?】——五點(diǎn)法步驟1：列表——列出對圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)；步驟2：描點(diǎn)——定出五個關(guān)鍵點(diǎn)；步驟3：連線——用光滑的曲線順次連結(jié)五個點(diǎn)小結(jié)：的五個關(guān)鍵點(diǎn)是、、、、。〔2〕的圖像由，所以函數(shù)在區(qū)間上的圖像與在區(qū)間上的圖像形狀一樣,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)的圖像向左、右平行移動(每次平行移動個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)的圖像。3、余弦函數(shù)的圖像〔1〕的圖像〔2〕的圖像圖像平移法由，可知只須將的圖像向左平移即可。三、例題舉隅例、作出函數(shù)的大致圖像；【設(shè)計意圖】——考察利用“五點(diǎn)法〞作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像【解】①列表②描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，描出五個關(guān)鍵點(diǎn)：、、、、③連線練習(xí)、作出函數(shù)的大致圖像二、性質(zhì)1．定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］，分別記作：y＝sin*，*∈Ry＝cos*，*∈R2．值域因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以｜sin*｜≤1，｜c(diǎn)os*｜≤1，即－1≤sin*≤1，－1≤cos*≤1也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］其中正弦函數(shù)y=sin*，*∈R①當(dāng)且僅當(dāng)*＝＋2kπ，k∈Z時，取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)*＝－＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1而余弦函數(shù)y＝cos*，*∈R①當(dāng)且僅當(dāng)*＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)*＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－13．周期性由sin(*＋2kπ)＝sin*，cos(*＋2kπ)＝cos*(k∈Z)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的。一般地，對于函數(shù)f(*)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)*取定義域的每一個值時，都有f(*＋T)＝f(*)，則函數(shù)f(*)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函數(shù)的周期對于一個周期函數(shù)f(*)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小正數(shù)就叫做f(*)的最小正周期。4．奇偶性由sin(－*)＝－sin*，cos(－*)＝cos*可知：y＝sin*為奇函數(shù)，y＝cos*為偶函數(shù)∴正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱,余弦曲線關(guān)于y軸對稱5．單調(diào)性結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1。余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1y=sin*y=cos*圖象定義域RR值域[1,1][1,1]最值當(dāng)且僅當(dāng)*＝＋2kπ，k∈Z時，取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)*＝－＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1當(dāng)且僅當(dāng)*＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)*＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－1周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上單調(diào)遞增，；在閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上單調(diào)遞減在閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上單調(diào)遞增；在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上單調(diào)遞減典型例題〔3個，根底的或中等難度〕例1：求使以下函數(shù)取得最大值的自變量*的集合，并說出最大值是什么?！?〕y＝cos*＋1，*∈R；〔2〕y＝sin2*，*∈R解：〔1〕使函數(shù)y＝cos*＋1，*∈R取得最大值的*的集合，就是使函數(shù)y＝cos*，*∈R取得最大值的*的集合｛*｜*＝2kπ，k∈Z｝?！嗪瘮?shù)y＝cos*＋1，*∈R的最大值是1＋1＝2?！?〕令Z＝2*，則*∈R必須并且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2*＝Z＝＋2kπ，得*＝＋kπ即使函數(shù)y＝sin2*，*∈R取得最大值的*的集合是｛*｜*＝＋kπ，k∈Z｝∴函數(shù)y＝sin2*，*∈R的最大值是1。例2：求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕y＝－cos*〔2〕y=sin(4*-)〔3〕y=3sin(-2*)解：〔1〕由y＝－cos*的圖象可知：單調(diào)增區(qū)間為［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)單調(diào)減區(qū)間為［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)〔2〕當(dāng)2kπ-≤4*-≤2kπ+，∴函數(shù)的遞增區(qū)間是[-，+](k∈Z)當(dāng)2kπ+≤4*-≤2kπ+∴函數(shù)的遞減區(qū)間是[+,+](k∈Z)〔3〕當(dāng)2kπ-≤-2*≤2kπ+時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-，kπ+](k∈Z)當(dāng)2kπ+≤-2*≤2kπ+時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+，kπ+](k∈Z)例3：求以下三角函數(shù)的周期：(1)y=sin(*+)(2)y=cos2*(3)y=3sin(+)解：(1)令z=*+而sin(2+z)=sinz即：f(2+z)=f(z)f[(*+2)+]=f(*+)∴周期T=2.(2)令z=2*∴f(*)=cos2*=cosz=cos(z+2)=cos(2*+2)=cos[2(*+)]即：f(*+)=f(*)∴周期T=。(3)令z=+則f(*)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)=3sin()=f(*+4)∴周期T=4。注：y＝Asin(ω*＋φ)的周期T=。〔四〕課堂練習(xí)〔2個，根底的或中等難度〕1、求使以下函數(shù)y=3-cos取得最大值的自變量*的集合，并說出最大值是什么。解：當(dāng)cos=-1，即=2k+，k∈Z，∴{*|*=4k+2，k∈Z}，y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：∵y==(1-cos2*)=-cos2*，∴T=。3、求函數(shù)y=3cos(2*+)的單調(diào)區(qū)間。解：當(dāng)2kπ≤2*+≤2kπ+時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-，kπ+](k∈Z)當(dāng)2kπ-≤2*+≤2kπ時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-，kπ-](k∈Z)〔五〕拓展探究〔2個〕1、求以下函數(shù)的周期：〔1〕y=sin(2*+)+2cos(3*-)〔2〕y=|sin*|〔3〕y=2sin*cos*+2cos2*-1解：〔1〕y1=sin(2*+)最小正周期T1=y2=2cos(3*-)最小正周期T2=∴T為T1,T2的最小公倍數(shù)2∴T=2〔2〕T=〔3〕y=sin2*+cos2*=2sin(2*+)∴T=2、求以下函數(shù)的最值：〔1〕y=sin(3*+)-1〔2〕y=sin2*-4sin*+5〔3〕y=解：〔1〕當(dāng)3*+=2k+即*=(kZ)時，yma*=0當(dāng)3*+=2k-即*=(kZ)時，ymin=-2〔2〕y=(sin*-2)2+1∴當(dāng)*=2k-kZ時，yma*=10當(dāng)*=2k-kZ時，ymin=2〔3〕y=-1+當(dāng)*=2k+kZ時，yma*=2當(dāng)*=2kkZ時，ymin=作業(yè)一、填空題1、函數(shù)y=cos(*-)的奇偶性是_________________。2、函數(shù)y=-5sin*+1的最大值是__________，此時相應(yīng)的*的值是________________。3、函數(shù)y=sin*cos*的最小正周期是_________。4、函數(shù)y=sin*cos(*+)+cos*sin(*+)的最小正周期是________。5、函數(shù)y=3cos(2*+)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________________。6、函數(shù)y=sin*和y=cos*都為減函數(shù)的區(qū)間是___________________。7、函數(shù)y=sin(-2*)的單調(diào)遞增區(qū)間是________________________。8、函數(shù)y=f(*)是以為周期，且最大值為3，最小值為-1，則這個函數(shù)的解析式可以是________________。二、選擇題1、函數(shù)y=sin*，*∈[，]的值域是〔〕〔A〕[-1，1]〔B〕[，1]〔C〕[，]〔D〕[，1]2、以下函數(shù)中，周期是的函數(shù)是〔〕〔A〕y=sin*〔B〕y=cos2*〔C〕y=sin〔D〕y=sin4kπ3、以下函數(shù)是奇函數(shù)的是〔〕〔A〕y=sin|*|〔B〕y=*sin|*|〔C〕y=-|sin*|〔D〕y=sin(-|*|)4*、函數(shù)y=sin(2*+)+cos(2*+)的最小正周期和最大值分別為〔〕〔A〕，1〔B〕，〔C〕2，1〔D〕2，三、解答題1、函數(shù)y=acos*-2b的最小值為-2，最大值為4，求a和b的值。2、求函數(shù)y=2+5cos*-1的值域。3、判斷以下函數(shù)的奇偶性：〔1〕y=cos(2*-)；〔2〕y=*sin*+cos3*4、求函數(shù)y=-sin*cos*的單調(diào)區(qū)間。一、填空題1、奇函數(shù)；2、6，{*|*=2kπ-，k∈Z}；3、；4、π；5、[kπ-，kπ+](k∈Z)；6、[2kπ+,2kπ+](k∈Z)7、[kπ+，kπ+](k∈Z)；8、y=2sin6*+1〔答案不唯一〕二、1、B；2、D；3、B；