平面點集與多元函數(shù)課件

第一節(jié)、多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)概念三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)、思考題五、作業(yè)第一節(jié)、多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)概念1如，在平面直角坐標系下，第一象限內(nèi)部具有性質(zhì)坐標平面上具有某種性質(zhì)稱為平面點集，一、平面點集1.平面點集的點的集合，記作的所有點的集合為如，在平面直角坐標系下，第一象限內(nèi)部具有性質(zhì)2一正數(shù)，設(shè)),(000yxP是xoy平面上的一個點，是某d的全體，記作在幾何上，就是平面上的全體。為中心、為半徑的圓內(nèi)部的點以點2.鄰域稱為即),(000yxP距離小于d的點),(yxP與點一正數(shù)，設(shè)),(000yxP是xoy平面上的一個點，是某d的3在幾何上，就是平面上以點為中心、為半徑的圓內(nèi)部除點外的的全體。鄰域，記作的去心點),,(dd00PUPo定義為在幾何上，就是平面上以點為中心、為半徑的圓內(nèi)部除點外的4若不需要強調(diào)鄰域的半徑則用表示點的某個鄰域，。是平面P是平面上的一個點集，設(shè)E上的一個點,下三種關(guān)系中的一種:3.點與點集的關(guān)系的去心鄰域，記作點P與點集之間必有以則點若不需要強調(diào)鄰域的半徑則用表示點的某個鄰域，。是平面P是平面5E的內(nèi)點。若存在點P的某一鄰域使得則稱P為注：E的內(nèi)點屬于E。P為E的外點。使得則稱若存在點P的某一鄰域注：外點一定不屬于E。內(nèi)點：外點：E的內(nèi)點。若存在點P的某一鄰域使得則稱P為注：E的內(nèi)6E

，則稱P為E的邊界點．也可以不屬于E),（點P本身可以屬于也有不屬于E的點E的點，于的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點P記為。邊界點:E的邊界點的全體稱為E的邊界，E，則稱P為E的邊界點．也可以不屬于E),（點P本身可以屬7若點的任何去心鄰域內(nèi)總有中的點，則稱是的聚點。聚點也可定義為：若點的任何鄰域內(nèi)都含有點集的無窮多個點，的聚點。注：聚點：為則稱也可以不屬于E。聚點可以屬于E,若點的任何去心鄰域內(nèi)8如：設(shè)平面點集滿足的一切點都是的它們不屬于；滿足內(nèi)點；滿足的一切點都是的的一切點也都是點集的內(nèi)點以及它的于；的邊界點，邊界點，它們都屬聚點。上的一切點都是的邊界如：設(shè)平面點集滿足的一切點都是的它們不屬于9若點集的所有點都是的內(nèi)點，稱為開集。若點集的余集為開集，若點集E的每個聚點都屬于E,如：集合是開集；4.平面區(qū)域開集：閉集：則稱為閉集。則則稱E

閉集。閉集也可定義為：若點集的所有點都是的內(nèi)點，稱10既非開集，也非閉集。的兩個注：和空集是平面上唯一閉集；集合是而集合既是開集又是閉集的點集。既非開集，也非閉集。的兩個注：和空集是11若點集E內(nèi)任何兩點，線連結(jié)起來，則稱E為連通集。開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域。連通集：連通的區(qū)域（或開區(qū)域）：閉區(qū)域：都可以用折且該折線上的所有點都屬于E，若點集E內(nèi)任何兩點，線連結(jié)起來，則稱E為連通集。開集稱為12如：集合是集合集合不是區(qū)域。開區(qū)域；閉區(qū)域；是如：集合是集合集合不是區(qū)域。開區(qū)域；閉區(qū)域；是13對于平面點集E，使得，稱E為有界集。若一個集合不是有界集，集合為無界集。是有界區(qū)域；有界集：則無界集：如：集合若存在某正數(shù)r，其中O是坐標原點，則稱這個對于平面點集E，使得14無界開區(qū)域；無界閉區(qū)域。集合是集合是無界開區(qū)域；無界閉區(qū)域。集合是集合是15二維空間

數(shù)軸點集，鄰域，區(qū)間，距離平面點集，鄰域，區(qū)域，距離空間點集，鄰域，距離二維空間數(shù)軸點集，鄰域，區(qū)間，距16設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，的全體所構(gòu)成的集合，元有序數(shù)組即維向量，n通常也可用表示，中的元素),,,(21nxxx…稱為的一個點或一個ix稱為該點的第i個坐標或維向量的第個數(shù)分量。維空間即n表示我們用設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，的全體所構(gòu)成的集合，元有序數(shù)組即維向17中點和點間的距離，，規(guī)定中元素與零元之間的距離記作（在中，通常記作），記作即中點和點間的距離，，規(guī)定中元素與零元之間的距離記作（在中，通18設(shè)為某一正數(shù)，則維空間內(nèi)的點集鄰域。稱為中點的設(shè)為某一正數(shù)，則維空間內(nèi)的點集鄰域。稱為中點的19設(shè)若則稱變元在中趨于固定元，顯然，記作設(shè)若則稱變元在中趨于固定元，顯然，記作20三、多元函數(shù)的概念1.引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強三、多元函數(shù)的概念1.引例:圓柱體的體積定量理想氣體212.二元函數(shù)的定義為定義在D上的二元函數(shù)，或相對應(yīng)的因變量的值，的函數(shù)值，通常記為定義域因變量自變量的一個非空子集，設(shè)D是與自變量x,y的一對值在點處也稱為記作的值域稱為函數(shù)若存在一個對應(yīng)法則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱2.二元函數(shù)的定義為定義在D上的二元函數(shù)，或相對應(yīng)的因變量22例1解所求定義域為的定義域．求例1解所求定義域為的定義域．求23設(shè)函數(shù)),(yxfz=的定義域為D，時，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形。當x取遍D上一切點3二元函數(shù)的圖形對于任意得一個空間點集

取定的，對應(yīng)的函數(shù)值為在空間就確定一點這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D的圖形一般為空間曲面.設(shè)函數(shù)),(yxfz=的定義域為D，時，這個點集稱為二元函數(shù)24二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.25例如,

二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.例如例如,二元函數(shù)定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.例26注意：在第一卦限的部分注意：在第一卦限的部分27定義.設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域

;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.當n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在D上的n元函數(shù)

,記作4.多元函數(shù)的定義定義.設(shè)非空點集點集D稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為281.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集2.二元函數(shù)概念五、小結(jié)1.區(qū)域鄰域:區(qū)域連通的開集2.二元函數(shù)概念五、小結(jié)29第一節(jié)、多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)概念三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)、思考題五、作業(yè)第一節(jié)、多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的極限一、多元函數(shù)概念30如，在平面直角坐標系下，第一象限內(nèi)部具有性質(zhì)坐標平面上具有某種性質(zhì)稱為平面點集，一、平面點集1.平面點集的點的集合，記作的所有點的集合為如，在平面直角坐標系下，第一象限內(nèi)部具有性質(zhì)31一正數(shù)，設(shè)),(000yxP是xoy平面上的一個點，是某d的全體，記作在幾何上，就是平面上的全體。為中心、為半徑的圓內(nèi)部的點以點2.鄰域稱為即),(000yxP距離小于d的點),(yxP與點一正數(shù)，設(shè)),(000yxP是xoy平面上的一個點，是某d的32在幾何上，就是平面上以點為中心、為半徑的圓內(nèi)部除點外的的全體。鄰域，記作的去心點),,(dd00PUPo定義為在幾何上，就是平面上以點為中心、為半徑的圓內(nèi)部除點外的33若不需要強調(diào)鄰域的半徑則用表示點的某個鄰域，。是平面P是平面上的一個點集，設(shè)E上的一個點,下三種關(guān)系中的一種:3.點與點集的關(guān)系的去心鄰域，記作點P與點集之間必有以則點若不需要強調(diào)鄰域的半徑則用表示點的某個鄰域，。是平面P是平面34E的內(nèi)點。若存在點P的某一鄰域使得則稱P為注：E的內(nèi)點屬于E。P為E的外點。使得則稱若存在點P的某一鄰域注：外點一定不屬于E。內(nèi)點：外點：E的內(nèi)點。若存在點P的某一鄰域使得則稱P為注：E的內(nèi)35E

，則稱P為E的邊界點．也可以不屬于E),（點P本身可以屬于也有不屬于E的點E的點，于的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點P記為。邊界點:E的邊界點的全體稱為E的邊界，E，則稱P為E的邊界點．也可以不屬于E),（點P本身可以屬36若點的任何去心鄰域內(nèi)總有中的點，則稱是的聚點。聚點也可定義為：若點的任何鄰域內(nèi)都含有點集的無窮多個點，的聚點。注：聚點：為則稱也可以不屬于E。聚點可以屬于E,若點的任何去心鄰域內(nèi)37如：設(shè)平面點集滿足的一切點都是的它們不屬于；滿足內(nèi)點；滿足的一切點都是的的一切點也都是點集的內(nèi)點以及它的于；的邊界點，邊界點，它們都屬聚點。上的一切點都是的邊界如：設(shè)平面點集滿足的一切點都是的它們不屬于38若點集的所有點都是的內(nèi)點，稱為開集。若點集的余集為開集，若點集E的每個聚點都屬于E,如：集合是開集；4.平面區(qū)域開集：閉集：則稱為閉集。則則稱E

閉集。閉集也可定義為：若點集的所有點都是的內(nèi)點，稱39既非開集，也非閉集。的兩個注：和空集是平面上唯一閉集；集合是而集合既是開集又是閉集的點集。既非開集，也非閉集。的兩個注：和空集是40若點集E內(nèi)任何兩點，線連結(jié)起來，則稱E為連通集。開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域。連通集：連通的區(qū)域（或開區(qū)域）：閉區(qū)域：都可以用折且該折線上的所有點都屬于E，若點集E內(nèi)任何兩點，線連結(jié)起來，則稱E為連通集。開集稱為41如：集合是集合集合不是區(qū)域。開區(qū)域；閉區(qū)域；是如：集合是集合集合不是區(qū)域。開區(qū)域；閉區(qū)域；是42對于平面點集E，使得，稱E為有界集。若一個集合不是有界集，集合為無界集。是有界區(qū)域；有界集：則無界集：如：集合若存在某正數(shù)r，其中O是坐標原點，則稱這個對于平面點集E，使得43無界開區(qū)域；無界閉區(qū)域。集合是集合是無界開區(qū)域；無界閉區(qū)域。集合是集合是44二維空間

數(shù)軸點集，鄰域，區(qū)間，距離平面點集，鄰域，區(qū)域，距離空間點集，鄰域，距離二維空間數(shù)軸點集，鄰域，區(qū)間，距45設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，的全體所構(gòu)成的集合，元有序數(shù)組即維向量，n通常也可用表示，中的元素),,,(21nxxx…稱為的一個點或一個ix稱為該點的第i個坐標或維向量的第個數(shù)分量。維空間即n表示我們用設(shè)n為取定的一個自然數(shù)，的全體所構(gòu)成的集合，元有序數(shù)組即維向46中點和點間的距離，，規(guī)定中元素與零元之間的距離記作（在中，通常記作），記作即中點和點間的距離，，規(guī)定中元素與零元之間的距離記作（在中，通47設(shè)為某一正數(shù)，則維空間內(nèi)的點集鄰域。稱為中點的設(shè)為某一正數(shù)，則維空間內(nèi)的點集鄰域。稱為中點的48設(shè)若則稱變元在中趨于固定元，顯然，記作設(shè)若則稱變元在中趨于固定元，顯然，記作49三、多元函數(shù)的概念1.引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強三、多元函數(shù)的概念1.引例:圓柱體的體積定量理想氣體502.二元函數(shù)的定義為定義在D上的二元函數(shù)，或相對應(yīng)的因變量的值，的函數(shù)值，通常記為定義域因變量自變量的一個非空子集，設(shè)D是與自變量x,y的一對值在點處也稱為記作的值域稱為函數(shù)若存在一個對應(yīng)法則f,使得有唯一確定的