微分方程若干題目的提示(二)

《微分方程》若干習(xí)題的提示（二）各位同學(xué)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要通過自己的思考和探索，積累和領(lǐng)悟，在不斷地犯錯誤和糾正錯誤的過程中，加深對基本概念和結(jié)論的理解，反過來，又進一步增加積累和領(lǐng)悟，使自己螺旋式上升，數(shù)學(xué)和科學(xué)能力不斷提高。任何人都必須經(jīng)歷這樣過程，就是天才也要經(jīng)過這個過程，只是時間短一點罷了。指望聽一、兩次課，可以解決問題，那是假的。即使去聽了偉大的數(shù)學(xué)家的課，自己在課后不動，還是什么也不可能學(xué)到手，那怕是最基本的東西。事實求是地講，如果只是為了“會”做些簡單的題目，以期望通過學(xué)校的考試，拿到學(xué)分，那么，我覺得你去選誰的課（指主講老師），基本是差不多的，因為學(xué)校派來上課的老師，都會把大綱規(guī)定的內(nèi)容，正確地講解，否則學(xué)校不會派他來上課。目前學(xué)校搞了選課制，不少同學(xué)弄的很糾結(jié)：到底選誰呢？似乎選了張三，又覺得李四更好，結(jié)果總是不使你滿意。所以我看到有不少同學(xué)開學(xué)了還在轉(zhuǎn)班級。這種盲目性，使不少人朝三暮四，心神不定。為什么靜下心來，踏實地化功夫呢？問題在哪里？可能在這些同學(xué)的心目中，自己能否學(xué)好數(shù)學(xué)，或能否通過這門功課，很關(guān)鍵的是老師，似乎聽了某某的課，就可以萬事大吉，可以“過”了。你的人生目標(biāo)就是“過”嗎？在大學(xué)里，最好的老師不是別人，而是你自己，誰也救不了，只能靠自己。不要把課堂聽課看得太重要，實際上自己在課后課前的鉆研探索更加重要。只有自己理解了的東西，才能不忘，才能去靈活應(yīng)用。我覺得很多同學(xué)沒有把自己放在合適的位置。至于正確的學(xué)習(xí)方法，很多人到了大學(xué)，還沒有領(lǐng)悟出來，許多學(xué)校技能，也沒有很好地掌握，比如，記筆記，對很多人來說，還沒有過關(guān)。你看，有人不知道怎么記，有人干脆臨時找張紙，寫得像草稿紙那樣，我的天，你課后怎么看得清楚？怪不得我課上布置的內(nèi)容，很少有人去復(fù)做或練習(xí)。這種學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法，有這么能保證你的聽課質(zhì)量，怎么能保證在做練習(xí)時有必要的知識支撐？一天復(fù)一天，每次可都欠債，一個學(xué)期又一年，你怎么能不被拉下？我?guī)筒涣四悖魏稳司炔涣四?。講到做題目，對學(xué)數(shù)學(xué)來說非常重要，可以說，不做數(shù)學(xué)題，要學(xué)好數(shù)學(xué)是天方夜譚。我想大家都明白這個道理。那么誰來做數(shù)學(xué)題？是學(xué)生，不是老師！靠別人的提示或講解，只能啟發(fā)一時或一題，不可能解決全部。我自己在年輕時（文化大革命期間）主要靠自學(xué)，許多難題不會解，又找不到老師（那時，老師們也去搞文革了，或不敢對學(xué)生講數(shù)理化），怎么辦?那時還沒有什么同學(xué)可討論，他們有的搞文革，多數(shù)人不學(xué)習(xí)，只能逼著自己動腦筋。但是，這種逼出來的路，一旦走通，我就再也不想靠別人了。做出一個難題帶來的樂趣和成就感，遠(yuǎn)比當(dāng)時能吃到紅燒肉更無價！在我現(xiàn)在教的兩個班上，我相信也有這樣的同學(xué)。除了我多次提到的邱兆祥，蔣文都，程鵬等同學(xué)外，有個同學(xué)（本學(xué)期新選我的課的，所以我還叫不上他的大名），2個星期前問我一個題（是那個的題，見《微分方程若干習(xí)題的提示（一）》），我沒有回答，請他自己考慮。當(dāng)時他可能很委屈，覺得老師怎么可以不為學(xué)生解答呢？第二次，我提示他考慮轉(zhuǎn)化為微分方程。過了幾天，他獨立解出了，而且書寫在自己的習(xí)題本上。我拜讀了他的全過程，點水不漏，非常漂亮。我相信他現(xiàn)在的成就感一定不小，更重要的是，以后他遇到難題時的信心一定大增，這樣一路走下去，希望他走得更遠(yuǎn)。還有不少同學(xué)的學(xué)習(xí)也很扎實。比如，女同學(xué)肖婷，大家可取看她的筆記和練習(xí)題，就看她記的條理性和清晰程度，你就不得不服。我們那些糊里糊涂的同學(xué)，為什么不能去取經(jīng)？大學(xué)老師的作用就是這樣：以引導(dǎo)啟發(fā)為主，培養(yǎng)學(xué)生走上獨立學(xué)習(xí)之路，而不能像中學(xué)老師什么都告訴你。以后你們會知道，什么都告訴你的老師其實在“害”你，不知不覺地拔去了你的翅膀上的羽毛。如果你學(xué)會了獨立（有時需要寫引導(dǎo)或提示），那么，你走上了正真的大學(xué)學(xué)習(xí)之路。否則，你的大學(xué)生涯恐怕是假的。其實，“獨立”這個詞，應(yīng)該寫在每一位大學(xué)生的每一件事上。你要經(jīng)常問自己：我獨立了嗎？我是一個什么樣的老師，這恐怕要在十年或更長的時間后，你心里才會有正確的結(jié)論。好了，下面再對我們課上布置的若干習(xí)題，做些提示。提醒一下，如果你事先還沒有想過，探索過，那么，請你暫不看，有了些想法后再干。下面一題是我在課堂上布置的。題1（考研題）已知函數(shù)，，是某個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的三個解。求此方程。分析：這個題考核的是微分方程的解的結(jié)構(gòu)。注意到這3個函數(shù)有重復(fù)的部分，而且更重要的是，二階常系數(shù)齊次方程的特解形式只包括：指數(shù)，沒有其他形式的函數(shù)！而現(xiàn)在，此3個函數(shù)包含了，所以特征根中沒有共軛復(fù)根。第二，給出的這3個根是對應(yīng)的特征根產(chǎn)生的特解的和或差，所以我們需要把這些特解“解脫”出來，使之露出“真面貌”。我想，本題其實是考核我們這種“解脫”的能力。解1：首先，我們知道非齊次方程的任2個解的差，是對應(yīng)的齊次方程的解（性質(zhì)2），所以是對應(yīng)齊次方程的一個解（特解）；第二，因為非齊次方程的解齊次方程的解==非齊次方程的解，（這是由性質(zhì)2直接推出），故是非齊次方程的一個解（特解）因此推出第三點是齊次方程的一個解（特解）。所以，非齊次方程的一個特解是，而對應(yīng)的齊次方程的2個特解為和。于是齊次方程的特征根為，特征方程為，所求方程對應(yīng)的齊次方程則為。將非齊次方程的特解代入，不難求出，所以所求方程為。注：理論上都是對應(yīng)的齊次方程的解，但是以最簡單，故考慮選它作為求解的基礎(chǔ)。解2：因為非齊次方程的任意2個解之差都是對應(yīng)的齊次方程的解，故是對應(yīng)齊次方程的一個解（特解）；也是對應(yīng)齊次方程的一個解（特解）。另一方面，齊次方程的2個特解的線性組合，特別是這2個特解之和仍然是對應(yīng)齊次方程的解，故是對應(yīng)齊次方程的解，即是對應(yīng)齊次方程的解。這就是說，和是對應(yīng)的齊次方程的2個特解，這樣不難知，對應(yīng)的齊次方程為，將，，中的任一個，代入待求非齊次方程，則得，所以所求方程為如果你想不到上面需要較強觀察能力的方法，可以用下列比較“死板”的方法。解3：設(shè)所求的微分方程為，（+）將題給的3個解，，分別代入（+），得，，。所以，不難得出，比較對應(yīng)的系數(shù)，有，解出。故。這樣，所求的方程為。上面3個解法中，解3最容易被同學(xué)們接受，因為可以有“套路”，但是，我覺得前面2個解法對于深入了解齊次和非齊次方程的解的結(jié)構(gòu)，非常有幫助。解3就沒有這個訓(xùn)練的功能，你說呢？如果你做，會怎么解？比較一下看。題2設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為。試確定常數(shù)，并求該方程的通解。分析：本題只給出二階非齊次方程的一個特解，這點信息夠嗎？現(xiàn)在能做的是將特解代入方程，比較系數(shù)。此路通嗎？探索一下！解：將代入方程。，所以比較同類項的系數(shù)：，解出。故原方程為對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，故特征根為，齊次通解為，這樣原非齊次方程的通解為。題3設(shè)是微分方程的兩個解。求未知函數(shù)和，并求方程的通解。分析：本題也是給出解，反求方程本身的問題。注意本題的方程是變系數(shù)方程，二非常系數(shù)方程，所以不存在特征方程和特征值的便利。求解思路：既然與是方程的解，那么它們必定滿足方程。所以可將它們代入方程，建立關(guān)于和的代數(shù)方程組，求解這個方程組，就可解出和。OK!此路可走通。解：因，故，將這些代入方程得，（1）由，得，將這些代入方程，得，（2）（1）（2）：，故。把代入（1），得。這樣，原方程為，其通解為。練習(xí)題1已知是二階常系數(shù)非齊次線性方程的解，求該方程。練習(xí)題2（2009年考研題）設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為（）。練習(xí)題3（考研題）設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階線性方程的解，為任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（）A．；B.;C.;D..我們知道，變換（或稱變量代換，或變量置換等）在數(shù)學(xué)中占有很重要作用，它能將困難的問題變成能解的問題，將麻煩的問題變?yōu)槿菀椎膯栴}。請看下題。題4（1）證明常系數(shù)二階微分方程的一個特解可以表示為，其中是相應(yīng)的齊次微分方程，且滿足條件的特解。（2）利用（1）小題的結(jié)果，求微分方程的一個特解。分析：本題要用到對含參變量積分的求導(dǎo)公式。設(shè)含參變量的積分為，則。解（1）：對關(guān)于變量求導(dǎo)：（為什么導(dǎo)數(shù)是這樣，請你體會），注意代入初始條件。將這些導(dǎo)數(shù)代入方程，得，所以，是所求方程的一個特解。（2）不難知，對應(yīng)的齊次方程的一個特解是，且它的初始條件。故由第（1）小題的結(jié)論，可得非齊次方程的一個特解為。注：本題實際上給出了計算非齊次方程的一個特解的另一種思路。此法稱為卷積方法。大家都知道，對非齊次變系數(shù)方程，求特解的方法是常數(shù)變易法；對非齊次常系數(shù)方程，對一般函數(shù)也要用常數(shù)變易法，但當(dāng)右端項是特殊函數(shù)（多項式，指數(shù)函數(shù)，正弦余弦函數(shù)）時，可用較簡便的待定系數(shù)法。常數(shù)變易法需要知道對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解，不過找到第一個特解頗費周章，雖然理論上可用劉維爾公式解決第2個線性無關(guān)的解，但計算還是挺麻煩的。所以，常數(shù)變易法的缺點不少?，F(xiàn)在，我們有了一個新方法，只要知道一個齊次特解（但要知道齊次初始條件），就可以計算非齊次方程的一個特解！請大家仔細(xì)體會，把以前做過的有關(guān)習(xí)題，拿出了用新方法計算一遍。行嗎？我要檢查，看有多少同學(xué)去認(rèn)真實踐了！題5證明：用常數(shù)變易法計算非齊次微分方程的一個特解的兩個待定函數(shù)的計算式為，其中是對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解。證明留給大家。注：本題告訴我們計算的另一條道路，不要去解一個代數(shù)方程組（這對有些同學(xué)來說，也許會有困難）。請大家把老題目拿出來按新方法重算一次。行嗎？那一種方法對你更合適？上面的兩題，屬于打開“眼界”，擴展視野的習(xí)題，希望大家不要小看。每個人的思想，只有在眼界開闊后，才可能活躍起來。題6設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且。又是的反函數(shù)。（1）將所滿足的微分方程，變換為滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件的解。解：（1）根據(jù)函數(shù)及其反函數(shù)的關(guān)系，有，所以。對此關(guān)系式兩邊對變量求導(dǎo)，得所以，加上，把這2個導(dǎo)數(shù)代入方程，得。這就是說，經(jīng)過變換，一個原非線性變系數(shù)齊次方程，變成了一個線性常系數(shù)非齊次方程。顯然，原方程是很難求解，但變換后的方程很容易求解（盡管是非齊次方程）。（2）對應(yīng)的齊次方程為，很容易知其齊次通解為。用待定系數(shù)法求特解。設(shè)其非齊次特解為，代入方程，得。則所求的通解為注：本方程的特解也可通過觀察法“看”出來。題7求一個以為其兩個特解的四階常系數(shù)齊次線性微分方程，并求該方程的通解。解：由于是所求方程的一個特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，而且是二重特征根，從而也是方程的一個特解；又是所求方程的一個特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，從而也是方程的一個特解。這樣，特征方程為，即為，故對應(yīng)的齊次方程為，其通解為為任意常數(shù)。下面我們來做常系數(shù)方程的特解的待定系數(shù)法的題目，在課堂上講了理論，但沒有時間舉更多的例子。希望大家仔細(xì)研讀，這是大綱規(guī)定的內(nèi)容。在看解答之前，希望大家先把教材和我的輔助材料上的內(nèi)容消化了。特別要弄清非齊次方程的特解形式為什么會與齊次方程的特征方程有密切聯(lián)系。題8求的一個特解。解：本題的屬于型，其中，，故。方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程是，故特征根。所以不是特征方程的根。所以應(yīng)設(shè)原方程的特解為，（）則，，代入原方程，有：，比較同類項的系數(shù)：，解得于是，所求特解為。題9求的一個特解。解：本題的屬于型，其中，，故。對應(yīng)的齊次方程的特征方程是，特征根為。故不是特征方程的根，故應(yīng)設(shè)特解為，又，。代入方程，得，比較同類項的系數(shù)：，解得，所求的特解為。例10求的一個特解。解：本題的屬于型，其中，。方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為，故。所以，是齊次方程的單特征根，故設(shè)原方程的特解為，代入方程，比較系數(shù)，解得（具體計算請大家自己完整做一次），則所求特解為。例11（考研題）求微分方程的通解。解1：齊次方程的特征方程為，特征根為。故齊次通解為?，F(xiàn)在本題的右端項，顯然。由于是個參數(shù)，故需要對在去本題的值時，特解也不同，需要進行討論。當(dāng)時，則，也即不是特征根，故特解可設(shè)為，我們有，代入方程：，比較系數(shù)：，則所求特解為。這樣，原方程的通解為。當(dāng)時，，即是單特征根，故設(shè)特解為，我們把求出后，代入方程，比較兩邊系數(shù)，可得特解為。這樣原方程的通解為。解2：（復(fù)數(shù)方法）注意到右端項為，可先求解。（+）求出復(fù)函數(shù)后，只需取其虛部，就是所求的特解。當(dāng)時，，特征根，故設(shè)特解為，那么，代入方程（+）：，比較系數(shù)得：，故得特解為。取其虛部，得。當(dāng)時，特征根為，故右端項中的，即。故是單特征根。于是設(shè)特解為，，代入方程有，即比較系數(shù)，，則所求特解為，取其虛部，就得到了所求的特解為。你有沒有感到“驚訝”？當(dāng)?shù)娜≈蹈淖儠r，特解居然面目全非！你理解其中的道理嗎？我們再做一個應(yīng)用題：關(guān)于共振。共振是我們在中學(xué)物理課上學(xué)習(xí)過的，它指當(dāng)外界強加的外力的圓頻率與系統(tǒng)之間的固有原頻率接近時，系統(tǒng)的振動幅度將越來越大，甚至?xí)沟孟到y(tǒng)破壞。工程上當(dāng)然要避免這種可怕現(xiàn)象的發(fā)生。那么，為什么會發(fā)生如此后果？我們用微分方程的方法來剖析其中的本質(zhì)原因。題12（無阻尼強迫振動問題）（見教科書p50,例10及其圖9-12）有一臺電機安裝在梁上A點，電機開動時由于機械結(jié)構(gòu)的偏心（重心不在電機的轉(zhuǎn)軸線上）產(chǎn)生一個垂直于梁的干擾力。梁上點A出垂直方向的位移用坐標(biāo)表示，梁的彈性恢復(fù)力與位移稱正比（比例系數(shù)，求點A的運動規(guī)律。解：取梁的平衡位置為坐標(biāo)原點，垂直向下為軸正向。（為什么這樣假設(shè)？在這樣的假設(shè)下會帶來什么便利？如果不這樣假設(shè)，又會怎樣？請你搞清楚。在其他問題中，比如浮筒的振動，垂直掛著的彈簧下的重物的振動問題等，我們都這樣假設(shè)。你把這個疑問解決了，那么其他問題也一起解決了。所以，在每個問題的學(xué)習(xí)和研究上，重要的不是知道“什么”，而是弄明白“為什么”！再做電機的受力分析。點A上，下振動受到3個外力作用：電機的重力，干擾力和梁上下運動時的恢復(fù)力。設(shè)在任意時刻，點A的位移是，不論值是正還是負(fù)，梁的彈性產(chǎn)生的恢復(fù)力的大小為，方向總是與位移反向，故在選定的坐標(biāo)系里為。干擾力是個周期性的力，與A點的位移無關(guān)，它是時間的函數(shù)，去定時間的起點，它就按周期性變化而變。電機的重力是個常力，方向總是向下。在現(xiàn)在的坐標(biāo)原點的取法下，重力被梁的彈性所抵消，所以不出現(xiàn)在運動方程中。這樣，按牛頓第二定律，我們可寫出在選定中標(biāo)系中的運動微分方程：（電機質(zhì)量為），寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：，（1）假定電機一開始是靜止的，電機開動后由于偏心質(zhì)量引發(fā)的離心力使得電機與梁一起振動。故初始條件為?，F(xiàn)在通過求解電機的上下振動規(guī)律來探索為什么會共振，采取什么措施可以避免共振？這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的初值問題。先研究其齊次方程：。記，則方程為。它的特征方程為，特征根為。故齊次通解為，其中常數(shù)稱為“梁+電機”組成的系統(tǒng)的固有圓頻率，因為當(dāng)梁的彈性系數(shù)和電機的質(zhì)量確定后，這個“系統(tǒng)”本身具有的圓頻率也就固定下來了。這個指標(biāo)是衡量“系統(tǒng)”的振動特性的。下面就來求（1）的一個特解。注意干擾力為。根據(jù)固有圓頻率與外界強迫力的圓頻率之間的關(guān)系，討論如下。若，即干擾圓頻率不等于固有圓頻率，那么，所以干擾函數(shù)的不是特征方程的根，故可設(shè)特解為，由待定系數(shù)法，將特解代入方程（1），比較系數(shù)，不難得