四階變型蔡氏電路混沌特性研究-大學畢業(yè)論文

PAGE23PAGE2編號：審定成績：XX大學畢業(yè)設計（論文）設計（論文）題目：四階變型蔡氏電路混沌特性研究學院名稱：學生姓名：專業(yè)：班級：學號：指導教師：答辯組負責人：填表時間：年月PAGE23PAGE3摘要混沌是非線性動力學系統(tǒng)所特有的一種運動形式，也是自然界及人類社會中的一種普遍現(xiàn)象，它是一種在確定論系統(tǒng)中所出現(xiàn)的一種貌似不規(guī)則的、內(nèi)在的隨機性行為，展示了事物的復雜性。由于其對初值的極端敏感性和類噪聲性，在保密通信技術和擴頻通信技術中具有廣闊的應用前景。第一章簡單介紹了混沌學的發(fā)展歷史、混沌的意義及混沌科學是一門新興學科，人們了解了混沌的發(fā)展過程及其它的重要性，它廣泛運用于自然科學和社會科學的各個門類之中，并取得了普遍的成功，所以混沌是存在于自然界中的一種普遍的運動形式。第二章介紹了混沌的基本概念、混沌現(xiàn)象舉例及混沌模型。通過混沌舉例和混沌模型讓人們對混沌的產(chǎn)生有了更進一步的認識。第三章介紹了混沌是非線性電路系統(tǒng)中既普遍存在又極其復雜的現(xiàn)象。作為一種能產(chǎn)生混沌行為的最簡單非線性電路，蔡氏電路廣泛應用于混沌現(xiàn)象在非線性電路理論的研究當中。本文中，通過改變蔡氏電路線性電阻的阻值，在實驗中觀察、了解了其通向混沌過程中的各種現(xiàn)象。同時在此基礎上，介紹了蔡氏電路產(chǎn)生混沌的機理?！娟P鍵字】不規(guī)則混沌蔡氏電路ABSTRACTChaosispeculiartononlineardynamicssystemofakindofformsofexercise，isauniversalphenomenon,whichexistsinbothnatureandhumansociety.Chaosisakindofmovement,whichexistsindeterminebyrandomly.Chaosshowsthecomplexitiesofeverything.Infact,chaosisnot"mixed",whichisneitherpurely"disorder"nor"order",buttheunificationoforderanddisorder,certaintyandrandomness.Chaoshasregularityanduniversality.Itcontainsabundantresourcesanddevelopedpotential.Thefirstchapterthedevelopmentandsignificanceofchaosasanewscientificsubjectwasintroduces.Peopleunderstandthedevelopmentandimportanceofchaos.Itissuccessfullyandwidelyusedinallkindsofsciences.Sochaosisauniversalmovementinnature.Thesecondchapterbasicconceptionandmodelsofchaos,andgivesexamplestoillustratethechaosphenomenonwasintroduces.Accordingtotheexamplesandmodelspeopleknowmuchbetteraboutchaos.ThethirdchapterChaosisnonlinearcircuitsystemisextremelywidespreadandcomplexphenomenon.Chaosactsasaproducethemostsimplenonlinearcircuit,ChoicircuitwidelyusedforChaosphenomenoninthestudyofnonlinearcircuittheory.Thisarticle,bychangingtheresistancevalueChoicircuitlinearresistanceintheexperimentstoobserveandunderstandtheircurrentprocesstothevariousphenomena.MeanwhileOnthisbasis,haveintroducedChoicircuitChaosmechanisms.【Keywords】irregularchaosChaoscircuit目錄TOC\o"1-3"\h\u第一章緒論 2第一節(jié)混沌研究的歷史 2第二節(jié)混沌研究的意義 5第三節(jié)混沌學的發(fā)展趨勢及應用前景 7第四節(jié)本章小結(jié) 9第二章混沌特性研究 10第一節(jié)混沌的基本特性 10一、混沌的基本概念 10二、混沌的特征 11第二節(jié)混沌現(xiàn)象舉例 12第三節(jié)混沌模型 14一、周期區(qū) 15二、混沌區(qū) 16第四節(jié)本章小結(jié) 17第三章變型蔡氏電路模型概述 18第一節(jié)普通蔡氏電路 18第二節(jié)變型蔡氏電路 19第三節(jié)平衡點分析 20第四節(jié)仿真結(jié)果 22第五節(jié)本章小結(jié) 24結(jié)束語 25致謝 26參考文獻 27附錄 28一、英文原文 28二、英文翻譯 34PAGE40前言當今社會，信息化的風暴席卷全球，通信不僅成為人們生活不可或缺的技術手段，信息戰(zhàn)亦將成為未來各國、各個集團較量的主要戰(zhàn)場。誰掌握了信息，誰就擁有決定性的主動權和制勝權。由于混沌信號的寬頻譜、類噪聲、偽隨機的特點，使它在保密通信方面的應用研究越來越受到重視，并成為信息技術領域激烈競爭的高科技之一?；煦纾–haos）是一種看似無規(guī)則的運動，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機因素亦可以出現(xiàn)類似隨機的行為（內(nèi)在隨機性），從長期意義上講，系統(tǒng)是不可預測的，其未來結(jié)果亦是隨機的。混沌科學是隨著現(xiàn)代科學技術的迅猛發(fā)展，混沌現(xiàn)象無處不在。如氣候變化會出現(xiàn)混沌，數(shù)學、物理、生物、化學、社會學、經(jīng)濟學、哲學、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象。本論文主要是通過介紹混沌現(xiàn)象的特點和模型，并且對變型蔡氏電路進行電路仿真讓讀者更容易理解混沌特性。 全書共分三章。第一章緒論，介紹了混沌特性研究歷史及其意義；第二章混沌定義的介紹，講了混沌的基本特征、現(xiàn)象舉例以及模型介紹；第三章四階變型蔡氏電路的電路特性研究，先介紹了普通蔡氏電路的結(jié)構(gòu)及其機理，然后對比闡述四階變形蔡氏電路的原理，最后對電路進行仿真觀察。第一章緒論第一節(jié)混沌研究的歷史混沌常常用它來描述混亂、雜亂無章、亂七八糟的狀態(tài)?；煦纾–haos）在《現(xiàn)代漢語詞典》里解釋為我國傳說中指宇宙形成以前模糊一團的景象。《淮南子·詮言》：“洞同天地，渾沌為樸。未造而為物，謂之太一”。王充《論衡·談天》：“說《易》者曰：‘元氣未分，渾沌為一?！焙笥靡孕稳菽：[約的樣子：在這渾沌的燈火里，滲入一派清輝，卻真是奇跡。也形容幼稚糊涂：跟那種渾沌無知的人，真是有理也說不清。道家亦有混沌生無極，無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦的哲學思想。《三五歷》中“未有天地之時，混沌如雞子，盤古生其中，萬八千歲，天地開辟，陽清為天，陰濁為地?！笨梢钥闯觯诒P古開天辟地之前，世界處于混沌狀態(tài)這一哲學思想。公元前580年左右，《易乾鑿度》中“太易者，未見氣也。太初者，氣之始也。太始者，形之似也。太素者，質(zhì)之始也。氣似質(zhì)具而未相離，謂之混沌?！眲t反應出了中國古代對混沌的最初認識：即混沌是指元氣已具有物質(zhì)的性質(zhì)，而還沒有進一步分化的狀態(tài)。在古希臘的自然哲學系統(tǒng)中，他們對于混沌的認識和中國古代相似。在他們的認知中，混沌被看作是原始的混亂和不成形的物質(zhì)，比如把水或氣等看作世界的基礎，世界就是從這樣的始基發(fā)展起來的。造物者正是用這種最基礎的物質(zhì)創(chuàng)造出有序的宇宙。自從牛頓經(jīng)典物理學被提出之后，近代科學都以研究自然界的秩序和規(guī)律為其宗旨，導致數(shù)百年都把混沌現(xiàn)象排除在自然科學之外。由此，自然界中大量的混沌現(xiàn)象就被科學家們遺忘了。直到笛卡爾和康德才有所改觀，盡管他們還只是認為混沌乃一體，里面仍是混沌不堪，但是他們開始認為有序的宇宙正是從這樣的混沌之中發(fā)展起來的。到了康德出現(xiàn)之后，他的星云假說認為，太陽系是由處于混沌狀態(tài)的原始星云演化而來的，并指出：”我在把宇宙追溯到最簡單的混沌狀態(tài)以后，沒有用別個力，而只是用了引力和斥力兩種力來說明他自然的有秩序的發(fā)展?！庇纱艘部梢哉f，康德是宇宙大爆炸衍化學說的第一人。到了19世紀中期，混沌學說被自然科學家從熱力學引入并開始討論。大家知道，當達到熱力學平衡時，系統(tǒng)內(nèi)部中的每一點的溫度、壓強、濃度、化學勢等均無差別，處處相同。然而這種無差別的背后卻是單個分子的混亂度極高?？梢?，熱力學的平衡態(tài)實際上是一種傳統(tǒng)意義上的混沌態(tài)。同時，科學家們在探討布朗運動的時候，發(fā)現(xiàn)反應體系中微觀粒子都處于無規(guī)則碰撞之中，這也是混沌的范疇，都是混沌無序的狀態(tài)。在混沌理論提出以前，沒有人懷疑過精確的預測能力從原則上講是能夠?qū)崿F(xiàn)的，一般認為只要能夠收集足夠的信息就可以達到這一能力。18世紀法國數(shù)學家拉普拉斯宣稱，如果已知宇宙中每一個粒子的位置與速度，他就可以預測宇宙在整個未來的狀態(tài)。這種決定論首先被量子力學所打破。量子力學中的基本原理之一是海森堡測不準原理。該原理指出：對于粒子位置及速度的測量有著一個基本的限度。不可能無限精確，預測能力首先受到了初始信息精度的影響。量子力學雖然在微觀上圓滿地解決了一些隨機現(xiàn)象，但一般認為在宏觀尺度上，拉普拉斯的決定論原則上仍然是正確的，可以通過不同精度的初始信息獲得精確程度不同的預測結(jié)果。然而混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，卻使得這種假設完全破滅。由于混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感性使得系統(tǒng)在其運動的軌跡上幾乎處處不穩(wěn)定，初始條件的極小誤差都會隨著系統(tǒng)的演化呈指數(shù)式的增加，迅速地達到系統(tǒng)所在空間的大小，使得預測能力完全消失?；煦缋碚摰拈_端，最早可以追溯到19世紀末20世紀初法國科學家龐加萊（JulesHenriPoincaré）所做的一系列關于太陽系中三體問題的研究。龐加萊將動力學系統(tǒng)和拓撲學兩大領域結(jié)合起來，運用相圖、拓撲學以及相空間截面的方法，分析了一類簡化的三體問題解的復雜性和高度不穩(wěn)定性，指出了混沌存在的可能性，成為世界上最先了解存在混沌可能性的人。但是，之后長達半個世紀，混沌現(xiàn)象仍然沒有真正引起人們的重視。自20世紀以來，熱力學和統(tǒng)計物理經(jīng)歷了平衡——近平衡——遠離平衡的發(fā)展階段。在耗散結(jié)構(gòu)理論、協(xié)同學的發(fā)展初期，側(cè)重于研究系統(tǒng)是如何從混沌到有序的發(fā)展，找到了一些系統(tǒng)從混沌到有序發(fā)展的機制和條件。即系統(tǒng)反應時是開放的，處于遠離平衡態(tài)，其內(nèi)部要有非線性的相互作用，狀態(tài)的轉(zhuǎn)變則要通過漲落來實現(xiàn)等。據(jù)此，普利高津曾得出“有序來自混沌”的結(jié)論。1963年E.Lorenz在《大氣科學》雜志上發(fā)表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣不可預測之間存在的必然聯(lián)系，即非周期性與不可預見性之間的聯(lián)系。這些研究清楚地描述了“對初始條件敏感性”這一混沌的基本性質(zhì)，這就是著名的蝴蝶效應。在該文中，洛倫茨給出了三個變量的自治方程，即著名的洛倫茲方程。即方程右端不顯含時間，它是一個完全確定的三階常微分方程組。這便是在耗散系統(tǒng)中，一個確定的方程卻能得到混沌解的第一個實例，從而揭開了對混沌現(xiàn)象深入研究的序幕。洛倫茨方程舉例：1.1之后，前蘇聯(lián)概率論大師A.N.Kolmogorov將香農(nóng)(C.E.Shannon)在1948年提出的信息論引入到混沌理論的研究中，在混沌基礎理論研究方面做出了一系列貢獻。1946年法國天文學家伊儂從研究球狀星團以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā)，給出了下列的Henon映射1.2該方程組本是一個自由度為2的不可積得哈密頓系統(tǒng)，然而在方程中，當參數(shù)b=0.3，且改變參數(shù)a時，就發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)運動軌道在相空間中的分布似乎越來越隨機。伊儂得到了一種最簡單的吸引子，并用他建立的“熱引力崩坍”理論解釋幾個世紀以來一直遺留的太陽系的穩(wěn)定性的問題。1975年，中國學者李天巖和美國數(shù)學家J.York在AmericanMathematics雜志上發(fā)表了“周期三蘊含混沌”的著名文章，深刻揭示了從有序到混沌的演變過程，并把Chaos（混沌）一詞引入到了現(xiàn)代科學詞匯中。美國數(shù)學生態(tài)學家梅（R.May）在美國《自然》雜志上發(fā)表了題為《具有復雜動力學過程的簡單數(shù)學》的綜述文章，文章中指出，在生態(tài)學中一些非常簡單的確定性的數(shù)學模型卻能產(chǎn)生看似隨機的行為。該模型看來似乎很簡單，并且是確定性的，從而向人們表明了混沌理論的驚人信息。1977年第一次國際混沌會議在意大利召開，標志著混沌學在國際科學界的正式誕生。1978年和1979年費根包姆(Feigenbaum)等人在梅（R.May）的基礎上獨立地發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象中的標度性，從而為混沌在現(xiàn)代科學中的地位提供了堅實的理論基礎。20世紀80年代之后，人們開始著重研究系統(tǒng)從有序如何進入混沌及其混沌的性質(zhì)和特點。除此之外，基于（單）多標度分形理論和符號動力學，科學家們還進一步對混沌結(jié)構(gòu)進行了研究和理論上的總結(jié)。計算機科學的發(fā)展使得科學家們可以通過計算機描繪一些自然界中混沌現(xiàn)象的混沌圖像，如美籍法國數(shù)學家曼德布羅特于1980年用計算機繪出了世界上第一張Mandelbrot集的混沌圖像。對于這種動力學特性的結(jié)構(gòu)，分數(shù)維雖能描述自然界中很多現(xiàn)象在幾何上的不規(guī)則性，然而，由于它不能完全揭示出產(chǎn)生的相應結(jié)構(gòu)的動力學特性的結(jié)構(gòu)，故GrassberP等人于1987年提出重構(gòu)動力系統(tǒng)的理論方法。通過由時間序列中提取分維數(shù)、Lyapunov指數(shù)等混沌特征量，從而使得混沌理論進入到實際應用階段。20世紀90年代初，美國科學家Ott，Grebogi，Yorke和Pecora，Carroll分別在混沌控制和混沌同步方面取得了突破性進展，從而在全世界掀起了“混沌控制熱”,使其應用范圍擴展到工程技術領域以及其他領域。進入20實際90年代，基于混沌運動是存在于自然界中的一種普遍運動形式，所以混沌的研究不僅推動了其他學科的發(fā)展，而且其他學科的發(fā)展又促進了對混沌的深入研究。因此，混沌與其他學科相互交錯、滲透、促進，綜合發(fā)展，使得混沌不僅在生物學、數(shù)學、物理學、化學、電子學、信息科學、氣象學、宇宙學、地質(zhì)學，還有經(jīng)濟學、人腦科學，甚至在音樂、美術、體育等多個領域中得到了廣泛的應用。第二節(jié)混沌研究的意義從人類浩瀚的科學發(fā)展史來看，科學是在不斷地突破以前正確理論的基礎上大踏步前進的。以牛頓經(jīng)典力學為核心的經(jīng)典科學世界圖景曾一度在科學發(fā)展史上樹立至尊的地位，然而相對論和量子論卻一次又一次地打破了經(jīng)典科學一統(tǒng)天下的局面，而隨后的混沌學更是出手不凡，對經(jīng)典科學世界圖景進行了全方位的變革?；煦鐚W作為探索復雜性的新學科，修正了經(jīng)典科學只有必然性沒有偶然性、只有運動沒有發(fā)展的觀念，突破了經(jīng)典科學只有線性沒有非線性的思維模式，超越了經(jīng)典科學只有簡單性還原性沒有整體復雜性的圖式?；煦鐚W的出現(xiàn)解決了許多經(jīng)典科學所無法解釋的問題，使許多看似矛盾的現(xiàn)象奇跡般地“和諧相處”，從而為現(xiàn)代世界描繪了一幅嶄新的圖景。混沌被認為是繼相對論和量子力學后，20世紀物理學的第三次重大革命，與前兩次革命相似，混沌也一樣沖破了牛頓力學的教規(guī)。第一次國際混沌會議主持人之一的物理學家J.Ford指出：相對論消除了關于絕對空間與時間的幻象，量子力學消除了關于可控測量過程的牛頓式的夢，而混沌則消除了拉普拉斯關于決定論式可預測性的幻想。目前非線性科學最重要的成就之一就在于對混沌現(xiàn)象的認識。而關于混沌動力學的許多概念和方法，如奇怪吸引子、相空間重構(gòu)和符號動力學，正廣泛運用于自然科學和社會科學的各個門類之中，并取得了普遍的成功。自20世紀70年代以來，混沌和有關奇怪吸引子的理論有了很大的發(fā)展，并直接影響到數(shù)學、物理學中的許多分支，具有重要的實際意義。在力學方面，以往總是把牛頓力學和“決定論”聯(lián)系在一起，只要出事條件和初始狀態(tài)確定，以后的運動就完全確定了。然而由于運動具有內(nèi)在隨機性，使其由牛頓運動定律所確定了。然而由于運動具有內(nèi)在隨機性，使其有牛頓運動定律所確定的“初態(tài)”變得不可預測，它只有某種統(tǒng)計特性。在分析力學方面，過去主要是通過建立一般系統(tǒng)的力學方程來進行求解，或當大多數(shù)方程無法積分時，只能研究其解得各種性質(zhì)。然而混沌理論指出了它發(fā)展的新途徑?；煦缋碚撁鞔_指出，高維非線性系統(tǒng)的方程不僅不能積分，而且其解對初值有敏感的依耐性。因此，還得用類似于統(tǒng)計力學的觀點去處理。在流體力學中，斷流是一種極為復雜的現(xiàn)象，它的產(chǎn)生機理長期以來一直是一個懸而未決的難題。其困難的部分原因在于它同事存在著許多長度標度，即缺少單個的特征長度。1971年茹厄勒和塔肯斯最早用奇怪吸引子理論來闡明斷流發(fā)生機制，其機制為不動點——極限環(huán)——二維環(huán)面——奇怪吸引子，被稱為茹厄勒-塔肯斯道路。他們的觀點至今未得到承認，這是因為有人認為混沌理論目前還只能處理有限的低維德常微分方程，而真正的斷流則發(fā)現(xiàn)在三維空間中，并且流體運動的方程的動態(tài)與簡化的常微分方程組的性質(zhì)很不一樣，用混沌解決斷流問題還為時尚早，但這種通向斷流的道路（還有費根包姆倍周期分岔道路、皮姆——曼恩威勒陣發(fā)混沌道路等）很有可能為斷流研究打開了一條新的思路。在非線性整棟理論方面，大家知道，即使在周期性的激勵下，非線性系統(tǒng)也會出現(xiàn)隨機運動，那么在隨機力的作用下，非線性系統(tǒng)又會出現(xiàn)哪些動態(tài)呢？這里的隨機力（又稱噪聲獲漲落力）是指它的作用與宏觀變量相比是很小的，并且它放映了微觀運動對宏觀變量在演化過程中的雜亂無章的作用。因此，以往人們總是期望這種隨機力對宏觀運動的影響是小的，并作為一種消根的干擾來處理。然而，自20世紀70年代以來的非線性科學和統(tǒng)計物理的最新發(fā)展表明，一個小的隨機里并不僅僅對原有的確定性方程結(jié)果產(chǎn)生微小的變化，而且它能出人意料地產(chǎn)生重要得多的影響。在一定得非線性條件下，它能對系統(tǒng)演化起決定性的作用，甚至能改變宏觀系統(tǒng)的未來命運。另外，這種無規(guī)則的隨機干擾并不總是對宏觀秩序起消極破壞作用，在一定條件下它在產(chǎn)生相干運動和建立“序”上起著十分積極的創(chuàng)造性的作用。所以，揭示非線性條件下隨機力所產(chǎn)生的各種重要效應，進而研究這類效應產(chǎn)生的條件、機制及其應用便成為目前非線性科學和統(tǒng)計物理發(fā)展的一個重要任務。綜上所述，通過對混沌的研究，極大地擴展了人們的視野，活躍了人們的思維。過去被人們認為是確定論和可逆的某些力學方程，卻具有內(nèi)在的隨機性和不可逆性。確定論的方程可以得出不確定的結(jié)果，這就跨躍了確定論和隨機論這兩套描述體系之間的鴻溝，給傳統(tǒng)科學以很大沖擊，在某種意義上使傳統(tǒng)科學被改造，這必將促進其他學科的進一步發(fā)展。第三節(jié)混沌學的發(fā)展趨勢及應用前景混沌是一種貌似無規(guī)則的運動，指在確定性非線性系統(tǒng)中，不需附加任何隨機因素亦可出現(xiàn)類似隨機的行為（內(nèi)在隨機性）。混沌系統(tǒng)的最大特點就在于系統(tǒng)的演變對初始條件十分敏感，因此從長期意義上講，系統(tǒng)的未來行為是不可預測的。混沌科學是隨著現(xiàn)代科學技術的迅猛發(fā)展，尤其是在計算機技術的出現(xiàn)和普遍應用的基礎上發(fā)展起來的新興交叉學科。在現(xiàn)代的物質(zhì)世界中，混沌現(xiàn)象無處不在，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配。如氣候變化會出現(xiàn)混沌，數(shù)學、物理、化學、生物、哲學、經(jīng)濟學、社會學、音樂、體育中也存在混沌想象。因此，科學家認為，在現(xiàn)代的科學中普遍存在著混沌現(xiàn)象，它打破了不同學科之間的界限，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學。人們通過對混沌的研究，提出了一些新問題，它向傳統(tǒng)的科學提出了挑戰(zhàn)。如1963年美國著名的氣象學家洛倫茲在數(shù)值試驗中首先發(fā)現(xiàn)，在確定性系統(tǒng)中有時會表現(xiàn)出隨機行為這一現(xiàn)象，他成為“決定論非周期流”。這一論點打破了拉普拉斯決定論的經(jīng)典理論。在這一論點的支配下，洛倫茲曾提出：”氣候沖本質(zhì)上是不可預測的?！边@個論點一直困擾著動力氣象學界。后來人們認識到，當時洛倫茲所發(fā)現(xiàn)的“決定論非周期流”現(xiàn)象其實是一種混沌現(xiàn)象。如人們常說的“天有不測風云”，就是指氣候系統(tǒng)對初始條件非常敏感，初始條件的極微小差別會導致巨大的天氣變化這一混蛋運動的基本性質(zhì)。隨著對混沌現(xiàn)象的深入研究，混沌理論迅速發(fā)展起來。氣象學家們將它應用于氣候系統(tǒng)中，發(fā)展成為混沌氣候?qū)W。隨著對混沌氣候?qū)W的深入研究，人們才逐漸認識到氣候是一個有層次的復雜系統(tǒng)【2】。這個系統(tǒng)在不同層次上，在一定范圍內(nèi)，還可以建立起各種預報模式，并已取得了較好的效果。因此，與傳統(tǒng)的預報模式相比，人們深信，隨著對氣候系統(tǒng)各種層次結(jié)構(gòu)的深入認識，各種不同層次模式的建立，長期氣候預測的精度也將會大有提高。不僅上述天氣變化受到了混沌的支配，就連根深蒂固的牛頓力學也受到了它的沖擊。眾所周知，300多年前，牛頓的萬有引力定律和他的三大力學定律將天體的運動和地球上物體的運動統(tǒng)一起來了。牛頓這一科學貢獻曾被視為近代科學的典范。然而，隨著科學的發(fā)展，人們進一步認識到，牛頓力學的真理性受到了一定范圍的限制。19世紀末20世紀初，人們發(fā)現(xiàn)牛頓力學不能反映高速運動的規(guī)律，一切接近光速的運動應當用愛因斯坦的相對論方程來計算，光速c便成為牛頓力學應用的第一個限制。在次前后，人們又發(fā)現(xiàn)，微觀粒子的運動并不遵守牛頓力學的規(guī)律，在微觀世界中應當用量子力學中的薛定諤方程來代替牛頓力學方程，普朗克常數(shù)h就成了牛頓力學的德第二個限制。實際上，早在20世紀初在研究復雜系統(tǒng)時就已經(jīng)涉及牛頓力學應用的第三個局限性問題，即牛頓力學在研究復雜系統(tǒng)時遇到了困難。當時美國數(shù)學家龐加萊就發(fā)現(xiàn)，力學無法精確地處理“三體問題”并已意識到混沌運動的復雜性。知道1963年，洛倫茲發(fā)現(xiàn)，一個確定的含有3個變量的自治方程，卻能導出混沌解，說明天氣從原則上講不可能做出精確地預報。因此，在復雜性面前，牛頓力學是無能為力的，從此就拉開了對混沌研究的序幕。著名的比利時科學家、若貝爾獎金獲得者普利高津等人在《探索復雜性》[3]專著中，又從多方面研究了混沌問題。他們通過一些非平衡過程可以以各種不同的方式進入混沌以及對混沌特性的研究后發(fā)現(xiàn)，這種混沌不同于宇宙早期的混沌、熱力學平衡態(tài)的混沌，它是有序和無序的對立統(tǒng)一，既有復雜性的一面，又有規(guī)律性的一面。因此，這就意味著，當代對混沌科學的深入研究將會給自然科學帶來新的突破。正如日本著名統(tǒng)計物理學家久保1978年所指出的：”在非平衡非線性的研究中，混沌問題揭示了新的一頁?！泵绹粋€國家科學機構(gòu)，把混沌問題列為當代科學研究的前沿之一?；煦缈茖W最熱心的倡導者、美國海軍部官員施萊辛格說：”20世紀科學將永遠銘記的只有三件事：相對論、量子力學與混沌?！蔽锢韺W家福特認為混沌就是20世紀物理學第三次最大的革命。與牛頓力學的應用經(jīng)受相對論和量子力學革命性的突破有所不同，這次革命的實質(zhì)就在于混沌是直接用于研究人們所感知的真實宇宙，用在人類本身的尺度大小差不多的對象中所發(fā)生的過程。人們研究混沌時所探索的目標就處在日常生活經(jīng)驗與這個世界的真實圖像之中。總所周知，牛頓力學所描繪的世界是一幅靜態(tài)的、簡單的、可逆的、確定性的、永恒不變的自然圖景，形成了一種關于“存在”的機械自然觀。而人們真正面臨的世界卻是地質(zhì)變遷、生物進化、社會變革這樣一幅動態(tài)的、復雜的、不可逆的、隨機性的、千變?nèi)f化的自然圖景，形成的是關于“演化”的自然觀。因此，混沌是一種關于過程的科學而不是關于狀態(tài)的科學，是關于演化的科學而不是關于存在的科學。實際上，混沌科學的研究表明，現(xiàn)實的世界是一個有序與無序相伴、確定性和隨機性統(tǒng)一、簡單與復雜一致的世界。顯然，以往那種只追求有序、精確、簡單的觀點是不全面的。因此牛頓所描述的世界是一個簡單的機械的量的世界，而人們真正面臨的卻是一個復雜紛紜的質(zhì)的世界。因此，只有抓住復雜性并對它進行深入研究，才能為人們描繪出一個客觀的世界圖景。第四節(jié)本章小結(jié)本章主要介紹了混沌的發(fā)展歷史，混沌的意義及其混沌的概述。通過對混沌的研究，讓我們對混沌有更深刻的認識，明白混沌現(xiàn)象無處不在，它與我們的生活息息相關，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配。如氣候變化會出現(xiàn)混沌，數(shù)學、物理、化學、生物、哲學、經(jīng)濟學、社會學、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象?？茖W家認為，在現(xiàn)代的科學中普遍存在著混沌現(xiàn)象，它打破了不同學科之間的界線，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學。第二章混沌特性研究第一節(jié)混沌的基本特性一、混沌的基本概念第一章介紹了混沌研究的歷史過程。通過這些研究，人們把在某些確定性非線性系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機因素，由于其系統(tǒng)內(nèi)部存在著非線性的相互作用所產(chǎn)生的類隨機現(xiàn)象稱為“混沌”、“自發(fā)混沌”、“動力學隨機性”、“內(nèi)在隨機性”等等。混沌一詞由李天巖和約克于1975年首先提出。1975年他們在“周期3蘊含混沌”的文章中給出了混沌一種數(shù)學定義?，F(xiàn)稱為Li-Yorke定義：設連續(xù)自映射是R中一個區(qū)間。如果存在不可數(shù)集合SI滿足：①S不包含周期點。②任給,有2.12.2這里表示重函數(shù)關系。③任給有2.3則稱在S上是混沌的。由于前兩個極限說明子集的點相當分散而又相當集中,第三個極限說明子集不會趨近于任意周期點，所以這個理論本身只預言有非周期軌道存在，既不涉及這些非周期點的集合是否有非常零測度，也不涉及哪個周期是穩(wěn)定的?；煦绲挠成渚哂胁豢深A測性與不可分解性，但仍有一種規(guī)律性這三個要素。這是因為，對初始條件的敏感依耐性，使得混沌系統(tǒng)是不可預測的。又由于拓撲傳遞性，使得它不能被細分或不能被分解為兩個在下相互影響的子系統(tǒng)。盡管如此，但在混沌行為中確實存在著規(guī)律性的成分，即有稠密的周期點。除上述對混沌的定義之外，還有諸如Smale馬蹄、橫截同宿點、拓撲混合以及符號動力系統(tǒng)等定義。然而迄今為止，混沌一詞還沒有一個公認的普遍適用的數(shù)學定義。有人認為，不嚴格地說，當一個系統(tǒng)如果同時具有對初值的敏感性以及出現(xiàn)非周期運動時，則可認為該系統(tǒng)是混沌的。而多數(shù)學者則認為，給出混沌的精確的定義是意見相當困難的事。盡管如此，從事不同領域研究的學者都是基于各自對混沌的理解進行研究并謀求各自的應用?；煦绗F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)使人們認識到客觀事物的運動不僅是定常、周期或準周期的運動，而且還存在著一種具有更為普遍意義的形式，即無序的混沌。正是有了混沌現(xiàn)象，人們發(fā)現(xiàn)，在確定論和概率論這兩套體系的描述之間存在著?；煦绲陌l(fā)現(xiàn)還使人們認識到，像大氣、海洋這樣的耗散系統(tǒng)是一個對初始條件極為敏感的系統(tǒng)，即使初始條件差別微小的兩種狀態(tài)，那么最終也會導致結(jié)果的很大差異，甚至兩種結(jié)果變得毫無關系，這就是所謂的非線性確定性系統(tǒng)的長期不可預測性?；煦绺拍畹奶岢觯€使得人們能夠?qū)⒃S多復雜現(xiàn)象看作是有目的、有結(jié)構(gòu)的行為，而不再是某種外來的偶然性行為。除此之外，混沌還豐富了人們對遠離平衡態(tài)現(xiàn)象的認識。物理系統(tǒng)在遠離平衡條件下，既可通過突變進入更為有序和對稱的狀態(tài)，也可能經(jīng)過突變進入混沌狀態(tài)。然而混沌并不是簡單的“無序”或“混沌”，而是沒有明顯的周期和對稱，但它卻具備了豐富的內(nèi)部層次的“有序”狀態(tài)。一般來說，在自然界中，混沌是更為普遍的現(xiàn)象。二、混沌的特征與線性系統(tǒng)及其它的非線性系統(tǒng)相比，混沌系統(tǒng)有著自己獨有的特征，主要有：1、有界性混沌是有界的，它的運動軌線始終局限于一個確定的區(qū)域，這個區(qū)域稱為混沌吸引域。無論混沌系統(tǒng)內(nèi)部多么不穩(wěn)定，它的軌線都不會走出混沌吸引域。所以從整體上來說混沌系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2、遍歷性混沌運動在其混沌吸引域是各態(tài)歷經(jīng)的，即在有限時間內(nèi)混沌軌道經(jīng)過混沌區(qū)內(nèi)每一個狀態(tài)點。3、內(nèi)隨機性一定條件下，如果系統(tǒng)的某個狀態(tài)可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，該系統(tǒng)被認為具有隨機性。一般來說當系統(tǒng)受到外界干擾時才產(chǎn)生這種隨機性，一個完全確定的系統(tǒng)(能用確定的微分方程表示)在不受外界干擾的情況下其運動狀態(tài)也應當是確定的，即是可以預測的。不受外界干擾的混沌系統(tǒng)雖能用確定的微分方程表示，但其運動狀態(tài)卻具有某些“隨機性”，那么產(chǎn)生這些隨機性的根源只能在系統(tǒng)自身，即混沌系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的產(chǎn)生這種隨機性。當然混沌的隨機性與一般隨機性是有很大區(qū)別的。有限制的平面三體問題很好的說明了這種內(nèi)隨機性。混沌的內(nèi)隨機性實際就是它的不可預測性。對初值的敏感性造就了它的這一性質(zhì)。同時也說明混沌是局部不穩(wěn)定的。4、分維性分維性是指混沌的運動軌跡在相空間中的行為特征?；煦缦到y(tǒng)在相空間中的運動軌跡在某個有限區(qū)域內(nèi)經(jīng)過無限次折疊，不同于一般確定性運動，不能用一般的幾何術語來表示，而分數(shù)維正好可以表示這種無限次的折疊。分維性表示混沌運動狀態(tài)具有多葉、多層結(jié)構(gòu)，且葉層越分越細，表現(xiàn)為無限層次的自相似結(jié)構(gòu)。5、標度性標度性是指混沌運動是無序中的有序態(tài)。其有序可以理解為:只要數(shù)值或?qū)嶒炘O備精度足夠高，總可以在小尺度的混沌區(qū)內(nèi)看到其中有序的運動花樣。6、普適性所謂普適性是指不同系統(tǒng)在趨向混沌狀態(tài)時所表現(xiàn)出來的某種共同特征，它不依具體的系統(tǒng)方程或參數(shù)而變。具體體現(xiàn)為幾個混沌普適常數(shù)，如著名的費肯包姆常數(shù)等。普適性是混沌內(nèi)在規(guī)律性的一種體現(xiàn)。正是由于混沌具有的這些特征，使它非常適合于數(shù)據(jù)加密。第二節(jié)混沌現(xiàn)象舉例由于計算機的廣泛應用，特別是近年來高速計算機能力的增加，使得人們對不同領域中各種各樣的非線性問題進行了準確的計算。通過精細的實驗，發(fā)現(xiàn)許多問題中都存在著混沌運動。幾乎可以說，自然界中存在的絕大部分運動都是混沌運動。如銀河的星體在光滑而穩(wěn)定的引力場總所作的高速運動以及在漩渦系引力場中的天體都具有混沌軌道。像太陽系這樣的系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，當運動時間足夠長時，由于耗散效應不可忽略，也會出現(xiàn)混沌運動。人們知道，在二體問題中，每一個天體圍繞系統(tǒng)的中心在橢圓形的軌道上運行，然而當增加一個更大重力的物體后，便使得三體運動中出現(xiàn)混沌運動。有人甚至認為天體力學不再是確定論的科學。在旋轉(zhuǎn)圓柱的流體不穩(wěn)定性問題中，當內(nèi)圓柱的旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)泰勒渦旋時，如果繼續(xù)增大內(nèi)圓柱轉(zhuǎn)速，則波狀渦旋將變成混沌運動。在激光器中，當照射強度加大到一個新的閥值時，則會出現(xiàn)隨機的單模脈沖尖峰。在化學的BZ反映中，通過控制所提供和排除某些反映物和生成物的流量，當其流量達到某些數(shù)值時，可以看到其中的周期振蕩變成混沌運動了。在生物學中，生物群體的個體數(shù)目隨世代的變化，其實也是一種混沌運動的表現(xiàn)。在地殼運動和地震孕育系統(tǒng)中同樣也存在混沌。在非線性振蕩中也有混沌現(xiàn)象出現(xiàn)，有人甚至還把心律失常的無規(guī)則顫動也看作混沌。另外，在人類社會中，社會的發(fā)展、人口的增長、經(jīng)濟的發(fā)展、甚至股票的波動都存在著混沌現(xiàn)象。上述例子表明，混沌確實是存在于自然界中的一種普遍的運動形式。一下面的例子進一步說明。例：受外周期激勵的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設一力學系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定的平衡態(tài)和一個不穩(wěn)定的平衡態(tài)，它在外來周期性的激勵下，往往會出現(xiàn)混沌運動。如圖2.1所示的形狀是用薄片彎成的槽，小球就在槽中運動。圖中A、B是兩個平衡穩(wěn)定位置，C是不穩(wěn)定的平衡位置。槽受到一個左右來回的外來周期性激勵，其震蕩頻率為。由于阻力、摩擦等因素的作用，故系統(tǒng)是耗散的。設運動在全局是有界的，即運動很大時，摩擦等所消耗的能量要超過由激勵輸入的能量。由于激勵，小球不能再呆在A處或B處。當激勵振蕩頻率較小時，小球在A附近左右（或B）振動，但不跨越C點做周期振動；當激勵的振幅較強時，小球可能在A、B之間并跨越C點做大幅振動。以上兩種情況說明了定態(tài)是穩(wěn)定的周期解。但在恰當?shù)哪撤N振幅、頻率和阻力時，小球開始可能在A點附近左右振蕩若干次，當它跨越C點后，然后又在B點附近左右振蕩若干次，后又跨越C點回到A點附近左右振蕩。由于在不同時刻外周期激勵的相位是不同的，因此在A點和B點的振蕩次數(shù)也是不相同的，于是就形成了混沌運動。圖2.1受外周期激勵的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)第三節(jié)混沌模型在生態(tài)學中，研究動植物群體與環(huán)境之間的相互作用非常重要。由于自然界中孤立的單一群體幾乎不存在，所以群體數(shù)目的多少取決于事物來源于競爭者、捕食者等因素，在所建立的各種模型中，最為典型的是如下邏輯斯蔕模型2.4式中：u為控制參數(shù)，且。該模型看來似乎很簡單，但它具有極其復雜動力學行為。研究發(fā)現(xiàn)，這個最簡單的拋物線映射蘊含著現(xiàn)代混沌理論的基本思想，包括倍周期到混沌、分岔圖等非線性理論的基本框架和模式。下面討論這一確定系統(tǒng)是如何產(chǎn)生混沌的。上式是一類單峰映射中最為簡單的一個，它描述了生物群體數(shù)目世代的變化。若代表時間，則可用代表第n代的出生數(shù)代表第世代的群體數(shù)。由式可見，其右邊第一項表示第世代的群體數(shù)與第世代的群體數(shù)成正比，第二項則放映環(huán)境限制因素引起的非線性項，即群體與環(huán)境的相互作用導致存活率降低。該式右端為宜拋物線，它的極大值出現(xiàn)在處，此時相應的，即為拋物線的高度。由于不大于1，故不得大于4，在出生數(shù)增長率為正值的前提下，必須使得.因此是人們感興趣的參數(shù)的取值范圍。而該式的左端則為直線，上面這兩條線的焦點就是不動點，如圖（2.2），改不動點方程為：圖2.2邏輯斯蒂映射由此解得的不動點O點：2.5A點：2.6若是穩(wěn)定的不動點，當給定一個初值后將收斂到該點。關于不動點穩(wěn)定性問題，在這里不僅要找到使運動保持穩(wěn)定的條件，而且還要找到運動失穩(wěn)的條件，并研究失穩(wěn)后運動如何進一步演化。大家知道，不動點的穩(wěn)定性由不動點處的映射y=的斜率||決定，即當||<1時，不動點是穩(wěn)定的當||>1時，不動點是不穩(wěn)定的這里2.7由此可見，不動點的穩(wěn)定性依賴于參數(shù)從迭代過程式的行為來看，它也是敏感地依賴于拋物線的陡度,即依賴于非線性程度。因此當參數(shù)從零變大且取不同數(shù)值時，迭代過程，有不同的動態(tài)行為：當0<<1時，在線段[0,1]內(nèi)任選一個初值，迭代過程迅速趨向一個不動點0，由于,故存在穩(wěn)定的不動點O，這里0，說明初始群種數(shù)最終都要歸于零。因此太平歡的函數(shù)（u?。е氯悍N的毀滅。當時，，因而發(fā)生跨臨界分岔。當1<<=3=時，有兩個不動點O和A。對于O點，由于,故它是不穩(wěn)定的。對于A點，因為,故它是穩(wěn)定的。因此由初值出發(fā)的迭代過程總是離開不動點O而趨近不動點A。一、周期區(qū)其參數(shù)在（0，）區(qū)間內(nèi)為周期區(qū)。其內(nèi)有一個正的周期倍周期分岔序列。從周期到（）,各分岔點存在如下關系2.8對于z=2的單峰映射，=4.669201660910299…，即各分岔點之間的距離以比例為一無理數(shù)，這個數(shù)被稱為費根包姆常數(shù)。它表示在一類系統(tǒng)中，由倍周期分岔通向混沌的過程中，真有共同的速度。因此，我們可以根據(jù)少數(shù)幾次分岔，來預測系統(tǒng)在什么參數(shù)值下進入混沌狀態(tài)。二、混沌區(qū)其參數(shù)在（,4）區(qū)間中為混沌區(qū)。其內(nèi)有一個反得周期的混沌帶序列?；煦鐜Р⒎莵y成一片，其實混沌區(qū)中也有不少的周期窗口，例如有周期為P=3,5,7,…的窗口，而這些周期P又不斷地被分岔出周期。其中周期3是最寬的窗口，它出現(xiàn)時的參數(shù)值為=1+=3.828…...。窗口區(qū)內(nèi)還有混沌，窗口的混沌區(qū)內(nèi)還有窗口。這種結(jié)構(gòu)將無窮地重復，往往有無窮多的層次，而且每一層次都有上一個層次的重復，往往是一種自相似的結(jié)構(gòu)。同時也可看到，當參數(shù)u固定時，由于初值的不同將可能導致不同的周期，其中一定會出現(xiàn)大量的不穩(wěn)定的周期。由于單峰映射最多只有餓穩(wěn)定周期，那么將會出現(xiàn)哪些周期呢？它們出現(xiàn)的順序又如何呢？烏克蘭數(shù)學家沙爾可夫斯基論證了一類廣泛的一位映射=2.9如果單峰映射具有周期為某整數(shù)P的解，它必定有一個排在它前面的那些數(shù)Q的周期解，并稱為Sarkovskii定理。在混沌區(qū)內(nèi)，從參數(shù)最大的=4開始，由映射不難看出，當=4時，迭代后其的數(shù)值充滿整個【0，1】區(qū)間，人們把=4時，從0到1稱為“單片”混沌。當從4逐漸減小時，開始，混沌仍然是單片的，只有的數(shù)值分布的范圍略小于從0到1之間的整個區(qū)間。但當u減小到小于=3.6786時，由單片混沌變?yōu)閮善煦?，即?shù)值分布在兩個區(qū)間內(nèi)，且每次迭代時，的數(shù)值從其中一個區(qū)間跳到另一個區(qū)間。當值再減小到=3.5926時，則兩片混沌又分為四片混沌。隨著的繼續(xù)減小，將依次繼續(xù)發(fā)生4分為8,8分為16等。第四節(jié)本章小結(jié)本章主要介紹了混沌特性研究，如：混沌的基本概念、混沌舉例及混沌模型等。混沌是存在于自然界中的一種普遍的運動形式并且介紹了混沌的基本特征，它的基本特征有：有界性，遍歷性、內(nèi)隨機性、分維性、標度性、普適性等。，通過例子了解受外周期激勵的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的過程，讓我們對混沌現(xiàn)象有更深刻的認識。第三章變型蔡氏電路模型概述第一節(jié)普通蔡氏電路目前對于混沌通信的研究逐步深入，已經(jīng)有許多基于混沌同步的保密通信方法。然而目前能夠用于混沌通信的混沌發(fā)生器還很少，在一定程度上阻礙了混沌通信的實用化進程，因而設計出性能好的混沌發(fā)生器對混沌和混沌通信的研究與應用具有很大的參考價值。其中最典型的是由美國Berkeley大學的Leon.O.Chua提出的蔡氏電路，它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路。本章對蔡氏電路的混沌特性進行了理論分析，并通過仿真觀察三階自治動力系統(tǒng)的混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。在混沌系統(tǒng)里，蔡氏電路比較易于產(chǎn)生混沌信號，一個比較典型的蔡氏電路如圖：圖3.1蔡氏電路原理圖在圖示網(wǎng)絡的最右端NR為蔡氏二極管，它可看作一個壓控型非線性電阻，其電路和伏安特性如圖3.2所示：圖3.2蔡氏二極管伏安特性曲線蔡氏二極管的伏安特性用下式表示：h(VC1)=GbVC1+0.5(Ga-Gb)(|VC1+Bp|-|VC1-Bp|)3.1其中，VC1、VC2分別是電容C1、C2上的電壓，IL是電感L上流過的電流，BP為使二極管導通的電壓值。一個通用的蔡氏電路無量綱狀態(tài)方程如下所示：3.2其中h(x)的分段線性特性為：h(x)=bx+0.5(a-b)|x+1|-0.5(b-a)|x-1|3.3其中a，b為正整數(shù)。這是一個典型的能產(chǎn)生雙渦卷吸引子的電路，其中蔡氏二極管具有三段線性的特性。第二節(jié)變型蔡氏電路由于普通蔡氏電路在產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時，其元器件參數(shù)可調(diào)范圍很小且對初始條件極為敏感，不易于搭制實驗電路，進而也就不利于用于現(xiàn)實當中的混沌通信。所以在這這里引入了變型蔡氏電路。變型蔡氏電路如圖3.3：圖3.3變型蔡氏電路原理圖根據(jù)基爾霍夫電壓定律（KVL）可將上述電路表示為如下3.4方程組：3.4在這個網(wǎng)絡最右端的蔡氏二極管可以看作一個壓控型非線性電阻,其電路及其伏安特性如圖3.4：圖3.4蔡氏二極管電路及其伏安特性曲線第三節(jié)平衡點分析蔡氏二極管的伏安特性表示為：f(Vc1)=GbVc1+0.5(|Vc1+Bp|-|Vc1-Bp|)，其中，Vc1、Vc2和Vc3分別是電容C1、C2和C3上的電壓，IL是電感L上流過的電流，τ為時間變量,Bp為使二極管導通的電壓值。令a=/G，b=/G，則經(jīng)過變量代換和歸一化處理后，蔡氏二極管的方程為：f(x)=bx+0.5(a-b)(|x+1-|x-1|)3.5令x=Vc1/Bp，y=Vc2/Bp，z=ILR/Bp，w=Vc3/Bp，τ=tG/C2，α=C2/C1，β=C2R2/L，r1=R/R3，r2=C2/C3，其它的狀態(tài)參量和上面提到的相同，可抽象主從混沌同步系統(tǒng)的數(shù)學模型如方程所示：3.6仿真選取以下參量C1=10nF,C2=100nF,L=18mH,R=1.6KΩ,C3=2μF,Bp=1.0,Ga=-0.76ms,Gb=-0.41ms,R3=100Ω，此時所產(chǎn)生混沌吸引子如圖3.5所示：圖3.5雙渦卷吸引子微分方程（3.6）式描述的動態(tài)系統(tǒng)關于原點對稱，對應于蔡氏二級管的特性，若將蔡氏二級管的特性分為3段考慮，即為：3.7（3.7）式在狀態(tài)空間的3個子空間為：0在狀態(tài)空間的3個子空間內(nèi)分別具有唯一平衡點，P+=(2.1260,0.1229,-2.0032,0.1229)∈D13.11Q=(0,0,0,0)∈D03.12P-=(-2.1260,-0.1229,2.0032,-0.1229)∈D13.13在平衡點Q(0，0，0)處進行線性化，得線性化矩陣為3.14計算可解得上述矩陣的4個特征值為(3.6339，-0.9952，-0.9969+j3.1l96，-0.9969-j3.1l96)，在平衡-處進行線性化，得線性化矩陣為：3.15計算解得上述矩陣的4個特征值為(-4.7590，-0.6641，0.1660+j3.2972，0.1660-j3.2972)，因此，所有的平衡點P+，Q，P-均為鞍點。在混沌吸引子的宏觀景象上，在和附近分別形成空洞，形狀像相互扭在一起的2個漩渦，呈現(xiàn)出雙渦卷混沌奇怪吸引子（圖3.5），這是整體穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定相結(jié)合的結(jié)果，混沌軌道是在奇怪吸引子上盤旋運動的流。其相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此排斥的趨勢，并以指數(shù)速率相互分離。第四節(jié)仿真結(jié)果根據(jù)以上建立的數(shù)學模型，對變型蔡氏電路進行仿真研究。下面是通過EWB電路仿真軟件編寫的仿真電路圖。通過調(diào)整系統(tǒng)初始值或R的阻值，可以觀察到蔡氏電路豐富的非線性動態(tài)特性。首先按原理圖3.3以及，，，，，時電路圖如圖3.6所示：圖3.6仿真電路圖此時只要激活電路，打開示波器窗口和仿真開關，便可以在示波器中觀察到雙渦卷吸引子現(xiàn)象如圖3.7，這時繼續(xù)調(diào)節(jié)電阻R，發(fā)現(xiàn)在R=1.4K~1.64K時還是出現(xiàn)雙吸引子現(xiàn)象。下圖是在示波器上觀察到的圖像：圖3.7雙渦卷吸引子繼續(xù)改變其參數(shù)和初始值還可以產(chǎn)生很多有趣的混沌現(xiàn)象，但是為了以后實驗電路的調(diào)試方便，選擇了在其它元件一直不改變的情況下，只改變R的阻值來觀察，兩端的X-Y波形，并且在仿真過程中，兩端的X-Y波形還出現(xiàn)了一周期、二周期、三周期、四周期、正負單渦卷吸引子。下面列出在仿真出現(xiàn)以下現(xiàn)象時R的可調(diào)范圍：當R在0.80K-1.30K這個范圍時會出現(xiàn)正負單渦卷吸引子；當R在0.57K-0.62K范圍時會出現(xiàn)一周期渦卷；當R在0.62K-0.65K時會出現(xiàn)二周期渦卷；當R在0.65K-0.76K范圍時會出現(xiàn)四周期，分別如圖3.8所示：(a)負單渦卷吸引子(b)正單渦卷吸引子(c)一周期(d)二周期(e)四周期圖3.8各種情況下的圖示從仿真圖可以看出，變型蔡氏電路是一個連續(xù)時間系統(tǒng)，這個系統(tǒng)在比較大的元件參數(shù)范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。第五節(jié)本章小結(jié)本章主要對變型蔡氏電路進行了介紹，蔡氏電路它是能產(chǎn)生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路。本章對蔡氏電路的混沌特性進行了理論分析，并通過仿真觀察三階自治動力系統(tǒng)的混沌雙渦卷吸引子和穩(wěn)定周期軌道。由于普通蔡氏電路在產(chǎn)生混沌現(xiàn)象時，其元器件參數(shù)可調(diào)范圍很小且對初始條件極為敏感，不易于搭制實驗電路。所以在這這里引入了變型蔡氏電路,通過仿真圖形我們還會發(fā)現(xiàn)變型蔡氏電路是一個連續(xù)時間系統(tǒng)，這個系統(tǒng)在比較大的元件參數(shù)范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生雙渦卷吸引子的混沌現(xiàn)象。結(jié)束語科學家認為，在現(xiàn)代的科學中普遍存在著混沌現(xiàn)象，大至宇宙，小至基本粒子，無不受混沌理論的支配，如氣候變化會出現(xiàn)混沌，數(shù)學、物理、化學、生物、哲學、經(jīng)濟學、社會學、音樂、體育中也存在混沌現(xiàn)象。它打破了不同學科之間的界線，它是涉及系統(tǒng)總體本質(zhì)的一門新興科學。因此,本論文根據(jù)混沌的演進過程從三個方面對混沌進行介紹：第一部分介紹了混沌的發(fā)展歷史及其意義.介紹混沌的發(fā)展過程及混沌的重要地位。第二部分介紹了混沌的概念分類和舉例.通過舉例使我們對混沌的理解更加的深刻。第三部分介紹了混沌變型蔡氏電路的特性,它本論文的重點,我們對變型蔡氏電路進行仿真,通過改變R的值用示波器來觀察圖形，讓我們了解到變型蔡氏是一個連續(xù)的系統(tǒng),通過仿真圖形讓我們對蔡氏電路混沌現(xiàn)象有了更深入的認識?；煦缤ㄓ嵕哂性S多優(yōu)點：保密性強，具有寬帶特性，特別是利用時空混沌增強抗破譯、抗干擾能力；具有高容量的動態(tài)存儲能力；能有低功率觀察性；設備成本低等。混沌保密通訊技術正在發(fā)展為高新技術的一個新領域。由于時間關系以后再對其介紹。致謝本論文還有很多不足的地方，在做論文中也遇到了許多問題，在老師和同學的幫助下也順利的解決了，通過這次論文我覺得我還有很多東西要學、要提高。剛開始我得到論文題目時，感覺什么都不會，以前完全沒有接觸到這方面的知識，根本就無從著手，多虧我的論文指導老師張老師的幫助，張老師給予了我耐心指導與細心關懷，有了張老師耐心指導我才不會在設計過程中迷失方向，失去前進動力。張老師有嚴肅的科學態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W精神和精益求精的工作作風及淵博的知識，這些都是我所需要學習的，感謝張老師給予我這樣一個學習的機會，謝謝！感謝與我并肩作戰(zhàn)的舍友與同學們，感謝關心我支持我的朋友們，感謝學校領導、老師們，感謝你們給予我的幫助與關懷，特別感謝學院為我提供的良好學習環(huán)境，謝謝！參考文獻[1]方錦清.駕馭混沌與發(fā)展高新技術.原子能出版社，2002[2]錢儉.混沌動力學和湍流的統(tǒng)計理論.中國科學技術大學學報，1993[3]姜璐，王德勝．系統(tǒng)科學新論.華夏出版社，1997[4]丁有瑚.對混沌學的基本認識.現(xiàn)代物理知識，1996增刊[5]盧侃，孫建華.混沌學傳奇.上海翻譯出版公司，1991[6]方錦清.混沌控制及其應用前景.自然雜志，1993[7]方錦清.混沌控制及其應用前景.科技導報，1994[8]黃潤生．混沌及其應用（第二版）.武漢大學出版社，2005[9]方錦清.非線性系統(tǒng)中混沌控制與同步及其應用前景（一）.物理學進展，1996[10]方錦清.迅速發(fā)展中的混沌控制與同步.自然雜志，1996[11]詹姆斯,格萊克.開創(chuàng)新科學.上海譯文出版社，1990[12]魏宏森，宋永華．開創(chuàng)復雜性研究的新學科──系統(tǒng)科學縱覽.四川教育出版社，1991[13]PecoraLM.CarrollTL.Synchronizationofchaoticsystems.phys.Rev，lett，1990[14]PecoraLM．CarrollTL.Drivingsystemswithchaoticsignals.RhysRev.A，199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"Chaos"istranslatedfromtheEnglish"chaos","c