平面及其基本性質(zhì)（教師版）講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第三冊(cè)

高二數(shù)學(xué)秋季班—第1課高二基礎(chǔ)課程教材20/20教師版第1課：平面及其基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、理解平面的基本性質(zhì)；2、能夠熟記公理一、二、三，并能進(jìn)行相應(yīng)問題的證明；3、會(huì)畫立體幾何體的直觀圖.重點(diǎn)1、公理三及相關(guān)證明；2、斜二測(cè)畫法的基本步驟.難點(diǎn)公里三證明點(diǎn)在線或者線共點(diǎn)的問題.（一）平面及其基本性質(zhì)【知識(shí)梳理】1、平面的兩個(gè)特征：①無邊界②無厚度平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性.2、平面的表示方法：一般用一個(gè)大寫的英文字母或小寫的希臘字母表示，如平面、平面或平面、平面來表示，也可以用平面上的三個(gè)（或三個(gè)以上）點(diǎn)的字母來表示，比如平面等.3、平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面（1）一個(gè)平面的畫法：（2）直線、平面相交的畫法：【注意事項(xiàng)】畫線面相交時(shí)或者兩個(gè)相交平面時(shí)，若一個(gè)圖形的一部分被另一個(gè)圖形遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如圖）4、用集合的語(yǔ)言理解點(diǎn)線面空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面.可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)言來表示.點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言（讀法）點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)不在平面內(nèi)直線、交于點(diǎn)直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點(diǎn)直線與平面交于點(diǎn)平面、相交于直線集合中“”的符號(hào)只能用于點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)系，“”和“”的符號(hào)只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語(yǔ)言.5、平面的基本性質(zhì)公理1：如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，那么直線在平面上.（直線在平面上）用集合語(yǔ)言表述：公理2：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.（這里“確定一個(gè)平面”的含義是“有且只有一個(gè)平面”）推論：1、一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.用集合語(yǔ)言表述：2、兩條相交直線確定一個(gè)平面.用集合語(yǔ)言表述：3、兩條平行的直線確定一個(gè)平面.用集合語(yǔ)言表述：公理3：如果不同的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么的交集是過點(diǎn)的直線.（平面與平面相交）用集合語(yǔ)言表述：【知識(shí)補(bǔ)充】①確定兩個(gè)平面的交線，即先找兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，再作連線；②判定兩個(gè)平面相交，即兩平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)即可；③判定點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)是某兩平面的公共點(diǎn)，線是這兩平面的公共直線，則這個(gè)點(diǎn)在這條直線上.【例題精講】平面及其性質(zhì)例1、給定下列四個(gè)命題：（1）任何一個(gè)平面圖形就是一個(gè)平面；（2）平面的形狀是平行四邊形；（3）三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面；（4）3個(gè)平面重疊起來，比2個(gè)平面重疊起來厚；（5）一個(gè)平面的長(zhǎng)是，寬是；（6）一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住時(shí)，被遮部分的線段應(yīng)畫成虛線或不畫，則其中正確的命題有個(gè)．【難度】★★【答案】2【解析】解：平面是無限延展的：故（1）任何一個(gè)平面圖形就是一個(gè)平面，錯(cuò)誤；（2）平面的形狀是平行四邊形，錯(cuò)誤；（5）一個(gè)平面的長(zhǎng)是，寬是，錯(cuò)誤；可以用平面圖形表示平面；故（3）三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面，正確；平面沒有厚度，故（4）3個(gè)平面重疊起來，比2個(gè)平面重疊起來厚，錯(cuò)誤；（6）一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住時(shí)，被遮部分的線段應(yīng)畫成虛線或不畫，正確，故正確的命題有：2個(gè)，故答案為：2．【鞏固訓(xùn)練】1、判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可畫一個(gè)平面，使它的長(zhǎng)為，寬為； （ ）（2）一個(gè)平面的面積為； （ ）（3）光滑的桌面就是一個(gè)平面； （ ）（4）一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個(gè)平面把空間分成兩部分； （ ）（5）若一條直線和一個(gè)平面僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱該平面經(jīng)過這條直線； （ ）（6）若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則稱該平面經(jīng)過這條直線； （ ）（7）空間兩個(gè)平面將空間分成四部分． （ ）【答案】1．╳2．╳3．╳4．√5．╳6．√7．╳【解析】點(diǎn)線面之間的關(guān)系例2、看圖填空：（1）點(diǎn)平面；（2）直線___________；（3）直線平面=；（4）直線平面；（5）直線___________；（6）平面平面___________；（7）平面平面___________；（8）平面平面平面___________．【難度】★★★【答案】；O；，O；//；；；；【解析】【鞏固訓(xùn)練】1、如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為A．，， B．，， C．，，， D．，，，【答案】【解析】解：如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點(diǎn)，故用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為，，，故選：．公理一及其應(yīng)用例3、可以用集合語(yǔ)言將“公理1：如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，那么直線在平面上．”表述為A．，且，，則 B．若，且，，則 C．若，且，，則 D．若，且，，則【難度】★★【答案】【解析】解：在空間幾何中，點(diǎn)可以看成是元素，線和面應(yīng)看成是集合，根據(jù)元素屬于集合，子集包含于全集可得：公理1：如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面上，那么直線在平面上，用集合語(yǔ)言應(yīng)表示為：若，且，，則，故選：．【鞏固訓(xùn)練】1、若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列說法正確的序號(hào)為①直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面外；②直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)在平面外；③直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)；④直線上至多有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)．【答案】③【解析】解：若直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)，所以直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)．所以正確的命題是③．故答案為：③．公理二及其應(yīng)用例4、下列命題正確的是A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 C．梯形可確定一個(gè)平面 D．圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個(gè)平面【難度】★★【答案】【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)該點(diǎn)在直線上時(shí)，不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：由于梯形由兩條對(duì)邊平行，所以確定的平面有且只有一個(gè)，故另兩條邊也在該平面上，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：當(dāng)圓心和圓上的兩點(diǎn)在同一條線上時(shí)，不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．故選：．【鞏固訓(xùn)練】1、當(dāng)人們停放摩托車時(shí)，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到了A．兩條平行直線確定一個(gè)平面 B．兩條相交直線確定一個(gè)平面 C．不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面 D．三點(diǎn)確定一個(gè)平面【答案】【解析】解：當(dāng)人們停放摩托車時(shí)，只要將摩托車的腳撐放下，摩托車就穩(wěn)了，這里用到的是三角形的穩(wěn)定性，即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．故選：．推論及其應(yīng)用例5、下列命題錯(cuò)誤的是A．直線及直線外一點(diǎn)，確定一個(gè)平面 B．兩條平行直線，確定一個(gè)平面 C．兩條相交直線，確定一個(gè)平面 D．三條相交直線兩兩相交，確定一個(gè)平面【難度】★★【答案】【解析】解：由公理三知直線及直線外一點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故正確；由公理三知兩條平行直線，確定一個(gè)平面，故正確；由公理三知兩條相交直線，確定一個(gè)平面，故正確；三條相交直線兩兩相交，確定一個(gè)或三個(gè)平面，故錯(cuò)誤．故選：．例6、已知：如圖所示，，，．求證：直線，，在同一平面內(nèi)．【難度】★★★【答案】見解析【解析】解：，、確定一平面，又，，，，，，，直線，，在同一平面內(nèi)．【鞏固訓(xùn)練】1、三條直線相交于一點(diǎn)，則它們最多能確定個(gè)平面．【答案】3【解析】解：當(dāng)三條直線共面時(shí)，顯然這三條直線只確定1個(gè)平面，當(dāng)三條直線不共面時(shí)，以三棱錐的三條側(cè)棱為例，任意兩條側(cè)棱都確定一個(gè)側(cè)面，而三棱錐有三個(gè)側(cè)面，故相交于一點(diǎn)的三條直線最多可確定3個(gè)平面，故答案為：3．2、如圖：在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，，；（1）點(diǎn)，，，是否共面？并說明理由；（2）若直線與平面的交點(diǎn)為證明：點(diǎn)，，共線．【答案】見解析【解析】解：（1）點(diǎn)，，，共面．證明：由于和在同一平面內(nèi)，且不平行，故必相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，同理，直線與與相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，故與重合，得與交于，故，，，共面．（2）在正方體中，連接，，平面，又，平面，即是平面與平面的公共點(diǎn)，同理是平面與平面的公共點(diǎn)，平面平面，平面，，平面，平面，故點(diǎn)，，共線．公理三及其應(yīng)用例7、如圖，正方體中．、分別是、的中點(diǎn)．求證：、、三線共點(diǎn)．【難度】★★★【答案】見解析【解析】證明：連結(jié)、、，由題可知，、分別是、的中點(diǎn)，，且，，且，為梯形．則可令．由面，面，面面，、、共點(diǎn)于．得證．【鞏固訓(xùn)練】1、如圖所示，在四面體中，若直線和相交，則它們的交點(diǎn)一定A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．都不對(duì)【答案】【解析】解：直線和相交，設(shè)交點(diǎn)為，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，與的交點(diǎn)在直線上．故選：．（二）多面體的直觀圖【知識(shí)梳理】1、直觀圖直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體畫出的空間幾何體的圖形.2、利用斜二側(cè)畫法畫空間圖形的平面直觀圖的一般步驟：（1）建立直角坐標(biāo)系在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的軸、軸，兩軸相交于點(diǎn)；（2）畫出斜坐標(biāo)系在畫直觀圖的平面上畫出對(duì)應(yīng)的，使（或），它們確定的平面表示水平平面；（3）畫對(duì)應(yīng)圖形在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度為原來的一半.（4）擦去輔助線圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線.3、立體圖形直觀圖的畫法畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與平面垂直的軸，且平行于的線段長(zhǎng)度保持不變，其他同平面圖形的畫法.【例題精講】例8、下列關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法中正確的有①三角形的直觀圖是三角形．②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．③菱形的直觀圖是菱形．④正方形的直觀圖是正方形．A．① B．①② C．③④ D．①②③④【難度】★★【答案】【解析】解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為或知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)平行于軸的長(zhǎng)度不變，平行于軸的長(zhǎng)度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯(cuò)誤．故選：．【鞏固訓(xùn)練】1、如圖，△是的直觀圖，其中，軸，軸，那么是A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】【解析】解：根據(jù)斜二測(cè)畫法中平行與坐標(biāo)軸的直線，平行關(guān)系不變，且平行于軸的線段，長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，直觀圖△的原來圖形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．故選：．例9、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的邊長(zhǎng)為2的正方形所得的直觀圖的面積是A． B． C． D．【難度】★★【答案】【解析】解：水平放置的正方形的面積與斜二測(cè)畫法所得的直觀圖是一個(gè)四邊形，兩者面積之比為，由邊長(zhǎng)為2的正方形的面積為4，所以這個(gè)四邊形的直觀圖面積為．故選：．【鞏固訓(xùn)練】1、如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為，上底為1，腰為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是A． B． C． D．【答案】【解析】解：依題意，如圖四邊形是一個(gè)底角為，上底為1，腰為的等腰梯形，過，分別做，，則三角形，和三角形為斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，所以，又，所以梯形的面積．又因?yàn)樵谛倍y(cè)畫直觀圖時(shí)，直觀圖的面積與原圖的面積之比為，所以，所以．故選：．例10、如圖為正方體的平面展開圖．（1）作出該正方體的直觀圖；（2）在正方體中，求證：平面．【難度】★★★【答案】見解析【解析】解：（1）根據(jù)幾何體的平面展開圖，轉(zhuǎn)換為正方體的直觀圖為：如圖所示：（2）證明：由于，平面，平面，所以：平面．【鞏固訓(xùn)練】1、正方體的直觀圖如圖所示，則其展開圖是（要求把可能的序號(hào)都填上）．【答案】（4）【解析】解：根據(jù)題意，可得：對(duì)于（1），展開圖中的上下兩邊的正方形的對(duì)邊中點(diǎn)連線應(yīng)該呈左右方向顯現(xiàn)，故（1）的圖形不符合題意；對(duì)于（2），展開圖中最右邊的“日”字形正方形的對(duì)邊中點(diǎn)連線應(yīng)該是上下方向呈現(xiàn)，且應(yīng)該在含有圓形的正方形的左邊放置，故（2）的圖形不符合題意；對(duì)于（3），展開圖中最右邊的正方形應(yīng)該與含有圓形的正方形相鄰，故（3）的圖形不符合題意；對(duì)于（4），沿如圖的紅線將正方體的側(cè)面剪裁，展開可得如（4）項(xiàng)圖的形狀，故（4）的圖形符合題意．故選：（4）．【實(shí)戰(zhàn)演練】一、填空題1、用符號(hào)語(yǔ)言表示“點(diǎn)在直線上，在平面外”為__________.【答案】.【解析】由題,則表示為,故答案為:2、已知表示不同的點(diǎn),l表示直線,表示不同的平面,則下列推理錯(cuò)誤的是______(填序號(hào)).①,,,;②,,,;③,.【答案】③【解析】解:①為判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù),故正確;②為判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù),故正確;③中,,則,即為經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A,故錯(cuò)誤.故答案為：③3、給出下列三個(gè)命題：①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；②空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；③空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面其中所有真命題的序號(hào)是_______.【答案】②【解析】平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)都不共線，但平行四邊形仍是平面圖形，故①③錯(cuò)誤；因?yàn)檫^一條直線與該直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，所以空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；即②正確；故答案為②4、下列說法中正確的有______個(gè).①空間中三條直線交于一點(diǎn)，則這三條直線共面；②一個(gè)平行四邊形確定一個(gè)平面；③若一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等；④已知兩個(gè)不同的平面和，若，，且，則點(diǎn)在直線上.【答案】2【解析】反例：正方體的一個(gè)頂點(diǎn)處的3條棱，確定3個(gè)平面，所以①不正確；由于平行四邊形對(duì)邊平行，結(jié)合兩條平行線可以確定一個(gè)面，可得②正確；如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，所以③不正確；，，且，則A在上，滿足平面的基本性質(zhì)，所以④正確，即正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故答案為：2.已知等邊三角形ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為，則等邊三角形ABC的面積為_____________．【答案】.【解析】如圖所示，按照斜二測(cè)畫法的規(guī)則，把圖(1)中的等邊三角形ABC的平面直觀圖△A′B′C′還原為圖(2)中的等邊三角形ABC，設(shè)AB＝x，則B′C′＝x，等邊三角形ABC的高為x，所以△A′B′C′的高為，所以△A′B′C′的面積為，解得x＝1，所以△ABC的面積為.6、空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒有任何3點(diǎn)共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定___個(gè)平面.【答案】7【解析】空間中有五個(gè)點(diǎn)，其中有四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，但沒有任何三點(diǎn)共線，同一平面的四個(gè)點(diǎn)一定能兩兩連線，最多可連6條線，由三點(diǎn)確定一平面知任意一條線加上第五個(gè)點(diǎn)都會(huì)形成一個(gè)面，因此有6個(gè)面，再加上4點(diǎn)確定的面總共是7個(gè)面．故答案為：7二、選擇題7、在下列各種面中，不能被認(rèn)為是平面的一部分的是（）A．黑板面 B．乒乓球桌面C．籃球的表面 D．平靜的水面【答案】C【解析】黑板面、乒乓球桌面、平靜的水面都可被認(rèn)為是平面的一部分，籃球的表面是曲面，不能認(rèn)為是平面的一部分，故選：C8、如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是（）A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線 B．直線與相交C．A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線 D．直線與平行【答案】C【解析】因?yàn)榭臻g四點(diǎn)A，B，C，D不共面，所以這四個(gè)點(diǎn)的位置如三棱錐的頂點(diǎn)和底面三角形的頂點(diǎn)，所以只有C選項(xiàng)正確，若A，B，C，D四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則空間四點(diǎn)A，B，C，D共面，與題設(shè)矛盾，故A錯(cuò)誤；若直線與相交，則空間四點(diǎn)A，B，C，D共面，故B不正確；若直線與平行，則空間四點(diǎn)A，B，C，D共面，故D不正確，故選：C.9、下列命題中正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．垂直于同一直線的兩條直線平行C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則直線D．若是三條直線，且與都相交，則直線共面.【答案】D【解析】A.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；B.由墻角模型，顯然B錯(cuò)誤；C.根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以確定唯一一個(gè)平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；故選：D.10、在正方體中，，，，分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中，，，四點(diǎn)共面的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】選項(xiàng)A，點(diǎn)，，確定一個(gè)平面，該平面與底面交于，而點(diǎn)不在直線上，故，，，不共面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，連接底面對(duì)角線，則由中位線定理可知，，又易知，則，故，，，共面，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，顯然，，所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)不在該平面內(nèi)