高考數(shù)學二輪復習真題源講義保分練(五)

保分練(五)1.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上,BDsin∠ABC=asin∠ACB.(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(1)證明:由正弦定理知,bsin∠ABC=csin∠ACB=2R,R為△ABC外接圓的半徑,所以b=2Rsin∠ABC,c=2Rsin∠ACB,因為ba·2Rsin∠ACB,即bsin∠ABC=asin∠ACB,因為BDsin∠ABC=asin∠ACB,所以BD=b.(2)解:由(1)知BD=b,因為AD=2DC,所以AD=23b,DC=1在△ABD中,由余弦定理知,cos∠BDA=BD2+AD在△CBD中,由余弦定理知,cos∠BDC=BD2+CD因為∠BDA+∠BDC=π,所以cos∠BDA+cos∠BDC=0,即13b10b得11b2=3c2+6a2,因為b2=ac,所以3c2-11ac+6a2=0,所以c=3a或c=23在△ABC中,由余弦定理知,cos∠ABC=a2+c當c=3a時,cos∠ABC=76>1(舍去);當c=23a時,cos∠ABC=綜上所述,cos∠ABC=7122.在①2Sn+1=3n;②a1a2…an=3n2-n2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,且滿足,設(shè)數(shù)列1an+1(n+1)·lo解:選①2Sn+1=3n.當n≥2時,2Sn-1+1=3n-1,兩式相減可得2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,即an=3n-1,又a1=1滿足上式,可得an=3n-1,n∈N*.1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因為12×13n-1>0,1選②a1a2…an=3n當n≥2時,a1a2…an-1=3(兩式相除可得an=3n2-n2-(n-1)1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因為12×13n-1>0,1選③2Sn-3an+1=0.當n≥2時,2Sn-1-3an-1+1=0,兩式相減可得2Sn-2Sn-1-3an+3an-1=0,化為an=3an-1,又a1=1,所以an≠0,所以anan-1=3,即{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,故an1an+1(n+1)·log3an+1=1Tn=1+13+19+…+13n-1+(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=因為12×13n-1>0,13.(2022·福建福州模擬)在對10個同類工廠研究后,得到工廠獲得投入與純利潤的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),xi,yi分別表示第i個工廠的投入(單位:萬元)和純利潤(單位:萬元).第i個工廠12345678910投入xi/萬元32313336373839434546純利潤yi/萬元25303437394142444850(1)請用樣本相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的線性相關(guān)程度;(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(精確到0.01);(3)現(xiàn)有甲、乙兩種大型機器供工廠選擇,甲型機器價位是60萬元/臺,乙型機器價位是50萬元/臺,下表是甲、乙兩種大型機器各30臺的使用年限(整年)統(tǒng)計表:1年2年3年4年合計甲型/臺3129630乙型/臺6129330據(jù)以往經(jīng)驗可知,每年使用任一型號都可獲利潤30萬元,若僅考慮購置成本和每臺機器的使用年限(使用年限均為整年),以頻率估計概率,該工廠選擇買哪一款型號機器更劃算?參考數(shù)據(jù):∑i=110xi=380,∑i=110yi=390,∑i=110(xi-x)2∑i=110(xi-x)(yi-y參考公式:樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(解:(1)依題意知,x=38,y=39,且樣本相關(guān)系數(shù)為r=∑i=110(x因為y與x的樣本相關(guān)系數(shù)接近于1,所以y與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.(2)依題意知,b＾=∑i=110(xi-x)(yi-y所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＾(3)以頻率估計概率,購買一臺甲型號機器的利潤X(單位:萬元)的概率分布列為X-3003060P1231E(X)=(-30)×110+0×25+30×310+60購買一臺乙型號機器的利潤Y(單位:萬元)的概率分布列為Y-20104070P1231E(Y)=(-20)×15+10×25+40×310+70因為E(X)<E(Y),所以該工廠選擇購買乙型號機器更劃算.4.(2022·廣東廣州模擬)如圖,四棱錐PABCD的底面為矩形,PD⊥底面ABCD.過AD的平面α分別與線段PB,PC相交于點E,F.(1)證明:AD∥EF;(2)若AD=1,PD=CD=2,試問是否存在平面α,使得直線PB與平面α所成角的正弦值為22(1)證明:因為AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,因為AD?平面α,平面α∩平面PBC=EF,所以AD∥EF.(2)解:存在,理由如下:分別以DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,2),PB→=(1,2,-2),DA(1,0,0),設(shè)PE→=λPB→=λ(1,2,-2),所以E(λ,2λ,2-2λ),2-2λ).設(shè)n=(x,y,z)為平面α的法向量