哈爾濱工程大學試卷2015級《高等數(shù)學下》期末試題

哈爾濱工程大學本科生考試一試卷（2014-2015年第二學期）2015-7-13課程編號：201411002課程名稱：微積分A(二)(A卷)題號一二三四五總分分數(shù)評卷人：名姓得分評卷人填空題（每題3分，共30分）一、1.lim2xy的值為.極限(x,y)(0,0)ln(1xy)裝x2y2,則此函數(shù)的全微分dz.2.已知二元函數(shù)z3.設函數(shù)f(x,y)|xy|x,則偏導數(shù)fx(0,0).訂則z4.已知方程zezxy確立了二元函數(shù)zz(x,y),.x(1,1)：線5.曲面3x2y2z227在點(3,1,1)處的法線方程為.號6.設函數(shù)uxyz,則div(gradu).學2y427.設積分Idyyf(x,y)dxdyyf(x,y)dx,互換積分序次后,0222I.8.設為球面x2y2z21,則曲面積分(x2y2z2)dS.n9.冪級數(shù)x在(2,2)內(nèi)的和函數(shù)為.n0210.設有向閉曲線為平面xyz1被三個坐標面所截成的三角形的整個邊：界,從z軸正神往負向看去為逆時針方向,則力Fyizjxk沿所做的功級為.班

得分評卷人二、單項選擇題（每題3分，共15分）設函數(shù)uu(x,y,z)在點(x,y,z)的某鄰域內(nèi)可微,則函數(shù)u在該點沿著方向l{cosa,cos,cos}(此中,,為l的方向角)的方導游數(shù)u=.l(A)uuu(B)uuucosxyzcoscoszxy(C)(u)2(u)2(u)2(D)ucos,ucos,ucosxyzxyz2.設積分I131x2y2dxdy,I231x2y2dxdy,x2y211x2y22I331x2y2dxdy,則以下關系式建立的是.2x2y24(A)I1I2I3(B)I2I1I3(C)I1I2I3(D)I2I1I33.已知空間閉地區(qū)V1{x2y2z2R2,z0},V2{x2y2z2R2,x0,y0,z0},則有.(A)xdV4xdV(B)ydV4ydVV1V2V1V2(C)zV4zV(D)xyzV4xyzVddddV1V2V1V2設在xoy面內(nèi)曲線弧L的線密度(x,y)為連續(xù)函數(shù),則L的重心橫坐標為.(A)xxds(B)xx(x,y)dsLLx(x,y)dxx(x,y)ds(C)xL(D)xL(x,y)dx(x,y)dsLL5.以下數(shù)項級數(shù)發(fā)散的是.(A)1(B)(1cos1)n1n!n1n(C)n(D)(1)nn1n211n21n第1頁共8頁第2頁共8頁得分評卷人8分，共40分）3.計算積分(sinxx2y)dxxy2dy,此中L為上半圓周x2y2a2(a0)三、計算題（每題L從點A(a,0)到點B(a,0)的弧段.1.設函數(shù)zf(xy,xy),此中f(u,v)擁有二階連續(xù)偏導數(shù),求2z.xy裝2.計算積分x2dydzy2dzdxz2dxdy,此中是錐面zx2y2與平面訂1所圍立體表面的外側(cè).線第3頁共12頁第4頁共12頁4.將函數(shù)f(x)arctanx張開成對于x的冪級數(shù),并指出收斂域.5.設函數(shù)f(x)以2為周期,其在[,)上的表達式為f(x)x,試將f(x)張開成周期為2的傅里葉級數(shù).：名姓：

裝訂線號學：級班第5頁共8頁第6頁共8頁得分評卷人得分評卷人四、應用題（10分）五、證明題（5分）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為x,y(噸),據(jù)統(tǒng)計資料,收益L(萬元)與設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),地區(qū)D{(x,y)|axyb},證明:這兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量之間有以下經(jīng)驗公式:f(x)f(y)dxdy1b[f(x)dx]2.L(x,y)15x12yx33xy2D2a求使收益最大時的產(chǎn)量x,y和最大收益.裝訂線第7頁共12頁第8頁共12頁微積分A（二）（A卷）答案及評分標準2015年7月13日一、填空題（每題3分,共30分）1.2；6.0；2.2xdx2ydy；7.22xdxf(x,y)dy；0x3.1；8.4；1；：4.229.；名2x姓x3y1z1或5.391110..x3y1z1；218裝22二、單項選擇題（每題3分,共15分）訂1.B2.A3.C4.D5.C三、計算題（每題8分,共40分）線：號1.解答：zf24分學yf1x2zf1xyf11yf12xf21f22xyf1xyf11(xy)f12f22....................................................................4分解法一：記由曲面所圍成的地區(qū)為,則有原式=2(xyz)dV...............................................................................4分：級=2zdV（由對稱性）班

1zdxdy（Dz:x2y2z2）2dz0Dz211..........................................................................................分4z3dz02解法二：記由曲面所圍成的地區(qū)為,則有原式=2(xyz)dV...............................................................................4分2zdV（由對稱性）2d1dr12rzdz00r11r(1r2)dr142........................................................................4分023.解答：做協(xié)助線段BA，方向BA，則..........................2分LLBABADQPdxdyLBAxy(y2x2)dxdy分4Ddr2rdra4.a004a0BAsinxdxaa4..................................................................2分LLBABA44.解答：f(x)1(1)nx2n(1x1)......................................4分1x2n0第9頁共8頁第10頁共8頁將上式兩邊積分得xn2n1f(x)f(0)1)nt2ndt(1)x(1n00n02n又x1時，(1)nx2n12n收斂，所以n01(1)nx2n11x1)..................................4分arctanx2n(n015.解答：x(2k1)時，f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，an0(n0,1,2,)..................................2分2f(x)sinnxdxbn02xsinnxdx02xcosnxsinnx][nn202(1)n1,(n1,2,)...............................................................4分nf(x)2(1)n1x;x,3,)..........2分nsinnx(n1四、應用題（10分）解答：令Lx(x,y)3x23y2150Ly(x,y)，126xy0求得駐點(1,2),(2,1),(1,2),(2,1)，由問題的實質(zhì)意義，將(1,2),(2,1)舍

去，故可能的駐點為(1,2),(2,1).......................................................................4分又fxx6x,fxy6y,fyy6x，在點(1,2)處ACB21080，(1,2)不是極值點；在點(2,1)處AC21080,A120，(2,1)是極大值點；B............................5分所以，由問題的實質(zhì)意義可知，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)2噸和1噸時，利潤最大，最大收益為L(2,1)28(萬元).............................................................1分五、證明題（5分）證明：f(x)f(y)dxdyD1bbby裝f(x)f(y)dy...................................2分[dxdyf(x)f(y)dx]2a