南京一中等五校聯(lián)考四模高三數(shù)學試卷

高三數(shù)學試題第9頁共9頁江蘇省南京一中等五校2015屆高三聯(lián)考（四模）數(shù)學(滿分160分，考試時間120分鐘)參考公式：

錐體的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為錐體的底面積，h為高．一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，則M∩N＝▲．復(fù)數(shù)z＝eq\f(a＋i,1－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為▲．某學校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應(yīng)抽取的人數(shù)為▲．執(zhí)行如圖所示流程圖，得到的結(jié)果是▲．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(4,3)x，那么該雙曲線的離心率為．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則所得的兩個點數(shù)中至少有一個是奇數(shù)的概率為▲．若一圓錐的底面半徑為3，體積是12π，則該圓錐的側(cè)面積等于▲．直線l過點(－1,0)，且與直線3x＋y－1＝0垂直，直線l與圓C：(x－2)2＋y2＝1交于M、N兩點，則MN＝▲．已知，，，則的最小值為▲．函數(shù)的最大值為▲．已知△ABC是等邊三角形，有一點D滿足＋＝，且||＝eq\r(3)，那么＝▲．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(－x2＋ax(x≤1),2ax－5(x＞1)))，若x1,x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是▲． 已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(eq\f(1,x))，當x∈[1,3]時，f(x)＝lnx，若在區(qū)間[eq\f(1,3),3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－ax與x軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是▲．各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，其首項的平方與其余各項之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有▲項．解答題（本大題共6小題，共90分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，其圖像經(jīng)過點Meq\b\bc\((eq\f(π,3)，eq\f(1,2))，且與x軸兩個相鄰的交點的距離為π．

（1）求f(x)的解析式；（2）在△ABC中，a＝13，f(A)＝eq\f(3,5)，f(B)＝eq\f(5,13)，求△ABC的面積．

（本小題滿分14分）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC的中點．

（1）求證：A1C∥平面AB1D；（2）設(shè)M為棱CC1的點，且滿足BM⊥B1D，求證：平面AB1D⊥平面ABM．

（本小題滿分15分）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(eq\r(5),5)，短軸長為4，F(xiàn)1、F2為橢圓左、右焦點，點B為下頂點．（1）求橢圓C的標準方程；

（2）點P(x0,y0)是橢圓C上第一象限的點．①若M為線段BF1上一點，且滿足eq\o(\s\up6(→),\s\do0(PO))＝eq\r(6)·eq\o(\s\up6(→),\s\do0(OM))，

求直線OP的斜率；

②設(shè)點O到直線PF1、PF2的距離分別為d1、d2，

求證：eq\f(y0,d1)＋eq\f(y0,d2)為定值，并求出該定值．

（本小題滿分15分）如圖，某廣場為一半徑為80米的半圓形區(qū)域，現(xiàn)準備在其一扇形區(qū)域OAB內(nèi)建兩個圓形花壇，該扇形的圓心角為變量2θ，其中半徑較大的花壇⊙P內(nèi)切于該扇形，半徑較小的花壇⊙Q與⊙P外切，且與OA、OB相切．

（1）求⊙P的半徑（用θ表示）；（2）求⊙Q的半徑的最大值．

（本小題滿分16分）

已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝a·lnx＋x2－4x．

（1）是否存在實數(shù)a，使得f(x)在x＝1處取極值？證明你的結(jié)論；

（2）若函數(shù)f(x)在[2,3]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)g(x)＝，若存在x0∈[1,e]，使得f(x0)<g(x0)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

（本小題滿分16分）

已知兩個無窮數(shù)列分別滿足，，且．

（1）若數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)，使得，稱數(shù)列為“夢數(shù)列”；設(shè)數(shù)列的前項和分別為，

=1\*GB3①若數(shù)列為“夢5數(shù)列”，求；

=2\*GB3②若為“夢數(shù)列”，為“夢數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，請說明理由．2015屆高三第四次模擬考試數(shù)學（=2\*ROMANII）(滿分40分，考試時間30分鐘)21.［選做題］請考生在A、B、C、D四小題中任選兩題作答，如果多做，則按所做的前兩題記分．A．（本小題滿分10分，選修4-1幾何證明選講）如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明：AD·DE＝2PB2.B．（本小題滿分10分，選修4—2矩陣與變換）已知矩陣．（1）求；（2）滿足AX=二階矩陣X．C．（本小題滿分10分，選修4—4坐標系與參數(shù)方程選講）已知圓C的參數(shù)方程為，若P是圓C與x軸正半軸的交點，以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)過點P的圓C的切線為，求直線的極坐標方程．D．（本小題滿分10分，不等式選講）已知實數(shù)滿足，求的最小值.［必做題］第22題，第23題，每題10分，共計20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22.（本小題滿分10分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，

（1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

（2）在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，求eq\f(BD,BC1)的值．23.（本小題滿分10分)（1）證明：=1\*G