高二數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊第三章二項式定理與楊輝三角2課件

二項式定理與楊輝三角（2）

高二年級數(shù)學(xué)二項式定理與楊輝三角（2）

高二年級數(shù)學(xué)1復(fù)習(xí)上節(jié)課的主要內(nèi)容：1.二項式定理：二項展開式有n+1項，按a的降冪排列，利用定理可以直接寫二項展開式．2.二項式定理的通項公式為：，利用通項公式可以求指定項．3.區(qū)分清楚系數(shù)和二項式系數(shù)，并理解應(yīng)用賦值法得到二項式系數(shù)和為復(fù)習(xí)上節(jié)課的主要內(nèi)容：1.二項式定理：二項展開式有n+1項，2鞏固練習(xí)：已知的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為1024，則n=__，展開式中含有的項是___，該項的二項式系數(shù)是___.解：依題意可知，因此n=10.從而可知展開式的通項為要使此項含有，必須有20–2k=6，從而k=7，因此含有的項為該項的二項式系數(shù)是120.鞏固練習(xí)：已知的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為1024，則3第0行

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······楊輝三角第0行4圖片來自互聯(lián)網(wǎng)資源我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了類似的數(shù)表，這一成果在南宋數(shù)學(xué)家楊輝著的《詳解九章算術(shù)》中得到摘錄．因此，這一數(shù)表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”．西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”，這些文獻認為類似的數(shù)表是數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年發(fā)現(xiàn)的．實際上比我國發(fā)現(xiàn)數(shù)表要晚了600多年．圖片來自互聯(lián)網(wǎng)資源我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了5第0行

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······楊輝三角第0行6楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（1）每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1；這個對稱可以表述為：與首末兩端“等距離”的兩個數(shù)相等.說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開式的二項式系數(shù)，由組合數(shù)性質(zhì)可知，，所以每一行的數(shù)都是對稱的．兩端的數(shù)分別是，顯然二者均為1.楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（1）每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)7第0行

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······楊輝三角第0行8楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（2）從第三行起，不在兩端的任意一個數(shù)，都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和．可以說成：從第三行起，每一行除了兩端的1，其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（2）從第三行起，不在兩端的任意一9楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開式的二項式系數(shù)，從第三行起，假設(shè)其中的任意一個數(shù)為，其上一行與這個數(shù)相鄰的兩個數(shù)分別為，由組合數(shù)性質(zhì)可知，，顯然結(jié)論成立．楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開10根據(jù)性質(zhì)，大家能不能直接寫出楊輝三角中第7行的數(shù)呢？

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1615201561當二項式的次數(shù)不太大時，可以借助規(guī)律直接寫出二項式系數(shù)．第7行根據(jù)性質(zhì)，大家能不能直接寫出楊輝三角中第7行的數(shù)呢？111（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越?。ㄖ虚g大、兩邊?。滩腜33習(xí)題3–3A3、5P34習(xí)題3–3C4第4行14641第6行n=61615201561第2行121當二項式的次數(shù)不太大時，可以借助規(guī)律直接寫出二項式系數(shù)．我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了類似的數(shù)表，這一成果在南宋數(shù)學(xué)家楊輝著的《詳解九章算術(shù)》中得到摘錄．因此，這一數(shù)表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”．西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”，這些文獻認為類似的數(shù)表是數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年發(fā)現(xiàn)的．實際上比我國發(fā)現(xiàn)數(shù)表要晚了600多年．證明：由二項式定理可知第2行121第1行11楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：第1行11例如，假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.區(qū)分清楚系數(shù)和二項式系數(shù)，并理解應(yīng)用賦值法得到二項式系數(shù)和為第4行14641楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越?。ㄖ虚g大、兩邊小）．第6行

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第7行n=7172135352171（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越?。ㄖ?2第0行

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······楊輝三角第0行13說明：假設(shè)，則化簡可得，從而有利用二項式系數(shù)的對稱性可知，二項式系數(shù)是先逐漸變大，再逐漸變小.當n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大．說明：假設(shè)，則化簡可得，從而有利用二項式系數(shù)的對稱性可知，二14萊布尼茨三角形萊布尼茨三角形15例1.求證：能被100整除．證明：因為由二項式定理可知注意到上述右邊的展開式中，前面98項都是100的倍數(shù)，最后一項為1，由此可知，原數(shù)能被100整除.例1.求證：能被100整除．證明：因為由二項式定理可知注意到16

借助二項式定理可以解決整除的問題，其方法是利用二項式定理將目標表達式按照除數(shù)展開，得出除數(shù)的整數(shù)倍即可．歸納反思：借助二項式定理可以解決整除的問題，其方法是利17例2.當n是正整數(shù)且x>0時，求證：證明：由二項式定理可知因為x>0，所以上式右邊的項都是正數(shù)，從而可知例2.當n是正整數(shù)且x>0時，求證：證明：由二項式定理可知因18例如，假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.2%，那么6年后該地區(qū)的人口應(yīng)為這個數(shù)大概是多少呢？利用例2的結(jié)果可知實際應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)中常借助二項式定理進行近似值估算保留6位有效數(shù)字的近似值107.419.例如，假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.19課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了楊輝三角，并通過觀察總結(jié)楊輝三角中數(shù)字的特征，再次回顧了組合數(shù)的性質(zhì)．應(yīng)用二項式定理證明整除問題及估計近似值．課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了楊輝三角，并通過觀察總結(jié)楊輝三角中數(shù)字的20課后作業(yè)

教材P33習(xí)題3–3A3、5P34習(xí)題3–3C4課后作業(yè)教材P33習(xí)題3–3A3、5P34習(xí)題3–21拓展作業(yè)

通過書籍或者網(wǎng)絡(luò)查找有關(guān)數(shù)學(xué)材料，了解楊輝三角中蘊含的其他數(shù)學(xué)內(nèi)容，將有關(guān)材料整理成小論文，與其他同學(xué)進行交流．拓展作業(yè)通過書籍或者網(wǎng)絡(luò)查找有關(guān)數(shù)學(xué)材料，了22謝謝謝謝23二項式定理與楊輝三角（2）

高二年級數(shù)學(xué)二項式定理與楊輝三角（2）

高二年級數(shù)學(xué)24復(fù)習(xí)上節(jié)課的主要內(nèi)容：1.二項式定理：二項展開式有n+1項，按a的降冪排列，利用定理可以直接寫二項展開式．2.二項式定理的通項公式為：，利用通項公式可以求指定項．3.區(qū)分清楚系數(shù)和二項式系數(shù)，并理解應(yīng)用賦值法得到二項式系數(shù)和為復(fù)習(xí)上節(jié)課的主要內(nèi)容：1.二項式定理：二項展開式有n+1項，25鞏固練習(xí)：已知的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為1024，則n=__，展開式中含有的項是___，該項的二項式系數(shù)是___.解：依題意可知，因此n=10.從而可知展開式的通項為要使此項含有，必須有20–2k=6，從而k=7，因此含有的項為該項的二項式系數(shù)是120.鞏固練習(xí)：已知的展開式中，所有的二項式系數(shù)之和為1024，則26第0行

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······楊輝三角第0行27圖片來自互聯(lián)網(wǎng)資源我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了類似的數(shù)表，這一成果在南宋數(shù)學(xué)家楊輝著的《詳解九章算術(shù)》中得到摘錄．因此，這一數(shù)表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”．西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”，這些文獻認為類似的數(shù)表是數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年發(fā)現(xiàn)的．實際上比我國發(fā)現(xiàn)數(shù)表要晚了600多年．圖片來自互聯(lián)網(wǎng)資源我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了28第0行

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······楊輝三角第0行29楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（1）每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)都是1；這個對稱可以表述為：與首末兩端“等距離”的兩個數(shù)相等.說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開式的二項式系數(shù)，由組合數(shù)性質(zhì)可知，，所以每一行的數(shù)都是對稱的．兩端的數(shù)分別是，顯然二者均為1.楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（1）每一行都是對稱的，且兩端的數(shù)30第0行

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······楊輝三角第0行31楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（2）從第三行起，不在兩端的任意一個數(shù)，都等于上一行中與這個數(shù)相鄰的兩數(shù)之和．可以說成：從第三行起，每一行除了兩端的1，其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（2）從第三行起，不在兩端的任意一32楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開式的二項式系數(shù)，從第三行起，假設(shè)其中的任意一個數(shù)為，其上一行與這個數(shù)相鄰的兩個數(shù)分別為，由組合數(shù)性質(zhì)可知，，顯然結(jié)論成立．楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：說明：楊輝三角中的數(shù)代表的二項展開33根據(jù)性質(zhì)，大家能不能直接寫出楊輝三角中第7行的數(shù)呢？

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1615201561當二項式的次數(shù)不太大時，可以借助規(guī)律直接寫出二項式系數(shù)．第7行根據(jù)性質(zhì)，大家能不能直接寫出楊輝三角中第7行的數(shù)呢？134（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越小（中間大、兩邊?。滩腜33習(xí)題3–3A3、5P34習(xí)題3–3C4第4行14641第6行n=61615201561第2行121當二項式的次數(shù)不太大時，可以借助規(guī)律直接寫出二項式系數(shù)．我國古代數(shù)學(xué)家賈憲在1050年前后就給出了類似的數(shù)表，這一成果在南宋數(shù)學(xué)家楊輝著的《詳解九章算術(shù)》中得到摘錄．因此，這一數(shù)表在我國稱為“賈憲三角”或“楊輝三角”．西方文獻中，一般稱其為“帕斯卡三角”，這些文獻認為類似的數(shù)表是數(shù)學(xué)家帕斯卡于1654年發(fā)現(xiàn)的．實際上比我國發(fā)現(xiàn)數(shù)表要晚了600多年．證明：由二項式定理可知第2行121第1行11楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：第1行11例如，假設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有人口100萬，且人口的年平均增長率為1.區(qū)分清楚系數(shù)和二項式系數(shù)，并理解應(yīng)用賦值法得到二項式系數(shù)和為第4行14641楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越?。ㄖ虚g大、兩邊?。?行

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第7行n=7172135352171（3）楊輝三角的每一行的數(shù)都是開始越來越大，然后越來越?。ㄖ?5第0行

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