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文檔簡介

特殊類型函數(shù)積分

第6章

第四節(jié)二、有理函數(shù)的積分三、可化為有理函數(shù)的積分舉例一、問題的提出初等函數(shù)在其定義區(qū)間上一定有原函數(shù)，但原函數(shù)是否一定是初等函數(shù)？不一定.初等函數(shù)初等函數(shù)答：問題1一般地，一、問題的提出求導(dǎo)積分如：下列不定積分都不能用初等函數(shù)表示：問題2有理函數(shù)的原函數(shù)是否一定是初等函數(shù)？一定是.答：二、有理函數(shù)的積分1.有理函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).其中m,nN+,a0,a1,···,an,b0,b1,···,bm均為實常數(shù)，a00，b00.這有理函數(shù)稱為真分式；這有理函數(shù)稱為假分式；假定：分子與分母之間沒有公因式.如下四種分式稱為部分分式：①②③④(3)部分分式其中(1)假分式(n

m

)

分解假分式多項式+真分式多項式真分式2.有理函數(shù)的分解例1解例2解(方法1)

比較系數(shù)法賦值法(方法2)例3將解(方法1)

比較系數(shù)法分解為部分分式.通分去分母去分母：故比較系數(shù)法：(方法2)通分后去分母：令令令故賦值法3.有理函數(shù)的積分①②③④這四類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論:有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).例4配分母的導(dǎo)數(shù)例5解(例2)例6解由例3，得解整理得求積分例7例8.解:所以=

利用待定系數(shù)法分解有理函數(shù)是一種一般的方法，但一般運用起來比較麻煩.因此，在求有理函數(shù)的積分時，應(yīng)該首先考慮是否有其他更簡便的方法.注例9處理分母（四項冪函數(shù)積分）三、可化為有理函數(shù)的積分舉例1.三角函數(shù)有理式的積分引例1例10解

令則求積分例11解(方法2)例12例132.簡單無理函數(shù)的積分解

令則例14例15解

令則分子迎合分母

(1)求解

令則例16為同時去兩根式小結(jié)

為同時去掉根式

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