球面幾何的向量法及其應(yīng)用

球面幾何的若干應(yīng)用福建福州格致中學(xué)陳怡【摘要】球面幾何是古典幾何學(xué)中古老的一個(gè)分支，其內(nèi)容極其豐富.在16世紀(jì)時(shí)，麥哲倫不畏艱難地完成了歷史上重大的冒險(xiǎn)一一地球一圈，它為地略說(shuō)提出了一個(gè)客觀的實(shí)證，為建立新的天文學(xué)與地理學(xué)奠定了基礎(chǔ)，并對(duì)近代科學(xué)的發(fā)展有不可估量的意義。特別是球面三角學(xué)在天文、航海.大地測(cè)量直至宇宙航行等方面都有廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際生活中，許多數(shù)學(xué)模型都可以采用球面模型，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。本文主要利用球面幾何的一些初等知識(shí)，同時(shí)借助mathematics等工具，將它應(yīng)用于一些實(shí)際問(wèn)題?！娟P(guān)鍵詞】球面幾何；應(yīng)用；球面三角；數(shù)學(xué)■橫一、球面幾何在天文地理方面的應(yīng)用1.應(yīng)用于計(jì)算地球上兩點(diǎn)間最短的距離例1南美洲國(guó)家厄瓜多爾位于赤道兩旁，國(guó)名“厄瓜多爾”在西班牙語(yǔ)中的意思就是“赤道其首都基多的地理位置約為西經(jīng)780，緯度00；又知道英國(guó)首都倫敦的位置約為經(jīng)度00,北緯51.50，求倫敦和基多之間的沿地球表面的最短距離。AS南極圖1N北極AS南極圖1N北極ZAOC=78°ZBOC=51.5°解如圖1,點(diǎn)A表示基多，B表示倫敦，點(diǎn)C是赤道與本初子午線的交點(diǎn)（即基多所在的緯線和倫敦所在的經(jīng)線的交點(diǎn)），由于每條經(jīng)線都垂直于赤道，考慮地球表面上以基多、倫敦以及C點(diǎn)為頂點(diǎn)的球面直角三角形aABC，記球心為0。由題意可知，^AOC=780，ZBOC=51.5。，根據(jù)球面勾股定理，貝cos=cos—=cosZAOBRR

=cosZAOCcosZBOC=cos780cos51.50=0.207921x0.622515=0.1294因而ZAOB=82.57。地球半徑R=6371km,設(shè)倫敦和基多之間沿地球表面的最短距離為c,82.57因此有，c=2x3.1416x6371x360=9181.4（km）即倫敦和基多之間的沿地球表面的最短距離僅為9181.4km?！咀ⅰ坷们蛎婀垂啥ɡ恚梢院苋菀子?jì)算出球面上任意兩點(diǎn)的距離，這樣的計(jì)算方式是平面幾何所不能及的。2.應(yīng)用于計(jì)算地球上由A點(diǎn)到B點(diǎn)的航行角例2如果航空公司想開(kāi)發(fā)新的從臺(tái)北（東經(jīng)121030'，北緯25003'）到芝加哥（西經(jīng)87038'，北n北極緯41053'）的航線，請(qǐng)問(wèn)從臺(tái)北到芝加哥走最短距離的航行角是多少？n北極ZTOT'=25003'ZCOC'=41053'ZTNC=ZT'OC'=150052'圖2頂點(diǎn)N是北極，T是臺(tái)北，C是芝加哥。大圓解如圖2,我們考慮地球表面的球面三角形△NTT，頂點(diǎn)N是北極，T是臺(tái)北，C是芝加哥。大圓由題意可知，球面三角形△NTC的邊TN和邊CN的夾角為ZTOC'=3600-121030'-87038'=150052'即ZTNC=150052'且有…-TN-一ZTON=900-25003'=64057'（即——=64057'）RZCON=900-41053'=48007'(即竺=48007')R由球面三角余弦定理，可得cosTC=cosEcosCN+sinsinCNcos/TNCRRRRR=cos64057'cos48007'+sin64057'sin48007'cos150052'=0.423409x0.667616+0905939x0.744506x(-0.873489)=-0.3065因此TC=107049'R再根據(jù)球面三角正弦定理，則sinANTC_sinZ.TNC?CN.TC

sinsin——RR將數(shù)據(jù)代入，得到sinANTC_sin150052'sin48007'=sin107049'sin48007'sin150052'sinaNTC=sin107049'0.744506x0.4868440.955964=0.3792ZNTC=22020'因此從臺(tái)北到芝加哥走最短距離的航行角大約為22020'（北偏東）。二、球面幾何在航海方面的應(yīng)用1.航海斜駛線問(wèn)題例3確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線的長(zhǎng)度及其斜駛線的航向方位角。（100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題之第77題）解斜駛線可理解為地球表面的一條線，該線與所有經(jīng)線相交成相同角。如果船始終不改變其航向，船總是在斜駛線上航行，則斜駛線與經(jīng)線相交的角8稱為航向方位角。（如圖3）圖3在研究海圖時(shí)，我們把地球的半徑看成是單位長(zhǎng)度，海員使用單位長(zhǎng)度以海里（nm）計(jì)，海里為地球表面經(jīng)線上一分緯度的長(zhǎng)度，或赤道上一分經(jīng)度的長(zhǎng)度（各等于1852米），因?yàn)榻?jīng)線是兀倍地球半徑長(zhǎng)，緯度的180度等于10800緯度分（1度等于60緯度分），地球半徑R=10800/兀海里長(zhǎng)。如果我們認(rèn)為海圖是按1：1比例畫的（即海圖的赤道是和實(shí)際赤道等長(zhǎng)），海圖上緯度甲的圈與赤道之間的距離（也稱擴(kuò)大的緯度）為中=Rlntan(450+?)設(shè)從地球上O點(diǎn)（經(jīng)度人，緯度甲）航行至。'點(diǎn)（經(jīng)度人'，緯度平'）（平’＞甲），則O點(diǎn)和。'點(diǎn)在海圖上的擴(kuò)大緯度為O=Rlntan(45o+?)和中’=Rlntan(45o+；)，設(shè)O點(diǎn)、O'點(diǎn)自零度經(jīng)線到海圖經(jīng)線的距離分別為A與A海里，此處A表示構(gòu)成人的經(jīng)度分的數(shù)，A'表示構(gòu)成人’的經(jīng)度分的數(shù)。如圖4,設(shè)通過(guò)O的海圖經(jīng)線與通過(guò)O'海圖緯線相交于S。那么OS=B為擴(kuò)大緯度差中'-中，O'S=L=A'—A（海里），OO'為海圖的斜駛距離d以及ZOOS=6為航行方位角。圖4航行方位佰為yo'圖4航行方位佰為yo'os&由海圖直角三角形OO'S，按下面的方程求得航行方位角6:叩皿口L

tan6=—叩皿口B如圖4,為了確定地球上O點(diǎn)到O'點(diǎn)的斜駛距離d，將d平均分為N個(gè)非常小的相同小段?.，視為直線構(gòu)成。如果通過(guò)兩個(gè)相鄰分點(diǎn)A、B的A點(diǎn)畫經(jīng)線而通過(guò)B點(diǎn)畫緯線，我們獲得一個(gè)斜邊為?.的很小的直角三角形ABC，其經(jīng)線邊是A、B兩分點(diǎn)的緯度差P（以海里度量），并形成斜駛角5，因此。=/cos5。這樣每?jī)蓚€(gè)相鄰點(diǎn)具有相同的緯度差。。地球表面上兩點(diǎn)。和。'總緯度差b為（以海里度量）：b=NP=NCcos5=dcos5因此，所求的斜駛距離為：d=b=bsec5□□□□?￡）□cos5公式（1）和（2）就包含了問(wèn)題的解。實(shí)際上，地球上兩點(diǎn)斜駛線的航行方位角為5=arctanL□□□□□□）□斜駛距離d為d=bsec5=+‘言：□□□咽切口其中L表示兩點(diǎn)經(jīng)度差，B表示兩點(diǎn)擴(kuò)大緯度差，b表示兩點(diǎn)緯度差。下面我們具體計(jì)算一下智利的瓦爾迪維亞（人=西經(jīng)73025.1'，甲=南緯39053.1'）到日本橫濱（人'=東經(jīng)139039.2'，甲’=北緯35026.6'）的斜駛距離（以海里度量）。N圖5如圖5,設(shè)點(diǎn)N表示北極，點(diǎn)V表示瓦爾迪維亞，點(diǎn)Y表示橫濱。則V點(diǎn)和Y點(diǎn)的經(jīng)度差為L(zhǎng)=（3600-73025.1'—139039.2'）x60=146055.7'x60=8815.7分V點(diǎn)和Y點(diǎn)的緯度差為b=（39053.1'+35026.6'）x60=75019.7'x60=4519.7分（或海里）V點(diǎn)和Y點(diǎn)的擴(kuò)大緯度差為B=中'一中=Rlntan（45。+—）-Rlntan（45。+—^）TOC\o"1-5"\h\z22①’、tan（450+一）=Rln2—一①tan（450+；）35026.6'、mo。頃450+2）ln—兀，,丫一39053.1'、tan（450+）10800|tan62.72170ln—兀tan25.05750108001.94ln兀0.4710800x1.42兀=4890海里由公式（3）可得斜駛線的航向方位角為5=arctan4=arctan緇"=60058.83'B4890由公式（4）可得斜駛距離為d=bsec5=4519.7x,,'1+=9317海里【注1】（擴(kuò)大緯度公式）就地球上經(jīng)度人和緯度甲的點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它的地圖位置映象到地圖上零子午線的距離為人，到地圖赤道的距離（即擴(kuò)大的緯度）中=Rlntan（450+；）這里人與甲以弧度計(jì)量，R表示地球半徑?！咀?】如圖5,在球面三角形NVY（北極一瓦爾的維亞一橫濱）中，可知NV一=/NOV=900+中=900+39053.1'=129053.1'RNY—=/NOY=900—中'=900-35026.6'=54033.4'R

ZVNY=3600-73025.1'—1390392=146055.7'應(yīng)用球面三角余弦定理，則VYNVNY、.NV.NYcos——=coscos+sinsincosZVNYRRRRR=cos129053.1'cos54033.4'+sin129053.1'sin54033.4'cos146055.7'=-0.64x0.58+0.77x0.81x(-0.84)=-0.90那么VYR=153036.1'=那么VYR=153036.1'=2.6795弧度所以求出經(jīng)過(guò)V點(diǎn)到Y(jié)點(diǎn)的大圓劣弧長(zhǎng)P為p=10800*2.6795=9216.1海里兀此數(shù)據(jù)也說(shuō)明了沿斜駛線行駛所經(jīng)過(guò)的距離并不是最短航程，可以看出，沿著經(jīng)過(guò)V和Y兩點(diǎn)的大圓劣弧長(zhǎng)度P比斜駛距離大約短了101海里?！靶瘪偂钡拿Q源自荷蘭人W.斯乃爾（WillebordSnell），又名斯內(nèi)利厄斯（Snellius,1581-1626）。葡萄牙數(shù)學(xué)家P.牛尼斯（PedroNunes,1492-1577）第一個(gè)認(rèn)識(shí)到，連接地球表面兩點(diǎn)的斜駛線不是最短的連線且斜駛不斷趨向極地，而永遠(yuǎn)達(dá)不到極地。三、球面幾何在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用例4（2000網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽C題“飛越北極”）2000年6月，《揚(yáng)子晚報(bào)》發(fā)布消息：“中美航線下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時(shí)”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此決定可大幅度縮短了北美與亞洲間的飛行時(shí)間。旅客可直接從修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)。由于不需中途降落加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)。假設(shè)：飛機(jī)飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時(shí)980公里；從北京至底特律原來(lái)的航行飛A2（北緯36度，東經(jīng)140度）A2（北緯36度，東經(jīng)140度）A4（北緯62度，西經(jīng)150度）A6（北緯55度，西經(jīng)135度）A8（北緯47度，西經(jīng)125度）A10（北緯42度，西經(jīng)87度）A1（北緯31度，東經(jīng)122度）;A3（北緯53度，西經(jīng)165度）;A5（北緯59度，西經(jīng)140度）;A7（北緯50度，西經(jīng)130度）;A9（北緯47度，西經(jīng)122度）;設(shè)地球是半徑為6371千米的球體，請(qǐng)對(duì)“北京至底特律的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)”從數(shù)學(xué)上作合理解釋。解：?jiǎn)栴}的重述7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此決定可大幅度縮短了北美與亞洲間的飛行時(shí)間。旅客可直接從修斯敦、丹佛及明尼阿波利斯直飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)。由于不需中途降落加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)。若飛機(jī)飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時(shí)980公里；從北京至底特律原來(lái)的航行飛經(jīng)以下10處：A1（北緯31度，東經(jīng)122度）；A2（北緯36度，東經(jīng)140度）；A3（北緯53度，西經(jīng)165度）；A4（北緯62度，西經(jīng)150度）；A5（北緯59度，西經(jīng)140度）；A6（北緯55度，西經(jīng)135度）；A7（北緯50度，西經(jīng)130度）；A8（北緯47度，西經(jīng)125度）；A9（北緯47度，西經(jīng)122度）；A10（北緯42度，西經(jīng)87度）.設(shè)地球是半徑為6371千米的球體，請(qǐng)對(duì)“北京至底特律的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)”從數(shù)學(xué)上作合理解釋。⑴問(wèn)題的摘要針對(duì)將地球看成半徑為6371千米的球體，通過(guò)兩地間的航程使用公式t=s/v，來(lái)對(duì)航行時(shí)間進(jìn)行計(jì)算，得出航線更改后可節(jié)省的時(shí)間。對(duì)于問(wèn)題，由“球體上兩點(diǎn)間球面距離以過(guò)這兩點(diǎn)的大圓的劣弧最短”為依據(jù)，分別算出飛機(jī)航程更改前后的時(shí)間，得到可節(jié)省時(shí)間4小時(shí)3分鐘的結(jié)論。⑵問(wèn)題的假設(shè).飛行時(shí)盡可能飛最短距離.不考慮地形對(duì)飛機(jī)的影響（如山脈等使飛機(jī)提升高度或繞道飛行）.不考慮地球自公轉(zhuǎn)及萬(wàn)有引力對(duì)飛行的影響.不考慮飛機(jī)的加油時(shí)間.飛機(jī)中途不停留上客⑶符號(hào)的說(shuō)明A0：北京A11：底特律s（i,j）:飛機(jī)從i地飛到j(luò)地的弧長(zhǎng)距離v:飛機(jī)的飛行速度（980km/h）t（i,j）:飛機(jī)從i地飛到j(luò)地的時(shí)間R:地球的近似半徑（6371km）R"地球作為球體時(shí)飛機(jī)飛行的軌道半徑h:飛機(jī)飛行高度（10km）Xi:i點(diǎn)的經(jīng)度9i:i點(diǎn)的緯度九：舊航線從A0到A11所需總時(shí)間T1:新航線從A0到A11所需的總時(shí)間At:新舊航線下從A0到A11可節(jié)省的時(shí)間S0:舊航線下從A0到A11的總航程*:新航線下從A0到A11的總航程AB:從點(diǎn)A到B的直線距離AB:在球面上從A點(diǎn)到B點(diǎn)的大圓劣弧長(zhǎng)0:圓心與球面兩點(diǎn)連線夾角⑷問(wèn)題的分析1、問(wèn)題要求節(jié)省時(shí)間達(dá)到4小時(shí)，且飛機(jī)飛行的速度為定值，由t=s/v知，時(shí)間可轉(zhuǎn)化為路程問(wèn)題，故主要討論路程的值，從而確定時(shí)間。2、因?yàn)轱w機(jī)繞地球飛行的高度h為定值10km，故可將問(wèn)題看作一質(zhì)點(diǎn)在半徑為RjR+h=6381km的球上運(yùn)動(dòng)。

3、由于飛機(jī)飛行時(shí)間應(yīng)盡可能短，所以用航線更改前后的最短航程進(jìn)行比較，求出時(shí)間之差。⑸模型的建立與求解因?yàn)轭}中已知條件為經(jīng)度、緯度，所以先將其轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。建立直角坐標(biāo)系：O為地球球心z軸：球心指向北極點(diǎn)x軸：赤道面與格林尼治子午面的交線y軸：與xoz面垂直（各方向如圖6所示）易得,地理坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的換算公式（1）:x=Rcos中ccos人<y=Rcos里sin人...（1）z=Rsin中圖6根據(jù)題中的12個(gè)點(diǎn)的經(jīng)、緯度（據(jù)查北京地理坐標(biāo)約為A0（北緯40度，東經(jīng)116.33度），底特律（北緯43度，西經(jīng)82.87度）），由公式（1），利用數(shù)學(xué)軟件mathematica可以很容易得出十二個(gè)地區(qū)的三維坐標(biāo)：（見(jiàn)表（1））表（1）十二個(gè)地區(qū)的三維坐標(biāo)A0A1A2A3A4A5x-2164.69-2893.9-3948.38-3703.52-2590.28-2513.63y4374.1424631.2023313.086992.355-1495.5-2109.18z4095.23281.3083744.785088.1075625.2595461.013A6A7A8A9A10A11x-2583.95-2632.34-2492.2-2302.51247.7885578.3363y-2583.95-3137.11-3559.23-3684.78-4728.09-4623.42z5218.8184880.4694659.4544659.4544263.0314345.012

因?yàn)樵谇蝮w上任意兩點(diǎn)A、B間球面距離的最小值為通過(guò)這兩點(diǎn)和球心的大圓劣弧長(zhǎng)AB，故飛機(jī)從A點(diǎn)沿球面飛到B點(diǎn)達(dá)到最短時(shí)間的路程為AB，即AB為飛行軌跡。求弧長(zhǎng)的方法如下：由兩點(diǎn)間距離公式，知：\AB=y（X—x）2+（y-y）2+（Z-z）2121212再由余弦定理：cos0OA2+OB2-AB22OA-OB=(2Rcos0OA2+OB2-AB22OA-OB=(2R2-|AB|2)/2R2得公式（2）:AB=R0……（2）把表（1）中數(shù)據(jù)分別代入公式（2），也利用mathematica，即得飛機(jī)飛行的最短航程（見(jiàn)表（2））：表（2）飛機(jī)飛行所經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)間的最短航程s(0,1)s(1,2)s(2,3)s(3,4)s(4,5)s(5,6)1125.8291758.7894624.4081339.083641.1639538.5959s(6,7)s(7,8)s(8,9)s(9,10)s(10,11)s(0,11)651.5371497.5686227.84742810.859356.888210603.4628航線更改前總的最小航程為各段弧長(zhǎng)之和，即S=^s(i,i+1)=14572.57(km)i=0飛機(jī)航行所需總時(shí)間為：T0=S0/v=14.86997（小時(shí)）更改后從北京直飛底特律的新航程S廣皿⑴=10603,4628（km）飛機(jī)航行需時(shí)間為：T=S1/v=10.81986（小時(shí)）

At=T0-T1=4.05011(小時(shí))即節(jié)省了4小時(shí)3分鐘?！咀ⅰ课覀兏鶕?jù)題目中給出的12個(gè)點(diǎn)的經(jīng)度、緯度地理坐標(biāo)，使用數(shù)學(xué)軟件mathematica來(lái)計(jì)算得到12個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)(表⑴)、航線更改前飛機(jī)飛行所經(jīng)過(guò)的各兩點(diǎn)間的航程(表⑵)以及飛行總的最小航程：計(jì)算程序如下：m={{40,116.33},{31,122},{36,140},{53,195},{62,210},{59,220},{55,225},{50,230},{47,235},{47,238},{42,273},{43,277.13}};p=0;g={0,0,0};For[i=12,i>0,x=6371*Cos[(m[[i,1]])*2*Pi/360]*Cos[(m[[i,2]])*2*Pi/360];y=6371*Cos[(m[[i,1]])*2*Pi/360]*Sin[(m[[i,2]])*2*Pi/360];z=6371*Sin[(m[[i,1]])*2*Pi/360];k={N[x],N[y],N[z]};g=Join[k,g];i=i-1];Print[g]For[a=0,a<12,b=3a+1;c=3a+2;d=3a+3;a++,s=(g[[b]]-g[[b+3』)2+(g[[』—g[[c+3』)2+(g[[d]]-g[[d+3』)2；t=6381*q;Print[t];p=p+t];Print[p]Q=ArcQ=ArcCos2*6371*6371T=6381*Q;Print[T]運(yùn)行以上程序，輸出的結(jié)果如下：{-2164.69,4374.142,4095.2,-2893.9,4631.202,3281.308,-3948.38,3313.086,3744.78,-3703.52,992.355,5088.107,-2590.28,-1495.5,5625.259,-2513.63,-2109.18,5461.013,-2583.95,-2583.95,5218.818,-2632.34,-3137.11,4880.469,-2492.2,-3559.23,4659.454,-2302.51,-3684.78,4659.454,247.7885,-4728.09,4263.031,578.3363,-4623.42,4345.012,0,0,0}1125.8291758.7894624.4081339.083641.1639538.5959651.5371497.5686227.84742810.859356.888214572.5710603.4628【注】此程序的算法框圖見(jiàn)附錄⑹模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)從問(wèn)題的要求出發(fā)，建立了球面幾何的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)點(diǎn)為方法簡(jiǎn)單，運(yùn)算簡(jiǎn)便，缺點(diǎn)為本模型只針對(duì)圓球體，具有一定的局限性。若轉(zhuǎn)化模型為地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，會(huì)得到更為滿意的結(jié)果。球面幾何模型在解決天文地理中的月相問(wèn)題、禮拜朝向的確定方法、自動(dòng)化科學(xué)中測(cè)量研究三自由度球形電機(jī)位置、物理學(xué)中的鏡面成像問(wèn)題、以及計(jì)算航天衛(wèi)星等的軌道時(shí)都具有很大的幫助；且在具體的運(yùn)用中，可針對(duì)不同的要求選擇不同的模型。由于在模型中沒(méi)有考慮到地球的自公轉(zhuǎn)，天氣，地形等對(duì)飛行的影響，故可針對(duì)在不同的情況下，進(jìn)行綜合考慮。同時(shí)，需考慮到飛機(jī)飛行的安全性問(wèn)題而更改一些航線的問(wèn)題，而且，若從經(jīng)濟(jì)的角度上分析飛機(jī)中途停留上客或加油，及乘客轉(zhuǎn)機(jī)等問(wèn)題，可對(duì)本模型進(jìn)行改進(jìn)，從而使本模型更具有實(shí)際意義。參考文獻(xiàn)項(xiàng)武義.古典幾何學(xué)講義[M].北京:科學(xué)出版社,1983項(xiàng)武義.基礎(chǔ)幾何學(xué)[M].北京:人民教育出版社,2004張景中，陳民眾.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?選修3-3?球面上的幾何球面上的幾何.湖南:湖南教育出版社[M].2005.8姚俊凡.高等幾何講義[M].貴陽(yáng):貴州出版社.1982.2H.德里.100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題——?dú)v史和解[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社.1982.8專家評(píng)語(yǔ)：球面幾何的應(yīng)用面較廣，作者在選題上是不錯(cuò)的，其項(xiàng)目技術(shù)方案合理，研究方法科學(xué)規(guī)范，選題、立論具有指導(dǎo)意義及應(yīng)用價(jià)值。其參與性和完整性較好，規(guī)范。SomeApplicationsofSphericalGeometry[Abstract]Sphericalgeometrycountthemostancientbranchinclassicalgeometry,anditscontentsareveryabundant.Magellanmetallthedifficultiesandfacedthegreatchallengessaillingaroundtheworldinthe16thcentury.Itproposedanobjectivesubstantialevidenceintheinterestofthecirculardoctrineoftheearth,settledthebaseintheinterestofestablishingfreshast