平面向量知識(shí)點(diǎn)和例題

13/13第二章平面向量1.向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。數(shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量。2.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素：起點(diǎn)、方向、長度。3.向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作。4.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。5.平行向量：方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是兩個(gè)平行向量，那么通常記作∥。平行向量也叫做共線向量。我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任一向量，都有∥。6.相等向量：長度相等且方向一樣的向量叫做相等向量。若向量、是兩個(gè)相等向量，那么通常記作=。7.如圖，已知非零向量、，在平面任取一點(diǎn)A，作=，=，則向量叫做與的和，記作，即。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。8.對于零向量與任一向量，我們規(guī)定：+=+=9.公式與運(yùn)算定律：①②≤③④10.相反向量：①我們規(guī)定，與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作-。和-互為相反向量。②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量與其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，。⑤我們定義，即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量。11.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘。記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①②當(dāng)λ＞0時(shí)，的方向與的方向一樣；當(dāng)λ＜0時(shí)，的方向與的方向相反；λ=0時(shí)，=12.運(yùn)算定律：①②③④⑤13.定理：對于向量（≠）、，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=，那么與共線。相反，已知向量與共線，≠，且向量的長度是向量的長度的μ倍，即||=μ||，那么當(dāng)與同方向時(shí)，有=；當(dāng)與反方向時(shí)，有=。則得如下定理：向量向量（≠）與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=。14.平面向量基本定理：如果、是同一平面的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面所有向量的一組基底。15.向量與的夾角：已知兩個(gè)非零向量和。作，，則（0°≤θ≤180°）叫做向量與的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，與同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，與反向。如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作。16.補(bǔ)充結(jié)論：已知向量、是兩個(gè)不共線的兩個(gè)向量，且m、n∈R，若，則m=n=0。17.正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。18.兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。即若，，則，19.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。即若，則20.當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)，向量、（≠）共線21.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的分點(diǎn)，λ＞0②當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，λ＜-1；當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，-1＜λ＜0.22.從一點(diǎn)引出三個(gè)向量，且三個(gè)向量的終點(diǎn)共線，則，其中λ+μ=123.數(shù)量積（積）：已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或積），記作·即·=。其中θ是與的夾角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我們規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為0。24.·的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影的乘積。25.數(shù)量積的運(yùn)算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥26.兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即。則：①若，則，或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么，②設(shè)，，則27.設(shè)、都是非零向量，，，θ是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)表示可得：2013-2014學(xué)年度XX學(xué)校XX月考卷試卷副標(biāo)題1、在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸正半軸，終邊關(guān)于軸對稱，已知，則（）A.B.C.D.2、下列命題正確的是（）A.單位向量都相等B.若與是共線向量，與是共線向量，則與是共線向量C.，則D.若與是單位向量，則3、設(shè)是的相反向量,則下列說法一定錯(cuò)誤的是()A.與的長度相等B.//C.與一定不相等D.是的相反向量4、設(shè)都是非零向量，下列四個(gè)條件，使成立的充要條件是（）A.B.C.且D.且方向一樣5、下列命題：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；④相等向量一定共線.其中不正確命題的序號(hào)是（）A.①②③B.①②C.②③D.②④6、下列命題正確的是（）A.單位向量都相等B.模為0的向量與任意向量共線C.平行向量不一定是共線向量D.任一向量與它的相反向量不相等7、下列說法不正確的是（）A.，為不共線向量，若，則B.若，為平面兩個(gè)不相等向量，則平面任意向量都可以表示為C.若，，則與不一定共線D.8、在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足,則A.B.C.D.9、如圖，在中，，若，則的值為（）A.B.C.D.10、如圖，已知，，，，則（）A.B.C.D.11、點(diǎn)為的重心（三邊中線的交點(diǎn)）．設(shè)，則等于（）A.B.C.D.12、在中，若，則（）A.B.C.D.13、如圖，在中，為線段的中點(diǎn)，依次為線段從上至下的3個(gè)四等分點(diǎn)，若，則（）A.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合B.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合C.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合D.點(diǎn)與圖中的點(diǎn)重合14、在三棱柱中，若，則等于()A.B.C.D.15、如圖，正六邊形中，（）A.B.C.D.16、已知，且，則等于（）A.B.C.D.17、在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同兩點(diǎn)，若，，為正數(shù)，則的最小值為A.2B.C.D.18、設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，如果和共線那么的值是（）A.1B.-1C.3D.19、點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，，則的最小值是（）A.B.C.3D.420、已知向量，，則向量與的夾角為()A.135°B.60°C.45°D.30°21、如圖，在半徑為的圓中，已知弦的長為，則（）A.B.C.D.22、若四邊形ABCD是正方形，E是DC邊的中點(diǎn)，且，則等于()A.b＋aB.b－aC.a＋bD.a－b23、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若=λ+μ，則λ+μ=（）A．2 B．C．D．24、已知O，N，P在所在平面，且，，則點(diǎn)O，N，P依次是的（）A.重心外心垂心B.重心外心心C.外心重心垂心D.外心重心心25、已知平面向量在同一平面且兩兩不共線，關(guān)于非零向量a的分解有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量C和實(shí)數(shù)λ，使；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量和單位向量，使.則所有正確的命題序號(hào)是________.26、已知，，則與方向一樣的單位向量．27、已知向量，且，則__________．28、如圖，在正方形中，已知，為的中點(diǎn)，若為正方形（含邊界）任意一點(diǎn)，則的取值圍是29、設(shè)，，，且，則在上的投影的取值圍是.30、把邊長為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng)．則的最大值是．31、如圖，△ABC的外接圓的圓心為O，AB＝2，AC＝3，，則________．32、在邊長為1的正三角形中，設(shè)，，點(diǎn)滿足.（1）試用表示；（2）若（，且），求的最大值.33、在邊長為1的正三角形中，設(shè)，，點(diǎn)滿足．（1）試用，表示；（2）若（，，且），求的最大值．34、已知：、、同一平面的三個(gè)向量，其中（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角．參考答案[答案]D2、[答案]C3、[答案]C4、[答案]D5、[答案]A6、[答案]B7、[答案]B8、[答案]B9、[答案]D10、[答案]D11、[答案]B12、[答案]A13、[答案]C14、[答案]D15、[答案]B16、[答案]C17、[答案]A18、[答案]D19、[答案]C20、[答案]C21、[答案]B22、[答案]B23、[答案]D24、[答案]C25、[答案]①②26、[答案]27、[答案]28、[答案]29、[答案]30、[答案]231、[答案]32、[答案](1);(2).試題分析：(1)由向量加法的運(yùn)算法則可得即可得結(jié)果；（2），換元后，利用基本不等式即可得結(jié)果.試題解析：（1）.（2）.33、[答案]（1）；（2）試題分析：（1）借助圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算將分解即可；（2）先求，將化為二次函數(shù)的形式，通過求二次函數(shù)的最值可得結(jié)果。試題解析：（1）如圖，結(jié)合圖形可得。（2）∵，