第七章彎曲變形第二節(jié)疊加法課件

第四節(jié)計算彎曲變形的疊加法

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加.當(dāng)每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

第四節(jié)計算彎曲變形的疊加法梁的變形1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.2.結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）1.載荷疊加（Superpositionofloads）[例1]圖示懸臂梁，同時承受集中載荷

F1和

F2的作用。設(shè)梁的抗彎剛度為

EI，試用疊加法計算自由端

C

的撓度

wC

。解：1）在F1和單獨(dú)作用下[例1]圖示懸臂梁，同時承受集中載荷F1和F2的2）在F2和單獨(dú)作用下2）在F2和單獨(dú)作用下[例2]階梯懸臂梁如圖，試求自由端端

C

的撓度

wC

。已知

BC

段梁的抗彎剛度為為

EI、AB

段梁的抗彎剛度為為

2EI。解：該梁可看做由懸臂梁AB和固定在橫截面B上的懸臂梁BC組成1）令A(yù)B不變形，只考慮BC變形2）令BC不變形，只考慮AB變形[例2]階梯懸臂梁如圖，試求自由端端C的撓度wC2）令BC不變形，只考慮AB變形（a）在F作用下（b）在Me作用下2）令BC不變形，只考慮AB變形（a）在F作用下（b2）令BC不變形，只考慮AB變形2）令BC不變形，只考慮AB變形[例3]外伸梁如圖，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC和轉(zhuǎn)角C

，設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：[例3]外伸梁如圖，試用疊加法計算截面C的撓度wC[例4]如圖，在簡支梁的一半跨度內(nèi)作用均布載荷

q

，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC

。設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：[例4]如圖，在簡支梁的一半跨度內(nèi)作用均布載荷q，試疊加法的要點——1）疊加法適用前提：線彈性、小變形3）必須畫出疊加變形圖2）記住常用結(jié)論4）掌握疊加法的常用技巧疊加法的要點——1）疊加法適用前提：線彈性、小變形3）必須第五節(jié)彎曲剛度計算一、梁的剛度條件

式中，[w]

為梁的許用撓度第五節(jié)彎曲剛度計算一、梁的剛度條件式中，[w]2.采用合理的截面形狀選用具有較高Iz

/

A

比值的截面形狀3.減小梁的跨度結(jié)論：工字形截面較為合理二、提高梁的彎曲剛度的措施1.合理選材選用彈性模量

E

較高的材料結(jié)論：用高強(qiáng)度合金鋼取代普通碳鋼對于提高彎曲剛度沒有意義2.采用合理的截面形狀選用具有較高Iz/A比值的[例5]圖示簡支梁由

No.

18

工字鋼制成，長度

l=

3

m

，受q=

24

kN/m

的均布載荷作用。材料的彈性模量

E=

210

GPa

，許用應(yīng)力

[

]

=

150

MPa

，梁的許可撓度

[w

]

=

l

/400

。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。

解：1）強(qiáng)度校核最大彎矩查型鋼表，Wz=

186

cm3，故梁的強(qiáng)度滿足要求根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件[例5]圖示簡支梁由No.18工字鋼制成，長度l2）梁的剛度校核查型鋼表，得

Iz

=

1660

cm4梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，為由于故梁的剛度滿足要求2）梁的剛度校核查型鋼表，得Iz=1660cm4梁的[例2]圖示工字鋼簡支梁，在跨中承受集中力

F

作用。已知F=

35

kN，跨度

l=

4

m

，許用應(yīng)力

[

]

=

160

MPa

，許用撓度

[w

]

=

l

/

500

，彈性模量

E=

200

GPa

。試選擇工字鋼型號。解：1）強(qiáng)度計算最大彎矩根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件，得梁的抗彎截面系數(shù)[例2]圖示工字鋼簡支梁，在跨中承受集中力F作用。已2）剛度計算最大撓度發(fā)生于跨中截面，為根據(jù)梁的剛度條件得梁截面對中性軸的慣性矩查型鋼表，No.

22a

工字鋼的

Wz

=

3.09

104

m3、Iz

=

3.40105

m4，同時滿足梁的強(qiáng)度和剛度要求，故可選取No.

22a

工字鋼。2）剛度計算最大撓度發(fā)生于跨中截面，為根據(jù)梁的剛度條件得梁截

第六節(jié)簡單超靜定梁4.由補(bǔ)充方程求出多余未知力，即轉(zhuǎn)為靜定問題。求解簡單超靜定梁的基本步驟——1.解除多余約束，以相應(yīng)的多余未知力代之作用，得到原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)；2.根據(jù)多余約束處的位移條件，建立變形協(xié)調(diào)方程；3.計算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的相應(yīng)位移，由變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程；第六節(jié)簡單超靜定梁4.由補(bǔ)充方程求出多余未知[例3]圖示圓形截面梁，承受集中力

F

作用。已知F=

20

kN，跨度

l=

500

mm，截面直徑

d

=

60

mm，材料的許用應(yīng)力

[

]

=

100

MPa，試校核該梁的強(qiáng)度。解：1）解除多余約束2）建立變形協(xié)調(diào)方程3）建立補(bǔ)充方程4）求解多余未知力解得[例3]圖示圓形截面梁，承受集中力F作用。已知F作彎矩圖5）強(qiáng)度計算最大彎矩根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件結(jié)論：該梁的強(qiáng)度符合要求作彎矩圖5）強(qiáng)度計算最大彎矩根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力結(jié)論：該梁的第四節(jié)計算彎曲變形的疊加法

（Beamdeflectionsbysuperposition）

梁的變形微小,且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時,梁在幾項荷載(可以是集中力,集中力偶或分布力)同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加.當(dāng)每一項荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿w軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和.這就是疊加原理.一、疊加原理

（Superposition）

第四節(jié)計算彎曲變形的疊加法梁的變形1.載荷疊加（Superpositionofloads）多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.2.結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）1.載荷疊加（Superpositionofloads）[例1]圖示懸臂梁，同時承受集中載荷

F1和

F2的作用。設(shè)梁的抗彎剛度為

EI，試用疊加法計算自由端

C

的撓度

wC

。解：1）在F1和單獨(dú)作用下[例1]圖示懸臂梁，同時承受集中載荷F1和F2的2）在F2和單獨(dú)作用下2）在F2和單獨(dú)作用下[例2]階梯懸臂梁如圖，試求自由端端

C

的撓度

wC

。已知

BC

段梁的抗彎剛度為為

EI、AB

段梁的抗彎剛度為為

2EI。解：該梁可看做由懸臂梁AB和固定在橫截面B上的懸臂梁BC組成1）令A(yù)B不變形，只考慮BC變形2）令BC不變形，只考慮AB變形[例2]階梯懸臂梁如圖，試求自由端端C的撓度wC2）令BC不變形，只考慮AB變形（a）在F作用下（b）在Me作用下2）令BC不變形，只考慮AB變形（a）在F作用下（b2）令BC不變形，只考慮AB變形2）令BC不變形，只考慮AB變形[例3]外伸梁如圖，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC和轉(zhuǎn)角C

，設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：[例3]外伸梁如圖，試用疊加法計算截面C的撓度wC[例4]如圖，在簡支梁的一半跨度內(nèi)作用均布載荷

q

，試用疊加法計算截面

C

的撓度

wC

。設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常量。解：[例4]如圖，在簡支梁的一半跨度內(nèi)作用均布載荷q，試疊加法的要點——1）疊加法適用前提：線彈性、小變形3）必須畫出疊加變形圖2）記住常用結(jié)論4）掌握疊加法的常用技巧疊加法的要點——1）疊加法適用前提：線彈性、小變形3）必須第五節(jié)彎曲剛度計算一、梁的剛度條件

式中，[w]

為梁的許用撓度第五節(jié)彎曲剛度計算一、梁的剛度條件式中，[w]2.采用合理的截面形狀選用具有較高Iz

/

A

比值的截面形狀3.減小梁的跨度結(jié)論：工字形截面較為合理二、提高梁的彎曲剛度的措施1.合理選材選用彈性模量

E

較高的材料結(jié)論：用高強(qiáng)度合金鋼取代普通碳鋼對于提高彎曲剛度沒有意義2.采用合理的截面形狀選用具有較高Iz/A比值的[例5]圖示簡支梁由

No.

18

工字鋼制成，長度

l=

3

m

，受q=

24

kN/m

的均布載荷作用。材料的彈性模量

E=

210

GPa

，許用應(yīng)力

[

]

=

150

MPa

，梁的許可撓度

[w

]

=

l

/400

。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。

解：1）強(qiáng)度校核最大彎矩查型鋼表，Wz=

186

cm3，故梁的強(qiáng)度滿足要求根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件[例5]圖示簡支梁由No.18工字鋼制成，長度l2）梁的剛度校核查型鋼表，得

Iz

=

1660

cm4梁的最大撓度發(fā)生在中間截面，為由于故梁的剛度滿足要求2）梁的剛度校核查型鋼表，得Iz=1660cm4梁的[例2]圖示工字鋼簡支梁，在跨中承受集中力

F

作用。已知F=

35

kN，跨度

l=

4

m

，許用應(yīng)力

[

]

=

160

MPa

，許用撓度

[w

]

=

l

/

500

，彈性模量

E=

200

GPa

。試選擇工字鋼型號。解：1）強(qiáng)度計算最大彎矩根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件，得梁的抗彎截面系數(shù)[例2]圖示工字鋼簡支梁，在跨中承受集中力F作用。已2）剛度計算最大撓度發(fā)生于跨中截面，為根據(jù)梁的剛度條件得梁截面對中性軸的慣性矩查型鋼表，No.

22a

工字鋼的

Wz

=

3.09

104

m3、Iz

=

3.40105

m4，同時滿足梁的強(qiáng)度和剛度要求，故可選取No.

22a

工字鋼。2）剛度計算最大撓度發(fā)生于跨中截面，為根據(jù)梁的剛度條件得梁截

第六節(jié)簡單超靜定梁4.由補(bǔ)充方程求出多余未知力，即轉(zhuǎn)為靜定問題。求解簡單超靜定梁的基本步驟——1.解除多余約束，以相應(yīng)的多余未知力代之作用，得到原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)；2.根據(jù)多余約束處的位移條件，建立變形協(xié)調(diào)方程；3.計算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的相應(yīng)位移，由變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程；第六節(jié)簡單超靜定梁4.由補(bǔ)充方程求出多余未知[例3]圖示圓形