隨機(jī)向量及其分布課件

第三章隨機(jī)向量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布第二節(jié)邊緣分布與條件分布第三節(jié)兩個(gè)變量的獨(dú)立與函數(shù)分布第三章隨機(jī)向量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分1第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布一.隨機(jī)向量的定義

隨機(jī)向量主要用來描述用一維隨機(jī)變量不能完全刻劃的隨機(jī)現(xiàn)象。例如，隨機(jī)地抽出一張撲克牌：它具有花色與點(diǎn)數(shù)這兩個(gè)離散隨機(jī)屬性；導(dǎo)彈的落點(diǎn)與目標(biāo)之間的誤差：由兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量組成的二維隨機(jī)向量；以及更一般的多維隨機(jī)向量。第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布一.隨機(jī)向量的定義21.二維隨機(jī)向量

如果

X

、Y都是定義在同一個(gè)樣本空間中的隨機(jī)變量，則它們構(gòu)成的向量(X,Y)就稱為一個(gè)二維隨機(jī)向量。2.n維隨機(jī)向量定義在同一樣本空間中的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

構(gòu)成的向量(X1,X2,…,Xn)稱為一個(gè)

n維隨機(jī)向量。隨機(jī)向量(X,Y)的概率性質(zhì)除了與每一個(gè)分量有關(guān)外，還依賴于這兩個(gè)分量之間的相互關(guān)系。1.二維隨機(jī)向量2.n維隨機(jī)向量3二.

聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量，對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)

x、y

，二元函數(shù)

F(x,y)=P{

X

≤

x,

Y

≤

y

}稱為隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或者也稱

隨機(jī)變量

X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)的定義聯(lián)合分布函數(shù)是對隨機(jī)向量性質(zhì)的完整刻劃，本質(zhì)上是兩個(gè)隨機(jī)事件交事件的概率。二.聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y4++––

ox1

x2xyy2y12.利用聯(lián)合分布函數(shù)計(jì)算概率P{x1

＜X≤x2,

y1＜Y≤y2}=F(x2,

y2)+F(x1,y1)–

F(x1,y2)–

F(x2,y1)思考1{

X

≤

x,Y

≤

y

}的對立事件是否{

X

＞

x,Y

＞

y

}？思考2

從F(x

,

y

)能不能計(jì)算出P{x1

＜X≤x2}？++––ox1x25例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)是：□x

y

,

當(dāng)0＜

x,y

＜1x，當(dāng)0＜

x

＜1，y≥1y，當(dāng)0＜

y

＜1，x≥11，當(dāng)

x≥1，y≥10，其它F(x,y)=問X、Y

至少有一個(gè)不大于0.4的概率。解.分析，要計(jì)算p=P{(X≤0.4)∪(Y≤0.4)}，利用加法公式，

p=P{X≤0.4}+P{Y≤0.4}

–

P{X≤0.4∩Y≤0.4}=F(0.4,+∞)+F(+∞,0.4)–

F(0.4,0.4)=0.4+0.4–0.4×0.4=0.64.例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布6二.離散型二維隨機(jī)向量

如果二維隨機(jī)向量(X,Y)所有可能的取值是有限對或者無窮多對數(shù)，則稱(X,Y)是一個(gè)離散型二維隨機(jī)向量。P{

X=xi,

Y=yj}=pij

，i、j

≥11.離散隨機(jī)向量的聯(lián)合分布律①聯(lián)合分布律實(shí)質(zhì)上仍然是隨機(jī)事件交事件的概率，{

X=xi

，i

≥1}與{

Y=yj

，j

≥1}分別都是對樣本空間的劃分。二.離散型二維隨機(jī)向量如果二維隨機(jī)向量72.二維聯(lián)合分布律的表格形式

y1…yj…

x1

p11…p1j……………

xj

pi1…pij……………

X

Y3.聯(lián)合分布律的兩個(gè)性質(zhì)(1)對任意的i、j，都有pi

j

≥

0,

(2)∑i≥0∑j≥0

pi

j

=

12.二維聯(lián)合分布律的表格形式8隨機(jī)事件→隨機(jī)變量→隨機(jī)向量離散情況以拋擲骰子為例，古典概率討論事件：{出現(xiàn)1點(diǎn)}，…，{出現(xiàn)6點(diǎn)}隨機(jī)變量討論抽象的：{X=1}，…，{X=6}隨機(jī)向量討論同時(shí)擲兩枚骰子：{X=1，Y=1}，…，{X=6，Y=6}連續(xù)情形同理，考慮從(0,1)區(qū)間隨機(jī)取數(shù)隨機(jī)事件→隨機(jī)變量→隨機(jī)向量離散情況以拋擲骰9例3.1.2從1，2，3，4中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

X，再從

1，…，X中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

Y，計(jì)算

X、Y

的聯(lián)合分布律。解.分析，首先確定

X、Y的取值范圍。

X可能取1，2，3，4；Y可能的取值仍然是1，2，3，4，并且具有關(guān)系Y≤X。

最重要的是，這里必須使用條件概率

P{

X=i}=？P{

Y=j|X=i}=？

例3.1.2從1，2，3，4中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)10根據(jù)概率的乘法公式，X、Y的聯(lián)合分布律為P{

X=i，Y=j

}=P{

X=i}P{

Y=j|X=i}

=1/4i

，1≤

j

≤

i

≤4

。□

X

Y123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16根據(jù)概率的乘法公式，X、Y的聯(lián)合分布律為□XY111三.

連續(xù)型二維隨機(jī)向量如果存在一個(gè)非負(fù)可積的函數(shù)

p(x,y)

，使得對任意的實(shí)數(shù)

x、y，(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)滿足：則稱(X,Y)是連續(xù)型二維隨機(jī)向量。

p(x,y)稱為隨機(jī)向量(X,Y)的密度函數(shù)，或者是隨機(jī)變量

X、Y的聯(lián)合密度函數(shù)。1.聯(lián)合密度函數(shù)的定義三.連續(xù)型二維隨機(jī)向量如果存在一個(gè)非負(fù)可積的函12(1)p(x,y)

≥0；2.聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)3.聯(lián)合密度函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系如果聯(lián)合密度函數(shù)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有

p(x,y)

=——————2

F(x,y)

xy思考4假如X

有密度函數(shù)pX

(x)，Y

有密度函數(shù)pY

(y)

，構(gòu)造出的二元函數(shù)p(x,y)=pX

(x)×pY

(y)是否是一個(gè)聯(lián)合密度函數(shù)？(1)p(x,y)≥0；2.聯(lián)134.關(guān)于連續(xù)隨機(jī)向量概率的計(jì)算假設(shè)

G

是平面上的任意一個(gè)區(qū)域，則比較：連續(xù)隨機(jī)變量概率的計(jì)算假設(shè)(a,b)是直線上的任意一個(gè)區(qū)間，則4.關(guān)于連續(xù)隨機(jī)向量概率的計(jì)算假設(shè)G是平面上的任14ox

yG

p(x,y)oxyGp(x,y)15例3.1.3X、Y具有聯(lián)合密度函數(shù)(1)

求聯(lián)合分布函數(shù)

F(x,y)

；(2)

計(jì)算概率

P{Y≤

X}

。解.分析，聯(lián)合分布函數(shù)是聯(lián)合密度函數(shù)的不定積分；概率

P{Y≤X}

是聯(lián)合密度函數(shù)在區(qū)域

G={(x,y)

|

y≤

x}上的二重積分。

2e–(2x+y),

當(dāng)x

＞0,y

＞0p(x,y)

=0，其它例3.1.3X、Y具有聯(lián)合密度函數(shù)(1)16(1)

對任意的x

＞0、y

＞0，最后得到聯(lián)合分布函數(shù)，(1–

e–2x)(1–

e–

y),

當(dāng)x

、y

＞0

F(x,y)=0，其它(1)對任意的x＞0、y＞0，最后得到17(2)由于區(qū)域G={(x,y)

|

y≤

x}表示直線y=x的下半部分，而聯(lián)合密度函數(shù)只有在x，y同時(shí)都＞0才取值為2e–(2x+y)。因此P{Y

≤X}實(shí)際上是函數(shù)2e–(2x+y)在圖中G0

上的二重積分。

oxyG0

y=x□P{Y

≤X}(2)由于區(qū)域G={(x,y)|y≤x181.教材104頁第1題；2.教材104頁第2題；3.教材104頁第3題；習(xí)題3.11.教材104頁第1題；2.19第二節(jié)邊緣分布與條件分布隨機(jī)向量(X,Y)的兩個(gè)分量

X、Y都是一維隨機(jī)變量，它們自身所具有的概率分布就稱為是隨機(jī)向量(X,Y)關(guān)于

X與Y的邊緣分布。顯然，邊緣分布函數(shù)被聯(lián)合分布函數(shù)唯一地確定

FX(x)=F(x,+∞)，F(xiàn)Y(y)=F(+∞,y)

條件分布是條件概率在隨機(jī)變量場合的推廣第二節(jié)邊緣分布與條件分布隨機(jī)向量(X,201.

離散隨機(jī)向量的邊緣分布律設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為：P{X=xi

,Y=yj

}=pij

，i、j

≥1。1.1X的邊緣分布律{pi·

，i

≥1}

pi·=P{X=xi}=∑j≥1

pi

j1.2Y的邊緣分布律{p

·j，j

≥1}

p

·j=P{Y=yj}=∑i≥1

pi

j一.

隨機(jī)向量的邊緣分布1.離散隨機(jī)向量的邊緣分布律設(shè)(X21例3.2.1(續(xù)例3.1.2)從

1，2，3，4中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

X，再從1，···，X中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

Y，計(jì)算

X、Y

各自的邊緣分布律。解.

已經(jīng)求出

X、Y

的聯(lián)合分布律是:P{X=i，Y=j

}=1/4i

，1≤

j

≤

i

≤4。固定i

，對j

從1到4求和，將得到X的邊緣分布律；固定j

，對i

從1到4求和，將得到Y(jié)的邊緣分布律。利用表格的形式分別把行、列相加，計(jì)算離散隨機(jī)向量的邊緣分布律更簡單方便。例3.2.1(續(xù)例3.1.2)從1，222

X

Y

123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16

pi·=P{X=xi

}

p·j=P{Y=yj

}1/41/41/41/425/4813/487/483/481□XY12232.連續(xù)隨機(jī)向量的邊緣密度函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

p(x,y)，

–∞＜

x，y＜

+∞2.1X的邊緣密度函數(shù)pX(x)2.2Y的邊緣密度函數(shù)pY(y)2.連續(xù)隨機(jī)向量的邊緣密度函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)24練習(xí)3.2.3

如果(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布，即

p(x,y)=1/

，x2+y2

＜

1

問X、Y

是否分別還服從均勻分布？練習(xí)3.2.2

如果(X,Y)服從一個(gè)矩形內(nèi)的均勻分布，密度是

p(x,y)=1/ab

，0＜x

＜

a

、0＜y

＜

b

問X、Y

是否分別還服從均勻分布？二維均勻分布練習(xí)3.2.3練習(xí)3.2.2二維均勻分布25例3.2.4(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)其中–∞＜

x，y＜

+∞，參數(shù)–∞＜

1,2

＜

+∞；1

,2

＞0；–1

＜

＜1二維正態(tài)分布則X~N(1

,12)，Y~N(2

,22)。二維正態(tài)的兩個(gè)邊緣分布都不依賴于參數(shù)?！趵?.2.4(X,Y)~N(1,226例3.2.5

在例題3.1.3中，

p(x,y)

=2e–(2x+y),

當(dāng)x

＞0,y

＞0；已經(jīng)計(jì)算出聯(lián)合分布函數(shù)：

F(x,y)=

(1–

e–2x)(1–

e–

y),

當(dāng)x

、y

＞0。則，邊緣密度函數(shù)pX(x)、pY(y)分別是

pX(x)=2e–2x,

當(dāng)x

＞0；

pY(y)=e–

y,

當(dāng)y

＞0□邊緣分布函數(shù)FX(x)、FY(y)分別是

FX(x)=1–

e–2x,

當(dāng)x

＞0；

FY(y)=1–

e–

y

,

當(dāng)y

＞0。例3.2.5在例題3.1.3中，則，邊緣密度27二.隨機(jī)變量的條件分布一般來說，兩個(gè)隨機(jī)變量之間有三種關(guān)系：①.

函數(shù)關(guān)系

Y=a+bX，Y=X2

等等；②.隨機(jī)相依關(guān)系身高X

與體重Y

的關(guān)系；③.獨(dú)立關(guān)系撲克牌的花色X

與點(diǎn)數(shù)Y

的關(guān)系條件分布主要用來研究隨機(jī)變量的相依關(guān)系二.隨機(jī)變量的條件分布一般來說，兩個(gè)隨機(jī)變量之間有三種關(guān)281.

離散隨機(jī)向量的條件分布律

pij、pi·

與p·j

分別是(X,Y)的聯(lián)合分布律以及兩個(gè)邊緣分布律，i

、j

≥1。1.1如果對某個(gè)固定的i

，有pi·

＞

0，則定義

p

j|i=——，對于所有的j

≥1

是Y

關(guān)于隨機(jī)事件(X=xi)的條件分布

pij

pi·1.2如果對某個(gè)固定的j

，有p·j

＞

0，則定義

p

i|j=——，對于所有的i

≥1

是X

關(guān)于隨機(jī)事件(Y=yj)的條件分布

pij

p·j1.離散隨機(jī)向量的條件分布律pij、pi29X\Y1234pi·

11/40001/4

21/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p·j

25/4813/487/483/481例3.2.6在例題3.1.2與3.2.1中討論的隨機(jī)取數(shù)問題聯(lián)合分布律是P{X=i,Y=j

}=1/4i

，1≤

j

≤

i

≤4顯然對于每個(gè)固定的i(1≤

i

≤4)，Y

關(guān)于

(X=i)的條件分布是p

j|i=1/i

，這里1≤

j

≤

i

X\Y130例如，X

關(guān)于(Y=1)的條件分布

123412/256/254/253/25X\Y1234pi·

11/40001/4

21/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p·j

25/4813/487/483/481□思考1如何解釋這個(gè)條件分布？例如，X關(guān)于(Y=1)的條件分布X\Y31例3.2.7假定每張彩票一元，中獎(jiǎng)概率是

p(0＜p

＜1)，某人每次只買一張，不停的獨(dú)立重復(fù)購買直到中獎(jiǎng)兩次為止。

X表示他第一次中獎(jiǎng)時(shí)的消費(fèi)，Y表示所有的花費(fèi)，求

X、Y

的聯(lián)合分布律與條件分布律。解.分析，

X、Y的關(guān)系顯然是1≤

X＜

Y

。要求出聯(lián)合分布，即對任意兩個(gè)正整數(shù)1≤

m＜

n，需要計(jì)算交事件{

X=m,Y=n}的概率；其次，根據(jù)聯(lián)合分布律得到邊緣分布律后，由條件分布律的定義即可求出兩個(gè)條件分布律。例3.2.7假定每張彩票一元，中獎(jiǎng)概率是p(32而交事件{

X=m，Y=n}的含義是：這個(gè)人買的第m張與第

n張彩票中獎(jiǎng)，而其它都沒有中獎(jiǎng)。并且購買過程是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次買到的彩票是否中獎(jiǎng)不相互影響。第m次購買第n次購買

q

q…p…q…p記

q=1–p，則X、Y

的聯(lián)合分布律為：

P{

X=m,Y=n}=p2qn–2

，1≤

m＜

n。而交事件{X=m，Y=n}的含義是：第m33因此X的邊緣分布律，即在買第m

張彩票時(shí)才第一次中獎(jiǎng)的概率，(m≥

1)P(X=m)=∑n＞m

P{

X=m,Y=n}=∑n＞m

[p2qn–2]=p2qm–1×——=p

qm–1

；

11–q同理Y的邊緣分布律，即在買第n

張彩票時(shí)才第二次中獎(jiǎng)的概率，(n≥

2)P(Y=n)=∑m＜n

P{

X=m,Y=n}=∑m＜n

[p2qn–2]=(n–1)p2qn–2

。再注意到聯(lián)合分布律

P{

X=m,Y=n}=p2qn–2

，1≤

m＜

n因此X的邊緣分布律，即在買第m張彩票34①對任意固定的

n≥2，X關(guān)于

(Y=n)的條件分布，即在已經(jīng)知道第

n

張彩票是第二次中獎(jiǎng)的條件下，前n–1張彩票里究竟哪一張中獎(jiǎng)的概率

P{X=m|Y=n}=——，1≤

m≤n–1；

1n–1②對任意固定的

m≥1，Y關(guān)于

(X=m)的條件分布，即已經(jīng)知道第

m

張彩票是第一次中獎(jiǎng)的條件下，以后購買的彩票里究竟哪一張是再次中獎(jiǎng)的概率

P{Y=n|X=m}=p

qn–

m–1

，n

≥

m+1。

思考2

這兩個(gè)條件分布律說明了什么？□①對任意固定的n≥2，X關(guān)于(Y=n35

2.2如果對某個(gè)固定實(shí)數(shù)y

有pY(y)

＞

0，則定義

pX|Y

(x|y)=———，對于所有實(shí)數(shù)x

是X

關(guān)于隨機(jī)事件(Y=y

)的條件密度函數(shù)2.

連續(xù)隨機(jī)向量的條件密度函數(shù)

p(x,y)、pX(x)

與pY(y)分別是(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)以及兩個(gè)邊緣密度函數(shù)，

p(x,y)

pY(y)2.1如果對某個(gè)固定實(shí)數(shù)x

有pX(x)

＞

0，則定義

pY|X

(y|x)=———，對于所有實(shí)數(shù)y

是Y

關(guān)于隨機(jī)事件(X=x

)的條件密度函數(shù)

p(x,y)

pX(x)2.2如果對某個(gè)固定實(shí)數(shù)y有pY(y)＞36例3.2.8(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布，

p(x,y)=1/

，x2+y2

＜

1

在條件(X=x)下，Y

是否服從均勻分布？解.在練習(xí)3.2.4中，已經(jīng)知道X、Y

的邊緣分布都不是均勻分布。

x因此對于|x|＜1，在已知條件(X=x)下，Y

將服從均勻分布：□------例3.2.8(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布37①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(2+

——(x–1)

,22(1–2))

，□例3.2.9

已經(jīng)計(jì)算出二維正態(tài)分布

(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)

有X~N(1,12)，Y~N(2

,22)。

2

1②.X關(guān)于(Y=y)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(1+

——(y–2)

,12(1–2))

。

1

2①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布38三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公式相比較：

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)1.對于離散隨機(jī)向量

pij

=pi·×p

j|i=p·j×p

i|j對于連續(xù)隨機(jī)向量

p(x,y)

=pX(x)×pY|X

(y|x)

=pY(y)×pX|Y

(x|y)三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公39聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整體能夠決定部分；但是各個(gè)部分的簡單疊加并不一定能構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的整體。2.聯(lián)合分布能夠唯一地決定邊緣分布，反之一般情況下從邊緣分布得不出聯(lián)合分布。當(dāng)分量相互獨(dú)立時(shí)，邊緣分布就可以決定聯(lián)合分布3.邊緣分布與條件分布本身也是一個(gè)分布聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整40混合偏導(dǎo)二重積分一階偏導(dǎo)一重積分定積分極限？？FX(x)或FY(y)pX(x)或pY(y)F(x,y)p(x,y)混合偏導(dǎo)二重積分一階偏導(dǎo)一重積分定積分極限？？FX(x)41

1.教材104頁第4題；

3.教材104頁第7題；

2.教材104頁第5題；習(xí)題3.2

5.教材106頁第12題.

4.教材105頁第11題；1.教材104頁第4題；3.42第三節(jié)兩個(gè)變量的獨(dú)立與函數(shù)分布如果隨機(jī)變量

X、Y

滿足：對所有的實(shí)數(shù)x、y

，聯(lián)合分布函數(shù)都等于邊緣分布函數(shù)的乘積：

F(x,y)=FX(x)×FY(y)

則稱

隨機(jī)變量

X、Y是相互獨(dú)立的.(independent,

縮寫為：ind)定義3.3.1兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的獨(dú)立就是事件獨(dú)立性的推廣第三節(jié)兩個(gè)變量的獨(dú)立與函數(shù)分布如果隨機(jī)變量X、43一.如何判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立①按照獨(dú)立性的定義聯(lián)合分布函數(shù)等于邊緣分布函數(shù)的乘積。即，

F(x,y)=FX(x)×FY(y)例3.3.1討論例3.1.3中X、Y的獨(dú)立性

(1–

e–2x)(1–

e–

y),

當(dāng)x

、y

＞0F(x,y)=0，其它一.如何判斷隨機(jī)變量的獨(dú)立①按照獨(dú)立性的定義聯(lián)44注意要判斷兩個(gè)離散隨機(jī)變量不獨(dú)立，只需要找到

某一對整數(shù)i0、j0

，使得：

pij≠pi·

×p·

j

0000②按照隨機(jī)變量的類型聯(lián)合分布律等于邊緣分布律的乘積.

即，pij

=pi·×p·j

對全部i、j成立兩個(gè)離散隨機(jī)變量的獨(dú)立注意00045例3.3.2(續(xù))從

1，2，3，4中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

X，再從1，···，X中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)

Y，判斷X、Y

是否獨(dú)立？解.聯(lián)合分布律以及邊緣分布律是：□顯然X、Y不獨(dú)立。X\Y1234pi·

11/40001/4

21/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p·j

25/4813/487/483/481例3.3.2(續(xù))從1，2，3，4中隨機(jī)地取一個(gè)46例3.3.3在例3.2.7中，某人獨(dú)立重復(fù)買彩票直到兩次中獎(jiǎng)為止。X是首次中獎(jiǎng)時(shí)的付出，Y

是第二次中獎(jiǎng)時(shí)(即全部的)的支出金額。問X、Y是否是相互獨(dú)立的？□解.已經(jīng)計(jì)算出聯(lián)合分布律與邊緣分布律分別是：

pmn=P{

X=m,Y=n}=p2qn–2

，1≤

m＜

n；

pm·=P(

X=m)=p

qm–1

，

m≥

1；

p·n=P(

Y=n)=(n–1)p2qn–2

，

n≥2;

因此X、Y不獨(dú)立。補(bǔ)充

Y–X

不僅與X

獨(dú)立，而且分布也相同例3.3.3在例3.2.7中，某人獨(dú)立重復(fù)買彩47兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即，p(x,y)=pX(x)×pY(y)對全部x、y成立補(bǔ)充連續(xù)隨機(jī)變量

X、Y相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)：對所有實(shí)數(shù)

x、y，聯(lián)合密度函數(shù)能夠分解成：

p(x,y)

=g(x)×h(y)的形式

。并且，邊緣密度函數(shù)可以直接寫出：

pX(x)=C1g(x)

，pY(y)=C2h(y)

這里C1、C2

是常數(shù)因子。

兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即48例3.3.4在例

3.1.3中

X、Y的聯(lián)合密度是：

因此X、Y

相互獨(dú)立?！?/p>

2e–(2x+y),

當(dāng)x

＞0,y

＞0p(x,y)

=0，其它例3.3.5在練習(xí)3.2.3中，(X,Y)服從單位圓內(nèi)的均勻分布，即

p(x,y)=1/

，x2+y2

＜

1

因此X、Y

不獨(dú)立。例3.3.4在例3.1.3中X、Y的聯(lián)合密49例3.3.6已知

X、Y的聯(lián)合密度是：□

4xy,

當(dāng)0

＜

x,y＜

1(1)p(x,y)

=0，其它

8xy,

當(dāng)0

＜

x＜

y＜

1(2)p(x,y)

=0，其它

因此X、Y

相互獨(dú)立X、Y不獨(dú)立例3.3.6已知X、Y的聯(lián)合密度是：□50例3.3.7X、Y

服從二維正態(tài)分布

(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)

證明X、Y相互獨(dú)立的充分必要條件是=0。證明.

(充分性)已知參數(shù)

=0，因此

X、Y相互獨(dú)立；

(必要性)已知X、Y獨(dú)立，特別取

x=

1、y=2

，

根據(jù)p(1,2)

=pX

(1)×pY

(2)

因此可以證明=0?！趵?.3.7X、Y服從二維正態(tài)分布證明.(51

補(bǔ)充③條件分布等于無條件分布也蘊(yùn)涵了獨(dú)立性

p

j|i=p·j

或者是p

i|j=pi·；pY|X

(y|x)=pY(y)或者是pX|Y

(x|y)=pX(x)思考1

隨機(jī)事件A、B相互的獨(dú)立。思考2

如何定義若干個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立？補(bǔ)充③條件分布等于無條件分布也蘊(yùn)涵了獨(dú)立性52二.如何應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立可以理解成：與這兩個(gè)隨機(jī)變量有關(guān)的所有隨機(jī)事件都是獨(dú)立的(1)大多數(shù)的情況下，隨機(jī)變量的獨(dú)立性是用于：從各自的(邊緣)分布得到聯(lián)合分布。(2)可以證明，如果X,Y相互獨(dú)立，

g(·)與h(·)都是連續(xù)(或者單調(diào))函數(shù)，那么

g(X)與h(Y)也是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。二.如何應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立兩個(gè)隨機(jī)變量的53例3.3.8在第一節(jié)隨機(jī)向量與聯(lián)合分布中的思考4，假如X

有密度函數(shù)pX

(x)，Y

有密度函數(shù)pY

(y)

，構(gòu)造出的二元函數(shù)p(x,y)=pX

(x)×pY

(y)是否是一個(gè)聯(lián)合密度函數(shù)？解.這個(gè)二元函數(shù)滿足聯(lián)合密度函數(shù)的要求，因此肯定是一個(gè)隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)。實(shí)際上這個(gè)隨機(jī)向量就是(X,Y)，而且X

與Y

是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。在概率論中隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性很多時(shí)候是用于構(gòu)造隨機(jī)向量?！趵?.3.8在第一節(jié)隨機(jī)向量與聯(lián)合分布中的思考4，解54例3.3.9例1.4.2討論了兩人約好7點(diǎn)到

8點(diǎn)見面，先到者等20分鐘就離開，求兩人能夠見面的概率。

以

x

，y

分別表示兩人到達(dá)的時(shí)間，他們能見面的充要條件是

|

x–

y|

≤1/3，即圖中兩條直線間的部分A

11

o

x

yS

1/3

1/3

A

x

–

y=–1/3

x

–

y=1/3p=—————=1

–

—=—

。

A的面積

S的面積

4599例3.3.9例1.4.2討論了兩人約好7點(diǎn)到55解.

以

X、Y分別表示甲、乙的到達(dá)時(shí)間，它們都是服從區(qū)間(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量。

并且根據(jù)題意，X、Y相互獨(dú)立，聯(lián)合密度函數(shù)是

p(x,y)=1

，0

＜

x,y＜

1兩人能夠見面的概率，也就是：

p=P{|X–Y|≤1/3}根據(jù)面積來計(jì)算這個(gè)二重積分，就是幾何概率的做法，而且非常簡單。解.以X、Y分別表示甲、乙的到達(dá)時(shí)間，它們都是兩人能56□因此，他們兩人能夠見面的概率是：=2×{—+(y–—)}

=2×(—+—–—)=—。2

y29221459299

12/3□因此，他們兩人能夠見面的概率是：=2×{—+(y57三.兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果(X,Y)的聯(lián)合分布是已知，對于給定的

一個(gè)二元函數(shù)g(·,·)，如何去計(jì)算新的隨機(jī)變量Z=g(X,Y)的分布？例如，丈夫買了3張彩票而妻子獨(dú)立買了5張，則一共買的8張彩票里中獎(jiǎng)張數(shù)的分布？思考3

一般假定誤差隨機(jī)變量服從N(0,2)，討論若干次測量的誤差總和。三.兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果(X,Y)的聯(lián)合58①當(dāng)(X,Y)是離散隨機(jī)向量時(shí)，首先確定Z=g(X,Y)所有可能的取值g(xi

,yj)，相應(yīng)的概率是pij

；其次，把所有取相同值的

g(xi

,yj)對應(yīng)的概率相加。例3.3.10X、Y

獨(dú)立同分布于參數(shù)p

的兩點(diǎn)分布，

(1)Z1=X+Y

服從二項(xiàng)分布B(2,p)；

(2)Z2=X×Y

服從參數(shù)p2

的兩點(diǎn)分布；

(3)Z3=X–Y

的分布律是：

Z3–101

pk

pq

p2+q2

pq□①當(dāng)(X,Y)是離散隨機(jī)向量時(shí)，例3.3.159②當(dāng)(X,Y)是連續(xù)隨機(jī)向量時(shí)根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)計(jì)算一個(gè)二重積分，得到

Z

=g(X,Y)的分布函數(shù)FZ

(z)；把FZ

(z)對z求導(dǎo)則能夠得出Z=g(X,Y)

的密度函數(shù)pZ

(z)。FZ

(z)=P{g(X,Y)≤z}計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)分布的關(guān)鍵問題：這個(gè)二重積分能夠被計(jì)算出來，或者是能夠被轉(zhuǎn)化為二次積分的形式。②當(dāng)(X,Y)是連續(xù)隨機(jī)向量時(shí)FZ(z)=601.兩個(gè)離散隨機(jī)變量和的分布律例3.3.11計(jì)算擲出的兩個(gè)均勻骰子點(diǎn)數(shù)和的分布律。解.分析，以X、Y

分別表示這兩個(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，則

X、Y

相互獨(dú)立，具有相同的分布：

P(X=i)=P(Y=i)=1/6,

當(dāng)1≤i

≤6；需要計(jì)算隨機(jī)變量Z=X+Y

的分布律。

Z

所有可能的取值是2，3，···，11，12。并且，1.兩個(gè)離散隨機(jī)變量和的分布律例3.3.11計(jì)61X\Y1234561234567

23456783456789456789105678910116789101112由于X、Y

的聯(lián)合分布律是

P{X=i

,Y=j}=1/36，1≤i

,j

≤6因此X+Y

，即這兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和的分布律為Z23456789101112pk

—

—

—

—

—

——

—

—

——

123456543213636363636363636363636□X\Y12622.

連續(xù)隨機(jī)變量和的密度公式

假定已知

X、Y

具有聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)

，則

Z=X+Y的概率密度函數(shù)是如下積分：特別的，當(dāng)

X、Y

獨(dú)立時(shí)，有公式：2.連續(xù)隨機(jī)變量和的密度公式假定已知X、Y63例3.3.12X、Y

獨(dú)立同分布于均勻分布U(0,1)

，是否Z=X+Y仍然服從均勻分布？解.根據(jù)獨(dú)立性，X、Y的聯(lián)合密度函數(shù)是

pX(x)pY(y)=1，0＜x,y

＜

1

對于任意實(shí)數(shù)z，Z=X+Y密度的表達(dá)式是：要使得被積函數(shù)不等于0，因此必須有

0＜x

＜

1與0＜z–x＜

1同時(shí)成立，即，0＜x

＜

1與z–1＜x＜

z

同時(shí)成立例3.3.12X、Y獨(dú)立同分布于均勻分布U(64①當(dāng)z

≤0或

z

≥2時(shí)，顯然有pZ(z)=0；②當(dāng)0＜z

＜

1時(shí)，積分的區(qū)間是0＜x＜

z

，因此，pZ(z)=z

；③當(dāng)1＜z

＜

2時(shí)，積分的區(qū)間是z–1＜x＜

1

，因此，pZ(z)=2–

z

；

z

，0

＜

z＜

1，

pZ

(z)=2–

z

，1≤

z＜

2

，

0

，其它

o

zpZ

(z)11□均勻分布的和不再服從均勻分布①當(dāng)z≤0或z≥2時(shí)，顯然有pZ(65例3.3.13已知X、Y

獨(dú)立同分布于N(0,1)

，則

Z=X+Y的密度函數(shù)是即，Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2)

。一般地，如果X、Y

相互獨(dú)立，并且有

X~N(1

,2)，Y~N(2

,2)，則

Z=X+Y服從正態(tài)分布N(1+2

,22)□例3.3.13已知X、Y獨(dú)立同分布于N(0,166分布的“可加性”(1).正態(tài)分布對兩個(gè)參數(shù)都具有可加性更一般的，有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布。如果X、Y

相互獨(dú)立，并且

X~N(1

,12)，Y~N(2

,22)，

則X+Y服從正態(tài)分布N(1+2

,12+22)。分布的“可加性”(1).正態(tài)分布對兩個(gè)參數(shù)都具有可加性67(2).二項(xiàng)分布對于參數(shù)n

具有可加性二項(xiàng)分布可以表示成兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的和①如果X1、X2、…、Xn相互獨(dú)立同分布于B(1,p)，則有X=X1+X2+…+Xn~B(n

,p)。②如果X~B(n

,p)，則可以分解

X=X1+X2+…+Xn

。如果X、Y

相互獨(dú)立，并且

X~B(n,p

)，Y~B(m,p

)，

則X+Y服從二項(xiàng)分布B(m+n

,p

)。(2).二項(xiàng)分布對于參數(shù)n具有可加性二項(xiàng)分布可以表示68(3).泊松分布對于參數(shù)具有可加性如果X、Y

相互獨(dú)立，并且

X~

(1)，Y~

(2)，

則X+Y服從泊松分布

(1+2

)。說明：在第四章中，分布的“可加性”可以用來簡化對于隨機(jī)變量數(shù)字特征，如期望與方差的計(jì)算。(3).泊松分布對于參數(shù)具有可加性如果X、Y69例3.3.14可以認(rèn)為服務(wù)器遭受非法入侵的次數(shù)服從泊松分布。假定根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料平均每分鐘受到1次攻擊，問開放服務(wù)器5分鐘而至少受到一次入侵的概率？解.以X1，…，X5

分別記第1，…，第5分鐘非法入侵的次數(shù)，所以X1，…，X5

獨(dú)立同分布于

(1)。根據(jù)泊松分布的可加性，5分鐘里總的被攻擊次數(shù)X

服從

(5)，因此至少受到一次攻擊的概率

p=1–P{X=0}=1–e

–5

≈1–0.0067=0.9933。□例3.3.14可以認(rèn)為服務(wù)器遭受非法入侵的次數(shù)服從泊松703.教材106頁第17題；4.教材107頁第22題；習(xí)題3.35.教材108頁第28題。1.根據(jù)獨(dú)立性的定義證明例3.3.6的結(jié)果；

2.教材106頁第14題。3.教材106頁第17題；4.71第三章隨機(jī)向量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布第二節(jié)邊緣分布與條件分布第三節(jié)兩個(gè)變量的獨(dú)立與函數(shù)分布第三章隨機(jī)向量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分72第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布一.隨機(jī)向量的定義

隨機(jī)向量主要用來描述用一維隨機(jī)變量不能完全刻劃的隨機(jī)現(xiàn)象。例如，隨機(jī)地抽出一張撲克牌：它具有花色與點(diǎn)數(shù)這兩個(gè)離散隨機(jī)屬性；導(dǎo)彈的落點(diǎn)與目標(biāo)之間的誤差：由兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量組成的二維隨機(jī)向量；以及更一般的多維隨機(jī)向量。第一節(jié)二維隨機(jī)向量及聯(lián)合分布一.隨機(jī)向量的定義731.二維隨機(jī)向量

如果

X

、Y都是定義在同一個(gè)樣本空間中的隨機(jī)變量，則它們構(gòu)成的向量(X,Y)就稱為一個(gè)二維隨機(jī)向量。2.n維隨機(jī)向量定義在同一樣本空間中的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

構(gòu)成的向量(X1,X2,…,Xn)稱為一個(gè)

n維隨機(jī)向量。隨機(jī)向量(X,Y)的概率性質(zhì)除了與每一個(gè)分量有關(guān)外，還依賴于這兩個(gè)分量之間的相互關(guān)系。1.二維隨機(jī)向量2.n維隨機(jī)向量74二.

聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量，對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)

x、y

，二元函數(shù)

F(x,y)=P{

X

≤

x,

Y

≤

y

}稱為隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或者也稱

隨機(jī)變量

X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)的定義聯(lián)合分布函數(shù)是對隨機(jī)向量性質(zhì)的完整刻劃，本質(zhì)上是兩個(gè)隨機(jī)事件交事件的概率。二.聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y75++––

ox1

x2xyy2y12.利用聯(lián)合分布函數(shù)計(jì)算概率P{x1

＜X≤x2,

y1＜Y≤y2}=F(x2,

y2)+F(x1,y1)–

F(x1,y2)–

F(x2,y1)思考1{

X

≤

x,Y

≤

y

}的對立事件是否{

X

＞

x,Y

＞

y

}？思考2

從F(x

,

y

)能不能計(jì)算出P{x1

＜X≤x2}？++––ox1x276例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)是：□x

y

,

當(dāng)0＜

x,y

＜1x，當(dāng)0＜

x

＜1，y≥1y，當(dāng)0＜

y

＜1，x≥11，當(dāng)

x≥1，y≥10，其它F(x,y)=問X、Y

至少有一個(gè)不