2022屆高考數(shù)學一輪復習第5講基本初等函數(shù)考點講義【含答案】

基本初等函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)式的化簡與求值1、化簡原則：①化根式為分數(shù)指數(shù)冪；②化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪；③化小數(shù)為分數(shù)；④注意運算的先后順序。提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來運算。2、結(jié)果要求：①題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；②題目以分數(shù)指數(shù)冪形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪形式表示；③結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負分數(shù)指數(shù)冪。例1-1．已知，則化簡的結(jié)果是()。A、B、C、D、D，故選D。變式1-1．化簡的結(jié)果是()。A、B、C、D、B∵，則，故選B。變式1-2．已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)。(1)∵，∴，又由得，∴；(2)；(3)。(二)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、定義：一般地，函數(shù)(且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量。2、圖象和性質(zhì)：圖象共性必過第一、二象限及軸正半軸必過點，漸近線為軸圖形都是下凹的，都是無界函數(shù)定義域為，值域為異性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)(1)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，特別是函數(shù)圖像的無限伸展性，軸是函數(shù)圖像的漸近線。①當時，，；的值越小，圖像越靠近軸，遞減的速度越快。②當時，，；的值越大，圖像越靠近軸，遞增的速度越快。(2)畫指數(shù)函數(shù)(且)的圖像，應抓住三個關鍵點：、、。注意：與指數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的圖象問題的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象。一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往結(jié)合相應的指數(shù)型函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合求解。(3)熟記指數(shù)函數(shù)、、、在同一坐標系中圖像的相對位置，由此掌握指數(shù)函數(shù)圖像的位置與底數(shù)大小的關系。(4)在有關根式、分數(shù)指數(shù)冪的變形、求值過程中，要注意運用方程的觀點處理問題，通過解方程(組)來求值，或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來求解。(5)比較指數(shù)冪值的大小時，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相等。是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性。要注意指數(shù)函數(shù)圖象和冪函數(shù)的圖象的應用，指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)“底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)”。還應注意中間量、等的運用。注意：(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，值域為大于的實數(shù)集合，這里的前提是大于，對于不大于的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。(2)可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當從趨向于無窮大的過程中(當然不能等于)，函數(shù)的曲線從分別接近于軸與軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于軸的正半軸與軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線是從遞減到遞增的一個過渡位置。例1-2．函數(shù)(且)的圖象可能是()。A、B、C、D、C必過定點，由可知選C。例1-3．函數(shù)(且)必過點。，則必過點。變式1-3．函數(shù)(且)必過點。，則必過點。變式1-4．函數(shù)(且)必過點。，則必過點。例1-4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()。A、B、C、D、D令，得函數(shù)的定義域為，∴在上遞增，在上遞減，又為減，根據(jù)同增異減的單調(diào)增區(qū)間為，故選D。例1-5．求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)；(2)；(3)；(4)(且)。(1)∵，則，∴原函數(shù)的定義域是，令，則，，∴(，)得且，∴原函數(shù)的值域是；(2)∵，則，∴原函數(shù)的定義域是；令()，則，∴在是增函數(shù)，∴，∴原函數(shù)的值域是；(3)原函數(shù)定義域是，令，則，在是為為增，∴，∴原函數(shù)值域是；(4)原函數(shù)定義域是，由(且)得，∵，∴，解得，∴原函數(shù)值域是。(三)指數(shù)函數(shù)的綜合應用例1-6．設，，，則、、的大小關系為()。A、B、C、D、B，，，∵在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴＞＞，故選B。例1-7．已知，，那么、的大小關系是()。A、B、C、D、無法確定B∵，，∴，∴，故選B。例1-8．設函數(shù)(且)，，則()。A、B、C、D、A∵，∴，，∴，故選A。例1-9．當時，證明函數(shù)是奇函數(shù)。由得，，故函數(shù)定義域關于原點對稱，又，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)。二、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)及其運算1、一般地，對于指數(shù)式，我們把“以為底的對數(shù)”記作(且)。其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。對數(shù)函數(shù)的一般形式為(且)，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。注意：(且)的關系是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中要注意靈活運用。下圖給出對于不同大小所表示的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖形：圖像指數(shù)函數(shù)：與對數(shù)函數(shù)：與可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形關于直線的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。2、對數(shù)的運算規(guī)律：(且，，)(1)，，，；(2)，；(3)，，；(4)；推廣。注意：在運用時，在無的條件下應為(且為偶數(shù))。3、幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為(且)常用對數(shù)底數(shù)為自然對數(shù)底數(shù)為4、對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此，經(jīng)常會用到換底公式及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時，必須保證恒等變形。利用對數(shù)運算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉(zhuǎn)化。例2-1．求值：(1)；(2)；(3)。(1)原式；(2)原式；(3)法一：原式；法二：原式。例2-2．求值：(1)若，求的值；(2)若，求的值。(1)由已知，，則；(2)由已知，則。變式2-1．關于的方程的解為。原式化簡為，即，解得(負值舍去)，∴。變式2-2．已知函數(shù)，若，則。由得，，則。(二)對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)的圖像圖像共性必過第一、四象限及軸正半軸必過點，漸近線為軸都是無界函數(shù)定義域為，值域為異性在上是增函數(shù)，圖形都是上凸的在上是減函數(shù)，圖形都是下凹的2、對數(shù)函數(shù)比較大小對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：①單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關系，若不同底，先化為同底。②中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“”、“”或其他特殊值進行“比較傳遞”。③圖像法，根據(jù)圖像觀察得出大小關系。④作差或作商法。3、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)對數(shù)函數(shù)(且)，(且)若指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化成對數(shù)函數(shù)，但這么寫不符合函數(shù)形式，就把命名為指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關于直線軸對稱，即互為反函數(shù)的圖像關于直線軸對稱例2-3．設，，，則()。A、B、C、D、C法一：，，，，，，而，∴，綜上，故選C。法二：，，，∴，，∴，故選C。變式2-3．設，，，則()。A、B、C、D、D，，，，，∴，故選D。4、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應用研究對數(shù)型函數(shù)的圖像時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到對數(shù)型函數(shù)的圖像。例2-4．作出下列函數(shù)的圖像：①，，；②；③。例2-5．已知函數(shù)(且)，若當時，，則在定義域上是()。A、減函數(shù)B、增函數(shù)C、常數(shù)函數(shù)D、不單調(diào)的函數(shù)B∵，即時，∴，∴在上是增函數(shù)，故選B。例2-6．求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)。(1)由得，∴定義域為，值域是，又，∴單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由得，∴定義域為，值域是，又，∴單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)且，∴定義域為，值域是，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可知無單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是；(4)，∴定義域為，值域是，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)可知無單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間是。變式2-4．求函數(shù)的定義域。由得，由且得且，∴定義域為。變式2-5．已知，(且)，若，則與在同一坐標系內(nèi)的圖像可能是()。A、B、C、D、C，，∴，故選C。變式2-6．已知(且)，求的定義域并判斷的單調(diào)性。由得，當時，當時，∴當時的定義域為，當時的定義域為，當時在上任取、，設，則，∴，∴，∴，∴當時在上為單調(diào)遞增函數(shù)。同理，當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)。三、冪函數(shù)(一)冪函數(shù)的定義：一般地，形如()的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)。1、判斷冪函數(shù)需：①系數(shù)為，②底數(shù)為變量，③指數(shù)為一常數(shù)，④后面不加任何項。例如：，，均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：是冪函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)。2、由于冪函數(shù)的解析式中只含有一個參數(shù)，因此只需一個獨立的條件即可確定其解析式，當已知冪函數(shù)經(jīng)過某一點時，可采用待定系數(shù)法求出解析式。例3-1．已知點在冪函數(shù)的圖像上，求的解析式。設，則，解得，∴。變式3-1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，求的解析式。，，可求或，，∴或。例3-2．已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則()。A、B、C、或D、A，解得或，當時在上是減函數(shù)，當時在上是增函數(shù)，∴，故選A。變式3-2．已知函數(shù)，當為何值時，：①是冪函數(shù)；②是冪函數(shù)，且在上的減函數(shù)；③是正比例函數(shù)；④是反比例函數(shù)；⑤是二次函數(shù)。①冪函數(shù)：則，解得或，∴或；②冪函數(shù)：或；又在上為減函數(shù)，則，∴；③正比例函數(shù)：，解得，∴；④反比例函數(shù)：，解得，∴；⑤二次函數(shù)：，解得，∴。(二)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、圖像分類：①直線型：或；②拋物線型：或；③雙曲線型：。2、冪函數(shù)的圖像特征：、都是奇數(shù)是奇數(shù)、是偶數(shù)是偶數(shù)、是奇數(shù)共性①必經(jīng)過點，必經(jīng)過第一象限，必不經(jīng)過第四象限。②除原點外，任何冪函數(shù)圖像與坐標軸都不相交。③任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點。異性的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：①必經(jīng)過點；②都是遞減函數(shù)；③圖像向上與軸正向無限接近，向右與軸正向無限接近。和的冪函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)：①必經(jīng)過兩個點和；②都是遞增函數(shù)；③冪函數(shù)與直線有如下關系：在的下方在的上方在的上方在的下方3、冪函數(shù)規(guī)律總結(jié)(1)在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負整指數(shù)冪化為分式形式再去進行討論；(2)對于冪函數(shù)，我們首先應該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖像的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即，和三種情況下曲線的基本形狀，還要注意，三個曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負雙，大豎小橫”，即()時圖像是拋物線型；時圖像是雙曲線型；時圖像是豎直拋物線型；時圖像是橫臥拋物線型。(3)曲線在第一象限的凹凸性：時，曲線下凸；時，曲線上凸；時，曲線下凸。例3-3．已知冪函數(shù)()的圖像與軸、軸都無交點，且關于原點對稱，則()。A、或B、或C、或D、C∵原函數(shù)圖像與軸、軸都無交點，∴，即，又函數(shù)圖像關于原點對稱，∴是奇數(shù)，∴或，故選C。變式3-3．已知函數(shù)，當為何值時，在第一象限內(nèi)的圖像是上升曲線。且，解得：。例3-4．請把相應的冪函數(shù)圖像代號填入表格。①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨。利用上述規(guī)律，可很快地得出答案：、、、、、、、、。例3-5．分別畫出：①，②，③，④的大致圖像。①；②；③；④。變式3-4．分別畫出：①；②，③，④的大致圖像。①分段函數(shù)；②先作的圖像，再向右平移個單位，在向上平移個單位；③先作的圖像，再將其圖像向下平移個單位，保留軸上方的部分，將軸下方的圖像翻折到軸上方；④先作出的圖像，保留部分，再關于軸對稱得到圖像，然后右移一個單位。變式3-5．作函數(shù)的大致圖像，求的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間，并求當時，函數(shù)的值域。，先作圖像，再向右平移個單位，在向上平移個單位，∴的定義域為，值域為，單調(diào)遞減區(qū)間為和，∴當時，函數(shù)的值域。三、冪函數(shù)的大小比較1、在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)。借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵。2、比較兩個冪值的大?。?1)若指數(shù)相同(或能化為同指數(shù))，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性；(2)若底數(shù)相同(或能化為同底數(shù))，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)