如何求異面直線的距離

PAGEPAGE6如何求異面直線的距離求異面直線距離方法：

（1）（直接法）當公垂線段直接能作出時，直接求。此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關鍵。（2）（轉化法）把線線距離轉化為線面距離，如求異面直線a,b距離，先作出過a且平行于b的平面α,則b與α距離就是a,b距離。（線面轉化法）

也可以轉化為過a平行b的平面和過b且平行于a的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離。（3）（體積橋法）利用線面距再轉化為錐體的高用體積公式來求。（4）（構造函數法）常常利用距離最短原理構造二次函數，利用求二次函數最值來解。

兩條異面直線間距離問題，教學大綱中要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其它解法，要適度接觸，以開闊思路。典型題目分析

正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a，求異面直線AC與BC1解法1：（直接法）取BC的中點P，連結PD，PB1分別交AC，BC1于M，N點，易證：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1，∴MN為異面直線AC與BC1的公垂線段，易證：MN=B1D=a。（如圖1所示）小結：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解。解法2：（轉化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC與BC1的距離等于AC與平面A1C在RtΔOBO1中，作斜邊上的高OE，則OE長為所求距離，如圖2，∵OB=a,OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。

小結：這種解法是將線線距離轉化為線面距離。解法3：（轉化法）∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC與BC1的距離等于平面ACD1與平面A1C∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距離為B1D=a。

小結：這種解法是將線線距離轉化為面面距離。解法4：（構造函數法）任取點Q∈BC1，作QR⊥BC于R點，作RK⊥AC于K點，如圖4所示，設RC=x，則OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,故QK的最小值，即AC與BC1的距離等于a。小結：這種解法是恰當的選擇未知量，構造一個目標函數，通過求這個函數的最小值來得到二異面直線之間的距離。解法5：（體積橋法）當求AC與BC1的距離轉化為求AC與平面A1C1B的距離后，設C點到平面A1C1B的距離為h，則∵h·(a)2=·a·a2,

∴h=a，即AC與BC1的距離為a。小結：本解法是將線線距離轉化為線面距離，再將線面距離轉化為錐體的高，然后體積公式求之。立體幾何中幾類問題在平面幾何中，我們研究了平面圖形及其性質，對于空間圖形的問題，基本上無所接觸。立體幾何是研究空間圖形及其性質的學科。由于空間圖形的抽象性，一個圖形可以是許多實際物體的抽象形式，因而立體幾何在生產實際、科學試驗中有廣泛的應用。立體幾何是在學習平面圖形知識的基礎上來研究空間圖形。從平面到空間是觀念上的一個飛躍，同學要從平面跳入空間，困難很多，怎樣完成這個飛躍呢？要注意兩點：

（1）充分發(fā)揮教具或用具的作用，逐步培養(yǎng)和訓練同學們的空間想象能力，建立立體感。

（2）善于運用“轉化”的思維方法——空間圖形轉化為平面圖形，平面圖形轉化為空間圖形，不規(guī)則的空間圖形轉化為規(guī)則的空間圖形，并注意掌握具體的轉化方法。一、平面問題

1．正確理解公理及推論中的意義

公理及推論中的“有且只有一個”應理解為：“有”說明圖形是存在的，“只有一個”說明圖形是“唯一的”，“有且只有”和“確定”是同義詞。2．用平面圖形表示平面

平面常用平行四邊形表示，也可用三角形、梯形及圓等平面圖形表示。3．平面和截面

截面和平面是相關的概念。幾何體被平面所截，平面與幾何體的接觸部分便是截面。防止把不共面的直線當作共面直線來處理，導致推理判斷錯誤。二、異面直線問題

對異面直線問題要理解以下4點：1、“不同在任何一個平面內的兩條直線”，是指不可能同時在任何一個平面內，因此它們是既不平行也不相交的；

(a)(b)

2．分別在兩個平面α、β內的兩條直線a、b，不一定是異面直線：如圖在(a)中的兩直線a、b雖分別在平面α、β內，但它們相交于兩相交平面α、β的交線AB上一點P；又如圖(b)中的兩直線a、b也雖分別在兩平面α、β內，但它們均平行于兩相交平面α、β的交線AB，像這樣的兩條直線a、b是共面的。3．畫異面直線時以輔助平面為襯托，可使兩直線不能共面的特點顯示得更清楚，如圖，否則就會分不清是不是異面直線。4．異面直線所成的角，是將它轉化為兩條相交直線所成的銳角（或直角）來確定的。其辦法是把兩條異面直線中的一條平移到另一條所在的平面中來，在同一平面中求相交直線所成的角。這種平移法是求異面直線所成角的常規(guī)法。將空間兩條異面直線所成的角，轉化成平面上相交直線的夾角，這是課本上第一次實現了空間問題到平面問題的轉化，第一次展示了將空間問題轉化為平面問題的一個重要手段——平移。三、角和距離的問題

1．求角

（1）異面直線所成的角。

①求異面直線所成角的一般方法和步驟；

a.作圖：依定義和圖形性質作出要計算的角θ；b.證明：通過平行或垂直關系證明θ是所求的角；c.計算：解含θ的三角形。②異面直線上的兩點間距離的公式。

EF=（其中α是異面直線所成的角，EF的長是異面直線上兩點間的距離，公垂線段AA'的長為d，A'E=m，AF=n）。③運用三垂線定理及其逆定理或者直線與平面垂直的定義，對于兩條異面直線成90°角的情況可通過證明兩線垂直，從而求得所成角為90°。（3）二面角：

解題依據：二面角的定義

①找出或作出二面角的平面角。作平面角一般根據圖形特點，有以下幾種：

a.經過二面角棱上的特殊點，分別在兩個面內作垂直于棱的射線得出平面角。

b.已知二面角內一點到二面角的面或棱的距離時，則經過表示距離的兩條垂線段作平面與二面角的兩面相交，證明交線所成的角是二面角的平面角。

c.已知二面角一個面內一點到棱或到另一面的距離時，應用三垂線定理或其逆定理產生平面角。

d.由特殊圖形性質產生平面角（例如，利用等腰三角形底邊上的中線也是底邊上高的性質等）。②公式法：設二面角為θ。

a.已知二面角一個面內的圖形面積為S，這個圖形在另一個面內射影的面積為S'，則應用cosθ=，求出θ。

b.如圖在二面角α-AB-β內，E∈α，F∈β，EA⊥AB，FB⊥AB，AB=d，EA=m，FB=n，EF=l，應用公式:l=即cosθ=(此處θ∈（0，π）)，90°的二面角，還可應用判定兩平面互相垂直的方法。[綜合評述]怎樣作異面直線所成的角呢？可通過以下三種方法平移產生：

①直接平移法（利用圖中已有的平行線）；

②中位線平移法（利用三角形中位線性質，作出中位線就相當于把底邊平移到中位線）；③補形平移法（在已知圖形外，補作一個同樣大小的幾何體，以便找出平行線）2．求距離

解題依據：各種距離的定義

點、直線、平面間的距離

首先找到或作出表示距離的圖形。這種圖形產生的方法：

（1）點到直線的距離：利用平面圖形的性質；直線與平面垂直的性質；此外，利用三垂線定理及其逆定理是不可忽視的重要方法。

（2）點到平面的距離：利用特殊圖形的性質確定垂足的位置；或利用平面互相垂直的性質，即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面的交線所作的垂線段長就是點到平面的距離。

（3）兩條異面直線間的距離：利用圖形性質找出兩條異面直線的公垂線，求出公垂線段的長度。例如：當兩條異面直線垂直時，過一條直線作出或找出另一條直線的垂面，在垂面內作出兩異面直線的公垂線。

（4）平行的直線和平面、兩平行平面間的距離：一般都轉化為點到平面的距離。

有些情況，可以不作出表示距離的圖形。如：

①點到平面的距離：利用等積求高計算。

②兩條異面直線間的距離：

a.利用異面直線上兩點間的距離公式；

b.轉化為求平行的直線和平面或兩平行平面間的距離，即又轉化為求點到平面的距離，從而應用等積求高計算；

c.運用二次函數求最值等。四、空間問題轉化為平面問題的方法

1、輔助平面法

恰當地作輔助平面，是將空間問題轉化為平面問題的一個重要手段，求證平行于兩條異面直線a和b的平面α，必與異面直線的公垂線AB垂直，只要過AB和a以及AB和b分別作平面，與已知平面α的交線a'、b'，由已知a//α得

a//a'，由b//α得b//b'，又AB⊥a，AB⊥b，所以AB⊥a'，AB⊥b'。又a'∩b'≠，則AB⊥α。作兩個輔助平面，將AB與異面直線垂直（空間）轉化為AB與同一平面內兩條相交直線垂直，問題就迎刃而解了。2．射影法

平面的一條斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內的射影所成的角。判定斜線與平面內某一直線垂直的問題，實際上就是判定斜線在平面內的射影與平面內一直線垂直的問題，因此通過射影可把空間問題轉化為平面問題。三垂線定理及有關射影的概念和定理，為射影法提供了理論根據。已知四面體兩組對棱互相垂直，求證第三組對棱互相垂直。通過一個頂點作其對面的垂線，得到三條側棱在底面的射影，進而用三垂線定理及逆定理，將空間直線垂直的條件轉化為平面內的直線互相垂直的關系，由此得知前面所作垂線的垂足就是（該面）三角形的垂心，再將平面內的垂直關系轉向空間，證明第三組對棱垂直。3．平移法

由于直線的平移不改變它與另一直線或平面所成角的大??；平面的平移不改變它與另一平面或直線所成角的大小，因此，通過平移可將空間圖形問題轉化為平面問題。4．證題方法的轉化

立體幾何中，證明線與線、線與面、面與面之間的平行與垂直關系是學習本章的兩條主線：

線線平行線面平行面面平行

線線垂直線面垂直面面垂直就是說，要證明面平行（垂直），先證線面平行（垂直）；要證線面平行