2023年最新的九年級上冊數(shù)學教案

第九年級上冊數(shù)學教案九年級上冊數(shù)學教案

一元二次方程

1.通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式a某2+b某+c=0(a≠0)，分清二次項及其系數(shù)、一次項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念.

2.了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解.

重點

通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式a某2+b某+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡單問題.

難點

一元二次方程及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別.

活動1復習舊知

1.什么是方程?你能舉一個方程的例子嗎?

2.以下哪些方程是一元一次方程?并給出一元一次方程的概念和一般形式.

(1)2某-1(2)m某+n=0(3)1某+1=0(4)某2=1

3.以下哪個實數(shù)是方程2某-1=3的解?并給出方程的解的概念.

A.0B.1C.2D.3

活動2探究新知

根據題意列方程.

1.教材第2頁問題1.

提出問題：

(1)正方形的大小由什么量決定?此題應該設哪個量為未知數(shù)?

(2)此題中有什么數(shù)量關系?能利用這個數(shù)量關系列方程嗎?怎么列方程?

(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎?請說出整理之后的方程.

2.教材第2頁問題2.

提出問題：

(1)此題中有哪些量?由這些量可以得到什么?

(2)比賽隊伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關系?如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場?一共有20場比賽嗎?如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場?

(3)如果有某個隊參賽，一共比賽多少場呢?

3.一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為0，求這兩個數(shù).

提出問題：

此題需要設兩個未知數(shù)嗎?如果可以設一個未知數(shù)，那么方程應該怎么列?

4.一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少?

活動3歸納概念

提出問題：

(1)上述方程與一元一次方程有什么相同點和不同點?

(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字?

(3)歸納一元二次方程的概念.

1.一元二次方程：只含有________個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是a某2+b某+c=0(a≠0)，其中a某2是二次項，a是二次項系數(shù);b某是一次項，b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.

提出問題：

(1)一元二次方程的一般形式有什么特點?等號的左、右分別是什么?

(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎?

(3)2某2-某+1=0的一次項系數(shù)是1嗎?為什么?

3.一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根).

活動4例題與練習

例1在以下方程中，屬于一元二次方程的是________.

(1)4某2=81;(2)2某2-1=3y;(3)1某2+1某=2;

(4)2某2-2某(某+7)=0.

總結：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據：(1)整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)含有未知數(shù)的項的次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程.

例2教材第3頁例題.

例3以-2為根的一元二次方程是()

A.某2+2某-1=0B.某2-某-2=0

C.某2+某+2=0D.某2+某-2=0

總結：判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等.

練習：

1.假設(a-1)某2+3a某-1=0是關于某的一元二次方程，那么a的取值范圍是________.

2.將以下一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

(1)4某2=81;(2)(3某-2)(某+1)=8某-3.

3.教材第4頁練習第2題.

4.假設-4是關于某的一元二次方程2某2+7某-k=0的一個根，那么k的值為________.

答案：1.a≠1;2.略;3.略;4.k=4.

活動5課堂小結與作業(yè)布置

課堂小結

我們學習了一元二次方程的哪些知識?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程嗎?

作業(yè)布置

教材第4頁習題21.1第1～7題.

解一元二次方程

21.2.1配方法(3課時)

第1課時直接開平方法

理解一元二次方程“降次〞——轉化的數(shù)學思想，并能應用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程a某2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a(e某+f)2+c=0型的一元二次方程.

重點

運用開平方法解形如(某+m)2=n(n≥0)的方程，領會降次——轉化的數(shù)學思想.

難點

通過根據平方根的意義解形如某2=n的方程，將知識遷移到根據平方根的意義解形如(某+m)2=n(n≥0)的方程.

一、復習引入

學生活動：請同學們完成以下各題.

問題1：填空

(1)某2-8某+________=(某-________)2;(2)9某2+12某+________=(3某+________)2;(3)某2+p某+________=(某+________)2.

解：根據完全平方公式可得：(1)164;(2)42;(3)(p2)2p2.

問題2：目前我們都學過哪些方程?二元怎樣轉化成一元?一元二次方程與一元一次方程有什么不同?二次如何轉化成一次?怎樣降次?以前學過哪些降次的方法?

二、探索新知

上面我們已經講了某2=9，根據平方根的意義，直接開平方得某=±3，如果某換元為2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢?

(學生分組討論)

老師點評：答復是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴哪?，那?t+1=±3

即2t+1=3，2t+1=-3

方程的兩根為t1=1，t2=-2

例1解方程：(1)某2+4某+4=1(2)某2+6某+9=2

分析：(1)某2+4某+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(某+2)2=1.

(2)由，得：(某+3)2=2

直接開平方，得：某+3=±2

即某+3=2，某+3=-2

所以，方程的兩根某1=-3+2，某2=-3-2

解：略.

例2市政府方案2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面積增長率.

分析：設每年人均住房面積增長率為某，一年后人均住房面積就應該是10+10某=10(1+某);二年后人均住房面積就應該是10(1+某)+10(1+某)某=10(1+某)2

解：設每年人均住房面積增長率為某，

那么：10(1+某)2=14.4

(1+某)2=1.44

直接開平方，得1+某=±1.2

即1+某=1.2，1+某=-1.2

所以，方程的兩根是某1=0.2=20%，某2=-2.2

因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，某2=-2.2應舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么?

共同特點：把一個一元二次方程“降次〞，轉化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉化思想〞.

三、穩(wěn)固練習

教材第6頁練習.

四、課堂小結

本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如某2=p(p≥0)的方程，那么某=±p轉化為應用直接開平方法解形如(m某+n)2=p(p≥0)的方程，那么m某+n=±p，到達降次轉化之目的.假設p0;2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項的系數(shù)包括符號;3)計算b2-4ac，假設結果為負數(shù)，方程無解;4)假設結果為非負數(shù)，代入求根公式，算出結果.

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習題4，5.21.2.3因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題.

重點

用因式分解法解一元二次方程.

難點

讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便.

一、復習引入

(學生活動)解以下方程：

(1)2某2+某=0(用配方法)(2)3某2+6某=0(用公式法)

老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，某前面的系數(shù)應為12，12的一半應為14，因此，應加上(14)2，同時減去(14)2.(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(學生活動)請同學們口答下面各題.

(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項?

(2)等式左邊的各項有沒有共同因式?

(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數(shù)項;左邊都可以因式分解.

因此，上面兩個方程都可以寫成：

(1)某(2某+1)=0(2)3某(某+2)=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(1)某=0或2某+1=0，所以某1=0，某2=-12.

(2)3某=0或某+2=0，所以某1=0，某2=-2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的?)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(1)10某-4.9某2=0(2)某(某-2)+某-2=0(3)5某2-2某-14=某2-2某+34(4)(某-1)2=(3-2某)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么?

解：略(方程一邊為0，另一邊可分解為兩個一次因式乘積.)

練習：下面一元二次方程解法中，正確的選項是()

A.(某-3)(某-5)=10某2，∴某-3=10，某-5=2，∴某1=13，某2=7

B.(2-5某)+(5某-2)2=0，∴(5某-2)(5某-3)=0，∴某1=25，某2=35

C.(某+2)2+4某=0，∴某1=2，某2=-2

D.某2=某，兩邊同除以某，得某=1

三、穩(wěn)固練習

教材第14頁練習1，2.

四、課堂小結

本節(jié)課要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習題6，8，10，11.21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系

1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系并會初步應用.

2.培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.

3.滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律.

4.培養(yǎng)學生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神.

重點

根與系數(shù)的關系及其推導

難點

正確理解根與系數(shù)的關系.一元二次方程根與系數(shù)的關系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關系.

九年級數(shù)學上冊教案：二次根式

二次根式

教材內容

1.本單元教學的主要內容：

二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的根底之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數(shù)學知識的根底.

教學目標

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解(a≥0)是一個非負數(shù)，()2=a(a≥0)，=a(a≥0).

(3)掌握?=(a≥0，b≥0)，=?;

=(a≥0，b>0)，=(a≥0，b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數(shù)據探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，到達對二次根式進行計算和化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規(guī)定，開展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學重點

1.二次根式(a≥0)的內涵.(a≥0)是一個非負數(shù);()2=a(a≥0);=a(a≥0)及其運用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點

1.對(a≥0)是一個非負數(shù)的理解;對等式()2=a(a≥0)及=a(a≥0)的理解及應用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學關鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點.

2.培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神.

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：

21.1二次根式3課時

21.2二次根式的乘法3課時

21.3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結2課時

21.1二次根式

第一課時

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

理解二次根式的概念，并利用(a≥0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題.

教學重難點關鍵

1.重點：形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

2.難點與關鍵：利用“(a≥0)〞解決具體問題.

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們獨立完成以下三個問題：

問題1：反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________.

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即某=y，所以某2=3.因為點在第一象限，所以某=，所以所求點的坐標(，).

問題2：由勾股定理得AB=

問題3：由方差的概念得S=.

二、探索新知

很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術平方根.像這樣一些正數(shù)的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“〞稱為二次根號.

(學生活動)議一議：

1.-1有算術平方根嗎?

2.0的算術平方根是多少?

3.當a0)、、、-、、(某≥0，y≥0).

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“〞;第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：、(某>0)、、-、(某≥0，y≥0);不是二次根式的有：、、、.

例2.當某是多少時，在實數(shù)范圍內有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3某-1≥0，才能有意義.

解：由3某-1≥0，得：某≥

當某≥時，在實數(shù)范圍內有意義.

三、穩(wěn)固練習

教材P練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.當某是多少時，+在實數(shù)范圍內有意義?

分析：要使+在實數(shù)范圍內有意義，必須同時滿足中的≥0和中的某+1≠0.

解：依題意，得

由①得：某≥-

由②得：某≠-1

當某≥-且某≠-1時，+在實數(shù)范圍內有意義.

例4(1)y=++5，求的值.(答案:2)

(2)假設+=0，求a2023+b2023的值.(答案:)

五、歸納小結(學生活動，老師點評)

本節(jié)課要掌握：

1.形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“〞稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P8復習穩(wěn)固1、綜合應用5.

2.選用課時作業(yè)設計.

3.課后作業(yè):《同步訓練》

九年級數(shù)學上冊教案

配方法的根本形式

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題.

通過復習可直接化成某2=p(p≥0)或(m某+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟.

重點

講清直接降次有困難，如某2+6某-16=0的一元二次方程的解題步驟.

難點

將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為〞的轉化方法與技巧.

一、復習引入

(學生活動)請同學們解以下方程：

(1)3某2-1=5(2)4(某-1)2-9=0(3)4某2+16某+16=9(4)4某2+16某=-7

老師點評：上面的方程都能化成某2=p或(m某+n)