中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)(中考題型整理,突破提升)含答案

中考數(shù)學(xué)壓軸題之銳角三角函數(shù)（中考題型整理，突破提升）含答案一、銳角三角函數(shù).某地是國家AAAA級旅游景區(qū)，以奇山奇水奇石景，古ft古洞古部落 ”享譽(yù)巴渠，被譽(yù)為小九寨端坐在觀音崖旁的一塊奇石似一只 嘯天犬”，昂首向天，望穿古今.一個周末，某數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)想測出 嘯天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x.他們把蹲著的嘯天犬”抽象成四邊形ABCD,想法測出了尾部C看頭頂B的仰角為40°,從前腳落地點(diǎn)D看上嘴尖A的仰角剛好60°,CB=5m,CD=2.7m.景區(qū)管理員告訴同學(xué)們，上嘴尖到地面的距離是3m.于是，他們很快就算出了 AB的長.你也算算？（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin40 0.64,cos40 0.77,tan400.84.721,41,731.73）【答案】AB的長約為0.6m.【答案】AB的長約為0.6m.【解析】【分析】作BFCE于F,根據(jù)正弦的定義求出BF,利用余弦的定義求出CF,利用正切的定義求出DE,結(jié)合圖形計(jì)算即可.【詳解】解：作BFCE于F,在RtBFC中，BF=BCsinBCF3.20,CF=BCcosBCF3.85,在RtADEE在RtADEE中，DE3,3731.73,BH=BF-HF=0.20,AH=EF=CDDE-CF=0.58由勾股定理得，abJBH2AH20.6(m)，答：AB的長約為0.6m.

【點(diǎn)睛】考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵..如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里.在某時刻，哨所A與哨所B同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53。的方向上，位于哨所B南偏東37。的方向上.(1)求觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離；(2)若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝D處成功攔(2)當(dāng)緝私艇以每私艇沿北偏東D處成功攔(2)當(dāng)緝私艇以每產(chǎn)cos37=sin53°舄tan37°行2tan76°【答案】(1)觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里;小時6"海里的速度行駛時，恰好在D處成功攔截.【解析】【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 ZACB=90。，再解RtAABC,利用正弦函數(shù)定義得出AC即可;(2)過點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,易知，D、C、M在一條直線上.解RtAAMC,求出CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.設(shè)緝私艇的速度為x海里/小時，根據(jù)走私船行駛CD所用的時間等于緝私艇行駛AD所用的時間列出方程，解方程即可.【詳解】(1)在4ABC中， ACB180BBAC180375390.TOC\o"1-5"\h\zAC 3在RtVABC中，sinB一，所以ACABsin3725—15(海里).AB 5答：觀察哨所A與走私船所在的位置C的距離為15海里.(2)過點(diǎn)C作CMAB,垂足為M,由題意易知，D、C、M在一條直線上.，一八，八 4 4在RtVACM中，CMACsinCAM15—12,5八 八 3AMACcosCAM15—9.5AM在RtAADM中，tanDAMAM所以MDAMtan7636.所以ADAM2MD2 923629.17,CDMDMC24.設(shè)緝私艇的速度為v海里/小時，則有249<17解得v6斤.16v經(jīng)檢驗(yàn)，v6"是原方程的解.答：當(dāng)緝私艇以每小時6^17海里的速度行駛時，恰好在 D處成功攔截.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想..如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在 AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定： AD與水平面夾角為i,且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為 2,并已知tani1.082,【答案】解；過點(diǎn)且作?7_LCD于P，AE*BC交CD于F2在REA中,DF=AFtan^=1,4x1.082=1,514S（?3）,qTOC\o"1-5"\h\z在口土△瓦4F中?豆一卬=AFtan弓二1.4xO.412=0,576日（中） （2分）\o"CurrentDocument"「?□因二Z?F—后尸=1,514g-0376￡=0,93￡（喀） （1分）尺可證四邊■形上FCE為平行四邊形,故有-25c活 …（2分）\o"CurrentDocument"二C口二D五十C宜二§33+25=1188kli9a的 （2分）答?支架CD的高的為H90乩 （1分）一【解析】過A作AFCD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用之、色表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm］再再根據(jù)DC=DE+ECS行解答即可..如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（。，-6）,點(diǎn)B（6,0）.RtACDE中，/CDE=90,°CD=4,DE=4后，直角邊CD在y軸上，且點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.Rt^CDE沿y軸正方向平行移動，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)O時停止運(yùn)動.解答下列問題：（1）如圖（2）,當(dāng)RtACDE運(yùn)動到點(diǎn)D與點(diǎn)。重合時，設(shè)CE交AB于點(diǎn)M,求/BME的度數(shù).（2）如圖（3）,（2）如圖（3）,在RtACDE的運(yùn)動過程中，當(dāng)CE經(jīng)過點(diǎn)B時，求BC的長.（3）在RtACDE的運(yùn)動過程中，設(shè)AC=h,△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S,請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積 S的最大值.【答案】（1）ZBME=15；（2BC=4后；(3)hW2時,(3)hW2時,h2+4h+8,當(dāng)h>2時，S=18-3h.【解析】/BME=ZCMA,要求/BME的度數(shù)，需先試題分析：（1）如圖2,/BME=ZCMA,要求/BME的度數(shù)，需先（2）如圖3,由已知可知/OBC=/DEC=30,又OB=6,通過解直角^BOC就可求出BC的長度;(3)需要分類討論： ①hW2時，如圖4,作MN，y軸交y軸于點(diǎn)N,作MFLDE交DE于點(diǎn)F,S=S\edc—Saefm;②當(dāng)h>2時，如圖3,S=S\obc.試題解析：解：(1)如圖2,圖2???在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(0,-6),點(diǎn)B(6,0).?.OA=OB,ZOAB=45；???/CDE=90,°CD=4,DE=4百,/OCE=60；cCCMA=ZOCE-/OAB=60-45=15；???/BME=/CMA=15。；如圖3,邸/CDE=90,°CD=4,DE=4再,/OBC=ZDEC=30,°,.OB=6,BC=4月；(3)①hW2時，如圖4,作MN^y軸交y軸于點(diǎn)N,作MF,DE交DE于點(diǎn)F,圄4?.CD=4,DE=4ji,AC戈AN=NM,.?.CN=4-FM,AN=MN=4+h—FM,?.△CMN^ACED

.CX_而一灰’??TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 473解得FM=4-史二!出，7■.1.S=S\edc—Saefm=—X4X隹——(4、/^4—h)X(4—2^___J.萬)=-2^-hh2+4h+8二1 "" 2 4 '②如圖3,當(dāng)hR2時，\o"CurrentDocument"1 1S=S\OBC=-OCXOB=(6-h)X6=183h.考點(diǎn)：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5.在Rt^ACB和4AEF中，/ACB=/AEF=90°,若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC,PE.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB,AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明).問題探究：把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；(3)記殷=七當(dāng)k為何值時，4CPE總是等邊三角形？(請直接寫出后的值，不必說)BC【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3當(dāng)k為幺時，VCPE總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M,由EF±AE,BC±AC,得到EF//MP//CB,從而有EMFPMCPB，再根據(jù)點(diǎn)PEMFPMCPB，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC,據(jù)此得到PC=PE(2)過點(diǎn)F作FD±AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PM^AC于點(diǎn)M,連接PD,先證△DAF0^EAF,即可得出AD=AE;再證△DA彥△EAP,即可得出PD=PE最后根據(jù)FD±AC,BC±AC,PM^AC,可得FD//BC//PM,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PR再根據(jù)PD=PE即可得到結(jié)論.(3)因?yàn)?CPE總是等邊三角形，可得ZCEP=60,/CAB=60;由/ACB=90,求出/CBA=30最后根據(jù)空k,公C=tan30；求出當(dāng)△CPE總是等邊三角形時，k的值是BCBC多少即可.【詳解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：(2)PC=PEI^立，理由如下:如圖2,過點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M, EF±AE,BC±AC,..EF//MP//(2)PC=PEI^立，理由如下:?.EM=MC,又.?PM^CE,.1.PC=PE如圖3,過點(diǎn)F作FD,AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,/ZDAF=ZEAF,/FDA=ZFEA=90「在△DAF和△EAF中,???/DAF=ZEAF,/FDA=ZFEA,AF=AF,??.△DAF^AEAF(AAS,.?.AD=AE,在ADAP和AEAP中，.AD=AE,/DAP=/EAP,AP=AP,??.△DAP^AEAP(SA§,，PD=PE.FD±AC,BC±AC,PMXAC,?.FD//BC//PM,DMFPMCPB'??點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，.?.DM=MC,又???PMXAC,PC=PD,又,.PD=PE.?.PC=PE

圖3(3)如圖4, CPE總是等邊三角形,/CEP=60,°/CAB=60；???/ACB=90,°ACBC=tan30/CBA=90-/ACB=90-60=30ACBC=tan30ACBCk=tan30.??當(dāng)k為43時，^CPE總是等邊三角形.郅【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.6.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5分）已知：如圖，AB是半圓。的直徑，弦CD//AB,動點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQOP,AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與4點(diǎn)C、D不重合），AB20,cosAOC—.設(shè)OPx,CPF的面積為V.5

(1)求證：APOQ;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)OPE是直角三角形時，求線段OP的長.【答案】(1)證明見解析；(2)y”(1)求證：APOQ;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)OPE是直角三角形時，求線段OP的長.【答案】(1)證明見解析；(2)y”603（50x10）；（3）op813(1)證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過分析已知條件,OPDQ,聯(lián)結(jié)OD后還有OADO,再結(jié)合要證明的結(jié)論APOQ,則可肯定需證明三角形全等，尋找已知對應(yīng)邊的夾角，即 POAQDO即可；(2)根據(jù)PFCsPAO,將面積轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊之比的平方來求；(3）分成三種情況討論,4 充分利用已知條件 cosAOC—、以及(1)(2)中已證的結(jié)論，注5意要對不符合(【詳解】(1)聯(lián)結(jié)OD,2)中定義域的答案舍去..OCODOCD???CD//ABOCDPOACOA,

QDO.在AOP和ODQ中,OPDQ{POAOADO??.APOQ；??.APOQ；⑵作PHOA,交OA于PH3PH3一x,5「cosAOC4?.OH-OP5

1???SAOP-AOPH3x.???CD//AB,PFCspao(10-^)2,

x3x23x260xy 300l」r——，當(dāng)F與點(diǎn)D重合時,― “ 4?CD2OCcosOCD210-16,510的/曰50一,解得x一16 133x260x300/50???y (—x10)；x13(3)①當(dāng)OPE90o時，OPA900,TOC\o"1-5"\h\z…? —4cOPOAcosAOC10-8；5“OC 10 1025CQ ②當(dāng)POE90°時， cosQCOcosAOC42，5OPDQCDCQCD— 16—\o"CurrentDocument"2 25013OP5013OP10,OP7(舍去)；2③當(dāng)PEO90o時，「CD//AB,AOQ DQO,AOP ODQ,DQOAPO,AOQAPO,AEOAOP90o,此時弦CD不存在，故這種情況不符合題意，舍去;綜上，線段OP的長為8.7.(2013年四川攀枝花12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，AB//CD,點(diǎn)B(10,0),C(7,4).直線l經(jīng)過A,D兩點(diǎn)，且sin/DAB=?.動點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每

秒5個單位的速度沿B-C^D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，與折線A-D-C相交于點(diǎn)M,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動的時間為t秒(t>0),4MPQ的面積為S.(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的 t的取值范圍；(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；(4)隨著P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在線段DC上運(yùn)動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點(diǎn)N,試探究：當(dāng)t為何值時，4QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.【答案】解：(1)(-4,0);y=x+4.(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中：①當(dāng)0vtw時，如圖1,過點(diǎn)C作CF,x軸于點(diǎn)F,則CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.過點(diǎn)Q作QE,x軸于點(diǎn)E,則BE=BQ?cosZCBF=5t?3=3t.5PE=PB-BE=(14—2t)-3t=14-5t,1 1 2S=—PM?PE=—X2tg14—5t)=-5t2+14t.2 2②當(dāng)1vtw對，如圖2,過點(diǎn)CQ分別作x軸的垂線，垂足分別為 F,E,則CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t—5)=16-7t.

S=1PM?PE=1X2tg6—7t)=—7t2+16t.2 2③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時，DM+CQ=CD=7,即(2t—4)+(5t—5)=7,解得t=16.7當(dāng)2<t<當(dāng)2<t<一時，如圖3,MQ=CD—DM—CQ=7—MQ=CD—DM—CQ=7—(2t—4)—(5t—5)=16—7t,S=1PM?MQ=1X4><16—7t)=-14t+32.綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與綜上所述，點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式為5t2S{7t214t14t0<t116t1<t2322<t<162(3)①當(dāng)0vtw時,s5t214t 5t- -5 5.a=-5<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線t=5,當(dāng)0vtw時，S隨t的增大而增大.???當(dāng)t=1時，S有最大值，最大值為9.2②當(dāng)1vtw對，S7t216t 7t8空，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"7 7a=-7<0,拋物線開口向下，對稱軸為直線 t=—,7.?.當(dāng)t=殳時，S有最大值，最大值為—.7 7③當(dāng)2vtv/時，S=-14t+32.?*=-14V0,，S隨t的增大而減小.又..當(dāng)t=2時，S=4；當(dāng)t=16時，S=0,/.0<S<4,7綜上所述，當(dāng)t=8時，s有最大值，最大值為64.t=20或t=12時，AQMN為等腰三角形.9 5【解析】(1)利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn) D的坐標(biāo)，由sin/DAB=Y2,利用特殊三角函數(shù)值，得到2△AOD為等腰直角三角形，從而得到點(diǎn) A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式：,.C(7,4),AB//CD,D(0,4)..sin/DAB=-,■-/DAB=45. OA=OD=4...A(-4,0).4kb0 k1設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b,則有｛b4 ,解得：I，，y=x+4.，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),直線l的解析式為：y=x+4.(2)弄清動點(diǎn)的運(yùn)動過程分別求解： ①當(dāng)0vtwiM,如圖1；②當(dāng)1vtw附，如圖2；③當(dāng)2vtv5-時，如圖3-(3)根據(jù)(2)中求出的S表達(dá)式與取值范圍，逐一討論計(jì)算，最終確定 S的最大值.4QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論：①如圖4,點(diǎn)M在線段CD上,MQ=CD—DM—CQ=7—(2t—4)—(5t—5)=16—7t,MN=DM=2t-4,由MN=MQ,得16—7t=2t—4,解得t=20.9②如圖5,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到C點(diǎn)，同時當(dāng)Q剛好運(yùn)動至終點(diǎn)D,此時4QMN為等腰三角形，t=—..?.當(dāng)t=20或t=12時，4QMN為等腰三角形.9 5考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題，雙動點(diǎn)問題，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用..我市在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某社區(qū)在甲樓的 A處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部C點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角為45。，條幅底端E點(diǎn)的俯角為30。，若甲、乙兩樓之間的水平距離 BD為12米，求條幅AE的長度.（結(jié)果保留根號）【答案】AE的長為（124癡）【解析】【分析】在RtVACF中求AF的長，在RtVCEF中求EF的長，即可求解.【詳解】過點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F由題知：四邊形CDBF為矩形CFDB12在RtVACF中，ACF45

AFtanACFCFAFtanACFAF12在RtVCEF中，ECF30tanECFEFCFEF.312 3EF43AEAFEF124.3求得AE的長為124百【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，中等又t度，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.已知：如圖，AB為。。的直徑，AC與。。相切于點(diǎn)A,連接BC交圓于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作OO的切線交AC于E.(1)求證：AE=CE(2)如圖，在弧BD上任取一點(diǎn)F連接AF,弦GF與AB交于H,與BC交于M,求證：ZFAB^ZFBM=/EDC.(3)如圖，在(2)的條件下，當(dāng)GH=FH,HM=MF時，tan/ABC=3,DE=竺時，N4 4【答案】(1)詳見解析;2)詳見解析；(3)NL40、1313為圓上一點(diǎn)，連接FN交AB于L,滿足/NFH+ZCAF=【答案】(1)詳見解析;2)詳見解析；(3)NL40、1313(1)由直徑所對的圓周角是直角，得 /ADC=90°,由切線長定理得EA=ED,再由等角的余角相等，得到/C=/EDG進(jìn)而得證結(jié)論.(2)由同角的余角相等，得到/BAD=/C,再通過等量代換，角的加減進(jìn)而得證結(jié)論(3)先由條件得到AB=26,設(shè)HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=-a,再由相交弦定理3

得到GH?HF=BH?AH,從而求出FH,BH,AH,再由角的關(guān)系得到△HFO^HAF,從而求出HL,AL,BL,FL,再由相交弦定理得到LN?LF=AL?BL,進(jìn)而求出LN的長.解：(1)證明：如圖1中，連接解：(1)證明：如圖1中，連接AD.3圖1,?AB是直徑，/ADB=/ADC=90°,???EA、ED是。。的切線,EA=ED/EAD=/EDA,??ZC+ZEAD=90°,/EDO/EDA=90;?/O/EDC,.?.ED=EC,.?.AE=EC.(2)證明：如圖2中，連接AD.AEC圖2.AC是切線，AB是直徑，/BAC=/ADB=90；??/BAD+/CAD=90；ZCAD+ZC=90;/BAD=/C,??/EDC=/C,/BAD=/EDQ??/DBF=/DAF,??/FBM+ZFAB=/FBM+ZDAF=/BAD,??/FAB^ZFBM=/EDC(3)解：如圖3中，

E由(1)可知,39E由(1)可知,DE=AE=EG???DE：=——4???agW，3.tanZABC=一4392,ABACAB.?.AB=26,?.GH=FH,HM=FN,設(shè)HM=FM=a,GH=HF=2a,BH=4ACAB3?.GH?HF=BH?AH,.?-4a2=4a(26—4a)3 3?a=6,.?.FH=12,BH=8,AH=18,.GH=HF,???ABXGF,/AHG=90；??/NFH+ZCAF=ZAHG,??/NFH+ZCAF=90;??/NFH+ZHLF=90°,/HLF=/CAF,.AC//FG,/CAF=/AFH,/HLF=/AFH,??/FHL=/AHF,??.△HFL^AHAF,...fh2=hl?ha,,-.122=HL?18,HL2=4而,.?.HL=8,?.AL=10,BL=16,FL=HL2=4而,?.LN?LF=AL?BL,..4、13?LN=10?16,4013.?.LN= ' .【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，涉及到的知識有：切線的性質(zhì)；切線長定理；圓周角定理；相交弦定理；相似三角形性質(zhì)與判定等，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵 ^.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且CFAE,連接DE,DF,EEFH平分EFB交BD于點(diǎn)H.(1)求證：DEDF;(2)求證：DHDF:(3)過點(diǎn)H作HM±EF于點(diǎn)M,用等式表示線段AB,HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.證明詳見解析.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(證明詳見解析.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)EF【解析】【分析】(2)由zXAED^ACFD,得DEDF.由ABC得DBF45.因?yàn)镕H平分EFB,所以EFH90,BD平分BFH.由于ABC,DHF

所以(2)由zXAED^ACFD,得DEDF.由ABC得DBF45.因?yàn)镕H平分EFB,所以EFH90,BD平分BFH.由于ABC,DHF

所以DH(3)過點(diǎn)DBFBFH45BFH,DFHDFEEFH45EFH,DF.H作HNBC于點(diǎn)N,由正方形ABCD性質(zhì)，得BD AB2AD272AB.由FH平分EFB,HMEF,HN..FH..FH平分EFB,HMEF,HNBC,HMHN.因?yàn)镠BN45HNB90,所以BHHNsin45,2HNJ2HMHMHN.因?yàn)镠BN45HNB90,所以BHHNsin45,2HNJ2HM由EFDF V2DFV2DH,得EF2ABcos45【詳解】(1)證明：.??四邊形ABCD是正方形，2HM.ADCD,EADBCDADC90EADFCD90.???CFAE。AAED^ACFD.ADECDF.???EDFEDCCDFEDCADEDEDF.(2)證明：.「AAED^ACFD,DEDF.EDF90,DEFDFE45.ABC90,BD平分ABC,DBF45.FH平分EFB,EFHBFH.DHFDBFBFH45BFH,DFHDFEEFH45EFH,DHFDFH.DHDF.(3)EF2AB2HM.證明：過點(diǎn)H作HNBC于點(diǎn)N,如圖，ADC90..正方形ABCD中，ABAD,BAD90,BDAB2AD22AB.???HMHN.HBN45,HNB90,BHHN .2HN/2HM.sin45DHBDBH.2AB.2HM..EFDF V2DFV2DH,cos45EF2AB2HM.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)^.在Rt^ABC中，/ACB=90°,AB=J7,AC=2,過點(diǎn)B作直線mIIAC,將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到 B'尤A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',)射線CA,CB分別交直線m于點(diǎn)P,Q.(1)如圖1,當(dāng)P與A重合時，求/ACA'的度數(shù)；(2)如圖2,設(shè)A'國BC的交點(diǎn)為M,當(dāng)M為A'的中點(diǎn)時，求線段PQ的長；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P,Q分別在CA',CB'的延長線上時，i3t探究四邊形 PA'B’的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形 PA'B'的最小面積；若不存在，請說明理由.【答案】(1)60。；(2)PQ=7；(3)存在，S四邊形pabq=3—J3【解析】【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2,進(jìn)而得到BCJ3,依據(jù)/A′BC=90°,可得cos/A'CB-BC--,即可得到ZA'CB=30°,/ACA=60-A'C2(2)根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出/A=/A'CM,進(jìn)而得到PB—BC3,依據(jù)tan/Q=tan/A—,即可得到BQ=BC42,進(jìn)而得出PQ=PB+BQ-;2 3 2(3)依據(jù)S四邊形PABQ=S/\PCQ—S\A'Cb'=SaPCQ33,即可得到S四邊形PAB'Q最小，即S\PCQ最小，而SaPCQ；PQXBC—PQ,利用幾何法即可得到 Sapcq的最小值=3,即可得到結(jié)

論.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2.???/ACB=90AB",AC=2,BC33.???/ACB=90BCm//AC,.?./A'BC=90；，cos/A'CB—A'C叵,ZA'CB=30°,2ZACA=60?「M為???/ACB=90AB",AC=2,BC33.???/ACB=90BCm//AC,.?./A'BC=90；，cos/A'CB—A'C叵,ZA'CB=30°,2ZACA=60?「M為A'B'的中點(diǎn)，.?./A'CM=/MA'C,由旋轉(zhuǎn)可得:/MA'C=ZA,，/A=/A'CM,.-.tanZPCB=tanZA—2PB3c2???ZBQC=ZBCP=ZA,..tanZBQC=tanZA2BQ=BC-32,.1.PQ=PB+BQ1.S四邊形PA'B'Q=S\PCQ—SAA'CB'=SAPCQ?3.1.S四邊形PAB'Q最小,即SAPCQ最小,1???SA1???SAPCQ PQ汨C2-^PQ,取PQ的中點(diǎn)G./PCQ=90取PQ的中點(diǎn)G./PCQ=90??.CG1r ，…， …一PQ,即PQ=2CG當(dāng)CG最小時，PQ最小,2CG±PQ,即CG與CB重合時，CB重合時，CG最小,CCGninJ3,PQmin=2j3,.1.SAPCQ的最小值=3,S四邊形pab'q=3石pab'q=3石;【點(diǎn)睛】Kc/cAc圖L 國2 備用圖本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.12.已知AB是。。的直徑，弦CD)±AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作。。的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.(1)如圖1,求證：KE=GE；，y… … 1 ,、(2)如圖2,連接CABG,若/FGB=-/ACH,求證：CA//FE;2(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=-,AK=J10,求CN5的長.【答案】（1）證明見解析；（2）AEAD是等腰三角形.證明見解析；（3）巴613【解析】試題分析：（1）連接OG,則由已知易得/OGE=/AHK=90,由OG=OA可得/AGO=/OAG,從而可得/KGE4AKH=ZEKG,這樣即可得至ijKE=GE（2）設(shè)/FGB形，由AB是直徑可得/AGB=90,從而可得ZKGE=90-a,結(jié)合GE=KE可得、一,… , 1 _ ZEKG=90-a,這樣在4GKE中可得/E=2a由/FGB=—/ACH可得/ACH=20這樣可得2/E=/ACH,由此即可得到CA//EF；（3）如下圖2,作NP,AC于P, AH 3由（2）可知/ACH=/E,由此可得sinE=sinZACH= 一設(shè)AH=3a,可得AC=5a,AC5CH4CH=4a,貝UtanZCAH=——由（2）中結(jié)論易得/CAK之EGK士EKG之AKC,從而可AH3得CK=AC=5a由此可得HK=a,tanZAKH=-AH-3,AK=J10a,結(jié)合AK=J10可得a=1,

HK則AC=5；在四邊形BGKH中，由/BHK=/BKG=90,可得ZABG+ZHKG=180,結(jié)合ZAKH+ZGKG=180；/ACG=ZABG可得/ACG之AKH,在Rt^APN中，由tanZCAH=4型，可設(shè)PN=12b,AP=9b,由3APtan/ACG=里tan/AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP13b=5,貝U可得b=9,由CP 13此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的長.試題解析：（1）如圖1,連接OG.IVI???EF切。。于G,???OGXEF,ZAGO+ZAGE=90,.CDLAB于H,ZAHD=90,ZOAG=ZAKH=90,-.OA=OG,ZAGO=ZOAG,ZAGE=ZAKH,??ZEKGNAKH,ZEKG4AGE,KE=GE(2)設(shè)/FGB".AB是直徑，ZAGB=90,ZAGE=ZEKG=90-a,ZE=180-ZAGE-ZEKG=2q1??ZFGB=-ZACH,2ZACH=2%ZACH=ZE,?.CA//FE.(3)作NPLAC于P.??ZACH=ZE,/ /AH3『sinZE=sinZACH= -,設(shè)AH=3a,AC=5a,AC5| pi_|A貝Uch=VaC2CH24a，tanZCAH=--,Ano1.CA//FE,ZCAK=ZAGE,??ZAGE=ZAKH,ZCAK=ZAKH,，AC=CK=5aHK=CK-CH=4a,tanZAKH=^~=3,AK=7AH2_HK2ViBa,HK-ak=Vio',.?加a而,a=1,AC=5,??ZBHD=ZAGB=90,ZBHD+ZAGB=180；在四邊形BGKH中，/BHD+/HKG+/AGB+ZABG=360,??/ABG+ZHKG=180；??/AKH+ZHKG=180,°/AKH=ZABG,??/ACN=ZABG,/AKH=ZACNI,??tanZAKH=tanZACN=3,.NP^AC于P,/APN=ZCPN=90；PN4在Rt^APN中，tanZCAH=———設(shè)PN=12b,則AP=9b,AP3在RtACPN中，tan/ACN=-PN-=3CP'.?.CP=4b,?.AC=AP+CP=13b,.AC=5,?.13b=5,.?.b=—,13. z - 20一?■-CN=7pn1CP2=4710b=--V10.1313.已知RtAABC/A=90：BC=10，以BC為邊向下作矩形BCDE連AE交BC于F.3., BF,,一(1)如圖1,當(dāng)AB=AC且sin/BEFb時，求——的值；5 CF(2)如圖2,當(dāng)tan/ABC」時，過D作DHXAETH,求EHEA的值；2(3)如圖3,連AD交BC于G,當(dāng)FG2BFCG時,求矩形BCDE的面積【答案】⑴1；(2)80;(3)100.【解析】【分析】.. .一 3FK3 一⑴過A作AK±BC于K,根據(jù)sin/BEF=得出———,設(shè)FK=3a,AK=5a,可求得BF=a，故5AK5BF1———；(2)過A作AK,BC于K,延長AK交ED于G,則AG±ED,得AEGA^AEHD,CF7利用相似三角形的性質(zhì)即可求出；( 3)延長AB、ED交于K,延長ACED交