應(yīng)變分析修改課件

2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析1在靜力學(xué)理論中，通常假定物體是剛性的，即在力的作用下，構(gòu)成該物體質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。前章建立平衡條件時(shí)，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實(shí)際上剛體是不存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說(shuō)，在力的作用下，實(shí)際物體質(zhì)點(diǎn)之間的距離總是要發(fā)生變化的。一個(gè)物體是否可以被假定為剛體，關(guān)鍵在于剛體假定的有效范圍。本章從幾何學(xué)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)分析研究物體的變形。反映物體變形規(guī)律的數(shù)學(xué)方程也有兩類(lèi)，即幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于這兩類(lèi)方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學(xué)出發(fā)得到的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均屬于“普適方程”。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析12023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析2前面討論了受力物體的應(yīng)力，現(xiàn)在開(kāi)始討論物體的變形。在外力作用下，物體各點(diǎn)的位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體實(shí)際上只產(chǎn)生了剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，將這種位移稱(chēng)為剛體位移。如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體就同時(shí)產(chǎn)生了形狀的變化，統(tǒng)稱(chēng)該物體產(chǎn)生了變形。（書(shū)圖2－1）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析22023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析3第一節(jié)

一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變與位移的關(guān)系

為了確定正應(yīng)變的定義，在一受拉桿上有線(xiàn)段AB，在變形后，變?yōu)椋ㄒ?jiàn)右圖）。若線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為，變形后的A點(diǎn)的物體不論是發(fā)生空間的剛體運(yùn)動(dòng)或?qū)嵭螤畹淖兓?，終歸體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點(diǎn)產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)各點(diǎn)的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)一點(diǎn)的變形是很重要的。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析3第一節(jié)一點(diǎn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析4下面我們討論一般情況，給出應(yīng)變的概念。設(shè)在直角坐標(biāo)系中，變形前A點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z），變形后的坐標(biāo)是（x+u，y+v，z+w），這里u，v，w是A點(diǎn)的位移在x，y，z三軸上的投影，它們都是坐標(biāo)x，y，z的連續(xù)函數(shù)，而且位移的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。定義：正應(yīng)變（2－1）顯然，如果變形的分布是均勻的，則有:即：材料力學(xué)的拉伸應(yīng)變。（2－2）位移是u，而B(niǎo)點(diǎn)的位移是u+u，則線(xiàn)段增加了u。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析4下面我2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析5

設(shè)由變形體中取出一個(gè)微小六面體（見(jiàn)書(shū)中圖2－3變形體的投影），在研究微小六面體的變形時(shí)，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標(biāo)系的各個(gè)坐標(biāo)平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來(lái)判斷整個(gè)平行六面體的變形。由于變形很微小，所以可以認(rèn)為兩個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階的微量，因而，兩個(gè)平行面的投影可以合并為一個(gè)投影面。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析52023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析6首先，研究平行六面體在xoz面上的投影ABCD（見(jiàn)書(shū)中圖2－4）。在變形前六面體A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），在六面體變形時(shí)，投影上的A點(diǎn)移到了點(diǎn)，同時(shí)而整個(gè)ABCD移到。設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有：

（2－3）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析6首先，2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析7而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y，z），因此B點(diǎn)在x方向的位移為：

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可得：

略去高階項(xiàng)后得到：（2－4）

由于則AB在x軸上的投影的伸長(zhǎng)量為，則有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析7而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)為2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析8同理可得平行于y軸和z的邊長(zhǎng)的正應(yīng)變，因此有：（2－5）

下面研究六面體的剪應(yīng)變，即各直角的改變。（見(jiàn)圖）

取變形前的直角BAC或，變形時(shí)，棱邊轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，棱邊轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，在xoz平面內(nèi)，角應(yīng)變用表示，其值為和之和，即：

（2－6）

若A點(diǎn)在z軸方向的位移為，

當(dāng)大于零時(shí)，表示線(xiàn)段伸長(zhǎng)，反之表示縮短。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析8同理可得平行于2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析9圖：位移矢量在xoz平面上的投影返回2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析9圖：位移矢量在2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析10則B點(diǎn)在Z軸方向的位移為，

B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位移之差為:

在直角三角形中，可得：

在分母中（）與1相比是一個(gè)微量，故可以略去，因而得出，

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析10則B點(diǎn)在Z2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析11同理可得：

所以有剪應(yīng)變：同理可得另外兩個(gè)剪應(yīng)變。即有剪應(yīng)變的表達(dá)式（2－7）

（2－7）

說(shuō)明：剪應(yīng)變的正負(fù)號(hào)2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析11同理可得：2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析12所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為（2－8）：（2－8）

式（2－8）稱(chēng)為柯西（Cauchy）幾何關(guān)系。[式(2－8)的提出者：法國(guó)工業(yè)學(xué)院的數(shù)學(xué)教授柯西（Cauchy）(1789－1857)，于1822年發(fā)表的論文提出的]注意：書(shū)中P48給出了幫助記憶的圖形（圖2－5）?？芍喝绻阎灰品至靠梢院芎?jiǎn)單的求出應(yīng)變分量；反之，則問(wèn)題比較復(fù)雜。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析12所以，正應(yīng)變2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析13利用類(lèi)似的方法，可以導(dǎo)出柱坐標(biāo)表示的幾何方程為式（2－9）：

（2－9）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析13利用2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析14其中，分別表示一點(diǎn)位移在徑向（r方向），環(huán)向（方向）以及軸向（z方向）的分量。

對(duì)于平面問(wèn)題，柱坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)，則平面極坐標(biāo)表示的幾何方程為：

（2－10）

下面給出式（2－10）的推導(dǎo)過(guò)程。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析14其中，2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析15首先假定只有徑向位移而沒(méi)有環(huán)向位移：

如圖（2－6）所示，在P點(diǎn)沿徑向和環(huán)向取兩個(gè)微段PA和PB，設(shè)PA移到了，位移為u；PB移到了，則P，A，B三點(diǎn)的位移分別為：徑向位移圖2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析15首先假定只有2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析16則PA的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線(xiàn)段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線(xiàn)段PB的轉(zhuǎn)角為：

所以有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析16則PA的正應(yīng)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析17其次，假定只有環(huán)向位移而沒(méi)有徑向位移:

見(jiàn)圖2－7，由于P點(diǎn)的環(huán)向位移v，徑向線(xiàn)段PA移段到了，環(huán)向線(xiàn)段PB移到了，則P，A，B三點(diǎn)的位移分別為：

可見(jiàn)：徑向線(xiàn)段PA的正應(yīng)變?yōu)椋簣D2-7環(huán)向位移圖2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析17其次，假定只2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析18環(huán)向線(xiàn)段PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線(xiàn)段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線(xiàn)段PB的轉(zhuǎn)角為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析18環(huán)向線(xiàn)段PB2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析19所以剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式（2－10）。

對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：，，則式（2－10）的平面極坐標(biāo)幾何方程為（2－11）

（2－11）

對(duì)于球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題：變形的幾何方程為式（2－12）

（2－12）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析19所以剪應(yīng)變?yōu)?023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析20注意：書(shū)中P47對(duì)方程（2－10）的相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行了解釋?zhuān)约嚎匆幌隆?022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析20注2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析21第二節(jié)

應(yīng)變狀態(tài)分析

現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)變分量，試求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)（P點(diǎn)）的沿N方向的任一微小線(xiàn)段PN＝dr的正應(yīng)變，以及經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的微小線(xiàn)段PN和的夾角的改變。

令PN的方向余弦為l、m、n，則PN在坐標(biāo)軸上的投影為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析21第二節(jié)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析22（2－13）

設(shè)P點(diǎn)的位移分量為u，v，w，則N點(diǎn)的位移分量為：略去高階項(xiàng)（小量）得：

同理可得：即有式（2－14）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析22（2－13）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析23（2－14）

在變形后，線(xiàn)段PN在坐標(biāo)軸上的投影為（2－15）式：即

（2－15）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析23（2－14）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析24令線(xiàn)段PN的正應(yīng)變?yōu)?，則該線(xiàn)段變形后的長(zhǎng)度為：而且有

（2－16）

上式兩邊同除以，并利用（2－13）式得：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析24令線(xiàn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析25因?yàn)楹臀灰品至康膶?dǎo)數(shù)都是微小的，它們的平方和乘積可以不計(jì)，可得：

利用，上式可得：

再利用幾何方程可得：

（2－17）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析25因?yàn)?023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析26下面來(lái)求PN和的夾角的改變

設(shè)PN在變形后的方向余弦為，則由式（2－13）和式（2－15）可以得到：

注意到，都是微小量，在展開(kāi)上式后，略去二階以上的微小量得：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析26下面來(lái)求PN2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析27同理可得出，即得出式（2－18）

（2－18）

與此類(lèi)似，設(shè)線(xiàn)段在變形之前的方向余弦為，則其在變形后的方向余弦為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析27同理可得出2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析28（2－19）

（2－20）

其中，是的正應(yīng)變。

令PN和在變形之前的夾角為，變形之后的夾角為，則有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析28（2－19）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析29將式（2－18）和（2－19）代入，并略去高階微量可得：

利用幾何方程，并注意到，則有：（2－21）

由此可求出，進(jìn)而可求得。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析29將式（2－12023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析30由此可見(jiàn)：在物體內(nèi)的任一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)變分量，就可以求出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任一線(xiàn)段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意兩線(xiàn)段之間的夾角的改變。這就是說(shuō)，六個(gè)應(yīng)變分量完全決定了這一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析302023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析31第三節(jié)主應(yīng)變?cè)谘芯恳稽c(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，可以找到三個(gè)相互垂直的沒(méi)有剪應(yīng)力作用的平面，將這些面稱(chēng)為主平面，而這些平面的法線(xiàn)方向稱(chēng)為主方向。在研究應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，同樣可以找到三個(gè)相互垂直的平面，在這些平面上沒(méi)有剪應(yīng)變，將這些面稱(chēng)為應(yīng)變主平面，而這些平面的法線(xiàn)方向稱(chēng)為應(yīng)變主方向。對(duì)應(yīng)于該主方向的正應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析31第三節(jié)主2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析32一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量表示，這時(shí)引進(jìn)符號(hào)

（2－22）（書(shū)：2－13）

則應(yīng)變張量為：

（2－23）（書(shū)：2－14）

通常稱(chēng)為“工程剪應(yīng)變”2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析32一點(diǎn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析33應(yīng)變張量還可以寫(xiě)為：

式中的不同符號(hào)可以交換使用，這就要看在某些特定用途中哪個(gè)用起來(lái)更方便。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析33應(yīng)變張量還可2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析34下面分析如何確定主應(yīng)變：

在直角坐標(biāo)系空間中取一微小線(xiàn)段，設(shè)A點(diǎn)在x方向的位移為u，則有B點(diǎn)在x方向的位移為：

圖2-8略去高階微量得：

顯然（或由全微分概念）有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析34下面分析如何2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析35進(jìn)一步可寫(xiě)成式（2－24）（書(shū)：2－15）

（2－24）（書(shū)：2－15）

這里要注意的是：當(dāng)一個(gè)物體從一個(gè)位置變形到另一個(gè)空間位置（圖2－9）時(shí)，其中可能包括一部分剛體位移（平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)），而這部分位移不引起形變，其實(shí)式（2－24）中的和恰恰表示物體的微小剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。（下頁(yè)圖）

圖2-92022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析35進(jìn)一步可寫(xiě)成2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析36B點(diǎn)的三部分位移一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于可變形固體而言，與物體內(nèi)任一點(diǎn)A無(wú)限臨近的一點(diǎn)B的位移有三個(gè)部分組成：1、隨同A點(diǎn)的一個(gè)平動(dòng)位移，如圖中的所示；2、繞A點(diǎn)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在B點(diǎn)所產(chǎn)生的位移，如圖中的所示；3、由于A點(diǎn)臨近微元體的形狀變化在B點(diǎn)引起的位移，如圖所示，這部分位移與應(yīng)變張量分量有關(guān)。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析36B點(diǎn)的三部分2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析37因此，當(dāng)考慮純變形時(shí)有：

（2－25）（書(shū)：2－16）

如果用張量表示，則為

其中，j稱(chēng)為“啞標(biāo)”（表示求和）。

現(xiàn)在取一微小四面體O123（圖2－10），為法線(xiàn)方向，設(shè)斜面123上只有正應(yīng)變（即主平面），則有：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析37因此，當(dāng)考慮2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析38并且一定為要求的主應(yīng)變。

（成比例是因?yàn)榕c方向一致）（書(shū)：2－17）

代入式（2－25）（書(shū)：2－16）得出：（書(shū)：2－18）

（2－26）（書(shū)：2－18）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析38并且一2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析39若上式有非零解，必須有“系數(shù)行列式為零”，可得：

（2－27）（書(shū)：2－19）

其中，為應(yīng)變第一、二、三不變量，且有：

（2－28）（書(shū)：2－20）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析39若上式有非零2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析40若方程式（2－27）可以因式分解，則應(yīng)有：

式中，為主應(yīng)變。用主應(yīng)變表示的應(yīng)變不變量將為：

（書(shū)：2－20）

在主應(yīng)變平面上，剪應(yīng)變?yōu)榱?。則由方程（2－27）可以求出三個(gè)主應(yīng)變。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析40若方程式（22023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析41增例1：已知物體中任意一點(diǎn)的位移分量如下式表示，試比較點(diǎn)A（1，2，3）與點(diǎn)B（0.5，-1，0）的最大伸長(zhǎng)值（絕對(duì)值）。解：利用幾何方程求得應(yīng)變分量為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析412023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析42點(diǎn)A的應(yīng)變分量值為：應(yīng)變不變量為：該點(diǎn)的主應(yīng)變值可由下式確定，即為計(jì)算方便，令代入上式，得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析42點(diǎn)A的應(yīng)變2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析43以代入上式，消去二項(xiàng)式，得此方程的解為：由此得A點(diǎn)的主應(yīng)變?yōu)椋汗庶c(diǎn)A的最大伸長(zhǎng)的絕對(duì)值為可以用獲得的三個(gè)主應(yīng)變之和是否等于第一應(yīng)變不變量的值，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否正確。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析43以2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析44用同樣的方法可以求得點(diǎn)B的主應(yīng)變?yōu)椋汗庶c(diǎn)B的最大伸長(zhǎng)的絕對(duì)值為由以上計(jì)算可知，點(diǎn)A最大伸長(zhǎng)值大于點(diǎn)B的最大伸長(zhǎng)的絕對(duì)值。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析442023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析45增例2：已知物體中某點(diǎn)的應(yīng)變分量為：試求該點(diǎn)的主應(yīng)變方向。解：首先計(jì)算應(yīng)變不變量，并解三次方程，求得主應(yīng)變值為為求解主應(yīng)變方向，利用下列方程組：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析452023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析46將代入上式，第一式自然滿(mǎn)足，其余兩個(gè)方程式為以上兩式的唯一解為。為滿(mǎn)足，則有。即的方向余弦為（1，0，0）。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析46將2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析47將代入方程組，得由第一式得。由二、三式可得。再由得，由該式求得，而。即的方向余弦為（0，0.585，0.811）。同樣可求得的方向余弦為（0，-0.811，0.585，）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析47將2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析48第四節(jié)

應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量

仿照應(yīng)力張量分解，應(yīng)變張量可以分解為與體積變化有關(guān)的“球形應(yīng)變張量”和與物體形狀變化有關(guān)的“應(yīng)變偏量”。利用書(shū)中（2－14）式可以分解為：

其中球形應(yīng)變張量為：

（2－30）（書(shū)：2－22）

一、應(yīng)變張量的分解2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析48第四節(jié)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析49應(yīng)變偏量可寫(xiě)為：

式中，為平均正應(yīng)變。

其中，，，稱(chēng)為“應(yīng)變偏量分量”。可寫(xiě)為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析49應(yīng)變偏量2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析50（2－32）（書(shū)：2－23）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析50（2－32）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析51若用主應(yīng)變表示應(yīng)變偏量，則有式（2－33）（書(shū)：2－24）（2－33）（書(shū)：2－24）

三個(gè)坐標(biāo)平面為應(yīng)變主平面在主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)的應(yīng)變空間中有：由應(yīng)變偏量張量的定義式（書(shū)2-23）可見(jiàn)，它是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)二階張量，因此，存在三個(gè)主值及其相應(yīng)的主方向。可以證明，應(yīng)變偏量張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3與應(yīng)變張量的主應(yīng)變存在如左的關(guān)系。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析51若用主應(yīng)變表2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析52注意：純剪應(yīng)變狀態(tài)的條件與純剪應(yīng)力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是，因此，為純剪狀態(tài)且與有相同的主軸。同樣，應(yīng)變偏量增量也存在三個(gè)不變量，它們分別表示為：當(dāng)用張量給出一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，需注意2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析52注意：純剪應(yīng)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析53其三次方程為：二、體積應(yīng)變?cè)诳紤]塑性變形時(shí)，經(jīng)常采用“體積不變”假設(shè)，這時(shí)球形應(yīng)變張量為零，應(yīng)變偏量等于應(yīng)變張量，即“應(yīng)變分量與應(yīng)變偏量的分量相等”，這一假設(shè)，對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算來(lái)了方便?，F(xiàn)在我們來(lái)研究每單位體積的體積改變，即體積應(yīng)變。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析53其三次方程為2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析54設(shè)有微小的正平行六面體，它的棱邊長(zhǎng)度是：

變形前它的體積為：

變形后它的體積稱(chēng)為：因此，它的體積應(yīng)變?yōu)椋?/p>

對(duì)于小應(yīng)變（忽略高階微量）有：

驗(yàn)證體積不變假設(shè)的成立2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析54設(shè)有2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析55（2－34）

由此則有：顯然，若體積不變，則必有球形應(yīng)變張量為零成立，且有。在主應(yīng)變空間：

對(duì)于小應(yīng)變有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析55（2－34）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析561、主剪應(yīng)變（工程主剪應(yīng)變）

（2－35）（書(shū)：2－25）

三、相關(guān)結(jié)論

與應(yīng)力分析類(lèi)似。在應(yīng)變分析中也有一些相應(yīng)的公式，下面給出有關(guān)結(jié)論：如果，則最大剪應(yīng)變?yōu)椋海?－36）（書(shū)：2－26）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析561、主剪應(yīng)變2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析57（1）等傾面（或稱(chēng)八面體面）的剪應(yīng)變?yōu)?，則有：

（2－37）（書(shū)：2－27）

2、八面體應(yīng)變（正應(yīng)變、剪應(yīng)變）對(duì)任意一組坐標(biāo)軸x，y，z的應(yīng)變分量的八面體剪應(yīng)變可寫(xiě)為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析57（1）等傾面2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析58單向拉伸情況：可得

此時(shí)的應(yīng)變張量為：

平均應(yīng)變?yōu)?3、單向拉抻時(shí)的應(yīng)變

（2）等傾面（或稱(chēng)八面體面）的正應(yīng)變?yōu)椋瑒t有：

（三個(gè)主應(yīng)變的平均值）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析58單向拉伸情況2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析59應(yīng)變偏量的分量為：

（書(shū)：2－28）

球形應(yīng)變張量為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析59應(yīng)變偏量的分2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析60應(yīng)變偏量為：

在以主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)軸的主應(yīng)變空間內(nèi)討論。4、應(yīng)變強(qiáng)度（等效應(yīng)變）

（2－39）（書(shū)：2－30）當(dāng)體積不可壓縮時(shí)，令，稱(chēng)為應(yīng)變強(qiáng)度或等效應(yīng)變。

這里之所以不稱(chēng)為應(yīng)變強(qiáng)度，而又引進(jìn)符號(hào)，是因?yàn)橐c應(yīng)力分析中的情況相一致。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析60應(yīng)變偏量為：2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析615、應(yīng)變率應(yīng)變率：在變形過(guò)程中，單位時(shí)間中應(yīng)變值的增量稱(chēng)為“應(yīng)變率”。即：

（2－41）（書(shū)：2－31）

根據(jù)小變形的幾何關(guān)系，可得應(yīng)變率分量：即：應(yīng)變率分量等于位移率分量對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，也等于應(yīng)變分量對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)。見(jiàn)書(shū)中解釋。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析615、應(yīng)變率2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析62（2－42）（書(shū)：2－34）

增加：關(guān)于應(yīng)變率的推導(dǎo)

在小變形的條件下，設(shè)物體內(nèi)任一點(diǎn)速度在坐標(biāo)軸上的投影為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析62（2－42）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析63其中,此處用到“小變形”假設(shè)：即在小變形條件下，（a）物體內(nèi)各點(diǎn)的位置坐標(biāo)因變形而有的改變可以忽略不計(jì)，即初始位置與瞬時(shí)位置坐標(biāo)可以不加區(qū)別；（b）此處，還可以略去物體內(nèi)各點(diǎn)的位移梯度分量的影響，用對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)代替全導(dǎo)數(shù)。應(yīng)變率分量用符號(hào)表示為：則有：類(lèi)推得（書(shū)中2-34）式，與應(yīng)變張量相似，可得應(yīng)變率張量。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析63其中,2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析64在塑性力學(xué)中經(jīng)常使用應(yīng)變?cè)隽康母拍睢?shí)驗(yàn)證明，靜力學(xué)中塑性變形規(guī)律和時(shí)間因素是沒(méi)有關(guān)系的，此處dt并不代表時(shí)間，因此，用應(yīng)變?cè)隽縼?lái)代替應(yīng)變率往往更能表示塑性靜力學(xué)應(yīng)變不受時(shí)間參數(shù)影響的特點(diǎn)。即：通常使用的不是應(yīng)變率張量，而是在時(shí)間步長(zhǎng)或dt內(nèi)的應(yīng)變?cè)隽?。?yīng)變?cè)隽浚?/p>

6、應(yīng)變?cè)隽?022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析642023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析65有了應(yīng)變?cè)隽康母拍?，則可描述應(yīng)變成比例變化或不成比例變化時(shí)的規(guī)律。7、應(yīng)變強(qiáng)度增量

在比例變形的條件下，在應(yīng)變空間是一條直線(xiàn)，而當(dāng)各應(yīng)變分量的變化不成比例時(shí)，在三個(gè)坐標(biāo)軸互成120°角的坐標(biāo)中，將是一條折線(xiàn)或曲線(xiàn)，如圖2－17（書(shū)P63）。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析65有了2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析66如果變形過(guò)程是兩條折線(xiàn)組成的，則這一情況表示兩個(gè)比例變形的過(guò)程。當(dāng)變形由曲線(xiàn)表示時(shí)，則可認(rèn)為變形過(guò)程的總應(yīng)變強(qiáng)度等于曲線(xiàn)的總長(zhǎng)度，即應(yīng)變強(qiáng)度不僅與初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)有關(guān)，而且還與應(yīng)變歷史即變形過(guò)程有關(guān)。

由圖2－17可見(jiàn)，應(yīng)變強(qiáng)度增量與應(yīng)變?cè)隽糠至?，和有關(guān)。（2－43）（書(shū)：2－36）

[注：的表達(dá)式中，只有簡(jiǎn)單加載條件下才有]2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析662023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析67此式即為應(yīng)變強(qiáng)度增量的表達(dá)式，它是各應(yīng)變分量增量的函數(shù)。在塑性力學(xué)中，當(dāng)應(yīng)變較大時(shí)，需采用另外一種表示應(yīng)變的方法。

8、工程應(yīng)變有一截面為而長(zhǎng)度為的受拉構(gòu)件，在某一時(shí)刻其長(zhǎng)度達(dá)到而截面積為，且桿件伸長(zhǎng)量為，則應(yīng)變?cè)隽考皯?yīng)變的表達(dá)方法如下：

工程應(yīng)變：假設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)相距，變形后為，則有工程應(yīng)變表達(dá)式（2－44）：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析672023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析68（2－44）

對(duì)數(shù)應(yīng)變：設(shè)某瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽繛椋e分后得到對(duì)數(shù)應(yīng)變的表達(dá)式（2－45）：

（2－45）（書(shū)：2－37）

（2－46）（書(shū)：2－38）

顯然有對(duì)數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變之間的關(guān)系為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析68（2－44）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析69截面收縮率：

（2－47）

其中A0為初始時(shí)截面面積，A為某一時(shí)刻的截面面積。

若材料為不可壓縮，則有：

（

）

或

（2－48）

不同應(yīng)變指數(shù)之間的關(guān)系見(jiàn)書(shū)中表2-2（P65）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析69截面收縮率2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析70增例3：給定一點(diǎn)的應(yīng)變張量計(jì)算：（a）主應(yīng)變、和；（b）最大剪應(yīng)變；（c）八面體應(yīng)變和。解：（a）計(jì)算應(yīng)變不變量，求主應(yīng)變。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析70增例3：給定2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析71特征方程變?yōu)榛蚯蟮萌齻€(gè)主應(yīng)變?yōu)?022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析71特征方程變?yōu)?023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析72校核：用、和的值代入三個(gè)不變量的表達(dá)式，以校核所得結(jié)果。（b）計(jì)算最大剪應(yīng)變。（c）八面體應(yīng)變和。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析72校核：用2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析73增例4：一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)由給定的應(yīng)變張量表示確定：（a）應(yīng)變偏量張量；（b）應(yīng)變偏量不變量和；（c）單位體積的體積變化（膨脹）。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析73增例4：一點(diǎn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析74解：（a）計(jì)算平均應(yīng)變。所以有應(yīng)變偏量張量為：（b）計(jì)算不變量。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析74解：（a）計(jì)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析75（c）單位體積的體積變化（膨脹）。即在該應(yīng)變張量表示的應(yīng)變狀態(tài)下，該點(diǎn)附近體元的體積減小。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析75（c）單位體2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析76第五節(jié)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、

相容方程）

（Equationsofcompatibility）

在研究物體變形時(shí)，一般都取一個(gè)平行六面體進(jìn)行分析，物體在變形時(shí)，各相鄰的小單元不能是互相無(wú)關(guān)的，必然是相互有聯(lián)系的，因此應(yīng)該認(rèn)為是物體在變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的，連續(xù)物體應(yīng)變之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為“應(yīng)變協(xié)調(diào)方程”。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析76第五節(jié)應(yīng)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析77（2－8）

方程組(2-8)表示的幾何方程表明，六個(gè)應(yīng)變分量是通過(guò)三個(gè)位移分量表示的，這六個(gè)應(yīng)變分量不是互不相關(guān)的，它們之間必然存在著一定的聯(lián)系。這一事實(shí)很重要，因?yàn)槿绻覀冎懒宋灰品至?，則容易通過(guò)(2-8)式獲得應(yīng)變分量；但是反過(guò)來(lái)，如果純粹從數(shù)學(xué)角度任意給出一組“應(yīng)變分量”,2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析77（2－8）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析78則幾何方程給出了包含六個(gè)方程而只有三個(gè)未知函數(shù)的偏微分方程組，由于方程的個(gè)數(shù)超過(guò)了未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組可能是矛盾的。要使這方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足一定的條件。下面的任務(wù)就是建立這個(gè)條件。為此，我們要設(shè)法從方程組（2-8）中消去所有的位移分量。設(shè)物體中的某一點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z），其位移是u、v、w，應(yīng)變?yōu)椋?，若已知u、v、w，則應(yīng)變便可用位移表示；如果在表達(dá)式中消去位移u、v、w，則可得到應(yīng)變之間的關(guān)系。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析78則幾何方程給2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析79處理方式：現(xiàn)對(duì)正應(yīng)變分別對(duì)y、x

取兩次偏微分，則有：

將以上兩式相加，可得：

這里,我們利用了位移分量具有三階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。因?yàn)椋?/p>

所以有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析79處理2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析80同理可得另外兩個(gè)類(lèi)似的方程，故有式（2－49）（書(shū)：2－39）

（2－49）（書(shū)：2－39）

這是一組相容方程。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析80同理可得另外2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析81若取剪應(yīng)變的表達(dá)式：

將上式的分別對(duì)求一階偏導(dǎo)數(shù)，可得：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析81若取剪應(yīng)變的2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析82將上式中的第一式與第三式相加，然后減去第二式，則可得：再對(duì)求導(dǎo)得出：

同理可得另外兩式，即有式（2－50）（書(shū)：2－40）：

（2－50）（書(shū)：2－40）

這是又一組相容方程。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析82將上式中的第2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析83綜合以上（2-49、50）[書(shū)2-39、40]兩式，有：該式稱(chēng)為“變形協(xié)調(diào)方程式”或“變形的協(xié)調(diào)方程”，又稱(chēng)為圣維南（Saint-Venant）方程。是圣維南首次導(dǎo)出的。

(2-51)2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析83綜合以上（22023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析84其實(shí)，通過(guò)上述相似的變化，可以導(dǎo)出無(wú)窮多組相容方程，但是可以證明，如果滿(mǎn)足了上式[(2－49)和(2－50)兩組相容方程]，就可以保證位移的連續(xù)性。

上式表示要使以位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

方程意義的幾何解釋?zhuān)喝鐚⑽矬w分割成無(wú)數(shù)個(gè)微分平行六面體，并使每一個(gè)微元體發(fā)生變形。這時(shí)如果表示微元體變形的六個(gè)應(yīng)變分量不滿(mǎn)足一定的關(guān)系，則在物體變形后，微元體之間就會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”等現(xiàn)象，從而破壞了變形后物體的整體性和連續(xù)性。為使變形后的微元體能重新拼2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析84其實(shí)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析85合成連續(xù)體，則應(yīng)變分量就要滿(mǎn)足一定的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。因此說(shuō)，應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，是保證物體連續(xù)的一個(gè)必要條件。

需要說(shuō)明的幾點(diǎn)：

1、可以證明：如果物體是單聯(lián)通的，則應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程還是物體連續(xù)的充分條件。從數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，也就是說(shuō)，如果應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單聯(lián)通物體，就一定能通過(guò)幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。

2、如果能正確地求出物體各點(diǎn)的位移函數(shù)u，v，w，并根據(jù)幾何方程求出各應(yīng)變分量，則應(yīng)變協(xié)調(diào)方程自然滿(mǎn)足。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析85合成連續(xù)體，2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析86

3、從物理意義來(lái)看，如果位移函數(shù)是連續(xù)的，變形自然也就是可以協(xié)調(diào)。

4、計(jì)算時(shí)，采用位移法求解，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可以自然滿(mǎn)足；而采用應(yīng)力法求解，則需要同時(shí)考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

5、對(duì)于多聯(lián)通物體，我們總可以作適當(dāng)?shù)慕孛媸顾兂蓡温?lián)通物體，如此則上述的結(jié)論完全適用。具體的說(shuō)，如果應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則在此被割開(kāi)后的區(qū)域里，一定能求得單值連續(xù)的函數(shù)u，v，w。但是對(duì)求得的u，v，w，他們?cè)诮孛鎯蓚?cè)趨向于截面上某一點(diǎn)的值一般是不相同的，為了使考察的多聯(lián)通物體在變形后仍2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析862023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析87保持為連續(xù)體，必須加上下列的補(bǔ)充條件：式中：分別為與截面同一點(diǎn)無(wú)限臨近的兩側(cè)點(diǎn)的位移。因此，對(duì)于多聯(lián)通物體，應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，只是物體連續(xù)的必要條件，只有加上補(bǔ)充條件，條件才是充分的。

6、對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，有：

則相容方程只有（2－49）中的第一式。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析87保持為連續(xù)體2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析88柱坐標(biāo)中的相容方程：用相同的方法可以導(dǎo)出柱坐標(biāo)中的變形協(xié)調(diào)條件為式（2－52）（書(shū)：2－41），即：

已知柱坐標(biāo)系中物體內(nèi)任意一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量所滿(mǎn)足的幾何方程的形式為：（2－9）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析88柱坐標(biāo)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析89（2－52）（書(shū)：2－41）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析89（2－52）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析90極坐標(biāo)中相容方程（平面應(yīng)變問(wèn)題）我們知道：對(duì)平面問(wèn)題，柱坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)()，幾何方程為（2-10）：由于，變形協(xié)調(diào)條件只剩下（2－52）中的第三式，即：

（2－10）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析90極坐標(biāo)中相容2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析91（2－53）（書(shū)：2－42）

軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的相容方程：

對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)平面應(yīng)變問(wèn)題，應(yīng)變分量與無(wú)關(guān)，變形協(xié)調(diào)條件簡(jiǎn)化為式（2－54），即：（2－54）（書(shū)：2－43）

式（2－54）的左邊項(xiàng)可由式（2－53）的第二項(xiàng)獲得：即：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析91（2－53）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析92

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義：如果將變形體分解為許多微元體，每個(gè)微元體的變形都用六個(gè)應(yīng)變分量描述。若應(yīng)變分量不滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則這些微元體將不能構(gòu)成一個(gè)連續(xù)體，因?yàn)檫@時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)裂紋或發(fā)生重疊。滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程便能保證變形前后物體的連續(xù)性，因此，連續(xù)介質(zhì)的應(yīng)變狀態(tài)是否可能，需要利用應(yīng)變協(xié)調(diào)方程來(lái)檢驗(yàn)。

球坐標(biāo)系下的相容方程：幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程見(jiàn)相關(guān)書(shū)籍。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析92應(yīng)變2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析93舉例：例1（書(shū)中P68）已知下列的應(yīng)變分量是物體變形時(shí)產(chǎn)生的，試求系數(shù)之間應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式。平面應(yīng)變問(wèn)題解：該應(yīng)變狀態(tài)屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，這些應(yīng)變分量應(yīng)滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件，即書(shū)中（2-39）式的第一式。本題的目的是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的應(yīng)用。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析932023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析94由應(yīng)變分量可得：將以上各式代入應(yīng)變協(xié)調(diào)條件可得：在物體內(nèi)任一點(diǎn)上，即x、y為任意值時(shí)，上式皆應(yīng)成立，因此得上式即為系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件，而系數(shù)可為任意常數(shù)。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析94由應(yīng)變分量可2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析95例2（書(shū)P69）：在平面軸對(duì)稱(chēng)情況下，軸向應(yīng)變?yōu)槌?shù)，試確定其余兩個(gè)應(yīng)變分量和的表達(dá)式（材料是不可壓縮的）。該問(wèn)題是軸對(duì)稱(chēng)平面應(yīng)變問(wèn)題。解釋?zhuān)?/p>

軸對(duì)稱(chēng)平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程（書(shū)中式2-43）為：

積分該式可得出上式。

令：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析952023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析96分部積分法：

協(xié)調(diào)方程為：

[注意：]2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析96分部積分法：2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析97說(shuō)明：將代入按商的求導(dǎo)法則：原題：當(dāng)材料不可壓縮時(shí)，體積應(yīng)變應(yīng)為零，即2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析97說(shuō)明：將2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析98式中C可由邊界條件確定。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析98式中C可2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析99增例3：推導(dǎo)書(shū)中（2-42）式。在平面應(yīng)變問(wèn)題中，以極坐標(biāo)表示的應(yīng)變分量與位移之間的關(guān)系為試推導(dǎo)其變形協(xié)調(diào)條件。

解：為從應(yīng)變與位移之間的關(guān)系中消去位移分量u、v，進(jìn)行如下計(jì)算：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析99增例3：推導(dǎo)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析100由以上可得：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析100由以上可得2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析101將上式等號(hào)右端代進(jìn)以下關(guān)系式：則得到變形協(xié)調(diào)條件為：（與書(shū)中2-42式相同）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析101將上式等號(hào)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析102增例4：若物體處于平面應(yīng)變狀態(tài)下，即試證明在單連域內(nèi)，為保證和的單值，應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件并證明其充分性。證明：由所給出的幾何方程可求得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析102增例4：若2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析103由此可得：上式即為變形協(xié)調(diào)條件。由此可知，幾何方程的成立必然可導(dǎo)出協(xié)調(diào)方程（必要性）。為證明其充分性，應(yīng)有：若協(xié)調(diào)條件成立，則必定存在u、v，而且在域內(nèi)是單值連續(xù)函數(shù)。在求u時(shí)，需先求和，而可由幾何方程得到。為求，沿通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)的某一曲線(xiàn)進(jìn)行積分，并應(yīng)用幾何方程，則得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析103由此可得：2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析104為使上式的積分在單連域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),必須滿(mǎn)足即:2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析1042023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析105上式即為變形協(xié)調(diào)條件,亦即滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條件時(shí)可以唯一的被確定。因此，可以計(jì)算位移u，即同樣，為由、唯一地確定u，即與積分路徑無(wú)關(guān)，必須滿(mǎn)足對(duì)于連續(xù)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)時(shí)與微分順序無(wú)關(guān)，故上式是滿(mǎn)足的。因此，可以唯一地確定u。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析1052023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析106用同樣的方法可以證明，只要滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件，可以唯一地確定v（充分性）。由以上證明可知，變形協(xié)調(diào)條件是確定u(x,y)、v(x,y)有解的必要而充分條件。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析1062023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析107增例5：若物體處于平面應(yīng)變狀態(tài)下，利用直角坐標(biāo)中的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，并利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，試導(dǎo)出以極坐標(biāo)表示的應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式（2-10）。解：由直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)時(shí)坐標(biāo)軸之間的轉(zhuǎn)換公式可得當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，位移分量之間的關(guān)系為由上式可得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析107增例5：若2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析108又有將（c）代入（d），得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析108又有將（c2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析109將直角坐標(biāo)中的應(yīng)變分量寫(xiě)成將（a）及（e）代入（f），得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析109將直角坐標(biāo)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析110將（g）代入平面應(yīng)變狀態(tài)下直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換關(guān)系式，即并經(jīng)整理和化簡(jiǎn)后，得2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析1102023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析111在靜力學(xué)理論中，通常假定物體是剛性的，即在力的作用下，構(gòu)成該物體質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。前章建立平衡條件時(shí)，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實(shí)際上剛體是不存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說(shuō)，在力的作用下，實(shí)際物體質(zhì)點(diǎn)之間的距離總是要發(fā)生變化的。一個(gè)物體是否可以被假定為剛體，關(guān)鍵在于剛體假定的有效范圍。本章從幾何學(xué)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)分析研究物體的變形。反映物體變形規(guī)律的數(shù)學(xué)方程也有兩類(lèi)，即幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于這兩類(lèi)方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學(xué)出發(fā)得到的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均屬于“普適方程”。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析12023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析112前面討論了受力物體的應(yīng)力，現(xiàn)在開(kāi)始討論物體的變形。在外力作用下，物體各點(diǎn)的位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體實(shí)際上只產(chǎn)生了剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，將這種位移稱(chēng)為剛體位移。如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對(duì)位置，則物體就同時(shí)產(chǎn)生了形狀的變化，統(tǒng)稱(chēng)該物體產(chǎn)生了變形。（書(shū)圖2－1）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析22023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析113第一節(jié)

一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變與位移的關(guān)系

為了確定正應(yīng)變的定義，在一受拉桿上有線(xiàn)段AB，在變形后，變?yōu)椋ㄒ?jiàn)右圖）。若線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為，變形后的A點(diǎn)的物體不論是發(fā)生空間的剛體運(yùn)動(dòng)或?qū)嵭螤畹淖兓K歸體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點(diǎn)產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)各點(diǎn)的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)一點(diǎn)的變形是很重要的。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析3第一節(jié)一點(diǎn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析114下面我們討論一般情況，給出應(yīng)變的概念。設(shè)在直角坐標(biāo)系中，變形前A點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z），變形后的坐標(biāo)是（x+u，y+v，z+w），這里u，v，w是A點(diǎn)的位移在x，y，z三軸上的投影，它們都是坐標(biāo)x，y，z的連續(xù)函數(shù)，而且位移的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。定義：正應(yīng)變（2－1）顯然，如果變形的分布是均勻的，則有:即：材料力學(xué)的拉伸應(yīng)變。（2－2）位移是u，而B(niǎo)點(diǎn)的位移是u+u，則線(xiàn)段增加了u。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析4下面我2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析115

設(shè)由變形體中取出一個(gè)微小六面體（見(jiàn)書(shū)中圖2－3變形體的投影），在研究微小六面體的變形時(shí)，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標(biāo)系的各個(gè)坐標(biāo)平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來(lái)判斷整個(gè)平行六面體的變形。由于變形很微小，所以可以認(rèn)為兩個(gè)平行面在坐標(biāo)面上的投影只相差高階的微量，因而，兩個(gè)平行面的投影可以合并為一個(gè)投影面。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析52023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析116首先，研究平行六面體在xoz面上的投影ABCD（見(jiàn)書(shū)中圖2－4）。在變形前六面體A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），在六面體變形時(shí)，投影上的A點(diǎn)移到了點(diǎn)，同時(shí)而整個(gè)ABCD移到。設(shè)A點(diǎn)的位移是u，w，它們是坐標(biāo)的函數(shù)，因此有：

（2－3）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析6首先，2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析117而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y，z），因此B點(diǎn)在x方向的位移為：

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可得：

略去高階項(xiàng)后得到：（2－4）

由于則AB在x軸上的投影的伸長(zhǎng)量為，則有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析7而B(niǎo)點(diǎn)的坐標(biāo)為2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析118同理可得平行于y軸和z的邊長(zhǎng)的正應(yīng)變，因此有：（2－5）

下面研究六面體的剪應(yīng)變，即各直角的改變。（見(jiàn)圖）

取變形前的直角BAC或，變形時(shí)，棱邊轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，棱邊轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，在xoz平面內(nèi)，角應(yīng)變用表示，其值為和之和，即：

（2－6）

若A點(diǎn)在z軸方向的位移為，

當(dāng)大于零時(shí)，表示線(xiàn)段伸長(zhǎng)，反之表示縮短。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析8同理可得平行于2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析119圖：位移矢量在xoz平面上的投影返回2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析9圖：位移矢量在2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析120則B點(diǎn)在Z軸方向的位移為，

B點(diǎn)與A點(diǎn)沿Z軸方向的位移之差為:

在直角三角形中，可得：

在分母中（）與1相比是一個(gè)微量，故可以略去，因而得出，

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析10則B點(diǎn)在Z2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析121同理可得：

所以有剪應(yīng)變：同理可得另外兩個(gè)剪應(yīng)變。即有剪應(yīng)變的表達(dá)式（2－7）

（2－7）

說(shuō)明：剪應(yīng)變的正負(fù)號(hào)2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析11同理可得：2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析122所以，正應(yīng)變和剪應(yīng)變的表達(dá)式為（2－8）：（2－8）

式（2－8）稱(chēng)為柯西（Cauchy）幾何關(guān)系。[式(2－8)的提出者：法國(guó)工業(yè)學(xué)院的數(shù)學(xué)教授柯西（Cauchy）(1789－1857)，于1822年發(fā)表的論文提出的]注意：書(shū)中P48給出了幫助記憶的圖形（圖2－5）?？芍喝绻阎灰品至靠梢院芎?jiǎn)單的求出應(yīng)變分量；反之，則問(wèn)題比較復(fù)雜。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析12所以，正應(yīng)變2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析123利用類(lèi)似的方法，可以導(dǎo)出柱坐標(biāo)表示的幾何方程為式（2－9）：

（2－9）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析13利用2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析124其中，分別表示一點(diǎn)位移在徑向（r方向），環(huán)向（方向）以及軸向（z方向）的分量。

對(duì)于平面問(wèn)題，柱坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)，則平面極坐標(biāo)表示的幾何方程為：

（2－10）

下面給出式（2－10）的推導(dǎo)過(guò)程。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析14其中，2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析125首先假定只有徑向位移而沒(méi)有環(huán)向位移：

如圖（2－6）所示，在P點(diǎn)沿徑向和環(huán)向取兩個(gè)微段PA和PB，設(shè)PA移到了，位移為u；PB移到了，則P，A，B三點(diǎn)的位移分別為：徑向位移圖2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析15首先假定只有2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析126則PA的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線(xiàn)段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線(xiàn)段PB的轉(zhuǎn)角為：

所以有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析16則PA的正應(yīng)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析127其次，假定只有環(huán)向位移而沒(méi)有徑向位移:

見(jiàn)圖2－7，由于P點(diǎn)的環(huán)向位移v，徑向線(xiàn)段PA移段到了，環(huán)向線(xiàn)段PB移到了，則P，A，B三點(diǎn)的位移分別為：

可見(jiàn)：徑向線(xiàn)段PA的正應(yīng)變?yōu)椋簣D2-7環(huán)向位移圖2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析17其次，假定只2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析128環(huán)向線(xiàn)段PB的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

徑向線(xiàn)段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線(xiàn)段PB的轉(zhuǎn)角為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析18環(huán)向線(xiàn)段PB2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析129所以剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式（2－10）。

對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：，，則式（2－10）的平面極坐標(biāo)幾何方程為（2－11）

（2－11）

對(duì)于球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題：變形的幾何方程為式（2－12）

（2－12）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析19所以剪應(yīng)變?yōu)?023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析130注意：書(shū)中P47對(duì)方程（2－10）的相關(guān)項(xiàng)進(jìn)行了解釋?zhuān)约嚎匆幌隆?022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析20注2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析131第二節(jié)

應(yīng)變狀態(tài)分析

現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)變分量，試求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)（P點(diǎn)）的沿N方向的任一微小線(xiàn)段PN＝dr的正應(yīng)變，以及經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的微小線(xiàn)段PN和的夾角的改變。

令PN的方向余弦為l、m、n，則PN在坐標(biāo)軸上的投影為：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析21第二節(jié)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析132（2－13）

設(shè)P點(diǎn)的位移分量為u，v，w，則N點(diǎn)的位移分量為：略去高階項(xiàng)（小量）得：

同理可得：即有式（2－14）2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析22（2－13）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析133（2－14）

在變形后，線(xiàn)段PN在坐標(biāo)軸上的投影為（2－15）式：即

（2－15）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析23（2－14）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析134令線(xiàn)段PN的正應(yīng)變?yōu)?，則該線(xiàn)段變形后的長(zhǎng)度為：而且有

（2－16）

上式兩邊同除以，并利用（2－13）式得：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析24令線(xiàn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析135因?yàn)楹臀灰品至康膶?dǎo)數(shù)都是微小的，它們的平方和乘積可以不計(jì)，可得：

利用，上式可得：

再利用幾何方程可得：

（2－17）

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析25因?yàn)?023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析136下面來(lái)求PN和的夾角的改變

設(shè)PN在變形后的方向余弦為，則由式（2－13）和式（2－15）可以得到：

注意到，都是微小量，在展開(kāi)上式后，略去二階以上的微小量得：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析26下面來(lái)求PN2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析137同理可得出，即得出式（2－18）

（2－18）

與此類(lèi)似，設(shè)線(xiàn)段在變形之前的方向余弦為，則其在變形后的方向余弦為：2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析27同理可得出2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析138（2－19）

（2－20）

其中，是的正應(yīng)變。

令PN和在變形之前的夾角為，變形之后的夾角為，則有：

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析28（2－19）2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析139將式（2－18）和（2－19）代入，并略去高階微量可得：

利用幾何方程，并注意到，則有：（2－21）

由此可求出，進(jìn)而可求得。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析29將式（2－12023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析140由此可見(jiàn)：在物體內(nèi)的任一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)變分量，就可以求出經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任一線(xiàn)段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任意兩線(xiàn)段之間的夾角的改變。這就是說(shuō)，六個(gè)應(yīng)變分量完全決定了這一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。

2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析302023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析141第三節(jié)主應(yīng)變?cè)谘芯恳稽c(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，可以找到三個(gè)相互垂直的沒(méi)有剪應(yīng)力作用的平面，將這些面稱(chēng)為主平面，而這些平面的法線(xiàn)方向稱(chēng)為主方向。在研究應(yīng)變問(wèn)題時(shí)，同樣可以找到三個(gè)相互垂直的平面，在這些平面上沒(méi)有剪應(yīng)變，將這些面稱(chēng)為應(yīng)變主平面，而這些平面的法線(xiàn)方向稱(chēng)為應(yīng)變主方向。對(duì)應(yīng)于該主方向的正應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析31第三節(jié)主2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析142一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也可以用張量表示，這時(shí)引進(jìn)符號(hào)

（2－22）（書(shū)：2－13）

則應(yīng)變張量為：

（2－23）（書(shū)：2－14）

通常稱(chēng)為“工程剪應(yīng)變”2022/12/12周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析32一點(diǎn)2023/1/2周書(shū)敬第二章應(yīng)變分析143應(yīng)變張量還可以寫(xiě)為：

式中的不同