八年級最短路徑問題課件

最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容易得出，路徑（3）是最近的.依據(jù)“兩點之間，線段最短”.知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？容易得出，（2）是最短的.依據(jù)“垂線段最短”.l┐（1）（2）（3）?A如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？容易得出，AC=BC.依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”.ABlC如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2、體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的思想.1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.lBA思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.??Bl那你能用數(shù)學語言說明這個問題所表達的意思嗎？A這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將如圖：點A，B分別在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？??ABl如圖：點A，B分別在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖：點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應該怎么找呢？??ABl你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最??？?B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.??ABlC你能證明這個結(jié)論嗎？?如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′.由點C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點C的位置符合要求.l??AB?B′CC′證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，1、直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，此時點C就是線段AB與直線l的交點.??BlAC1、直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖2、直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點的B′，連接AB′交直線l于點C（也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C），此時點C就是所求作的點.??ABlCB′知識點22、直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水，如何選擇自來水廠的位置，可使用的水管最短？解：如圖，作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′，連接AB′交河邊a于點P，則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.??ABa??B′P跟蹤訓練如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點之間，線段最短D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角??ABlCB′隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）D分析：上述題目中應用了軸對稱把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”來解決，該過程用到了“轉(zhuǎn)化思想”，“兩點之間，線段最短”，驗證是否為最短距離時利用了三角形兩邊之和大于第三邊.??ABlCB′如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.分析：上述題目可以描述為，點C，D為線段AB同側(cè)的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線課堂小結(jié)最短路徑問題直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題課堂小結(jié)最短路徑直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和直線同側(cè)的兩如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點A到河岸CD中點距離為600，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離是（）

A.900B.1200C.1500D.1800ACDB如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC分析：“牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離”可以轉(zhuǎn)化為“點A，B均在河邊CD的同側(cè)，請在河邊CD上找一點E，使得AE+BE的值最小”.根據(jù)本節(jié)課所學的知識，點E比較容易找出，那AE+BE的值應該是多少呢？ACDB分析：“牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距離”可以轉(zhuǎn)化解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，連接A′B交CD于點E，連接AE.則點E即為所求的點.分析：如圖，A′C=AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD.猜測E是CD的中點，則AE=600，所以AE+BE=1200.ACDBEA′.解：延長AC至點A′，使得A′C=AC，分析：如圖，A′C=解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.∵A′C=AC=BD，在△A′CE和△BDE中，

∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，A′C=BD，則△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.∴點E是CD的中點.

∴AE=600，則AE+BE=A′E+BE=1200.ACDBEA′解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，ACDBEA′下課了同學們?nèi)私贪?數(shù)學-八年級上冊第1課時下課了同學們?nèi)私贪?數(shù)學-八年級上冊第1課時最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時最短路徑問題人教版-數(shù)學-八年級上冊第1課時知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容易得出，路徑（3）是最近的.依據(jù)“兩點之間，線段最短”.知識回顧如圖，從點A到點B有四條路線可選，哪一條是最近的？容如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是最短的？容易得出，（2）是最短的.依據(jù)“垂線段最短”.l┐（1）（2）（3）?A如圖，點A是直線l外一點，點A到直線l的所有路線中，哪一條是如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，則AC和BC的大小關(guān)系是什么？容易得出，AC=BC.依據(jù)“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”.ABlC如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點C是直線l上任意一點，1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.2、體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感受由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的思想.1、利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.lBA思考：相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.??Bl那你能用數(shù)學語言說明這個問題所表達的意思嗎？A這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將如圖：點A，B分別在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？??ABl如圖：點A，B分別在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖：點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應該怎么找呢？??ABl你能利用兩點分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最?。?B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.??ABlC你能證明這個結(jié)論嗎？?如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′.由點C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點C的位置符合要求.l??AB?B′CC′證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，1、直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，此時點C就是線段AB與直線l的交點.??BlAC1、直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.知識點1如圖2、直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點的B′，連接AB′交直線l于點C（也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C），此時點C就是所求作的點.??ABlCB′知識點22、直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水，如何選擇自來水廠的位置，可使用的水管最短？解：如圖，作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′，連接AB′交河邊a于點P，則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.??ABa??B′P跟蹤訓練如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點之間，線段最短D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角??ABlCB′隨堂練習如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）D分析：上述題目中應用了軸對稱把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”來解決，該過程用到了“轉(zhuǎn)化思想”，“兩點之間，線段最短”，驗證是否為最短距離時利用了三角形兩邊之和大于第三邊.??ABlCB′如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著A至B的路徑在地面爬行，小樹的樹頂D處有一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小蟲在AB之間何處被小鳥抓住時，小鳥飛行路程最短，在圖中畫出該點的位置.兩棵樹的位置如圖所示，樹的底部分別為點A，B，有一只昆蟲沿著解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E，則點E即為所求.也可作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連接CD′同樣交AB于點E的位置，則點E即為所求.解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C′，連接DC′交AB于點E如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.分析：上述題目可以描述為，點C，D為線段AB同側(cè)的兩點，在線段AB上找到一點E使得CE+DE的值最小.ACDBE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線段AB于點E，則點E即為所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE如圖，在等腰Rt△ABC中，D是BC邊的中點，E是AB邊上的一動點，要使EC+ED最小，請找點E的位置.解：如圖所示，作點D關(guān)于線段AB的對稱點D′，連接CD′交線課堂小結(jié)最短路徑問題直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題課堂小結(jié)最短路徑直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和直線同側(cè)的兩如圖，牧童在A處放牛，家在B處，A，B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD，若點A到河岸CD