飛項(xiàng)世軍本問題是一個(gè)典型預(yù)測要求我們根據(jù)已有數(shù)據(jù)結(jié)合人口特

1首先，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，通過對附錄中所給數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)只有2005年的數(shù)2005本文進(jìn)一步改進(jìn)，將2001-2004年第四階段的率進(jìn)行基于遞增數(shù)列均值差的非等Leslie2005把不同不同地區(qū)不同的人口出生率與率按人口比例得出各年總?cè)丝诘某錾逝c率考慮到在中短期內(nèi)人口的出生率與死與率，并以此得到反映人口發(fā)展變化規(guī)律的Leslie矩陣，得（2而在長期預(yù)測中其出生率與率應(yīng)該有所變化根據(jù)以往幾年的出生率與死亡率，預(yù)測出長期內(nèi)各年的出生率與率，并重新構(gòu)造Leslie矩陣，利用C語編程進(jìn)行模型求解（8205015.12005為基準(zhǔn)來未來人口進(jìn)行預(yù)測，在對偏微分方程的求解過程中，本了適當(dāng)降維簡化，利用Romberg（）求積公式計(jì)算得到了較為合理的結(jié)果，并與第一個(gè)些有效性的建議，有助于實(shí)現(xiàn)國家的人口發(fā)展目標(biāo)。2等趨勢平滑處 離散型人口預(yù)測模 連續(xù)偏微分人口預(yù)測模 ）求積公 熵權(quán)問題通過分析問題的附錄1《國家人口發(fā)展，可以發(fā)現(xiàn)近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，化進(jìn)程加速、出生人口比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長。數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，人口做出分析和預(yù)測是一個(gè)重要問題。比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展》(附錄1)還做出了進(jìn)一步的分析。關(guān)于口問題已有多方面的研究并積累了大量數(shù)據(jù)資料附錄2就是《中試從中國的實(shí)際情況和人口增長的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)，建立口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。模型1、在人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測時(shí)，不考慮人口遷入國境和遷出國境的情況，即認(rèn)為2、短時(shí)期的各個(gè)年份內(nèi)不考慮因?yàn)榛蛏钏綄Τ錾逝c率的影響3、假設(shè)90歲以及90歲以上的人口都看成是90歲4、在短期的人口預(yù)測中，其各個(gè)的人口率以及各婦女的率均保持問題的分

問題的分析與數(shù)據(jù)預(yù)處關(guān)于中國未來人口數(shù)量這個(gè)問題，前人做了許多研究工作。人口的預(yù)測模型有一元線性回歸法、自回歸法、指數(shù)函數(shù)法、冪函數(shù)法、多元回歸模型法、灰色系統(tǒng)法、F其中較為著名的是19世紀(jì)中葉荷蘭物學(xué)家Verhulst阻滯增長模型Logistic[1]到結(jié)構(gòu)比例等因素的影響事實(shí)上在人口預(yù)測中人口按分布以及按分布狀況是非常重要的，因?yàn)椴煌说穆屎吐视兄艽蟮牟钅敲炊呷丝诘陌l(fā)展?fàn)顩r將大不一樣同樣如果二者的比例不同，與化程度比例不同地區(qū)的人口分布狀況婦育率等因率以及遷移本文結(jié)合具體的背景資料不考慮人口遷移所帶來的影響對于出生率本文認(rèn)為其與國家政策以及人口素質(zhì)有關(guān)對于率其與2005（2001－20042005大，且其很好地反映了現(xiàn)實(shí)中各個(gè)的人口數(shù)隨的增長而呈現(xiàn)的規(guī)律，因此，2005數(shù)據(jù)的預(yù)處基于5.1中對問題的分析，又因?yàn)樵诙虝r(shí)間內(nèi)每年各個(gè)上的人口數(shù)量規(guī)律相差不大，所以本文以2005年的數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，來對2001－2004年的數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范通過分析本題在附件中所提供的城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)、農(nóng)村各段的率、比例年的人口數(shù)據(jù)尤其是不同地區(qū)各的率及育齡期女性各的率這些對預(yù)處理。因?yàn)?005年的數(shù)據(jù)真實(shí)度最大，且其很好地反映了現(xiàn)實(shí)中各個(gè)的人口數(shù)隨的增大而呈現(xiàn)的規(guī)律，因此，我們認(rèn)為2005年的數(shù)據(jù)是正常數(shù)據(jù)，它不但spss13.0、2001—2004因?yàn)樵诙虝r(shí)間內(nèi)每年各個(gè)上的人口數(shù)量規(guī)律相差不大所以我們以2005年的2001－20042001—2004年的率及率的失真性很大而其他數(shù)據(jù)失真不明顯我們主要依據(jù)這兩種因素對數(shù)據(jù)做相應(yīng)的處理。1、針對率的處理我們建立了率分段模型考慮到不同地區(qū)、不同以及不同上人口率的數(shù)據(jù)差異很大，我們從人口結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況出發(fā)，同時(shí)考慮率數(shù)據(jù)大小將分為四個(gè)階段：0——階段Ⅰ（出生時(shí)期1-39歲——階段Ⅱ（青40-60歲——階段Ⅲ（中；首先，分別計(jì)算2004年和2005年同一地區(qū)同一下不同階段內(nèi)的率的平2005為2004年各個(gè)上的率（處理前及處理后的數(shù)據(jù)分別見附錄一）886420率率城城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率圖 2004年40－60歲人口率處理前的分布狀城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率0-886420率率城城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率圖 2004年40－60歲人口率一次處理后的分布狀0-城城鎮(zhèn)女率率城市女0-城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率首先對階段Ⅳ的各上的人口率不做等趨勢平滑處理，而是在2005年數(shù)k(k=1,2,3…30),用k除以各k的累加和作為權(quán)值，然后乘以2004與2005年階段Ⅳ各段的人口率之和作為修正值加到2005年的數(shù)據(jù)上，即得到2004年對應(yīng)各段的人口率（見附錄一）率率率率86420城城鎮(zhèn)女率率城市86420城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率城率城市女率城率城鎮(zhèn)女率農(nóng)率農(nóng)村女率00率率0- 0- 城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率率50 50 城城鎮(zhèn)女率率城市女農(nóng)率率城農(nóng)村女率率從上邊圖表（圖7、圖8）中可以看出，階段處的“階梯效應(yīng)”已經(jīng)被很好的2、對率的預(yù)處由于2001—2004年的率存在著很多的零值，我們使用分段線性插值后的數(shù)據(jù)

模型20061,2,年，用t表示年份；20050依次記、女性為第⑴、⑵，用s表示；依次記市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)為第Ⅰ區(qū)域、Ⅱ區(qū)域、Ⅲ區(qū)域，用i表示r：表示各個(gè)xrt：該函數(shù)表示在第t年 為r的人口數(shù)量；[萬人rxst：該函數(shù)表示在第t年 為 為r的人口數(shù)量；[萬人rrxist：該函數(shù)表示在第t年，在i區(qū)域 為r 為s人口數(shù)量；[萬人r，brt：該函數(shù)表示在第t年 為r的中國 ，rbt：該函數(shù)表示在第t年 為r的中 婦女人數(shù)占 中國總?cè)藬?shù)的rrbit：該函數(shù)表示在第t年 為r的在第i個(gè)區(qū)域 婦女人數(shù)占該區(qū)域r婦女總?cè)丝诘谋壤?；即區(qū)域 育率drt：該函數(shù)表示在第t年， 為r的 率；即在第t年， 為r的 ，rdist：該函數(shù)表示在第t 為r的在第i個(gè)區(qū) 為s的人口 人數(shù)占，r區(qū)域總?cè)丝诘谋壤患磪^(qū) 率reist：該函數(shù)表示在第t年 為r的在第i個(gè)區(qū) 為s的人口數(shù)占該區(qū)r為s的總?cè)丝诘谋壤?；即區(qū)域比率n1t：表示第tn2t：表示第t年的人口化程度，即第t年老年人人口總數(shù)占總?cè)丝诘谋壤齬0：婦女開始r1：婦女進(jìn)行的最大系式但在此之前我們認(rèn)為口數(shù)量較大可以將總的人口數(shù)目看成是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，則人口數(shù)量變化可用微分方程建立的人口增長模型[1]。但由于對于不同的人口，其率是不相同的，所以率不僅是時(shí)間的函數(shù)，也是年齡的函數(shù)；而對于出生率，剛出生的人口是0歲，而對于其他，是不存在出生率、建立第t年、為r即當(dāng)前時(shí)刻 為r的總?cè)丝跀?shù)目對時(shí)間的一階微分應(yīng)等于人口出生率t0dxrtbt*xtdt*xtbtdt*xt

其中btbt

xst r, 1,...,r xr出生率、率都是時(shí)間和的函數(shù)，則上面的微分方程就有90個(gè)，分別求解這90Leslie由上述微分方程，取微分變量dt1 t1

txt1t1bt

r

bt

1

t1

r

bt1dt*

1 就可以求出后一年的人口數(shù)和人口關(guān)于的分布，且無后效性，即后一年的結(jié)果只與其前一年結(jié)果和前一年該人口的率和出生率有關(guān)，下面利用這個(gè)結(jié)論來對對于r010

x1

brr

d

t*x0t r對于1r88時(shí)，由式（1—3）可知后一年r1歲的人口數(shù)量為前一年r歲人 的人口，且bt0；r

1對于r89時(shí)，由式（1—3）可知后一年r1歲的人口數(shù)量為前一年r歲的人口減去的人口，以及前一年未的大于或等于90歲的人口；且同樣有rbt0；但根據(jù)假設(shè)3可以知道rLeslie

145Leslie、首先要對各個(gè)率與各上婦女的由題目的介紹可知各個(gè)率與各婦女的率是相對于人口來說女的各個(gè)率與各個(gè)婦女的 2對于為r的人口用i地區(qū)且為s的人口所占總?cè)丝诘谋壤艘栽撊丝诘穆剩}中已給出，然后對不同地區(qū)、的人口種數(shù)進(jìn)行加和處理，就得到了以往各年各個(gè)總的率與各婦女的率；233

xist

r即：dr

r*d

t,,

3ri1s1xr 3r

xi2t

i

br

r*brt,

ri1x2 r根據(jù)以上（1—7）式可以計(jì)算出從2001年到2005年各個(gè)的總率；其結(jié)根據(jù)以上（1—8）式可以計(jì)算出從2001年到2005年各婦女的率；根據(jù)間一般取15歲到49r015r149r14r50時(shí)，有brt0，基于此結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果見附錄二。Leslie

b90t0 0

L

1d1t0

1

1 1dt

1d89t

xt1

式就可以推出第t年的人口數(shù)量為： 1549r14r時(shí)，有brt0從網(wǎng)上的相關(guān)資料[2]查得2005年的總?cè)丝趚rt130756（萬人，根據(jù)題r所提供的2005年人口比例的數(shù)據(jù)，求得2005年各個(gè)的人口數(shù)目如下表 2005年各個(gè)的人口數(shù)目012345678人口數(shù)目（9x0

Leslie根據(jù)式（1—12，利用C語言編程（見附錄三）進(jìn)行求解，可以預(yù)測出未來短期幾年或十幾年的人口總數(shù)以及各的人口數(shù)目。未來短期內(nèi)各年份的預(yù)測結(jié)果如表 未來十幾年人口總數(shù)預(yù)測值人口總數(shù)（萬人預(yù)預(yù)測人口年年、人口化的研由假設(shè)5可以知道，要研究口的化，就要計(jì)算出中齡人在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，?dāng)此比例達(dá)到一定的值時(shí)，就可以判斷口是否已經(jīng)達(dá)到的程度，比如摘至題中的一句話，一般認(rèn)為，如果人口中65歲及以上老年人口超過7%，或60歲及以上老年人口超過10%，那么該人口就屬于老年型。表 中國各年份分的化程度表（認(rèn)為60歲以上為人化程度表 中國各年份分的化程度表（認(rèn)為65歲以上為人化程度人人口比50655065歲以上的人口比60歲以上的人口比，由以上數(shù)據(jù)及其圖像可以發(fā)現(xiàn)我齡化程度在就近這幾年里將持續(xù)增長，、出生人口比例的預(yù)測此處以前5年的出生人口比為依據(jù)，通過分析其前5年人口比的特征，并結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況，選擇一元線性回歸模型對未來短時(shí)間內(nèi)的出生人口比進(jìn)行預(yù)2000 20102000 2010 2020 2030年年比比圖11未來我國人口出 比發(fā)展趨勢比從其預(yù)測結(jié)果可以看出，我國人口出生比例在未來一段時(shí)間內(nèi)幾乎呈線性增口比的不斷增大，該預(yù)測結(jié)果符合現(xiàn)實(shí)情況。首先通過分析前5年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)三者之間的比例關(guān)系，并結(jié)合現(xiàn)實(shí)中三者之間人口的表 人口比 12在短期預(yù)測中，我們假設(shè)人口出生率和人口率是恒定的，當(dāng)用來預(yù)測有不同的人口出生率和人口率，所以我們的處理方法是，把未來一個(gè)長時(shí)期內(nèi)比50的不同年份，我們?nèi)约僭O(shè)它們具有相同的人口出生率和人口率，這樣處理之后首先我們從相關(guān)[3]上找到了中國在過去將近60年內(nèi)的各個(gè)年份的總?cè)丝跀?shù)目以及相應(yīng)年份的人口出生率和人口率，其相關(guān)數(shù)據(jù)如下：表 中國1950—2000年各年的出生率和率出生率率、用曲線擬和方法綜合考慮實(shí)際情況和變化趨勢分別對人口出生率率進(jìn)行指數(shù)分布擬和和線性擬和，從而預(yù)測得到較為符合未來85年的人口出生率和人口率如、表 未來85年的人口出生率和人口率預(yù)測出生率率—2001—二2006—三2011—四2016—五2021—六2026—七2031—八2036—九2041—十2046—2051—2056—2061—2066—2071—2076—2081—2086—根據(jù)以上預(yù)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用C（程序見附錄四）求解，可以得出一個(gè)較長表 未來85年總?cè)丝陬A(yù)測值（萬人（萬人（萬人（萬人年人口數(shù)量（萬人2090口仍然維持在14億以上，所以要使口數(shù)量達(dá)到某一合適較小的數(shù)量，還得經(jīng)表 （萬人（萬人（萬人（萬人（萬人（萬人-

模型、人口發(fā)展方程使人口數(shù)量和結(jié)構(gòu)變化的因素不外乎出生和遷移，由于此處、為研究任意時(shí)刻不 的人口數(shù)量，本文引入人口的分布函數(shù)和密度函數(shù)，刻t小于r的人口稱為人口分布函數(shù)，記作F(r,t)，其中

(t0變量，設(shè)F是連續(xù)、可微的，時(shí)刻t的人口數(shù)記為N(t)，最高記作rm，在這里，我們?nèi)m90，F(xiàn)(rt)，有

,,),(

2p(r,t)p(r,t)dr表示時(shí)刻 在r,rdr內(nèi)的人數(shù)

2記(r,t)為時(shí)刻t 在區(qū)間r,rdr內(nèi)的 率，其含義是：(r,t)p(r,t)dr表示時(shí)刻t 在r,rdr內(nèi)單位時(shí)間 為了得到p(r,t)所滿足的方程 時(shí)刻 在r,rdr內(nèi)的人到時(shí)刻tdt 變?yōu)閞dr1,rdrdr，這里dr1dt。而在dt這段時(shí)間內(nèi)的人數(shù)為(r,t)p(r,t)drdt。于是有[p(r,t)drp(rr1,tdt)]dr(r,t)[p(rdr1,tdt)p(r,tdt)]dr[p(r,tdt)p(r,t)]dr(r,t)注意到如果有dr1dtpp(r,t)p(r,

2 上式即為人口密度函數(shù)p(r,t)的一階偏微分方程，其中率(r,t)為已知函數(shù)。p(r,0)p0r)；單位時(shí)間出生的嬰p(0tf(tpp(r,t)p(r,t);t,r

p(r,0)p0

2 p(0,t)

fp(r以后，立即可以得到各 的人口數(shù)，即人口分布函rF(r,t)0p(s,r

2模型的求，不太長時(shí)率大致與時(shí)間無關(guān)，于是可近似地假設(shè)(r,t)(r)。這時(shí)上式（2-4），p(r,t)p0(r

rrr

,0t

2 f(tr)e0(s)ds,t20052005未來各年的人口總數(shù)目；在擬合人口分布函數(shù)時(shí)，先求出2005（0）r歲以前的人口數(shù)目，則對于一個(gè)，就有一個(gè)人口數(shù)目與之相對應(yīng)，則其函數(shù)形式為：F(r,t)Fr,0,其中r從上面定義可以看出Fr,0是關(guān)于r的離散函數(shù)，利用數(shù)學(xué)工具，對取得的數(shù)據(jù)表11各種預(yù)測方法接近程度比較表ModelSummaryandParameterModelRF61041-72-2-3-68-1DependentVariable:Theindependentvariableis圖142005年個(gè)人口分布函因此由圖中各近函數(shù)可得到人口分布函數(shù)的解析式為同理可以預(yù)測出人 率函數(shù)以及嬰兒出生率函數(shù)，其函數(shù)解析式如下 ft0.12t23.207t13.053；、根據(jù)式（2—2）prpr,0Fr,024.926r2738.607 、經(jīng)過以上的處理之后，利用式（2—4）p0,tft；利用此式也可以確定一個(gè)定解條件pr,tpr,t(r,t)p(r, p(r,0)p(r)24.926r 2p(0,t)f(t)0.12t23.207tr,00.004r20.13r即rrtr,02由于上式的積分很難用INT函數(shù)積出來，因此這里利用Romberg（）求積1250（萬人（萬人（萬人（萬人結(jié)果的優(yōu)鑒于以上三種模型都可以預(yù)測出2006－2021各年的總?cè)丝跀?shù)但三者之間有一定人人口數(shù) 年短期離散型預(yù) 長期離散型預(yù) 連續(xù)型預(yù)13熵權(quán)預(yù)測法預(yù)測的各年人口數(shù)值結(jié)果分率 模式由于p0(r)和(r)可以通過人口的統(tǒng)計(jì)與預(yù)測得到，(r,t)(r,0粗略估計(jì)。這樣，為了預(yù)測和控制人口的發(fā)展?fàn)顩r，人們主要關(guān)注和可以作為控制的就是嬰兒出生率f(t)。記女性性別比函數(shù)為k(rt)，即時(shí)刻t年齡在rrdr的女性人數(shù)為k(r,t)p(r,t)dr，將這些女性在單位時(shí)間內(nèi)平均每人的人數(shù)記作b(r,t)，在這里本f(t)15b(r,t)k(r,t)p(r,再將b(r,t)定義 b(r,t)(t)h(r,其中h(r,t)滿 15h(r,t)dr于 (t)49b(r,f(t)(t)15b(r,t)k(r,t)p(r,由上式可以看出，(t)的直接含義是時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)平均每個(gè)育齡女性的數(shù)。如果所有育齡女性的在其育齡期所及的時(shí)刻都保持這個(gè)數(shù)，那么(t)也表示平均每個(gè)女性的醫(yī)生的總和數(shù)，所以稱(t)為總和率。平

N(t)0p(r,R(t)190rp(r,

22N(t)，平均S(t)表示時(shí)刻t出生的人無論活到什么時(shí)候率都按時(shí)刻t的(r,，S(t)90e0(r,tt

2S(t)實(shí)際上是預(yù)估，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料得到當(dāng)前的率(r,0)后就可以算出S(0)化指數(shù)

其定義為(t)R(t)，顯然平 R(t)越大，(t)越大；S對于R(t)相同的兩個(gè)國家或地區(qū)，平均S(t)大的表示健康水平高，一個(gè)人在一 依賴性指數(shù)

(t)N(t)L(t)l2[1k(r,t)]p(r,t)drl2k(r,t)p(r,

2 其中[l1,l2]和[l1,l2]分別表示是和女性有勞動(dòng)能力的區(qū)間，L(t)是全體人口中(t)表示平均每個(gè)勞動(dòng)者要供養(yǎng)的人數(shù)。8果分析與1、由中短期的預(yù)測結(jié)果可以看出，在最初十幾年里，總?cè)丝跀?shù)量是逐年遞增的而此時(shí)中國婦女的率不是很高出這種情況的原因是我國人口基數(shù)過大2、由長期的預(yù)測結(jié)果看來，口將在2050年出現(xiàn)一個(gè)值，達(dá)到15.12050年，口將出現(xiàn)負(fù)增15，1：1.2，所以為了社會(huì)穩(wěn)定的人民的生活質(zhì)量必須加大措施避免這種情況的進(jìn)一步加劇，比如，可以出臺(tái)對于那些只了，，的家庭以適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)的精神慰藉還可以強(qiáng)加一些強(qiáng)制措施來調(diào)控出生，是不利的，所以國家5、從總?cè)丝诨潭壬峡?，口化程度非常高，在二十年代以后，化程度將超過20%，甚至將近達(dá)到30%左右，造成撫養(yǎng)比很高的情況，所以中國在加強(qiáng)的同時(shí)，又不能抓的太緊，即還要保持一定的出生率，維持整個(gè)人口的結(jié)構(gòu)，不能讓化程度過高等。綜上所述，中國必須加大對我國人口宏觀調(diào)控的力度，在保證有一定出生率的前提下，實(shí)行，注重提高人口的質(zhì)量，并適當(dāng)開展一些鼓勵(lì)措施，鼓勵(lì)那些只了的夫婦。并且還要加大對農(nóng)村基本建設(shè)的投資，關(guān)注“三農(nóng)”問題，把我國建設(shè)成一個(gè)和諧的。、模型的優(yōu)

9型的評價(jià)與拓1Leslie矩陣模型，通過人口增長無后效性的特點(diǎn)，建立Leslie矩陣，即人口增長矩陣，從而依次求出以后各年的總?cè)丝谝约案髂曛懈鞯娜丝跀?shù)。這種模型可以用來研究各種生物群落的發(fā)展，方法直觀易懂，可移植性好。另外我們還建立了續(xù)的人口預(yù)測模型，用該模型來進(jìn)行口的長期預(yù)測，并用此模型求解的結(jié)果與前一離散模型求解得到據(jù)進(jìn)行一個(gè)合理的轉(zhuǎn)換，我們用的基本方法是人口比例法，從而使問題得到的預(yù)測失真而對整體人口率的影響。、模型的缺