結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)課件

結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)第4章結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)第4章1目 錄4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系

目 錄4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率24.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本目的是使所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)滿足安全性、適用性和耐久性，也就是使結(jié)構(gòu)具有足夠的可靠性。結(jié)構(gòu)可靠性的概率度量稱為結(jié)構(gòu)的可靠度。也就是說，結(jié)構(gòu)的可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)與規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的概率。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本目的是使所設(shè)計(jì)34.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)完成各項(xiàng)功能的標(biāo)志可由相應(yīng)的極限狀態(tài)來衡量。結(jié)構(gòu)整體或某一部分超過某一特定狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)就不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一功能要求，這一特定狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。 因此，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是區(qū)分結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)為可靠或不可靠的分界線。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)完成各項(xiàng)功能的標(biāo)志可由相44.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率(1)承載能力極限狀態(tài)。這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到最大承載能力，或達(dá)到不適于繼續(xù)承載的變形。(2)正常使用極限狀態(tài)。這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到正常使用和耐久性的各項(xiàng)規(guī)定限值。 結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)一般可分為以下兩類：

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率(1)承載能力極限狀態(tài)。這種54.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是通過描述結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)定義的。設(shè)X1，X2，…，Xn為影響結(jié)構(gòu)功能的n個(gè)隨機(jī)變量，則下述隨機(jī)函數(shù)

Z=g(X1，X2，…，Xn)(4-1)稱為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn可以是構(gòu)件的幾何尺寸、材料的物理參數(shù)、結(jié)構(gòu)受到的外來作用等等。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的極64.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率當(dāng)Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)具有規(guī)定功能，即處 于可靠狀態(tài)；當(dāng)Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)喪失規(guī)定功能，即處 于失效狀態(tài)；當(dāng)Z=0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)，或稱 為極限狀態(tài)。

相應(yīng)地，方程

Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-2)

稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率當(dāng)Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)具有規(guī)定功74.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)出現(xiàn)小于零（Z<0）的概率稱為結(jié)構(gòu)的失效概率，用Pf表示。設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)式(4-1)已知，則失效概率Pf可由基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)的多維積分求得，即

(4-3) 類似地，結(jié)構(gòu)的可靠度Pr可表示為

(4-4)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)出現(xiàn)小于零（Z84.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 由概率論知識(shí)可知，可靠度與失效概率間存在以下互補(bǔ)關(guān)系：

Pr+Pf=1 (4-5)所以，計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度與計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率在工作任務(wù)上是等效的。

一般來說，直接計(jì)算積分式(4-3)或(4-4)十分困難。目前，通常采用比較簡(jiǎn)便的近似方法計(jì)算，而且往往先求得結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)，然后再求得相應(yīng)的失效概率。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 由概率論知識(shí)可知，可靠度與失94.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 設(shè)結(jié)構(gòu)承載能力功能函數(shù)為

Z=g(R，S)=R–S

(4-6)

相應(yīng)的極限狀態(tài)方程為

Z=R–S=0(4-7)式中R稱為結(jié)構(gòu)抗力(結(jié)構(gòu)抗力是指結(jié)構(gòu)抵抗破壞或變形的能力，如極限內(nèi)力、極限強(qiáng)度、極限剛度以及抗滑力、抗傾力矩等)；S稱為荷載效應(yīng)(荷載效應(yīng)是指由荷載引起的結(jié)構(gòu)構(gòu)件的內(nèi)力、位移等)。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 設(shè)結(jié)構(gòu)承載能力功能函數(shù)為相104.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 顯然，Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)失效。下面分兩種情況討論結(jié)構(gòu)可靠度和失效概率的計(jì)算方法：

R、S為正態(tài)分布變量

設(shè)抗力R、荷載效應(yīng)S均為正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為mR、mS和σR、σS，因此變量Z也是正態(tài)隨機(jī)變量，并具有均值mZ=mR

–mS，標(biāo)準(zhǔn)差 變量Z的概率密度函數(shù)為

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 顯然，Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于114.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率其分布如圖4-1所示。

(4-8)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率其分布如圖4-1所示。(4-124.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)失效概率Pf就等于圖4-1所示的陰影面積，而非陰影面積(Z>0部分)即為結(jié)構(gòu)的可靠度Pr。其公式表示分別為

(4-9)(4-10)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)失效概率Pf就134.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率2.R、S為非正態(tài)分布變量

設(shè)抗力R、荷載效應(yīng)S的概率密度函數(shù)分別為fR(r)、fS(s)，如圖4-2所示。 失效概率用數(shù)學(xué)式子表示為：

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率2.R、S為非正態(tài)分布變量144.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 為了計(jì)算失效概率，先來考慮荷載效應(yīng)S落在區(qū)間ds內(nèi)的概率。由圖4-3可以得到

而抗力R小于荷載效應(yīng)S的概率為

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 為了計(jì)算失效概率，先來考慮荷154.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率假定R和S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則二者在ds區(qū)域內(nèi)同時(shí)發(fā)生的概率應(yīng)等于上述兩種概率的乘積，即

結(jié)構(gòu)的失效概率Pf是在整個(gè)區(qū)間(0，∞)上R小于S的概率，所以有

(4-11)式中

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率假定R和S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量164.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 與上述討論相類似，又可得到失效概率的另一種計(jì)算公式：

(4-12)應(yīng)當(dāng)指出，式(4-3)是計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率的精確表達(dá)式，無論結(jié)構(gòu)功能函數(shù)是線性的還是非線性的，基本變量是相關(guān)的還是不相關(guān)的，均可用此式求結(jié)構(gòu)的失效概率。在變量R，S相互獨(dú)立的情況下，式(4-9)、(4-11)、(4-12)也是計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率的精確表達(dá)式。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 與上述討論相類似，又可得到失174.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 仍以具有兩個(gè)正態(tài)變量R和S的極限狀態(tài)方程為例，即

Z=R–S=0根據(jù)式(4-9)，有

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 仍以具有兩個(gè)正態(tài)變量R和S的184.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)將正態(tài)分布變量Z~N(mZ，σZ)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Y~N(0，1)，如右圖所示，則失效概率又可表示為

式中

(4-13)4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)將正態(tài)分布變量Z~N(mZ194.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)引入符號(hào)β，并令

(4-14a)可得

(4-15)式中β為一無因次的系數(shù)，稱為可靠指標(biāo)。

將式(4-14a)寫為

(4-14b)由圖(4-4)可見，z由到均值mZ這段距離可以用標(biāo)準(zhǔn)差去度量。

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)引入符號(hào)β，并令(4-14a204.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)214.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 式(4-15)表示了失效概率與可靠指標(biāo)的關(guān)系。利用式(4-5)還可導(dǎo)出可靠度與可靠指標(biāo)的關(guān)系為

(4-16)

β之所以稱為可靠指標(biāo)，是因?yàn)樗梢悦枋鼋Y(jié)構(gòu)的可靠度，具體原因如下：

1.β與結(jié)構(gòu)可靠度之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以它是結(jié)構(gòu)可靠度的度量。β越大，可靠度Pr亦越大，失效概率則越小。

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 式(4-15)表示了失效概率224.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 2.在某種分布下，當(dāng)σZ為常量時(shí)，β僅隨均值mZ變化。當(dāng)β增加時(shí)，概率密度曲線將由于均值mZ的增大而向右移動(dòng)（見圖4-5），這時(shí)失效概率Pf減小，而結(jié)構(gòu)可靠度Pr增大。4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 2.在某種分布下，當(dāng)σZ為234.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 設(shè)R、S為兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為mR、mS和σR、σS，極限狀態(tài)方程為

Z=R–S=0 (4-17) 為了討論方便，引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量R’、S’，使得

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 設(shè)R、S為兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，244.3可靠指標(biāo)的幾何涵義代入式(4-17)，可得以下形式的極限狀態(tài)方程

(4-18) 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間內(nèi)，極限狀態(tài)方程(4-18)表示一條直線，它將該空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)兩部分，如右圖所示。

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義代入式(4-17)，可得以下形式的254.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 由幾何學(xué)的知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)O到極限狀態(tài)直線的距離為：

將式(4-19)與式(4-14)比較可見，距離d就是可靠指標(biāo)β。所以，結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算式又可表示為

(4-19) 上述結(jié)論可以推廣到n維變量空間。一般地，設(shè)X1，X2，…，Xn為一組相互獨(dú)立的正態(tài)變量，極限狀態(tài)方程為：

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 由幾何學(xué)的知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)O到264.3可靠指標(biāo)的幾何涵義Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-20)式(4-20)可能是線性的，也可能是非線性的，它表示n維空間的一個(gè)曲面，該曲面將n維空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)。

將變量X1，X2，…，Xn轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為Y1，Y2，…，Yn，相應(yīng)的極限狀態(tài)方程即為

Z=G(Y1，Y2，…，Yn)=0(4-21)4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義Z=g(X1，X2，…，Xn)274.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 類似于兩個(gè)正態(tài)變量的情況，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離即為可靠指標(biāo)β。下圖表示的是三個(gè)正態(tài)變量的情況，圖中O點(diǎn)到曲面的最短距離OP*即為β值，曲面上的P*點(diǎn)稱為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 類似于兩個(gè)正態(tài)變量的情況，在標(biāo)準(zhǔn)284.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式1.正態(tài)變量表示的線性極限狀態(tài)方程

對(duì)于具有兩個(gè)正態(tài)變量R、S的線性極限狀態(tài)方程

Z=R–S=0由前面的討論得到可靠指標(biāo)β的計(jì)算公式為：

(4-22)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式1.正態(tài)變量表示的線29 式(4-22)可以推廣到n個(gè)變量的情況，設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量Xi(i=1，2，…，n)的線性極限狀態(tài)方程為：

其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

(4-23)(4-25)(4-24)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

式(4-22)可以推廣到n個(gè)變量的情況，設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量30可得結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算公式為：

(4-26) 若變量之間存在相關(guān)性，設(shè)變量Xi、Xj(i，j=1，2，…，n)的相關(guān)系數(shù)為ρij，則式(4-26)仍然成立，只需將計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σZ的公式更換為：

(4-27)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

可得結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算公式為：(4-26) 若變量之間存31例

4-14.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

設(shè)某零件在一點(diǎn)處的抗力為R，荷載效應(yīng)為S，均為正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

求該點(diǎn)處的可靠度。

例4-14.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式 設(shè)某零件在32解：由式(4-22)，得到

應(yīng)用式(4-16)，可得該點(diǎn)的可靠度為：

（查附表1：正態(tài)分布函數(shù)表）

例4-1解：由式(4-22)，得到應(yīng)用式(4-16)，可得該點(diǎn)的可33例

4-2 由錳鋼制成的拉桿，橫截面積為A，已知該拉桿承受的拉力Q和錳鋼材料的屈服極限應(yīng)力Rf均為正態(tài)變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

試求在失效概率Pf=4.8×10－7的條件下，拉桿的橫截面積A。

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

例4-2 由錳鋼制成的拉桿，橫截面積為A，已知該拉桿承受的34解：由查附表1得

代入式(4-22)得

例4-2可得

解：由查附表1得代入式(4-22)得例可得35將上式整理后得

解得

例4-2將上式整理后得解得例362.兩個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)變量表示的極限狀態(tài)方程

設(shè)R和S為對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量，則lnR和lnS即為正態(tài)分布變量。其統(tǒng)計(jì)參數(shù)分別表示為：

考慮極限狀態(tài)方程

可見Z也是正態(tài)分布變量，下面求Z的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

2.兩個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)變量表示的極限狀態(tài)方程 設(shè)R和S為對(duì)數(shù)正37 由式(2-38)得lnR、lnS的方差分別為：

于是Z的標(biāo)準(zhǔn)差如下：

由式(2-39)得lnR、lnS的均值分別為：

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

由式(2-38)得lnR、lnS的方差分別為：于是Z的標(biāo)38所以可得Z的均值為：

最后可得：

(4-28)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

所以可得Z的均值為：最后可得：(4-28)4.4計(jì)算可39 當(dāng)VR和VS都小于0.3時(shí)，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到：

其誤差小于2%。又當(dāng)VR和VS很小或近于相等時(shí)，有

(4-29)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

(4-28a) 當(dāng)VR和VS都小于0.3時(shí)，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到：其40例

4-34.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

某零件的強(qiáng)度R和荷載效應(yīng)S均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

求該零件的可靠度。

例4-34.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式 某零件的強(qiáng)度41解：由已知條件可得：

應(yīng)用式(4-28)得：

例4-3解：由已知條件可得：應(yīng)用式(4-28)得：例42對(duì)應(yīng)的可靠度為：

如果應(yīng)用近似公式(4-29)，可得：

例4-3對(duì)應(yīng)的可靠度為：

誤差為：2.3%對(duì)應(yīng)的可靠度為：如果應(yīng)用近似公式(4-29)，可得：例對(duì)434.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是抗力不能小于荷載效應(yīng)，其安全度是用安全系數(shù)來表示。例如，用均值表達(dá)的單一平均安全系數(shù)K可以定義為：

K=抗力平均值/荷載效應(yīng)平均值

=mR/mS (4-30)其相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為：

mR≥KmS(4-31)4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是抗力不能444.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，安全系數(shù)K存在兩個(gè)問題：它沒有定量地考慮抗力和荷載效應(yīng)的隨機(jī)性，而是靠經(jīng)驗(yàn)或工程判斷的方法取值，因此，難免帶有人為的因素或主觀臆斷的成分。由式(4-30)可見，K只與R和S的均值的比值有關(guān)，而與R和S的離散程度（σR，σS或VR，VS）無關(guān)，因此，它不能反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際安全情況。4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，安全系數(shù)45例如，在下圖中， 這說明它們的安全性一樣。但實(shí)際上它們的失效概率（與圖中陰影部分的面積有關(guān)）卻相差很大，當(dāng)然，結(jié) 構(gòu)的可靠度也大不相同。

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系例如，在下圖中， 這說明它們的安全性一樣。464.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 由式(4-14)所定義的可靠指標(biāo)，就解決了上述問題，它不僅與mR，mS的相對(duì)值有關(guān)，而且還反映了變量R和S的離散程度。所以，可靠指標(biāo)β比安全系數(shù)K更能反映結(jié)構(gòu)的安全程度。

下面通過數(shù)學(xué)公式加以說明。 由兩個(gè)正態(tài)變量R和S導(dǎo)出的可靠指標(biāo)式(4-14)，可得：

(4-32)4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 由式(4-14)所定義的可474.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系或

(4-33) 可見，從概率理論出發(fā)，可靠指標(biāo)除了與R和S的均值之比（即K）有關(guān)以外，還與變異系數(shù)VR，VS有關(guān)。另一方面，安全系數(shù)除了與R和S的均值有關(guān)之外，還與其方差及分布規(guī)律有關(guān)。

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系或(4-33) 可見，從484.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 目前，大多數(shù)國(guó)家的現(xiàn)行規(guī)范并不采用上一節(jié)所述的單一安全系數(shù)設(shè)計(jì)表達(dá)式，而是采用分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式。例如在恒載和活載組合下設(shè)計(jì)表達(dá)式為：

(4-34)式中γR為抗力分項(xiàng)系數(shù)，γG為恒載分項(xiàng)系數(shù)，而γQ為活載分項(xiàng)系數(shù)。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 目前，大多數(shù)國(guó)家的現(xiàn)行494.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 分項(xiàng)系數(shù)是利用分離函數(shù)得到的，分離函數(shù)的作用，是將其與可靠指標(biāo)聯(lián)系起來，將安全系數(shù)加以分離，使安全系數(shù)表達(dá)為分項(xiàng)系數(shù)的形式。 下面介紹兩種分離方法。0.75線性分離法 加拿大的林德（Lind）提出了0.75線性分離法，林德引入了分離函數(shù)φ1。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 分項(xiàng)系數(shù)是利用分離函數(shù)得到504.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)X1、X2為任意的兩個(gè)變量，令設(shè)

(4-35) 林德指出，當(dāng)1/3≤V1<3時(shí)，取φ1=0.75，相對(duì)誤差不超過6%，因而有

(4-36)這個(gè)線性化的分離公式，可將設(shè)計(jì)表達(dá)式化為分項(xiàng)系數(shù)的形式。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)X1、X2為任意的兩個(gè)變514.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)抗力和荷載效應(yīng)均為正態(tài)變量，且滿足1/3≤σR/σS

<3，則由式(4-14)可得

將式中的標(biāo)準(zhǔn)差用變異系數(shù)表示，并移項(xiàng)整理得

令

(4-37)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)抗力和荷載效應(yīng)均為正態(tài)變524.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系則相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為

(4-38)式中：γR為抗力均值分項(xiàng)系數(shù)；γs為荷載效應(yīng)均值分項(xiàng)系數(shù)。事實(shí)上，這里已隱含了可靠指標(biāo)β。

如果荷載效應(yīng)S是由恒載G和活載Q的效應(yīng)組成的，即S=G+Q，而且滿足1/3≤σG/σQ<3，同理還可以對(duì)γs再進(jìn)行分離，得到

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系則相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為(4-534.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(4-39)從而得到：

(4-40)相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為：

(4-41)式中：γG為恒載效應(yīng)分項(xiàng)系數(shù)；γQ為活載效應(yīng)分項(xiàng)系數(shù)。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(4-39)從而得到：(54例

4-4 設(shè)R、G、Q均為正態(tài)分布變量，VR

=0.16，VG

=0.09，VQ

=0.24，β=2.95，求當(dāng)K=mR/mS=2.0，荷載效應(yīng)比ρ=mQ/mG=1.0時(shí)，抗力分項(xiàng)系數(shù)γR、恒載分項(xiàng)系數(shù)γG和活載分項(xiàng)系數(shù)γQ。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系例4-4 設(shè)R、G、Q均為正態(tài)分布變量，VR=0.1655解：因?yàn)槔?-4比值

解：因?yàn)槔戎?6滿足式(4-40)要求的條件，因此可得結(jié)果如下：

例4-4滿足式(4-40)要求的條件，因此可得結(jié)果如下：例574.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系2.一般分離法

一般分離法通過一定的數(shù)學(xué)變換，定義分離函數(shù)φi，然后進(jìn)行分離。該法適用范圍廣，不僅可以用于兩個(gè)變量的情況，而且容易推廣到多個(gè)非正態(tài)變量的情況。 考慮任意兩個(gè)變量Xi、Xj，令

(4-42)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系2.一般分離法 一般分離584.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系φi、φj稱為分離函數(shù)，其值是小于1的數(shù)。于是有

(4-43) 對(duì)于n個(gè)變量Xj

(j=1，2，…，n)的情況，分離函數(shù)為：

(4-44)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系φi、φj稱為分離函數(shù)，其值594.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系同時(shí)有：

(4-45)下面討論上式的具體應(yīng)用。

功能函數(shù)為正態(tài)變量的線性函數(shù)

參考例4-4,設(shè)功能函數(shù)為Z=g(R，G，Q)=R–G–Q，則有

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系同時(shí)有：(4-45)下面604.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系所以

或者

移項(xiàng)整理后得到：

于是有：

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系所以或者移項(xiàng)整理后得到：614.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(4-46)式中

(4-47)上述結(jié)果也可按兩個(gè)變量進(jìn)行二次分離得到。4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(4-46)式中(4-4624.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(2)功能函數(shù)為一般情況

設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)Z為一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi

(i=1，2，…，n)的函數(shù)，即

將Z在均值處按泰勒級(jí)數(shù)展開并取一階近似式，可得均值和標(biāo)準(zhǔn)差的近似公式為：

(4-48)(4-49)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系(2)功能函數(shù)為一般情況634.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系式中 表示各偏導(dǎo)數(shù)在mXi(i=1，2，…，n)處取值。

仿照式(4-39)，可得分離函數(shù)φXi為：

(4-50)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系式中 表示各偏導(dǎo)數(shù)在mX644.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系由式(4-45)，可將下列根式分離并線性化為：

根據(jù)可靠指標(biāo)的定義：

(4-51)(4-52)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系由式(4-45)，可將下列根654.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系將式(4-51)代入式(4-52)可得

(4-53)4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系將式(4-51)代入式(4-66返回首頁

返回首頁 67結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)第4章結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)第4章68目 錄4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系

目 錄4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率694.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本目的是使所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)滿足安全性、適用性和耐久性，也就是使結(jié)構(gòu)具有足夠的可靠性。結(jié)構(gòu)可靠性的概率度量稱為結(jié)構(gòu)的可靠度。也就是說，結(jié)構(gòu)的可靠度是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)與規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的概率。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基本目的是使所設(shè)計(jì)704.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)完成各項(xiàng)功能的標(biāo)志可由相應(yīng)的極限狀態(tài)來衡量。結(jié)構(gòu)整體或某一部分超過某一特定狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)就不能滿足設(shè)計(jì)規(guī)定的某一功能要求，這一特定狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。 因此，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是區(qū)分結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)為可靠或不可靠的分界線。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)完成各項(xiàng)功能的標(biāo)志可由相714.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率(1)承載能力極限狀態(tài)。這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到最大承載能力，或達(dá)到不適于繼續(xù)承載的變形。(2)正常使用極限狀態(tài)。這種極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件達(dá)到正常使用和耐久性的各項(xiàng)規(guī)定限值。 結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)一般可分為以下兩類：

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率(1)承載能力極限狀態(tài)。這種724.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)是通過描述結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)定義的。設(shè)X1，X2，…，Xn為影響結(jié)構(gòu)功能的n個(gè)隨機(jī)變量，則下述隨機(jī)函數(shù)

Z=g(X1，X2，…，Xn)(4-1)稱為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn可以是構(gòu)件的幾何尺寸、材料的物理參數(shù)、結(jié)構(gòu)受到的外來作用等等。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，結(jié)構(gòu)的極734.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率當(dāng)Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)具有規(guī)定功能，即處 于可靠狀態(tài)；當(dāng)Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)喪失規(guī)定功能，即處 于失效狀態(tài)；當(dāng)Z=0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)，或稱 為極限狀態(tài)。

相應(yīng)地，方程

Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-2)

稱為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率當(dāng)Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)具有規(guī)定功744.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)出現(xiàn)小于零（Z<0）的概率稱為結(jié)構(gòu)的失效概率，用Pf表示。設(shè)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)式(4-1)已知，則失效概率Pf可由基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)的多維積分求得，即

(4-3) 類似地，結(jié)構(gòu)的可靠度Pr可表示為

(4-4)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)出現(xiàn)小于零（Z754.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 由概率論知識(shí)可知，可靠度與失效概率間存在以下互補(bǔ)關(guān)系：

Pr+Pf=1 (4-5)所以，計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度與計(jì)算結(jié)構(gòu)的失效概率在工作任務(wù)上是等效的。

一般來說，直接計(jì)算積分式(4-3)或(4-4)十分困難。目前，通常采用比較簡(jiǎn)便的近似方法計(jì)算，而且往往先求得結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)，然后再求得相應(yīng)的失效概率。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 由概率論知識(shí)可知，可靠度與失764.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 設(shè)結(jié)構(gòu)承載能力功能函數(shù)為

Z=g(R，S)=R–S

(4-6)

相應(yīng)的極限狀態(tài)方程為

Z=R–S=0(4-7)式中R稱為結(jié)構(gòu)抗力(結(jié)構(gòu)抗力是指結(jié)構(gòu)抵抗破壞或變形的能力，如極限內(nèi)力、極限強(qiáng)度、極限剛度以及抗滑力、抗傾力矩等)；S稱為荷載效應(yīng)(荷載效應(yīng)是指由荷載引起的結(jié)構(gòu)構(gòu)件的內(nèi)力、位移等)。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 設(shè)結(jié)構(gòu)承載能力功能函數(shù)為相774.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 顯然，Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)；Z<0時(shí)，結(jié)構(gòu)失效。下面分兩種情況討論結(jié)構(gòu)可靠度和失效概率的計(jì)算方法：

R、S為正態(tài)分布變量

設(shè)抗力R、荷載效應(yīng)S均為正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為mR、mS和σR、σS，因此變量Z也是正態(tài)隨機(jī)變量，并具有均值mZ=mR

–mS，標(biāo)準(zhǔn)差 變量Z的概率密度函數(shù)為

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 顯然，Z>0時(shí)，結(jié)構(gòu)處于784.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率其分布如圖4-1所示。

(4-8)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率其分布如圖4-1所示。(4-794.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)失效概率Pf就等于圖4-1所示的陰影面積，而非陰影面積(Z>0部分)即為結(jié)構(gòu)的可靠度Pr。其公式表示分別為

(4-9)(4-10)4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)失效概率Pf就804.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率2.R、S為非正態(tài)分布變量

設(shè)抗力R、荷載效應(yīng)S的概率密度函數(shù)分別為fR(r)、fS(s)，如圖4-2所示。 失效概率用數(shù)學(xué)式子表示為：

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率2.R、S為非正態(tài)分布變量814.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 為了計(jì)算失效概率，先來考慮荷載效應(yīng)S落在區(qū)間ds內(nèi)的概率。由圖4-3可以得到

而抗力R小于荷載效應(yīng)S的概率為

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 為了計(jì)算失效概率，先來考慮荷824.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率假定R和S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則二者在ds區(qū)域內(nèi)同時(shí)發(fā)生的概率應(yīng)等于上述兩種概率的乘積，即

結(jié)構(gòu)的失效概率Pf是在整個(gè)區(qū)間(0，∞)上R小于S的概率，所以有

(4-11)式中

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率假定R和S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量834.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 與上述討論相類似，又可得到失效概率的另一種計(jì)算公式：

(4-12)應(yīng)當(dāng)指出，式(4-3)是計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率的精確表達(dá)式，無論結(jié)構(gòu)功能函數(shù)是線性的還是非線性的，基本變量是相關(guān)的還是不相關(guān)的，均可用此式求結(jié)構(gòu)的失效概率。在變量R，S相互獨(dú)立的情況下，式(4-9)、(4-11)、(4-12)也是計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率的精確表達(dá)式。

4.1結(jié)構(gòu)可靠度與失效概率 與上述討論相類似，又可得到失844.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 仍以具有兩個(gè)正態(tài)變量R和S的極限狀態(tài)方程為例，即

Z=R–S=0根據(jù)式(4-9)，有

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 仍以具有兩個(gè)正態(tài)變量R和S的854.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)將正態(tài)分布變量Z~N(mZ，σZ)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Y~N(0，1)，如右圖所示，則失效概率又可表示為

式中

(4-13)4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)將正態(tài)分布變量Z~N(mZ864.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)引入符號(hào)β，并令

(4-14a)可得

(4-15)式中β為一無因次的系數(shù)，稱為可靠指標(biāo)。

將式(4-14a)寫為

(4-14b)由圖(4-4)可見，z由到均值mZ這段距離可以用標(biāo)準(zhǔn)差去度量。

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)引入符號(hào)β，并令(4-14a874.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo)884.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 式(4-15)表示了失效概率與可靠指標(biāo)的關(guān)系。利用式(4-5)還可導(dǎo)出可靠度與可靠指標(biāo)的關(guān)系為

(4-16)

β之所以稱為可靠指標(biāo)，是因?yàn)樗梢悦枋鼋Y(jié)構(gòu)的可靠度，具體原因如下：

1.β與結(jié)構(gòu)可靠度之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以它是結(jié)構(gòu)可靠度的度量。β越大，可靠度Pr亦越大，失效概率則越小。

4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 式(4-15)表示了失效概率894.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 2.在某種分布下，當(dāng)σZ為常量時(shí)，β僅隨均值mZ變化。當(dāng)β增加時(shí)，概率密度曲線將由于均值mZ的增大而向右移動(dòng)（見圖4-5），這時(shí)失效概率Pf減小，而結(jié)構(gòu)可靠度Pr增大。4.2結(jié)構(gòu)可靠度與可靠指標(biāo) 2.在某種分布下，當(dāng)σZ為904.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 設(shè)R、S為兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為mR、mS和σR、σS，極限狀態(tài)方程為

Z=R–S=0 (4-17) 為了討論方便，引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量R’、S’，使得

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 設(shè)R、S為兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，914.3可靠指標(biāo)的幾何涵義代入式(4-17)，可得以下形式的極限狀態(tài)方程

(4-18) 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量空間內(nèi)，極限狀態(tài)方程(4-18)表示一條直線，它將該空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)兩部分，如右圖所示。

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義代入式(4-17)，可得以下形式的924.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 由幾何學(xué)的知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)O到極限狀態(tài)直線的距離為：

將式(4-19)與式(4-14)比較可見，距離d就是可靠指標(biāo)β。所以，結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算式又可表示為

(4-19) 上述結(jié)論可以推廣到n維變量空間。一般地，設(shè)X1，X2，…，Xn為一組相互獨(dú)立的正態(tài)變量，極限狀態(tài)方程為：

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 由幾何學(xué)的知識(shí)可知，坐標(biāo)原點(diǎn)O到934.3可靠指標(biāo)的幾何涵義Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-20)式(4-20)可能是線性的，也可能是非線性的，它表示n維空間的一個(gè)曲面，該曲面將n維空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)。

將變量X1，X2，…，Xn轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為Y1，Y2，…，Yn，相應(yīng)的極限狀態(tài)方程即為

Z=G(Y1，Y2，…，Yn)=0(4-21)4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義Z=g(X1，X2，…，Xn)944.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 類似于兩個(gè)正態(tài)變量的情況，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離即為可靠指標(biāo)β。下圖表示的是三個(gè)正態(tài)變量的情況，圖中O點(diǎn)到曲面的最短距離OP*即為β值，曲面上的P*點(diǎn)稱為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。

4.3可靠指標(biāo)的幾何涵義 類似于兩個(gè)正態(tài)變量的情況，在標(biāo)準(zhǔn)954.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式1.正態(tài)變量表示的線性極限狀態(tài)方程

對(duì)于具有兩個(gè)正態(tài)變量R、S的線性極限狀態(tài)方程

Z=R–S=0由前面的討論得到可靠指標(biāo)β的計(jì)算公式為：

(4-22)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式1.正態(tài)變量表示的線96 式(4-22)可以推廣到n個(gè)變量的情況，設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量Xi(i=1，2，…，n)的線性極限狀態(tài)方程為：

其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

(4-23)(4-25)(4-24)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

式(4-22)可以推廣到n個(gè)變量的情況，設(shè)具有n個(gè)正態(tài)變量97可得結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算公式為：

(4-26) 若變量之間存在相關(guān)性，設(shè)變量Xi、Xj(i，j=1，2，…，n)的相關(guān)系數(shù)為ρij，則式(4-26)仍然成立，只需將計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σZ的公式更換為：

(4-27)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

可得結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算公式為：(4-26) 若變量之間存98例

4-14.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

設(shè)某零件在一點(diǎn)處的抗力為R，荷載效應(yīng)為S，均為正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

求該點(diǎn)處的可靠度。

例4-14.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式 設(shè)某零件在99解：由式(4-22)，得到

應(yīng)用式(4-16)，可得該點(diǎn)的可靠度為：

（查附表1：正態(tài)分布函數(shù)表）

例4-1解：由式(4-22)，得到應(yīng)用式(4-16)，可得該點(diǎn)的可100例

4-2 由錳鋼制成的拉桿，橫截面積為A，已知該拉桿承受的拉力Q和錳鋼材料的屈服極限應(yīng)力Rf均為正態(tài)變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

試求在失效概率Pf=4.8×10－7的條件下，拉桿的橫截面積A。

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

例4-2 由錳鋼制成的拉桿，橫截面積為A，已知該拉桿承受的101解：由查附表1得

代入式(4-22)得

例4-2可得

解：由查附表1得代入式(4-22)得例可得102將上式整理后得

解得

例4-2將上式整理后得解得例1032.兩個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)變量表示的極限狀態(tài)方程

設(shè)R和S為對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量，則lnR和lnS即為正態(tài)分布變量。其統(tǒng)計(jì)參數(shù)分別表示為：

考慮極限狀態(tài)方程

可見Z也是正態(tài)分布變量，下面求Z的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

2.兩個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)變量表示的極限狀態(tài)方程 設(shè)R和S為對(duì)數(shù)正104 由式(2-38)得lnR、lnS的方差分別為：

于是Z的標(biāo)準(zhǔn)差如下：

由式(2-39)得lnR、lnS的均值分別為：

4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

由式(2-38)得lnR、lnS的方差分別為：于是Z的標(biāo)105所以可得Z的均值為：

最后可得：

(4-28)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

所以可得Z的均值為：最后可得：(4-28)4.4計(jì)算可106 當(dāng)VR和VS都小于0.3時(shí)，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到：

其誤差小于2%。又當(dāng)VR和VS很小或近于相等時(shí)，有

(4-29)4.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

(4-28a) 當(dāng)VR和VS都小于0.3時(shí)，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到：其107例

4-34.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式

某零件的強(qiáng)度R和荷載效應(yīng)S均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

求該零件的可靠度。

例4-34.4計(jì)算可靠指標(biāo)β的兩個(gè)常用公式 某零件的強(qiáng)度108解：由已知條件可得：

應(yīng)用式(4-28)得：

例4-3解：由已知條件可得：應(yīng)用式(4-28)得：例109對(duì)應(yīng)的可靠度為：

如果應(yīng)用近似公式(4-29)，可得：

例4-3對(duì)應(yīng)的可靠度為：

誤差為：2.3%對(duì)應(yīng)的可靠度為：如果應(yīng)用近似公式(4-29)，可得：例對(duì)1104.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是抗力不能小于荷載效應(yīng)，其安全度是用安全系數(shù)來表示。例如，用均值表達(dá)的單一平均安全系數(shù)K可以定義為：

K=抗力平均值/荷載效應(yīng)平均值

=mR/mS (4-30)其相應(yīng)的設(shè)計(jì)表達(dá)式為：

mR≥KmS(4-31)4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是抗力不能1114.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，安全系數(shù)K存在兩個(gè)問題：它沒有定量地考慮抗力和荷載效應(yīng)的隨機(jī)性，而是靠經(jīng)驗(yàn)或工程判斷的方法取值，因此，難免帶有人為的因素或主觀臆斷的成分。由式(4-30)可見，K只與R和S的均值的比值有關(guān)，而與R和S的離散程度（σR，σS或VR，VS）無關(guān)，因此，它不能反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際安全情況。4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，安全系數(shù)112例如，在下圖中， 這說明它們的安全性一樣。但實(shí)際上它們的失效概率（與圖中陰影部分的面積有關(guān)）卻相差很大，當(dāng)然，結(jié) 構(gòu)的可靠度也大不相同。

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系例如，在下圖中， 這說明它們的安全性一樣。1134.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 由式(4-14)所定義的可靠指標(biāo)，就解決了上述問題，它不僅與mR，mS的相對(duì)值有關(guān)，而且還反映了變量R和S的離散程度。所以，可靠指標(biāo)β比安全系數(shù)K更能反映結(jié)構(gòu)的安全程度。

下面通過數(shù)學(xué)公式加以說明。 由兩個(gè)正態(tài)變量R和S導(dǎo)出的可靠指標(biāo)式(4-14)，可得：

(4-32)4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系 由式(4-14)所定義的可1144.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系或

(4-33) 可見，從概率理論出發(fā)，可靠指標(biāo)除了與R和S的均值之比（即K）有關(guān)以外，還與變異系數(shù)VR，VS有關(guān)。另一方面，安全系數(shù)除了與R和S的均值有關(guān)之外，還與其方差及分布規(guī)律有關(guān)。

4.5可靠指標(biāo)與安全系數(shù)的關(guān)系或(4-33) 可見，從1154.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 目前，大多數(shù)國(guó)家的現(xiàn)行規(guī)范并不采用上一節(jié)所述的單一安全系數(shù)設(shè)計(jì)表達(dá)式，而是采用分項(xiàng)系數(shù)表達(dá)式。例如在恒載和活載組合下設(shè)計(jì)表達(dá)式為：

(4-34)式中γR為抗力分項(xiàng)系數(shù)，γG為恒載分項(xiàng)系數(shù)，而γQ為活載分項(xiàng)系數(shù)。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 目前，大多數(shù)國(guó)家的現(xiàn)行1164.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 分項(xiàng)系數(shù)是利用分離函數(shù)得到的，分離函數(shù)的作用，是將其與可靠指標(biāo)聯(lián)系起來，將安全系數(shù)加以分離，使安全系數(shù)表達(dá)為分項(xiàng)系數(shù)的形式。 下面介紹兩種分離方法。0.75線性分離法 加拿大的林德（Lind）提出了0.75線性分離法，林德引入了分離函數(shù)φ1。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 分項(xiàng)系數(shù)是利用分離函數(shù)得到1174.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)X1、X2為任意的兩個(gè)變量，令設(shè)

(4-35) 林德指出，當(dāng)1/3≤V1<3時(shí)，取φ1=0.75，相對(duì)誤差不超過6%，因而有

(4-36)這個(gè)線性化的分離公式，可將設(shè)計(jì)表達(dá)式化為分項(xiàng)系數(shù)的形式。

4.6可靠指標(biāo)與分項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系 設(shè)X1