第六章線性空間

第六章線性空間§1集合?映射一、集合集合是數(shù)學中最基本的概念之一，所謂集合就是指作為整體看的一堆東西-組成集合的東西稱為這個集合的元素?用aM表示a是集合M的元素，讀為：a屬于M.用aFM表示a不是集合M的元素，讀為：a不屬于M.所謂給出一個集合就是規(guī)定這個集合是由哪些元素組成的?因此給出一個集合的方式不外兩種，一種是列舉法：列舉出它全部的元素，一種是描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).設M是具有某些性質(zhì)的全部元素所成的集合，就可寫成M="a|a具有的性質(zhì)一不包含任何元素的集合稱為空集，記作'.如果兩個集合M與N含有完全相同的元素，即aM當且僅當aN，那么它們就稱為相等，記為M二N.如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a?M可以推出a?N，那么M就稱為N的子集合，記為MN或N二M.兩個集合M和N如果同時滿足MN和N二M.,則M和N相等.設M和N是兩個集合，既屬于M又屬于N的全體元素所成的集合稱為M與N的交，記為MN.屬于集合M或者屬于集合N的全體元素所成的集合稱為M與N的并，記為MN.二、映射設M和M?是兩個集合，所謂集合M到集合M的一個映射就是指一個法則，它使M中每一個元素a都有M?中一個確定的元素a?與之對應.如果映射二使元素a>M與元素aM對應，那么就記為a■就為a在映射二下的像，而a稱為a■在映射二下的一個原像.M到M自身的映射，有時也稱為M到自身的變換.關于M到M?的映射匚應注意：M與M?可以相同，也可以不同；對于M中每個元素3，需要有M?中一個唯一確定的元素a?與它對應；一般，M?中元素不一定都是M中元素的像；M中不相同元素的像可能相同；兩個集合之間可以建立多個映射.集合M到集合M■的兩個映射二及?，若對M的每個元素a都有二(a)二.(a)則稱它們相等，記作二二...例1M是全體整數(shù)的集合，M?是全體偶數(shù)的集合，定義-(n)=2n,nM,這是M到M?的一個映射.例2M是數(shù)域P上全體n級矩陣的集合，定義5(A)A|,AM.這是M到P的一個映射.例3M是數(shù)域P上全體n級矩陣的集合，定義二2(a)二aE,aP.E是n級單位矩陣，這是P到M的一個映射.例4對于f(x)P[x],定義rf(X))=f(x)這是P[X]到自身的一個映射.例5設M，M是兩個北空的集合，a是M中一個固定的元素，定義0-(a)二a,aM.0這是M到M?的一個映射.例6設M是--個集合，定義二(a)二a,aM.即二把M的每個元素都映到它自身，稱為集合M的恒等映射或單位映射，記為1M.例7任意一個定義在全體實數(shù)上的函數(shù)y二f(x)都是實數(shù)集合到自身的映射，因此函數(shù)可以認為是映射的一個特殊情形.對于映射可以定義乘法，設匚及?分別是集合M到M，M■到M“的映射，乘積.二定義為(.；「)(a)=(；「(a)),aM,即相繼施行；「和.的結(jié)果，?；「是M到M”的一個映射.對于集合集合M到M的任何一個映射匚顯然都有1m一"M.映射的乘法適合結(jié)合律.設匚，?「分別是集合M到M，M■到M，M“到M托勺映射，映射乘法的結(jié)合律就是(-)；「-(；「).設二是集合M到M?的一個映射，用；「(M)代表M在映射二下像的全體，稱為M在映射二下的像集合.顯然；「(M)M.如果二(M)二M?，映射二稱為映上的或滿射.如果在映射二下，M中不同元素的像也一定不同，即由aA-a2一定有二(耳)==(a?)，那么映射二就稱為1-1的或單射.一個映射如果既是單射又是滿射就稱1-1對應或雙射.對于M到M?的雙射二可以自然地定義它的逆映射，記為匚*.因為二為滿射，所以M?中每個元素都有原像，又因為二是單射，所以每個元素只有一個原像，定義二'(a)二2,當二(a)=a.顯然，二」是M■到M的一個雙射，并且,■-'■-==iM'.不難證明，如果匚,.分別是M到M,M■到M”的雙射，那么乘積v就是M到M“的一個雙射.§2線性空間的定義與簡單性質(zhì)一、線性空間的定義.例1在解析幾何里，討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量算法?不少幾何和力學對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運算來描述的.10按平行四邊形法則所定義的向量的加法是V3的一個運算；2解析幾何中規(guī)定的實數(shù)與向量的乘法是RXV3到V3的一個運算.30由知道，空間上向量的上述兩種運算滿足八條運算規(guī)律.例2.數(shù)域P上一切矩陣所成的集合對于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法滿足上述規(guī)律.定義1令V是一個非空集合，P是一個數(shù)域.在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說給出了一個法則，.對于V中任意兩個向量〉與，在V中都有唯一的一個元素與它們對應，稱為〉與］的和，記為二：'■?在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域P中任一個數(shù)k與V中任一個元素一在V中都有唯一的一個元素：與它們對應，稱為k與〉的數(shù)量乘積，記為：二k〉.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：：1）:=■■:■;2）（、￡）；3）在V中有一個元素疽，都有：（具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素）；4）-?V,「V,st〉?1=0（1稱為〉的負元素）.數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5）1:；6)k(l：)=(kl):數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7）（k工|）：-k：：^l、；；8）k（；\^|；）=k很工k|;在以上規(guī)則中，k,l等表示數(shù)域P中任意數(shù)；：?「，等表示集合V中任意元素.例3數(shù)域P上一元多項式環(huán)P[x],按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構(gòu)成一個數(shù)域P上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于n的多項式，再添上零多項式也構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用P[x]表示.n例4元素屬于數(shù)域P的mn矩陣，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的一個線性空間，用Pmn表示?例5全體實函數(shù)，按函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實數(shù)域上的線性空間.例6數(shù)域P按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個自身上的線性空間.例7以下集合對于所指定的運算是否作成實數(shù)域R上的線性空間：1）平面上全體向量所作成的集合V,對于通常向量的加法和如下定義的純量乘法：a:二0,aRA-V.2）R上n次多項式的全體所作成的集合W對于多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法?例8設V是正實數(shù)集,R為實數(shù)域.規(guī)定，二---■（即〉與]的積），aO:■一a（即〉的a次幕），其中〉J?V,aR.則V對于加法①和數(shù)乘。作成R上的線性空間.二線性空間的簡單性質(zhì)線性空間的元素也稱為向量?當然這里的向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得，…代表線性空多?線性空間有時也稱為向量空間?以下用黑體的小寫希臘字母〉間V中的元素，用小寫拉丁字母a,b,c,…代表數(shù)域P中的數(shù).，…代表線性空零元素是唯一的.負元素是唯一的.3.0「-O;kO二0;(-‘1)一4.女口果k「二0,那么k二0或者〉二0.§3維數(shù)?基與坐標、向量的線性相關與線性無關定義2設V是數(shù)域P上的一個線性空間，〉1,?一，…，r（r-1）是V一組向量，kj,k2，…，kr是數(shù)域P中的數(shù)，那么向量:—匕.k二：r22稱為向量組〉1,=2,…的一個線性組合，有時也說向量〉可以用向量組〉1=2,…,r線性表出.^定義3設是V中兩個向量組，如果（1）中每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向量（1）可以用向量組（2）線性表出.如果（1）與（2）可以互相線性表出，那么向量組（1）與（2）稱為等價的.定義4線性空間V中向量…「（r_1）稱為線性相關，如果在數(shù)域Pr中有r個不全為零的數(shù)k「k2,...,kr，使匕：「k：”..k：=0.如果向量〉1」2,r不線性相關，就稱為線性無關.換句話說，向量組〉1,.七…，：“稱為線性無關，如果等式（3）只有在"k人《=0時才成立.幾個常用的結(jié)論：單個向量〉線性相關的充要條件是--0.兩個以上的向量:-1,；'2/'/■r線性相關的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合.如果向量組〉」2「，〉r線性無關，而且可以被t^ns線性表出，那么r豈s.由此推出，兩個等價的線性無關的向量組，必含有相同個數(shù)的向量

3.如果向量組：偵2,...，〉『線性無關，但:偵2,...，：r,1線性相關，那么’■可以由被^,.一,…線性表出，而且表示法是唯一的?在一個線性空間中究竟最多能有幾個線性無關的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性.定義5如果在線性空間V中有n個線性無關的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么V就稱為無限維的.定義6在n維線性空間V中，n個線性無關的向量；.；2,.，；n稱為V的一組基.設〉是V中任一向量，于是"，；2,…，線性相關，因此：可以被基；1,；2，...,；n線性表出：其中系數(shù)印月2,…,an是被向量〉和基；1,；2,.，；n其中系數(shù)印月2,…,an是被向量〉和基；1,；2,.，；n唯一確定的，這組數(shù)就稱為〉在I,；2；ni2n由以上定義看來，在給出空間V的一組基之前，必須先確定V的維數(shù).定理1如果在線性空間V中有n個線性無關的向量r,；2,.，〉n，且V中任一向量都可以用它們線性表出，那么V是n維的，而〉1,；2,-，）n就是V的一組基.例1在線性空間P[x]中，n2???|1,x,x,,xn是n個線性無關的向量，而且每一個次數(shù)小于n的數(shù)域P上的多項式都可以被它們線性表出，所以P[x]n是n維的，而1,x,x2/,xn4就是它的一組基.例2在n維的空間Pn中，顯然a=（1,0，..,0）,

s=（o,1，…,0）,=(0,0,,1)是一組基.對于每一個向量：=6A2,,a),都有n所以(a-az,…,an)就是向量〉在這組基下的坐標.例3如果把復數(shù)域K看作是自身上的線性空間，那么它是一維的，數(shù)1就是一組作是實數(shù)域上的線性空間，那么就是二維的，數(shù)1與i就是一組基.這個例子告訴我們，維數(shù)是和所考慮的數(shù)域有關的?§4基變換與坐標變換在n維線性空間中，任意n個線性無關的向量都可以取作空間的基.對于不同的基，同一個向量的坐標一般是不同的.隨著基的改變，向量的坐標是怎樣變化的.設；1,；2,…，；n與；1,；2,...,；n是n維線性空間V中兩組基是它們的關系引11引+=all；2=*12~二1名a2l?+...*anin‘'玄22二2Wn，小,,2121222(1)\-：n=aln；設向量在這兩組基下的坐標分別是（x,x/,x）與（x；,x,x），即=X1；1-X2；2Xn.：n?⑵■■■'n；nX2；2丁現(xiàn)在的問題就是找出成,％*）與（X；,X2,,X）的關系.首先指出，（1）中各式的系數(shù)@1j,a2j,,anj),j=1,2,,n實際上就是第二組基向量打（j=1,2，…，n）在第一組基下的坐標.向量...2，「的線性無關性就保證了（1）中系數(shù)矩陣的行列式不為零.換句話說，這個；1；2,…；n矩陣是可逆的.為了寫起來方便，引入一種形式的寫法.把向量=洛“X2；2寫成(3)g也就是把基寫成一個1n矩陣，把向量的坐標寫成一個n1矩陣，而把向量看作是這兩個矩陣的乘積.所以說這種寫法是”形式的”，在于這里是以向量作為矩陣的元素，一般說來沒有意義.不過在這個特殊的情況下，這種約定的用法是不會出毛病的.相仿地，（1）可以寫成ailai2ain(；1,；2,...,；n(；1,；2,...,；na2ia22a2nan1an2ann矩陣ai1ai2aina21a22a2nanian2ann稱為由基；i,；2,.，；n到；1,；2,.，；n的過渡矩陣，它是可逆的在利用形式寫法來作計算之前，首先指出這種寫法所具有的一些運算規(guī)律設〉?,〉2,i,〉n和1,gn是V中兩個向量組，Aa,B=是兩個nni2n-1-2-na=j矩陣，那么(C./o/）A）B（AB）；i/2/，:n=,(:1,：2'，:nC.)A.）B）（AB）；i,：22,，:n(:i,：2，:n=(:i,：22,,：nCi,：2,，:n)A1’2「n)A=(:i2「2，,：n：n）A.現(xiàn)在回到本節(jié)所要解決的問題上來?由⑵有￡，一x2用⑷代入，得ailai2aina21a22a2nX2=(；1,；2an2ann與⑶比較，由基向量的線性無關性，得或者,an2向量的坐標變換公式a12a22（5）與（6）給出了在基變換（4）下例1在§3例2中有或者,an2向量的坐標變換公式a12a22（5）與（6）給出了在基變換（4）下例1在§3例2中有10…。（g,...，瞄）=（引,?,…0、0<1a1■■、▲就是過渡矩陣?不難得出A-1100■■■0-10000-10…。3333000..1』I因此10fX1-10/X1X20-1X2R---aali000…1豚也就是X1=X1,XiP-Xy（i=2，???，）.上ana12...am'-—a21-&2...-a2nx2*lXn}||&n1a9n2...」annJ<Xn與§3所得出的結(jié)果是一致的例2取V2的兩個彼此正交的單位向量m，?：2它們作成V2的一個基.令；2sinA2分別是由；j，遼旋轉(zhuǎn)角二所得的向量，則頊；2也是嶺的一個基，有=；［COST一-VsinA2所以S21｛場，到｛言丁監(jiān)｝的過渡矩陣是cost-sin日'、isin日cos日J'設嶺的一個向量?關于基｛；j,律｝和｛頊；2｝的坐標分別為（NX）與3冉）.sinA2所以S21｛場，到｛言丁監(jiān)｝的過渡矩陣是于是由⑸得cos8-sin0Nx；,

(x2j(Sin日CO羽J區(qū)2/X；=X；COS-x2sinB,x；x；sin日+x；cos這正是平面解析幾何里，旋轉(zhuǎn)坐標軸的坐標變換公式、線性子空間的概念定義7數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集合W稱為V的一個線性子空間（或簡稱子空間），如果W對于的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間.V定理2如果線性空間V的一個非空集合W對于V兩種運算是圭寸閉的，也就是滿足上面的條件1,2,那么W就是一個子空間.既然線性子空間本身也是一個線性空間，上面引入的概念，如維數(shù)、基、坐標等，當然也可以應用到線性子空間上.因為要線性子空間中不可能比在整個子空間中有更多數(shù)目線性無關的向量.所以，任何一個線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的維數(shù).例1在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間?例2線性空間本身也是V的一個子空間.V在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時叫做V的平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.TOC\o"1-5"\h\z例3在全體實函數(shù)組成的空間中，所有的實系數(shù)多項式組成一個子空間.例4P[xh是線性空間P[x]的子空間.例5在線性空間Pn中，齊次線性方程組乃們攙+a!2X2++amXna21x1a22x2■'a2nxn=0，a”！as2X2asnXn-0的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間?解空間的基就是方程組的基礎解系，它的維數(shù)等于n-r，其中r為系數(shù)矩陣的秩.二、生成子空間設是線性空間V中一組向量，這組向量所有可能的線性組合k12：2r所成的集合是非空的，而且對兩種運算封閉，因而是V的一個子空間，這個子空間叫做由〉Q卜，：r生成的子空間，記為L（:1,：2,，:八由于空間的定義可知，如果V的一個子空間包含向量r,〉2「，〉r，那么就一定包含它們所有的線性組合，也就是說，一定包含LC],一,-,〉」作為子空間.在有限維線性空間中，任何一個子空間都可以這樣得到?事實上，設W是V的一個子空間，W當然也是有限維的.設：“，一，…，一是W的一組基，就有W=L（:偵2,，："定理31）兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價.2）L（:1,：2,，:r）的維數(shù)等于向量組〉1「2,...『的秩?定理4設W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間/是W的一組基，那么這組向量必可擴充為整個空間的基.也就是說，在V中必定可以找到n-m個向量：■-「使得〉2，〉n是V的一組基.結(jié)論數(shù)域P上線性空間V的一個北空子集w是V的一個子空間二-a,bF,:W,F,:W,都有a：b：W.§6子空間的交與和定理5如果V,V是線性空間V的兩個子空間，那么它們的交VV也是V的子空間.由集合的交的定義有，子空間的交適合下列運算規(guī)律：V.V2=V2Vi(交換律)，(V.V2)V3=Vi(V2V3)(結(jié)合律)由結(jié)合律，可以定義多個子空間的交：syV2iNs二V，i4它也是子空間.定義8設V.,V2是線性空間V的子空間，所謂V與V2的和，是指由所有能表示成小，而：1V.,：2V2的向量組成的子集合，記作V.V2.定理6如果V.，V2是線性空間V的子空間，那么它們的和V.V2也是V的子空間.由定義有，子空間的和適合下列運算規(guī)律：V.V2二V2V.(交換律)，(V.V2)V3=V.(V2V3)(結(jié)合律).由結(jié)合律，可以定義多個子空間的和sTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"yV2vsv「它是由所有表示成：i：2iws，：iVi(i=i，2，，司的向量組成的子空間.關于子空間的交與和有以下結(jié)論：i.設y，v，w都是子空間，那么由WV與WV2可推出WvV2；而2i由w二V.與甲二V2可推出w二V.V2.

2.對于子空間V與V2，以下三個論斷是等價的:1)叫VV123)V乂-V2.例1在三維幾何中用V表示一條通過原點的直線，V表示一張通過原點而12且與V垂直的平面，那么，V與V2的交是心，而V與V2的和是整個空間.例2在線性空間Pn中，用V與V2分別表示齊次方程組ax-ax川’…川‘a(chǎn)X=0,

1111221nna21X1a22X2…a2nXn二0，as1X1aS2X2asnXn二0'bxbXbmX=0,111122nb21X1b22X2■b2nXn-0,JbtnXn=0的解空間，那么V1V2就是齊次方程組anX]+a12X2+-+a1nXn=0，as1X1+氣2知.+如％=0，bX+b12X2+??+bmXn=1110,nbt1X1+必2+..?+/=0bt1X1+必2+..?+/=0的解空間?1,,-t).例3在一個線性空間V中，L（：1，：2,，：S）L（關于兩個子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理定理7（維數(shù)公式）如果V1，V2是線性空間V的兩個子空間，那么維（V）+維（V）=維^1v2）+維（1,,-t).從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小.推論如果n維線性空間v中兩個子空間M,V2的維數(shù)之和大于n,那么V.,V必含有非零的公共向量定義9設VV是線性空間V的子空間，如果和VV中每個向量〉的分解式12是唯一的，這個和就稱為直和，記為y二v.2定理8和V-V2是直和的充要條件是等式：1：2=0,:1皿1,2)只有在:-全為零時才成立.i推論和ViV是直和二ViV2=心.定理9設V,V之是線性空間V的子空間，令W=VrV「則W=Vi二V2=維(W)=維(V)+維(V2).定理10設U是線性空間V的一個子空間，那么一定存在一個子空間W使V=U二W.子空間的直和的概念可以推廣到多個子空間的情形.定義10設Vj,V2,…，Vs都是線性空間V的子空間，如果和ViVAVs中每個向量:-的分解式:s，:iVi(i=1，2,,s)是唯一的，這個和就稱為直和，記為VAV?三…三V.s定理11V1,V2,…,Vs是線性空間V的一些子空間，下面這些條件是等價的：nV是直和；i零向量的表法唯一；V「Vj=0(i=1,2,,s);j#維(W)八維(V).i§8線性空間的同構(gòu)設；1,;2,...，；n是線性空間V的一組基，在這組基下，V中每個向量都有確定的坐標，而向量的坐標可以看成Pn元素，因此向量與它的坐標之間的對應實質(zhì)上就是V到Pn的一個映射.顯然這個映射是單射與滿射，換句話說，坐標給出了線性空間V與Pn的一個雙射.這個對應的重要性表現(xiàn)在它與運算的關系上.設\?a2；2?…?an；n,:(1,b

n；n而向量:,的坐標分別是（a「a,,a）,（b!,b,,b），那么2n2n二=（a「bj）「（a2b2）；2（abn）；n；k：=rka22「■■■kane于是向量二4〉，的坐標分別是佝bAb,,a-b）二佝耳，a）（db,,6）,（ka.,ka,,ka）=k（a,a,,a）.2nn|2ni2n‘以上的式子說明在向量用坐標表示之后，它們的運算就可以歸結(jié)為它們坐標的運算.因而線性空間V的討論也就可以歸結(jié)為Pn的討論.定義11數(shù)域P上兩個線性空間V與V?稱為同構(gòu)的，如果由V到V?有一個雙射匚，具有以下性質(zhì)：1）二（：：7）_；「（_:"?；「（-）；2）二（k：）=k；「（：）.其中〉「是V中任意向量，k是P中任意數(shù).這樣的映射匚稱為同構(gòu)映射.前面的討論說明在n維線性空間V中取定一組基后，向量與它的坐標之間的對應就是V到Pn的一個同構(gòu)映射?因而，數(shù)域P上任一個n維線性空間都與Pn同構(gòu).由定義可以看出，同構(gòu)映射具有下列性質(zhì)：二（0）=0,二（丫）--；（?）.2.；「（《：rk.廣工k：）二匕二C.）k二（：）工^k二2：2r:r122r（:）?r3.v中向量組〉,2，i，〉r線性相關=它們的象匚（:1），二（：2）;，線性相關?因為維數(shù)就是空間中線性無關向量的最大個數(shù)，所以由同構(gòu)映射的性質(zhì)可以推知，同構(gòu)的線性空間有相同的維數(shù)?如果V是V的一個線性子空間，那么，V在二下的象集合匚（VJ=1（）I：;wg是二（V）的子空間，并且Y與二（Vj）維數(shù)相同.同構(gòu)映射的逆映射以及兩個同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.同構(gòu)作為線性空間之間的一種關系，具有反身性、對稱性與傳遞性-既然數(shù)域P上任意一個n維線性空間都與Pn同構(gòu)，由同構(gòu)的對稱性與傳遞性即得，數(shù)域P上任意兩個維線性空間都同構(gòu).定理i2數(shù)域P上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù).由線性空間的抽象討論中，并沒有考慮線性空間的元素是什么，也沒有考慮其中運算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數(shù)性質(zhì)?從這個觀點看來，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的?因之，定理i2說明了，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征?第六章、線性空間（小結(jié)）線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數(shù)理論的抽象性和應用的廣泛性?一、線性空間線性空間的概念線性間的性質(zhì)⑴線