演繹歸納類(lèi)比課件

推理推理就是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出一個(gè)新判斷的思維形式。任何推理都是由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；一部分是推出的新判斷，即結(jié)論。推理分為演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理推理推理就是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出一個(gè)新判斷的思維形式。1演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識(shí)的前提，推出個(gè)別性知識(shí)結(jié)論的推理，即從一般到個(gè)別的推理。三段論：大前提、小前提和結(jié)論公理一：凡肯定一類(lèi)就能肯定一類(lèi)中的一部分公理二：凡否定一類(lèi)就能否定一類(lèi)中的一部分演繹法演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識(shí)的前提，推出個(gè)別性知識(shí)結(jié)2歸納推理歸納推理是以個(gè)別知識(shí)的判斷為前提，推出一般性知識(shí)的判斷為結(jié)論的推理。根據(jù)前提中是否考察了某類(lèi)事物的全部對(duì)象，歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。歸納推理歸納推理是以個(gè)別知識(shí)的判斷為前提，推出一般性知識(shí)的判3歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀(guān)察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,4歸納推理的一般步驟：試驗(yàn)、觀(guān)察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論歸納推理的一般步驟：試驗(yàn)、觀(guān)察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論5結(jié)論對(duì)于所有的自然數(shù)n,前五個(gè)均是質(zhì)數(shù)結(jié)論對(duì)于所有的自然數(shù)n,前五個(gè)均是質(zhì)數(shù)64=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:

“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”----歌德巴赫猜想結(jié)論:目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於1966年證明的，稱(chēng)為陳氏定理.“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ６己?jiǎn)稱(chēng)這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。4=2+2前提:“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素7例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且分別把n=1,8例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測(cè):把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬9n=1時(shí),n=1時(shí),10n=2時(shí),n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),11n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),12n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),13n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),14n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:15例2:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.例2:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用16464556598464556598174645565986686128126104645565986686128126101846455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式46455659866861281261077916910119類(lèi)比推理類(lèi)比推理是兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同，而且已知其中一個(gè)對(duì)象還具有其他屬性，由此推斷另一個(gè)對(duì)象也具有同樣屬性的推理。類(lèi)比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無(wú)法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯(lián)系。但是，它是獲得新思路，新發(fā)現(xiàn)的一種觀(guān)點(diǎn)、一種手段。類(lèi)比推理是探索真理的重要邏輯形式。

類(lèi)比推理類(lèi)比推理是兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同，而且已知其中一20類(lèi)比推理的邏輯形式類(lèi)比推理可用如下公式表示：A對(duì)象具有a、b、c、d屬性，B對(duì)象具有a、b、c屬性，因此，B對(duì)象可能也有d的屬性類(lèi)比推理的特征(1)類(lèi)比推理的方向是從個(gè)別到個(gè)別，或從一般到一般。(2)類(lèi)比推理的結(jié)論是或然的。類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類(lèi)比推理的邏輯形式21⑶檢驗(yàn)猜想。觀(guān)察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論類(lèi)比推理的一般步驟:⑴找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；即類(lèi)比推理的一般模式:所以B類(lèi)事物可能具有性質(zhì)d′.A類(lèi)事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類(lèi)事物具有性質(zhì)a′,b′,c′,(a,b,c與a′,b′,c′相似或相同）⑶檢驗(yàn)猜想。觀(guān)察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論類(lèi)比推理的一般步22演繹歸納類(lèi)比課件231.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸;2.人們仿照魚(yú)類(lèi)的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑?發(fā)明了潛水艇.3.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類(lèi)似的特征;1)火星是繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.1.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸;2.人們仿24①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類(lèi)比得空間向量的性質(zhì)①②③④⑤⑥若，則25例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b2例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、A26類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質(zhì)的猜想．3個(gè)面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S

3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質(zhì)27例4、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長(zhǎng)面積球截面圓大圓表面積體積例4、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一28圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦球心與不過(guò)球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圓的性質(zhì)類(lèi)比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長(zhǎng)圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距29例6.利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比得等比數(shù)列性質(zhì)例6.利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比得等比數(shù)列性質(zhì)30n+m=p+q時(shí),am+an=ap+aqn+m=p+q時(shí),aman=apaq任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中項(xiàng)，為當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)，為成等差數(shù)列成等比數(shù)列下標(biāo)等差,項(xiàng)等差下標(biāo)等差,項(xiàng)等比n+m=p+q時(shí),n+m=p+q時(shí),任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中31例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思考：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確呢？又如,在平面內(nèi)，若a⊥c,b⊥c,則a//b.類(lèi)比到空間，你會(huì)得到什么結(jié)論？并判斷正誤.錯(cuò)誤（可能相交）猜想:在空間中，若a⊥g，b⊥g,則a//b。例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等32歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn)

歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀(guān)察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理.從具體問(wèn)題出發(fā)觀(guān)察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類(lèi)比提出猜想歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn)歸納推理和類(lèi)比推理33分割問(wèn)題中的類(lèi)比

1．問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？

平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果5個(gè)平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較少。但5個(gè)平面如何相交最多以致分割最多，一時(shí)也想不清楚，先把問(wèn)題一般化，再把問(wèn)題特殊化，逐漸找規(guī)律。分割問(wèn)題中的類(lèi)比1．問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空34

2．問(wèn)題一般化：n個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？記分為個(gè)部分，再令把問(wèn)題特殊化。2．問(wèn)題一般化：n個(gè)平面最多把空35

3．問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以便“類(lèi)比”

4個(gè)平面的情況不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空間分割最多。平面相交最多，有兩個(gè)含義，一是每個(gè)平面都與其它的所有平面相交，二是每個(gè)平面都不過(guò)它以外任意三個(gè)平面的交點(diǎn)（三個(gè)平面一般情況下相交于一個(gè)點(diǎn)）。3．問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以36

由此我們想到了空間的四面體，這似乎是四個(gè)平面相交最多（從而分割最多）的情況，把四面體的四個(gè)面延展成四個(gè)平面，是否就能把空間分為最多的部分呢？到底現(xiàn)在把空間分成了幾個(gè)部分呢？暫難想象。由此我們想到去類(lèi)比“直線(xiàn)分割平面”的情形。由此我們想到了空間的四面體，這似37

4．類(lèi)比3條直線(xiàn)分割平面的情形這也可以看成是把三角形的三條邊均延長(zhǎng)為直線(xiàn)，看這3條直線(xiàn)把平面分為幾部分。數(shù)一數(shù)，是7部分。這對(duì)我們有什么啟示？4．類(lèi)比3條直線(xiàn)分割平面的情形38

②①③④⑤⑥⑦

39我們分析一下這7個(gè)部分：①是有限的部分，原三角形內(nèi)部；而幾個(gè)無(wú)限部分，或與原三角形有公共頂點(diǎn)（②，③，④），或與原三角形有公共邊（⑤，⑥，⑦）。把它們加起來(lái)，于是1+3+3=7。所以3條直線(xiàn)分割平面，最多分為7個(gè)部分。我們分析一下這7個(gè)部分：①是有限的40

5．類(lèi)比考慮四面體的四個(gè)面延展成4個(gè)平面，把空間分為幾個(gè)部分：有限部分（四面體內(nèi)部）數(shù)為1；無(wú)限部分與原四面體或有一個(gè)公共頂點(diǎn)（有4個(gè)部分），或有一條公共棱（有6個(gè)部分），或有一個(gè)公共面（有4個(gè)部分），于是所分空間總的部分?jǐn)?shù)為1+4+6+4=15。以下仍要考慮這就是一開(kāi)始提出的問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？5．41

這一問(wèn)題在平面上的類(lèi)似問(wèn)題是什么？是5條還是4條直線(xiàn)分割平面？又如何類(lèi)比？想不清楚了。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，不如在“一般情形”下考慮問(wèn)題：個(gè)平面分割空間和條直線(xiàn)分割平面。條直線(xiàn)“處于一般位置”的要求也可以說(shuō)是：任何兩條不平行；任何三條不共點(diǎn)。個(gè)平面“處于一般位置”的要求是：任兩平面不平行；任四平面不共點(diǎn)[（或說(shuō)任三平面不共線(xiàn)）這是四平面不共點(diǎn)的必要條件，并非充分]。這一問(wèn)題在平面上的類(lèi)似問(wèn)題是什么？是42進(jìn)而，我們類(lèi)比直線(xiàn)上的問(wèn)題：個(gè)一般位置的點(diǎn)分割直線(xiàn)的問(wèn)題。這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單：個(gè)點(diǎn)最多把直線(xiàn)分為個(gè)部分。這對(duì)我們會(huì)有啟發(fā)。如果我們把極端情況——有零個(gè)分割元素的情況——也考慮在內(nèi)，那么被“分割”成的部分?jǐn)?shù)是1。下圖綜合列出點(diǎn)分直線(xiàn)、直線(xiàn)分平面、平面分空間的已取得的結(jié)果。進(jìn)而，我們類(lèi)比直線(xiàn)上的問(wèn)題：個(gè)一般43

6．類(lèi)比一般化

（解釋記號(hào)，然后看圖）

6．類(lèi)比一般化44于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn)題。孤立的問(wèn)題有時(shí)難于理解，而解決系列問(wèn)題有時(shí)比解決弧立問(wèn)題好入手。現(xiàn)在，原問(wèn)題“”已處在系列問(wèn)題之中，比之原來(lái)的情形，求解已有進(jìn)展。于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn)45

7．（用類(lèi)比的觀(guān)點(diǎn)）猜想觀(guān)察上表中已得到的結(jié)果，表中的數(shù)字間有什么聯(lián)系？有什么規(guī)律性？從最右一列，先以為有“2的方冪”的規(guī)律，但8后邊的表明這個(gè)猜想不對(duì)。反復(fù)求索的結(jié)果，我們可能忽然看到表中有

34；78715

，以及聯(lián)想到3+4=7，7+8=15。這是一個(gè)獨(dú)特的聯(lián)系：表中已出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)都可由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到。7．（用類(lèi)比的觀(guān)點(diǎn)）猜想46這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們猜想它確是規(guī)律。那我們把表按此規(guī)律，順沿到，原問(wèn)題的解就是？

這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們47

48類(lèi)比不是證明但這種類(lèi)比不是證明，只是合理的猜測(cè)；還需要分析這一猜測(cè)，以便證實(shí)這一猜測(cè)，或者否定這一猜測(cè)。這才是用類(lèi)比、歸納的方法去研究問(wèn)題的決定性步驟。類(lèi)比不是證明49

8．分析、推理我們的分析從“時(shí)直線(xiàn)分平面”入手，我們已經(jīng)通過(guò)“順沿上表”猜想：4條直線(xiàn)最多把平面劃分為11個(gè)部分。它是正確的嗎？我們?cè)?條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一條直線(xiàn)（用紅色），這條直線(xiàn)與原來(lái)的每條直線(xiàn)都相交，但又不過(guò)任意兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)。如右圖。我們數(shù)一下，現(xiàn)在確實(shí)把平面分成了11個(gè)部分。所以這猜測(cè)是對(duì)的，但它為什么是對(duì)的呢？我們?cè)僮鞣治?，增加一些理性認(rèn)識(shí)，也許還能從中找到理解一般情形的線(xiàn)索。8．分析、推理50演繹歸納類(lèi)比課件51

3條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分；4條直線(xiàn)就分平面為11個(gè)部分了，即增加了4部分；從3條直線(xiàn)添一條直線(xiàn)，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直線(xiàn)與原來(lái)3條直線(xiàn)每條都相交，而且交在與原交點(diǎn)不同的點(diǎn)，這就交出了3個(gè)新交點(diǎn)，這3點(diǎn)把新添的直線(xiàn)分為4段，每一段把它穿過(guò)的（由前3條直線(xiàn)分成的）那個(gè)區(qū)域一分為二，因此“平面分割”增加了4個(gè)部分，這就是“4”的來(lái)歷，而且這個(gè)分析表明，這個(gè)“4”也正是3點(diǎn)把直線(xiàn)分為4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原來(lái)是這樣產(chǎn)生的。這種分析已經(jīng)是邏輯推理了，令人信服，極大地增強(qiáng)了我們對(duì)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的信心。3條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分；4條直線(xiàn)就分平面為52

9．再類(lèi)比得一般情形的公式及我們?cè)兕?lèi)比分析時(shí)平面分空間的情況。這時(shí)我們不容易在平面的黑板上作立體圖了，只能借助于剛才四面體延展的那個(gè)圖來(lái)想像。但是我們可以從思維上、語(yǔ)言上類(lèi)比剛才的情形。9．再類(lèi)比得一般情形的公式53我們?cè)?個(gè)平面分空間為8個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一個(gè)平面，這個(gè)平面與原來(lái)的3個(gè)平面都相交，并且又不過(guò)原來(lái)3平面的交點(diǎn)，從而不過(guò)原來(lái)任兩平面的交線(xiàn)，這就交出了3條新直線(xiàn)，這3條直線(xiàn)把新添加的平面分為7個(gè)部分（就是上面“類(lèi)比一般化”的大表格中的“7”），每一部分把它穿過(guò)的（由前3個(gè)平面分成的）區(qū)域一分為二，因此“空間分割”增加了7個(gè)部分，而原有8個(gè)部分，這就是15=7+8的來(lái)歷。我們?cè)?個(gè)平面分空間為8個(gè)部分的基礎(chǔ)54

這里的到的過(guò)渡，并沒(méi)有任何特殊的地方，我們可以完全類(lèi)似地分析由向過(guò)渡時(shí)發(fā)生的情況，得到一般的表達(dá)式。與段落“8”類(lèi)似地可以得到公式：

與段落“9”類(lèi)似地可以得到公式：

這兩個(gè)公式都是遞推公式。這種遞推公式與斐波那契數(shù)列的遞推公式有區(qū)別，但思想精神是相通的。這里的到55

我們只再敘述一遍較為復(fù)雜的公式

得到的過(guò)程。它實(shí)際上只要在上面的敘述中，把“3個(gè)平面”換為“個(gè)平面”，把“8個(gè)部分”換為“個(gè)部分”，把“3條新直線(xiàn)”換為“條新直線(xiàn)”，把“7個(gè)部分”換為“個(gè)部分”，把“15”換為“”就完成了。簡(jiǎn)單說(shuō)，是在“上上屏”的敘述中，做下邊的代換：，，，。我們只再敘述一遍較為復(fù)雜的公式56個(gè)平面把空間最多分為個(gè)部分，求，不厭其繁地詳細(xì)說(shuō)一遍，就是：我們?cè)趥€(gè)平面分空間為個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一個(gè)平面，這個(gè)平面與原來(lái)的個(gè)平面都相交，并且又不過(guò)原來(lái)任3個(gè)平面的交點(diǎn)，從而不過(guò)原來(lái)任兩平面的交線(xiàn)，這就交出了條新直線(xiàn)，這條直線(xiàn)把新添的平面分為個(gè)部分，每一部分把它穿過(guò)的（由前個(gè)平面分成的）區(qū)域一分為二，因此，“空間分割”增加了個(gè)部分，而原有個(gè)部分，所以現(xiàn)在，空間共被分割成的“部分?jǐn)?shù)”是。這就是推出這一公式的邏輯推理過(guò)程。個(gè)平面把空間最多分為57

10．推出顯公式及

上邊得到的還只是遞推公式、關(guān)系公式，我們希望進(jìn)一步得到像那樣的、關(guān)于及的顯公式，即直接用的解析式來(lái)表達(dá)及。下邊的技巧是常用的。10．推出顯公式58

1）直線(xiàn)分平面的情形2）平面分空間的情形1）直59推理推理就是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出一個(gè)新判斷的思維形式。任何推理都是由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；一部分是推出的新判斷，即結(jié)論。推理分為演繹推理、歸納推理和類(lèi)比推理推理推理就是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出一個(gè)新判斷的思維形式。60演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識(shí)的前提，推出個(gè)別性知識(shí)結(jié)論的推理，即從一般到個(gè)別的推理。三段論：大前提、小前提和結(jié)論公理一：凡肯定一類(lèi)就能肯定一類(lèi)中的一部分公理二：凡否定一類(lèi)就能否定一類(lèi)中的一部分演繹法演繹推理所謂演繹推理，是由一般性知識(shí)的前提，推出個(gè)別性知識(shí)結(jié)61歸納推理歸納推理是以個(gè)別知識(shí)的判斷為前提，推出一般性知識(shí)的判斷為結(jié)論的推理。根據(jù)前提中是否考察了某類(lèi)事物的全部對(duì)象，歸納推理可分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。歸納推理歸納推理是以個(gè)別知識(shí)的判斷為前提，推出一般性知識(shí)的判62歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀(guān)察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,63歸納推理的一般步驟：試驗(yàn)、觀(guān)察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論歸納推理的一般步驟：試驗(yàn)、觀(guān)察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論64結(jié)論對(duì)于所有的自然數(shù)n,前五個(gè)均是質(zhì)數(shù)結(jié)論對(duì)于所有的自然數(shù)n,前五個(gè)均是質(zhì)數(shù)654=2+26=3+36＝3+3，8＝3+5，10＝5+5,12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，1000＝29+9711002=139+863,…前提:

“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和”----歌德巴赫猜想結(jié)論:目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於1966年證明的，稱(chēng)為陳氏定理.“任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ６己?jiǎn)稱(chēng)這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式。4=2+2前提:“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素66例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:例1.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1，且分別把n=1,67例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;2.較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.試推測(cè):把n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針,最少需要移動(dòng)多少次?例2.有三根針和套在一根針上的若干金屬片.按下列規(guī)則,把金屬68n=1時(shí),n=1時(shí),69n=2時(shí),n=1時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),70n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),71n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=3時(shí),72n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),73n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:n=4時(shí),n=3時(shí),n=2時(shí),n=1時(shí),歸納:74例2:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用歸納法推理得出它們之間的關(guān)系.例2:數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E,然后用75464556598464556598764645565986686128126104645565986686128126107746455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想歐拉公式46455659866861281261077916910178類(lèi)比推理類(lèi)比推理是兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同，而且已知其中一個(gè)對(duì)象還具有其他屬性，由此推斷另一個(gè)對(duì)象也具有同樣屬性的推理。類(lèi)比的推理是一種“合情推理”，不是證明，它無(wú)法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯(lián)系。但是，它是獲得新思路，新發(fā)現(xiàn)的一種觀(guān)點(diǎn)、一種手段。類(lèi)比推理是探索真理的重要邏輯形式。

類(lèi)比推理類(lèi)比推理是兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同，而且已知其中一79類(lèi)比推理的邏輯形式類(lèi)比推理可用如下公式表示：A對(duì)象具有a、b、c、d屬性，B對(duì)象具有a、b、c屬性，因此，B對(duì)象可能也有d的屬性類(lèi)比推理的特征(1)類(lèi)比推理的方向是從個(gè)別到個(gè)別，或從一般到一般。(2)類(lèi)比推理的結(jié)論是或然的。類(lèi)比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.類(lèi)比推理的邏輯形式80⑶檢驗(yàn)猜想。觀(guān)察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論類(lèi)比推理的一般步驟:⑴找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；即類(lèi)比推理的一般模式:所以B類(lèi)事物可能具有性質(zhì)d′.A類(lèi)事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類(lèi)事物具有性質(zhì)a′,b′,c′,(a,b,c與a′,b′,c′相似或相同）⑶檢驗(yàn)猜想。觀(guān)察、比較聯(lián)想、類(lèi)推猜想新結(jié)論類(lèi)比推理的一般步81演繹歸納類(lèi)比課件821.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸;2.人們仿照魚(yú)類(lèi)的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑?發(fā)明了潛水艇.3.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類(lèi)似的特征;1)火星是繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等.科學(xué)家猜想;火星上也可能有生命存在.1.工匠魯班類(lèi)比帶齒的草葉和蝗蟲(chóng)的牙齒,發(fā)明了鋸;2.人們仿83①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量的性質(zhì)類(lèi)比得空間向量的性質(zhì)①②③④⑤⑥若，則84例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系,可以得出的猜想是______________________.”DABCＡＢＣabcc2=a2+b2例3.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、A85類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質(zhì)的猜想．3個(gè)面兩兩垂直的四面體∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4個(gè)面的面積S1，S2，S3和S

3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,得空間中四面體性質(zhì)86例4、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.圓弦直徑周長(zhǎng)面積球截面圓大圓表面積體積例4、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類(lèi)比.圓的定義：平面內(nèi)到一87圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦球心與不過(guò)球心的截面(圓面)的圓點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積不相等,距球心較近的面積較大以點(diǎn)(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2例5:利用圓的性質(zhì)類(lèi)比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長(zhǎng)圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距88例6.利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比得等比數(shù)列性質(zhì)例6.利用等差數(shù)列性質(zhì)類(lèi)比得等比數(shù)列性質(zhì)89n+m=p+q時(shí),am+an=ap+aqn+m=p+q時(shí),aman=apaq任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中項(xiàng)，為當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)，為成等差數(shù)列成等比數(shù)列下標(biāo)等差,項(xiàng)等差下標(biāo)等差,項(xiàng)等比n+m=p+q時(shí),n+m=p+q時(shí),任意實(shí)數(shù)a、b都有等差中90例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;等等。思考：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確呢？又如,在平面內(nèi)，若a⊥c,b⊥c,則a//b.類(lèi)比到空間，你會(huì)得到什么結(jié)論？并判斷正誤.錯(cuò)誤（可能相交）猜想:在空間中，若a⊥g，b⊥g,則a//b。例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等91歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn)

歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀(guān)察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為合情推理.從具體問(wèn)題出發(fā)觀(guān)察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類(lèi)比提出猜想歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn)歸納推理和類(lèi)比推理92分割問(wèn)題中的類(lèi)比

1．問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？

平面互相盡可能多地相交，才能分割最多。如果5個(gè)平面全都平行，那末空間分成的是6部分，就較少。但5個(gè)平面如何相交最多以致分割最多，一時(shí)也想不清楚，先把問(wèn)題一般化，再把問(wèn)題特殊化，逐漸找規(guī)律。分割問(wèn)題中的類(lèi)比1．問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空93

2．問(wèn)題一般化：n個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？記分為個(gè)部分，再令把問(wèn)題特殊化。2．問(wèn)題一般化：n個(gè)平面最多把空94

3．問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以便“類(lèi)比”

4個(gè)平面的情況不易想清楚了。但想到要使平面相交最多，才能把空間分割最多。平面相交最多，有兩個(gè)含義，一是每個(gè)平面都與其它的所有平面相交，二是每個(gè)平面都不過(guò)它以外任意三個(gè)平面的交點(diǎn)（三個(gè)平面一般情況下相交于一個(gè)點(diǎn)）。3．問(wèn)題特殊化：從簡(jiǎn)單的情況做起，以95

由此我們想到了空間的四面體，這似乎是四個(gè)平面相交最多（從而分割最多）的情況，把四面體的四個(gè)面延展成四個(gè)平面，是否就能把空間分為最多的部分呢？到底現(xiàn)在把空間分成了幾個(gè)部分呢？暫難想象。由此我們想到去類(lèi)比“直線(xiàn)分割平面”的情形。由此我們想到了空間的四面體，這似96

4．類(lèi)比3條直線(xiàn)分割平面的情形這也可以看成是把三角形的三條邊均延長(zhǎng)為直線(xiàn)，看這3條直線(xiàn)把平面分為幾部分。數(shù)一數(shù)，是7部分。這對(duì)我們有什么啟示？4．類(lèi)比3條直線(xiàn)分割平面的情形97

②①③④⑤⑥⑦

98我們分析一下這7個(gè)部分：①是有限的部分，原三角形內(nèi)部；而幾個(gè)無(wú)限部分，或與原三角形有公共頂點(diǎn)（②，③，④），或與原三角形有公共邊（⑤，⑥，⑦）。把它們加起來(lái)，于是1+3+3=7。所以3條直線(xiàn)分割平面，最多分為7個(gè)部分。我們分析一下這7個(gè)部分：①是有限的99

5．類(lèi)比考慮四面體的四個(gè)面延展成4個(gè)平面，把空間分為幾個(gè)部分：有限部分（四面體內(nèi)部）數(shù)為1；無(wú)限部分與原四面體或有一個(gè)公共頂點(diǎn)（有4個(gè)部分），或有一條公共棱（有6個(gè)部分），或有一個(gè)公共面（有4個(gè)部分），于是所分空間總的部分?jǐn)?shù)為1+4+6+4=15。以下仍要考慮這就是一開(kāi)始提出的問(wèn)題：5個(gè)平面最多把空間分為幾個(gè)部分？5．100

這一問(wèn)題在平面上的類(lèi)似問(wèn)題是什么？是5條還是4條直線(xiàn)分割平面？又如何類(lèi)比？想不清楚了。對(duì)我們來(lái)說(shuō)，不如在“一般情形”下考慮問(wèn)題：個(gè)平面分割空間和條直線(xiàn)分割平面。條直線(xiàn)“處于一般位置”的要求也可以說(shuō)是：任何兩條不平行；任何三條不共點(diǎn)。個(gè)平面“處于一般位置”的要求是：任兩平面不平行；任四平面不共點(diǎn)[（或說(shuō)任三平面不共線(xiàn)）這是四平面不共點(diǎn)的必要條件，并非充分]。這一問(wèn)題在平面上的類(lèi)似問(wèn)題是什么？是101進(jìn)而，我們類(lèi)比直線(xiàn)上的問(wèn)題：個(gè)一般位置的點(diǎn)分割直線(xiàn)的問(wèn)題。這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單：個(gè)點(diǎn)最多把直線(xiàn)分為個(gè)部分。這對(duì)我們會(huì)有啟發(fā)。如果我們把極端情況——有零個(gè)分割元素的情況——也考慮在內(nèi)，那么被“分割”成的部分?jǐn)?shù)是1。下圖綜合列出點(diǎn)分直線(xiàn)、直線(xiàn)分平面、平面分空間的已取得的結(jié)果。進(jìn)而，我們類(lèi)比直線(xiàn)上的問(wèn)題：個(gè)一般102

6．類(lèi)比一般化

（解釋記號(hào)，然后看圖）

6．類(lèi)比一般化103于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn)題。孤立的問(wèn)題有時(shí)難于理解，而解決系列問(wèn)題有時(shí)比解決弧立問(wèn)題好入手。現(xiàn)在，原問(wèn)題“”已處在系列問(wèn)題之中，比之原來(lái)的情形，求解已有進(jìn)展。于是，我們得到了一系列待解決的問(wèn)104

7．（用類(lèi)比的觀(guān)點(diǎn)）猜想觀(guān)察上表中已得到的結(jié)果，表中的數(shù)字間有什么聯(lián)系？有什么規(guī)律性？從最右一列，先以為有“2的方冪”的規(guī)律，但8后邊的表明這個(gè)猜想不對(duì)。反復(fù)求索的結(jié)果，我們可能忽然看到表中有

34；78715

，以及聯(lián)想到3+4=7，7+8=15。這是一個(gè)獨(dú)特的聯(lián)系：表中已出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)都可由它“頭上”的數(shù)與“左肩”上的數(shù)相加而得到。7．（用類(lèi)比的觀(guān)點(diǎn)）猜想105這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們猜想它確是規(guī)律。那我們把表按此規(guī)律，順沿到，原問(wèn)題的解就是？

這是我們解決原問(wèn)題的鑰匙嗎？我們106

107類(lèi)比不是證明但這種類(lèi)比不是證明，只是合理的猜測(cè)；還需要分析這一猜測(cè)，以便證實(shí)這一猜測(cè)，或者否定這一猜測(cè)。這才是用類(lèi)比、歸納的方法去研究問(wèn)題的決定性步驟。類(lèi)比不是證明108

8．分析、推理我們的分析從“時(shí)直線(xiàn)分平面”入手，我們已經(jīng)通過(guò)“順沿上表”猜想：4條直線(xiàn)最多把平面劃分為11個(gè)部分。它是正確的嗎？我們?cè)?條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分的基礎(chǔ)上，再添加一條直線(xiàn)（用紅色），這條直線(xiàn)與原來(lái)的每條直線(xiàn)都相交，但又不過(guò)任意兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)。如右圖。我們數(shù)一下，現(xiàn)在確實(shí)把平面分成了11個(gè)部分。所以這猜測(cè)是對(duì)的，但它為什么是對(duì)的呢？我們?cè)僮鞣治?，增加一些理性認(rèn)識(shí)，也許還能從中找到理解一般情形的線(xiàn)索。8．分析、推理109演繹歸納類(lèi)比課件110

3條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分；4條直線(xiàn)就分平面為11個(gè)部分了，即增加了4部分；從3條直線(xiàn)添一條直線(xiàn)，為什么分割平面正好多出4部分？分析一下：新添的直線(xiàn)與原來(lái)3條直線(xiàn)每條都相交，而且交在與原交點(diǎn)不同的點(diǎn)，這就交出了3個(gè)新交點(diǎn)，這3點(diǎn)把新添的直線(xiàn)分為4段，每一段把它穿過(guò)的（由前3條直線(xiàn)分成的）那個(gè)區(qū)域一分為二，因此“平面分割”增加了4個(gè)部分，這就是“4”的來(lái)歷，而且這個(gè)分析表明，這個(gè)“4”也正是3點(diǎn)把直線(xiàn)分為4部分的“4”，也就是“11”左肩上的“4”。11=4+7原來(lái)是這樣產(chǎn)生的。這種分析已經(jīng)是邏輯推理了，令人信服，極大地增強(qiáng)了我們對(duì)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的信心。3條直線(xiàn)分平面為7個(gè)部分；4條直線(xiàn)就分平面為111

9．再類(lèi)比得一般情形的公式