2018-2019數(shù)學新學案同步必修三人教A版全國通用版講義：第二章 統(tǒng)計2.2.1（一）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§2。2用樣本估計總體2。2.1用樣本的頻率分布估計總體分布(一）學習目標1.學會用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)。2。能通過頻率分布表或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計.知識點一數(shù)據(jù)分析的基本方法思考通過抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)有什么缺點？答案因為通過抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)多而且雜亂，無法直接從中理解它們的含義,并提取信息，也不便于我們用它來傳遞信息。梳理(1）借助于圖形分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，此方法可以達到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息.（2）借助于表格分析數(shù)據(jù)的另一種方法是用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,此方法是通過改變數(shù)據(jù)的構成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。知識點二頻率分布表與頻率分布直方圖思考要做頻率分布表，需要對原始數(shù)據(jù)做哪些工作？答案分組，頻數(shù)累計，計算頻數(shù)和頻率。梳理（1）頻數(shù)指某組中包含的個體數(shù)，各組頻數(shù)和等于樣本容量;頻率＝eq\f（頻數(shù),樣本容量)，各組頻率和等于1.（2）在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f（頻率，組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率用小長方形的面積來表示，各小長方形的面積的總和等于1.1。頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值.(√)2.頻率分布直方圖中小長方形的面積表示該組的個體數(shù)。（×）3.頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和為1。(√)類型一頻率分布概念的理解例1一個容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：組別［0,10)［10,20）［20,30)[30，40）[40，50）[50，60）[60，70］頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在［10，40）上的頻率為（)A。0.13B。0.39C.0.52D。0。64考點頻率分布表題點求指定組的頻率答案C解析由題意可知頻數(shù)在[10,40）的有13＋24＋15＝52(個)，所以頻率為eq\f（52，100）＝0.52.故選C。跟蹤訓練1容量為100的某個樣本，數(shù)據(jù)拆分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組頻率之和為0。79，而剩下的三組的頻率依次相差0.05，則剩下的三組中頻率最大的一組頻率為________?？键c頻率分布表題點求指定組的頻率答案0.12解析設剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為x,則另兩組的頻率分別為x－0。05，x－0.1,而由頻率和為1得0.79＋（x－0。05）＋(x－0。1）＋x＝1,解得x＝0.12。類型二頻率分布直方圖的繪制例2如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機抽樣得出的120人的身高（單位：cm）。區(qū)間界限［122,126）[126，130）[130，134）［134，138）[138，142)人數(shù)58102233區(qū)間界限［142，146）[146，150）［150，154)［154,158］人數(shù)201165(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3）估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的百分比.考點頻率分布直方圖題點作頻率分布直方圖解（1）樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率［122,126)50。04［126,130）80.07［130,134）100。08[134，138)220.18[138,142）330.28［142，146)200.17[146，150）110。09［150,154）60.05[154，158］50。04合計1201.00(2）其頻率分布直方圖如下：（3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0。04＋0。07＋0。08＝0.19,所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總人數(shù)的19％。反思與感悟頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關系是顯然的，它們只不過是相同的數(shù)據(jù)的兩種不同的表達方式，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,它可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況,并由此估計總體的分布情況。跟蹤訓練2一個農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長的分布情況，在一塊試驗田里抽取了100株麥穗，量得長度如下(單位:cm）：6。56。46。75.85。95.95.24。05.44。65.85.56。06。55。16。55.35.95.55.86.25.45.05.06.86。05。05.76.05.56.86。06.35.55.06.35。26.07。06。46.45。85。95。76。86.66。06。45。77.46。05。46.56.06。85.86。36。06.35。65.36。45.76。76.25.66.06.76。76.05。66.26。15。36.26.86.64.75.75.75.85.37.06。06.05.95.46。05。26。06。35。76.86。14。55.66。36.05。86.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計在這塊試驗田里長度在5.75～6。35cm之間的麥穗所占的百分比。考點頻率分布直方圖題點作頻率分布直方圖解(1)計算極差：7.4－4.0＝3。4。(2)決定組距與組數(shù)：若取組距為0。3,因為eq\f(3.4，0.3）≈11.3，需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0。3，組數(shù)為12.（3)決定分點:使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1小組的起點稍微減小一點，那么所分的12個小組可以是3。95～4.25，4.25～4.55，4。55～4.85,…,7.25～7。55。（4)列頻率分布表：分組頻數(shù)頻率［3.95，4。25）10。01[4.25，4。55)10。01［4.55,4.85)20。02[4.85，5。15）50。05[5。15,5.45）110.11［5。45，5.75）150。15[5。75，6.05）280。28［6。05,6.35)130。13[6.35，6.65)110.11［6。65,6.95)100.10［6.95，7.25)20.02[7.25，7.55]10。01合計1001.00

（5)繪制頻率分布直方圖如圖。從表中看到,樣本數(shù)據(jù)落在5。75～6。35之間的頻率是0。28＋0。13＝0.41，于是可以估計，在這塊試驗田里長度在5。75～6。35cm之間的麥穗約占41％.類型三頻率分布表及頻率分布直方圖的應用例3從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)1［0,2)62［2，4）83［4，6)174［6，8）225[8，10)256［10,12）127[12,14）68[14,16）29［16,18]2合計100（1）從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3）假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結論）.考點頻率分布表題點求累計頻率解(1)根據(jù)頻數(shù)分布表知，100名學生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學生共有6＋2＋2＝10(名)，所以樣本中的學生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是1－eq\f(10，100）＝0。9。故從該校隨機選取一名學生，估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在［4,6）組內的有17人，頻率為0。17,所以a＝eq\f（頻率,組距）＝eq\f（0。17,2）＝0。085。課外閱讀時間落在［8,10)組內的有25人,頻率為0。25,所以b＝eq\f(頻率，組距）＝eq\f(0。25，2）＝0.125。(3）樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.反思與感悟在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率,小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。跟蹤訓練3為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示），圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組的頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少?（2)若次數(shù)在110以上(含110次）為達標，則該校全體高一年級學生的達標率約是多少？考點頻率分布直方圖題點求頻率及容量解（1）頻率分布直方圖是以面積的形式來反映數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率大小的，因此第二小組的頻率為eq\f（4，2＋4＋17＋15＋9＋3）＝0.08.因為第二小組的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù),樣本容量），所以樣本容量＝eq\f（第二小組的頻數(shù)，第二小組的頻率）＝eq\f（12，0.08)＝150.(2)由直方圖可估計該校全體高一年級學生的達標率約為eq\f（17＋15＋9＋3，2＋4＋17＋15＋9＋3）×100%＝88％。

1.從一群學生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析，已知不超過70分的人數(shù)為8,其累計頻率為0。4，則這個樣本的容量是(）A.20B.40C。70D。80考點頻率分布表題點求頻數(shù)及容量答案A解析由已知不超過70分的人數(shù)為8,累計頻率為0.4，則這個樣本容量n＝eq\f（8,0。4）＝20。故選A.2。如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在［15，20]內的頻數(shù)為()A.20B.30C.40D。50考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案B解析樣本數(shù)據(jù)落在［15，20]內的頻數(shù)為100×［1－5×（0。04＋0.1）］＝30.3。統(tǒng)計某校1000名學生的數(shù)學水平測試成績，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示。若滿分為100分，規(guī)定不低于60分為及格，則及格率是（）A。20％B.25％C。60％D。80％考點頻率分布直方圖題點求頻率和累計頻率答案D解析樣本中及格的頻率為（0。025＋0。035＋0.010＋0。010)×10＝0.8＝80%，由樣本估計總體，得及格率是80％.故選D。4.一個頻數(shù)分布表（樣本容量為50）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60）內的頻率為0.6，則估計樣本在［40,50)，[50，60）內的數(shù)據(jù)個數(shù)之和是________.考點頻率分布表題點求頻率及容量答案21解析根據(jù)題意，設分布在[40,50），[50,60)內的數(shù)據(jù)個數(shù)分別為x，y.∵樣本中數(shù)據(jù)在［20,60)內的頻率為0。6，樣本容量為50，∴eq\f(4＋5＋x＋y，50）＝0.6，解得x＋y＝21.即樣本在［40，50），[50,60）內的數(shù)據(jù)個數(shù)之和為21。5.如圖所示是總體的一個樣本頻率分布直方圖，且在[15，18)內的頻數(shù)為8。（1）求樣本在［15,18)內的頻率;(2）求樣本容量；(3)若在［12，15）內的小矩形面積為0。06，求在[18，33)內的頻數(shù)。考點頻率分布直方圖題點求頻率及容量解由樣本頻率分布直方圖可知組距為3。（1）由樣本頻率分布直方圖得樣本在［15,18）內的頻率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f（4，25）.（2)∵樣本在［15,18）內頻數(shù)為8，由（1）可知,樣本容量為eq\f（8,\f(4,25)）＝8×eq\f(25,4)＝50。（3）∵在［12,15)內的小矩形面積為0。06，故樣本在[12，15)內的頻率為0。06，故樣本在［15，33）內的頻數(shù)為50×(1－0.06）＝47,又在［15,18)內頻數(shù)為8，故在[18,33)內的頻數(shù)為47－8＝39.1。頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內所占比例的大小，總體分布是指總體取值的頻率分布規(guī)律，我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計總體的分布.2。頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式，用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構成形式,可展示數(shù)據(jù)的分布情況。通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息。3。樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況。一、選擇題1.從一堆蘋果中任取10個,稱得它們的質量如下（單位:克）：12512012210513011411695120134則樣本數(shù)據(jù)落在［114.5,124。5)內的頻率為（)A.0。2 B。0.3C.0。4 D。0.5考點頻率分布表題點求指定組的頻率答案C解析在125,120,122,105,130,114，116,95，120，134這10個數(shù)字中,落在［114。5,124。5）內的有116，120,120，122，共4個，∴樣本數(shù)據(jù)在[114。5,124。5）內的頻率為eq\f(4，10)＝0.4。故選C。2。容量為100的樣本數(shù)據(jù),按從小到大的順序分為8組，如下表：組號12345678頻數(shù)1013x141513129第三組的頻數(shù)和頻率分別是(）A。14和0.14 B.0.14和14C。eq\f(1，14）和0.14 D.eq\f（1，3)和eq\f（1，14)考點頻率分布表題點求指定組的頻率答案A解析x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9）＝100－86＝14，第三組的頻率為eq\f（14,100）＝0。14。

3。學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出(單位：元)在［50,60]內的學生有30人，則n的值為（)A.100 B。1000C。90 D。900考點頻率分布表題點求頻數(shù)及容量答案A解析由題意可知，前三組的頻率之和為（0。01＋0.024＋0。036）×10＝0.7，∴支出在［50，60）內的頻率為1－0.7＝0。3，∴n＝eq\f(30,0.3）＝100。4。某調查機構調查了某地100個新生嬰兒的體重，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖(如圖所示），則這100個新生嬰兒中，體重（單位:kg)在[3.2，4.0)的人數(shù)是()A.30B。40C.50D.55考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案B解析在頻率分布直方圖中小長方形的面積為頻率。在[3。2,3。6）內的頻率為0.625×0.4＝0。25，頻數(shù)為0。25×100＝25，在［3。6，4.0）內的頻率為0。375×0。4＝0。15，頻數(shù)為0.15×100＝15。則這100個新生嬰兒中，體重在［3。2,4.0）內的有25＋15＝40（人）。故選B。

5。200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[50，60)內的汽車有（）A。30輛B.40輛C。60輛D.80輛考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案C解析因為小長方形的面積即為對應的頻率，時速在［50，60)內的頻率為0。3，所以有200×0。3＝60（輛).6。對某種電子元件使用壽命跟蹤調查，所得樣本頻率分布直方圖如圖.由圖可知，這一批電子元件中壽命在100~300h的電子元件的數(shù)量與壽命在300～600h的電子元件的數(shù)量的比是（)A。1∶2 B。1∶3C.1∶4 D。1∶6考點頻率分布直方圖題點求頻率和累計頻率答案C解析由題意，知數(shù)量的比即為所對應的小矩形的面積和之比,即1∶4.

7。為了解某幼兒園兒童的身高情況,抽查該園120名兒童的身高繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則抽查的120名兒童中身高大于或等于98cm且小于104cm的有（）A。90名 B。75名C.65名 D.40名考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案A解析由圖可知身高大于或等于98cm且小于104cm的兒童的頻率為（0.1＋0.15＋0.125）×2＝0.75，抽查的120名兒童中有120×0.75＝90（名)兒童的身高大于或等于98cm且小于104cm。8.將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖。若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n的值為(）A。20B。27C.6D.60考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案D解析∵n·eq\f（2＋3＋4，2＋3＋4＋6＋4＋1）＝27，∴n＝60。9.某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組:［40，50），[50,60），[60，70），[70,80),［80,90)，［90,100］加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖。已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（）

A.588 B。480C。450 D。120考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案B解析∵少于60分的學生人數(shù)為600×(0.05＋0.15)＝120,∴不少于60分的學生人數(shù)為480。二、填空題10。如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5，21。5），［21.5，22.5)，[22.5，23。5)，[23.5,24。5）,［24.5，25。5)，［25.5，26。5]。已知樣本中平均氣溫低于22。5℃的城市個數(shù)為11,則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為________.考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案9解析最左邊兩個矩形面積之和為0.10×1＋0.12×1＝0.22，總城市數(shù)為11÷0.22＝50，最右面矩形面積為0.18×1＝0.18，50×0.18＝9。11.從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.則頻率分布直方圖中x的值為__________?？键c頻率分布直方圖題點求頻率和累計頻率答案0。0044解析∵(0.0024＋0。0036＋0。0060＋x＋0。0024＋0.0012)×50＝1，∴x＝0。0044.12。已知某一段公路限速70千米/時，現(xiàn)抽取400輛通過這一段公路的汽車的速度，其頻率分布直方圖如圖所示，則這400輛汽車中在該路段超速的有________輛.考點頻率分布直方圖題點求頻數(shù)及容量答案80解析[70,80）的頻率為1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10）＝0.2，∴[70，80)內的頻數(shù)為0。2×400＝80.三、解答題13.為加強中學生實踐創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進教育教學改革，某市教育局將舉辦全市中學生創(chuàng)新知識競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學生參加，為了解成績情況，從中抽取50名學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計，請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表解答下列問題：分組頻數(shù)頻率一［60。5，70.5）a0.2