2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修1-1北師大版：第二章 圓錐曲線與方程2.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2拋物線2．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念。2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3。明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題．知識(shí)點(diǎn)一拋物線的定義思考1平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？答案連接兩定點(diǎn)所得線段的垂直平分線．思考2平面內(nèi),到一定點(diǎn)和一條定直線（點(diǎn)不在定直線上）距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線還是曲線呢?答案曲線．梳理(1）定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F）的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線．(2)焦點(diǎn)：定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)．（3)準(zhǔn)線：定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定?答案p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的方程中一次項(xiàng)決定開口方向．梳理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種類型圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px（p〉0)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（p,2),0)）x＝－eq\f（p,2）y2＝－2px（p>0）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（p,2)，0）)x＝eq\f（p，2)x2＝2py（p>0）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（p，2)))y＝－eq\f（p，2)x2＝－2py(p〉0）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,－\f（p,2))）y＝eq\f（p，2)特別提醒：（1）方程特點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸上,x是一次項(xiàng)，y是平方項(xiàng);焦點(diǎn)在y軸上，y是一次項(xiàng)，x是平方項(xiàng)．(2)一次項(xiàng)表明焦點(diǎn)所在軸,它的符號(hào)表明開口方向，有如下口訣：焦點(diǎn)軸一次項(xiàng)，符號(hào)確定開口向；若y是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向下正向上；若x是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向左正向右．1．到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．（×）2．拋物線的方程都是y關(guān)于x的二次函數(shù)．(×）3．方程x2＝2ay（a≠0）表示開口向上的拋物線．（×）類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過點(diǎn)（3，－4);（2)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上．考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程解(1）方法一∵點(diǎn)（3，－4）在第四象限,∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2p1x（p1〉0)或x2＝－2p2y（p2>0)．把點(diǎn)（3,－4)分別代入y2＝2p1x和x2＝－2p2y,得（－4)2＝2p1·3，32＝－2p2·(－4)，即2p1＝eq\f（16，3),2p2＝eq\f（9，4)?！嗨髵佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16，3）x或x2＝－eq\f(9,4）y.方法二∵點(diǎn)(3,－4）在第四象限，∴拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax（a≠0）或x2＝by(b≠0)．把點(diǎn)（3，－4）分別代入，可得a＝eq\f（16，3),b＝－eq\f(9，4)。∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f（16,3)x或x2＝－eq\f（9，4）y.(2）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點(diǎn)為（0，－5)或(－15，0）．∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.反思與感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù)．(2）方法：①直接法，建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程；②直接根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程;③利用待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,找有關(guān)的方程組求系數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）過點(diǎn)（－3，2);（2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上；(3)已知拋物線焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3。解（1)設(shè)所求的拋物線方程為y2＝－2p1x（p1>0)或x2＝2p2y(p2〉0），∵過點(diǎn)(－3，2）,∴4＝－2p1（－3)或9＝2p2·2，∴p1＝eq\f（2,3）或p2＝eq\f(9，4)。故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq\f（4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.（2）令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝4，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）或（0，－2）．當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0）時(shí),eq\f（p，2）＝4,∴p＝8，此時(shí)拋物線方程為y2＝16x；當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2）時(shí)，eq\f(p，2）＝|－2｜，∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y.（3)由題意知,拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py（p>0)且p＝3。∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝6y或x2＝－6y。類型二求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程例2指出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程并說明拋物線開口方向．(1)y＝eq\f(1，4)x2；(2)x＝ay2(a≠0）．解(1）拋物線y＝eq\f(1,4)x2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2＝4y，∴p＝2，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,1)，準(zhǔn)線方程是y＝－1，拋物線開口向上．（2）拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝eq\f（1,a)x，∴2p＝eq\f(1,|a|）。①當(dāng)a〉0時(shí),eq\f(p,2)＝eq\f（1,4a)，拋物線開口向右，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4a）,0）)，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f（1,4a）；②當(dāng)a<0時(shí)，eq\f(p，2)＝－eq\f（1，4a），拋物線開口向左,∴焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4a），0)），準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(1,4a）。綜上所述，當(dāng)a≠0時(shí),拋物線x＝ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，4a），0）），準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1，4a)，當(dāng)a〉0時(shí)，開口向右；當(dāng)a<0時(shí)，開口向左．反思與感悟1。先將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,再判斷開口方向、焦點(diǎn)位置,準(zhǔn)確地求出p的值．2．拋物線y2＝2ax（a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a，2），0）），準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（a，2)，不必討論a的正負(fù)．跟蹤訓(xùn)練2已知拋物線的方程如下,求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．（1)y2＝－6x；(2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2;（4）y2＝a2x（a≠0)．解（1)由方程y2＝－6x,知拋物線開口向左，2p＝6，p＝3，eq\f(p，2）＝eq\f(3，2)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(3，2)，0)），準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(3，2).（2)將3x2＋5y＝0變形為x2＝－eq\f(5,3)y，知拋物線開口向下，2p＝eq\f（5，3)，p＝eq\f(5，6），eq\f（p,2）＝eq\f(5，12）,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,－\f(5,12)))，準(zhǔn)線方程為y＝eq\f（5,12）。（3)將y＝4x2化為x2＝eq\f（1，4)y，知拋物線開口向上,2p＝eq\f(1,4)，p＝eq\f（1，8)，eq\f(p，2)＝eq\f(1,16)，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，16)）),準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f（1，16）。(4）由方程y2＝a2x（a≠0)知拋物線開口向右,2p＝a2，p＝eq\f(a2，2），eq\f(p，2)＝eq\f(a2,4),所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a2,4）,0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（a2，4）。類型三拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例3河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m,一小船寬4m、高2m，載貨后船露出水面上的部分高eq\f(3，4）m,問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時(shí),小船開始不能通航?考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)．由題意可知,點(diǎn)B（4，－5）在拋物線上，故p＝eq\f(8，5)，得x2＝－eq\f(16，5）y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA′，則A（2，yA）,由22＝－eq\f（16,5)yA,得yA＝－eq\f(5，4）。又知船面露出水面上的部分高為eq\f（3,4)m，所以h＝|yA｜＋eq\f(3,4)＝2(m）．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時(shí)，小船開始不能通航．反思與感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是4米，在建橋時(shí)，每4米需用一根支柱支撐，求其中最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng)．考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py（p>0)．由題意知，點(diǎn)P（10，－4）在拋物線上，所以100＝－2p×（－4），2p＝25。即拋物線方程為x2＝－25y。因?yàn)槊?米需用一根支柱支撐，所以支柱橫坐標(biāo)分別為－6，－2，2，6.由圖知,AB是最長(zhǎng)的支柱之一．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，yB），代入x2＝－25y,得yB＝－eq\f（4,25)。所以|AB｜＝4－eq\f（4，25)＝3.84，即最長(zhǎng)支柱的長(zhǎng)為3。84米．1．拋物線y＝eq\f(1，4)x2的準(zhǔn)線方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2答案A解析由y＝eq\f（1,4）x2，得x2＝4y，則拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸上，且2p＝4,即p＝2，因此準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p，2）＝－1。2．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為()A．(1,0），x＝－1 B．(2，0)，x＝－2C．（3,0）,x＝－3 D．(4,0）,x＝－4答案B解析拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0),準(zhǔn)線方程為x＝－2。3．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，則拋物線方程可以為（）A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線方程答案D解析由題意知p＝3，故選D.4．拋物線x2＝8y上的點(diǎn)M到x軸的距離為6,則點(diǎn)M與拋物線的焦點(diǎn)間的距離為________．答案8解析由拋物線的定義可得|MF｜＝6＋eq\f（p，2)＝8。5．已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P（－2，－4），則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析設(shè)拋物線方程為y2＝2px（p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．將P（－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.1．焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為y2＝mx(m≠0），此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(m，4),0)）,準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（m,4)；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)設(shè)為x2＝my(m≠0），此時(shí)焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(m,4)）)，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f（m，4)。2．設(shè)M是拋物線上一點(diǎn),焦點(diǎn)為F,則線段MF叫作拋物線的焦半徑．若M（x0，y0)在拋物線y2＝2px（p>0）上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可以相互轉(zhuǎn)化，所以焦半徑｜MF|＝x0＋eq\f（p，2）。一、選擇題1．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A（x0，y0）是C上一點(diǎn)，|AF｜＝eq\f(5,4）x0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(）A．（1,1） B．（1，±1)C．（1，－1) D．(1,0）考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求點(diǎn)的坐標(biāo)答案B解析由拋物線的定義,可得|AF｜＝x0＋eq\f(1，4)，∵|AF｜＝eq\f（5,4）x0，∴x0＋eq\f(1，4)＝eq\f（5,4)x0，∴x0＝1。把x0＝1代入y2＝x，得yeq\o\al（2,0)＝1，y0＝±1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，±1）．2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．(－1,0） B．（1，0)C．（0，－1） D．（0,1)考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案B解析拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（p,2)。由題設(shè)知－eq\f(p，2)＝－1，即p＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1，0))。故選B.3．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y答案C解析∵頂點(diǎn)與焦點(diǎn)距離等于3,∴2p＝12，又∵對(duì)稱軸是y軸，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±12y。4．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為()A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求點(diǎn)的坐標(biāo)答案C解析由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py（p>0)．由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為4，故eq\f(p,2）＋2＝4,∴p＝4，∴x2＝－8y.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入x2＝－8y，得m＝±4.5．拋物線方程為7x＋4y2＝0,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(）A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（7,16），0)) B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(7，4），0）)C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(7,16)，0）） D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,－\f（7，4)))答案C解析方程化為y2＝－eq\f（7，4）x,拋物線開口向左，2p＝eq\f（7，4），eq\f(p,2)＝eq\f（7,16），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(7，16），0)).6．過點(diǎn)A（3,0)且與y軸相切的圓的圓心的軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．直線 D．拋物線考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義確定軌跡及軌跡方程答案D解析設(shè)P為滿足條件的點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，即點(diǎn)P在以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，y軸為準(zhǔn)線的拋物線上，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線．故選D。7．已知點(diǎn)A（－2,3)在拋物線C：y2＝2px（p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為（）A．－eq\f(4,3） B．－1C．－eq\f(3，4) D．－eq\f（1,2）考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用答案C解析因?yàn)閽佄锞€C:y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2），且點(diǎn)A（－2,3）在準(zhǔn)線上，故eq\f（－p,2）＝－2,解得p＝4。所以拋物線方程為y2＝8x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF＝eq\f(3－0,－2－2）＝－eq\f（3,4）。8．從拋物線y2＝4x的圖像上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且｜PM｜＝5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△MPF的面積為(）A．10B．8C．6D．4考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求點(diǎn)的坐標(biāo)答案A解析設(shè)P（x0,y0），∵｜PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，∴S△MPF＝eq\f（1，2）|PM｜·｜y0|＝10。二、填空題9．已知橢圓x2＋ky2＝3k(k〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)重合，則該橢圓的離心率是________．考點(diǎn)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)題點(diǎn)拋物線與其他曲線結(jié)合的有關(guān)問題答案eq\f（\r（3）,2）解析拋物線的焦點(diǎn)為F（3，0)，∵橢圓的方程為eq\f（x2,3k）＋eq\f(y2,3）＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴離心率e＝eq\f（3，2\r（3）)＝eq\f(\r（3）,2）。10．拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是__________．考點(diǎn)拋物線定義題點(diǎn)由拋物線定義求點(diǎn)的坐標(biāo)答案eq\f（15，16)解析拋物線方程化為x2＝eq\f（1，4）y,準(zhǔn)線為y＝－eq\f(1,16）.由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以M到準(zhǔn)線的距離也為1，所以M點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于1－eq\f（1，16)＝eq\f(15,16）.11．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么｜PF｜＝________.考點(diǎn)拋物線的定義題點(diǎn)由拋物線定義求距離答案8解析如圖所示，直線AF的方程為y＝－eq\r（3)(x－2）．與準(zhǔn)線方程x＝－2聯(lián)立,得A（－2,4eq\r（3)）．設(shè)P（x0，4eq\r（3)），代入拋物線方程y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6.∴|PF|＝x0＋2＝8.三、解答題12.如圖所示，拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在y軸上,準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切．(1)求拋物線C的方程；（2)若點(diǎn)A，B都在拋線C上，且eq\o(FB,\s\up6(→)）＝2eq\o（OA，\s\up6(→)），求點(diǎn)A的坐標(biāo)．考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)求拋物線的方程解（1）依題意,可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，其準(zhǔn)線l的方程為y＝－eq\f（p,2).∵準(zhǔn)線l與圓x2＋y2＝1相切，∴圓心(0,0）到準(zhǔn)線l的距離d＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（p,2))）＝1，解得p＝2.故拋物線C的方程為x2＝4y.（2)設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1）＝4y1,①,x\o\al(2,2)＝4y2，②))由題意得F（0，1），∴eq\o（FB,\s\up6（→))＝(x2，y2－1)，eq\o（OA，\s\up6(→))＝(x1，y1），∵eq\o(FB，\s\up6（→）)＝2eq\o（OA,\s\up6(→）），∴（x2，y2－1）＝2（x1，y1）＝（2x1,2y1)，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＝2x1,，y2＝2y1＋1,）)代入②得4xeq\o\al(2，1)＝8y1＋4，即xeq\o\al(2,1）＝2y1＋1，又xeq\o\al(2,1)＝4y1，所以4y1＝2y1＋1,解得y1＝eq\f（1,2)，x1＝±eq\r（2），即點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(2），\f(1，2）)）或eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\r（2),\f(1,2)））。13．已知拋物線形拱橋的頂點(diǎn)距離水面2m時(shí)，測(cè)量水面寬為8m，則當(dāng)水面上升eq\f（1，2)m后，水面的寬度是多少？考點(diǎn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)拋物線方程的應(yīng)用解以拋物線形拱橋的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)