數(shù)值逼近答案以及試題

第一章誤差1.試舉例,說明什么是模型誤差,什么是方法誤差.解:例如,把地球近似看為一個標(biāo)準(zhǔn)球體,利用公式計算其表面積,這個近似看為球體的過程產(chǎn)生的誤差即為模型誤差.在計算過程中,要用到,我們利用無窮乘積公式計算的值:其中我們?nèi)∏?項的乘積作為的近似值,得這個去掉的無窮乘積公式中第9項后的部分產(chǎn)生的誤差就是方法誤差,也成為截斷誤差.2.按照四舍五入的原則,將下列各數(shù)舍成五位有效數(shù)字:816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解:816.966.000017.3231.235793.1820.0152363.下列各數(shù)是按照四舍五入原則得到的近似數(shù),它們各有幾位有效數(shù)字?81.8970.008136.320050.1800解:五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示,問有多少位有效數(shù)字?解:兩位5.若,是經(jīng)過舍入后得到的近似值,問:各有幾位有效數(shù)字?解:已知,又,,所以有三位有效數(shù)字;因為,所以有三位有效數(shù)字.6.設(shè),是經(jīng)過舍入后作為的近似值.求的計算值與真值的相對誤差限及與真值的相對誤差限.解:已知,;;.7.正方形的邊長約為100cm,應(yīng)該怎樣測量,才能使其面積的誤差不超過1cm2.解:設(shè)正方形面積為S,邊長為a,則S=a2.所以要使:,則要求.所以邊長的誤差不能超過cm.8.用觀測恒星的方法求得某地維度為(讀到秒),試問:計算將有多大誤差?解:.9.真空中自由落體運動距離s與時間的關(guān)系由公式確定,g是重力加速度.現(xiàn)在假設(shè)g是準(zhǔn)確的,而對t的測量有的誤差,證明t增加時,距離的絕對誤差增加而相對誤差卻減小.證明:因為:與t成正比,與t成反比,所以當(dāng)固定的時候,t增加時,距離的絕對誤差增加而相對誤差卻減小.10.設(shè),的相對誤差為,求的絕對誤差.解:已知,所以的絕對誤差.11.設(shè)的相對誤差為,求的相對誤差.解:.12.計算球的體積,為了使相對誤差限為1%,問度量半徑R時允許的相對誤差限如何?解:已知,設(shè),則要使得,則.第二章函數(shù)的插值2．給定的函數(shù)值如表19所示，用3種途徑求3次插值多項式。解：（1）用牛頓方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化簡得：（3）用內(nèi)維爾方法再由：得：4．求，利用，取節(jié)點作插值，并估計截斷誤差。解：先作差商表：所以，。故：其截斷誤差：由于，所以5．證明：在兩個節(jié)點：上作線性插值，當(dāng)時，余項為證：因為其中：7．證明。證：設(shè)，則11．用拉格朗日途徑導(dǎo)出如下的次埃爾米特插值，滿足：。解：先構(gòu)造次數(shù)不高于的多項式滿足下列2n個條件：滿足上述條件的的多項式可以寫成：其中A為待定系數(shù)，再由條件得：即：再構(gòu)造次數(shù)不高于的多項式滿足下列2n個條件：，令：它滿足上述條件中除外的所有其他條件，于是再由所以，于是：于是所求的埃爾米特插值多項式為三樣條插值和曲線擬合12．若是實軸上個由小到大排列的點，考慮一個上的函數(shù)，它在上是一個二次多項式，并且是已知值，又在內(nèi)節(jié)點上連續(xù)，這樣的稱為二次樣條插值。試證這樣的二次樣條插值有很多，并問加上何種條件才能使它唯一，給出求的方程。解：由于在每個小區(qū)間上，有3個待定系數(shù)，于是在上共有個待定系數(shù)，。要滿足的條件是：通過型值點：，共有個方程；的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即共有個方程。這樣總共有個方程，而待定系數(shù)有個，于是可以有很多。若要使它唯一確定，加上即可。事實上：考慮在上是一個二次多項式，可以寫成：，若記為未知量，則：，再由得，故，再由得：再由為已知，從而由，可求得，且由遞推關(guān)系知是唯一確定的。16．證明：貝齊爾曲線。證：因19．證明：。證：因為：，兩邊求導(dǎo)得：故：。四最佳逼近6．證明的最佳一致逼近次多項式就是在上的某個次拉格朗日插值多項式。證明：（1）若，則的最佳一致逼近次多項式就是自身。這時在上任取個不同的點，就可以看作以這個點為插值節(jié)點的關(guān)于自身的拉格朗日插值多項式。

（2）若，且是的最佳一致逼近次多項式，則由契比雪夫定理知，誤差曲線在上有至少由個點組成的交錯點組，從而由介值定理知在上至少有個零點，于是就是以這個零點為插值節(jié)點的次拉格朗日插值多項式。12．構(gòu)造區(qū)間上的最小零偏差次代數(shù)多項式。解：已知在[的最小零偏差次代數(shù)多項式為，即它是次首一多項式，且在[-1，1]上的個點處輪流取得其最大值與最小值。對于區(qū)間，作變換，則當(dāng)時，，以代入得，其首項系數(shù)為，于是是在上的次首一多項式，且在個點處輪流取得其最大值與最小值，故上的最小零偏差次代數(shù)多項式為。15．假設(shè)是上的個互不相同的點，證明：對于任意向量，方程組有唯一解。證明：原方程組的矩陣形式為：

為證明上述方程組有唯一解，僅需證明對應(yīng)的齊次方程組只有零解。用反證法，假設(shè)對應(yīng)的齊次方程組有非零解，由此令，于是對應(yīng)的齊次方程組相當(dāng)于，注意到已知且互不相同以及在中為奇函數(shù)，故，再加上，從而次三角多項式在中有個零點，這與引理3的性質(zhì)6相矛盾。于是原方程組有唯一解。17．證明許瓦茲不等式，并借此證明內(nèi)積范數(shù)滿足范數(shù)的3條性質(zhì)。證：取，則故：。并由內(nèi)積的性質(zhì)：推出：（1）且（2）（3）由于：

所以：20．若連續(xù)函數(shù)列在上帶權(quán)正交，且恒正，證明：對任意個數(shù)，廣義多項式在上至少有一個零點。證明：用反證法。若存在個數(shù)，使廣義多項式在上沒有零點，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上恒正，或恒負。不妨設(shè)，又由恒正，故。但由于在上帶權(quán)正交，故

，這與上式矛盾。因此，對任意個數(shù)，廣義多項式在上至少有一個零點。第五章數(shù)值積分1.若求積公式（2）具有m次代數(shù)精度，試證明對于任意次數(shù)不超過m的代數(shù)多項式，都有。證明：因為對，都有，從而由的線性性質(zhì)以及任意有：。結(jié)論成立。2.證明柯特斯系數(shù)滿足。證明：（1）由，令，則

故

（2）由于牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度，故對零次多項式，有，即，也就是，即，由得。3.證明柯特斯系數(shù)滿足方程組：證明：由于牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度，故在區(qū)間上使用牛頓-柯特斯公式對精確成立，即：，也就是：或，寫成矩陣形式即為：4．證明，若不是整數(shù)，且，則；若不是整數(shù)，且，則。證明：因為，所以：

若不是整數(shù)，且時，有成立，所以：，于是。再由：和得：。同理當(dāng)時，，兩邊再減有：，即，所以若不是整數(shù)，且時，。證畢5.假設(shè)在上連續(xù)，。證明：存在成立證明：因在上連續(xù)，故在上必取得最大值和最小值，即當(dāng)時。又若令，則由得：。故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：必存在，使，即。6.若用復(fù)化梯形公式求積分，則積分區(qū)間要多少等分才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：欲使，其中，

只須，即積分區(qū)間要68等分才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字。8．驗證復(fù)化柯特斯公式和復(fù)化辛卜生公式之間存在遞推關(guān)系。解：將區(qū)間n等分，其節(jié)點，在每個小區(qū)間上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：

即：。證畢。13．假定在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證，證明：因在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則：

，

兩邊積分得：，因在上連續(xù)，故存在，使，即：

。證畢14．給定求積公式，試決定求積系數(shù)，使之代數(shù)精確度盡可能高。解：若求積公式對精確成立，則必滿足方程組：

，解之得：，由于當(dāng)時，求積公式仍精確成立，但當(dāng)時，求積公式不再精確成立，故該求積公式具有3次代數(shù)精度。第二章函數(shù)的插值2．給定的函數(shù)值如表19所示，用3種途徑求3次插值多項式。解：（1）用牛頓方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化簡得：（3）用內(nèi)維爾方法再由：得：4．求，利用，取節(jié)點作插值，并估計截斷誤差。解：先作差商表：所以，。故：其截斷誤差：由于，所以5．證明：在兩個節(jié)點：上作線性插值，當(dāng)時，余項為證：因為其中：7．證明。證：設(shè)，則11．用拉格朗日途徑導(dǎo)出如下的次埃爾米特插值，滿足：。解：先構(gòu)造次數(shù)不高于的多項式滿足下列2n個條件：滿足上述條件的的多項式可以寫成：其中A為待定系數(shù)，再由條件得：即：再構(gòu)造次數(shù)不高于的多項式滿足下列2n個條件：，令：它滿足上述條件中除外的所有其他條件，于是再由所以，于是：于是所求的埃爾米特插值多項式為三樣條插值和曲線擬合12．若是實軸上個由小到大排列的點，考慮一個上的函數(shù)，它在上是一個二次多項式，并且是已知值，又在內(nèi)節(jié)點上連續(xù)，這樣的稱為二次樣條插值。試證這樣的二次樣條插值有很多，并問加上何種條件才能使它唯一，給出求的方程。解：由于在每個小區(qū)間上，有3個待定系數(shù)，于是在上共有個待定系數(shù)，。要滿足的條件是：通過型值點：，共有個方程；的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即共有個方程。這樣總共有個方程，而待定系數(shù)有個，于是可以有很多。若要使它唯一確定，加上即可。事實上：考慮在上是一個二次多項式，可以寫成：，若記為未知量，則：，再由得，故，再由得：再由為已知，從而由，可求得，且由遞推關(guān)系知是唯一確定的。16．證明：貝齊爾曲線。證：因19．證明：。證：因為：，兩邊求導(dǎo)得：故：。四最佳逼近6．證明的最佳一致逼近次多項式就是在上的某個次拉格朗日插值多項式。證明：（1）若，則的最佳一致逼近次多項式就是自身。這時在上任取個不同的點，就可以看作以這個點為插值節(jié)點的關(guān)于自身的拉格朗日插值多項式。

（2）若，且是的最佳一致逼近次多項式，則由契比雪夫定理知，誤差曲線在上有至少由個點組成的交錯點組，從而由介值定理知在上至少有個零點，于是就是以這個零點為插值節(jié)點的次拉格朗日插值多項式。12．構(gòu)造區(qū)間上的最小零偏差次代數(shù)多項式。解：已知在[的最小零偏差次代數(shù)多項式為，即它是次首一多項式，且在[-1，1]上的個點處輪流取得其最大值與最小值。對于區(qū)間，作變換，則當(dāng)時，，以代入得，其首項系數(shù)為，于是是在上的次首一多項式，且在個點處輪流取得其最大值與最小值，故上的最小零偏差次代數(shù)多項式為。15．假設(shè)是上的個互不相同的點，證明：對于任意向量，方程組有唯一解。證明：原方程組的矩陣形式為：

為證明上述方程組有唯一解，僅需證明對應(yīng)的齊次方程組只有零解。用反證法，假設(shè)對應(yīng)的齊次方程組有非零解，由此令，于是對應(yīng)的齊次方程組相當(dāng)于，注意到已知且互不相同以及在中為奇函數(shù)，故，再加上，從而次三角多項式在中有個零點，這與引理3的性質(zhì)6相矛盾。于是原方程組有唯一解。17．證明許瓦茲不等式，并借此證明內(nèi)積范數(shù)滿足范數(shù)的3條性質(zhì)。證：取，則故：。并由內(nèi)積的性質(zhì)：推出：（1）且（2）（3）由于：

所以：20．若連續(xù)函數(shù)列在上帶權(quán)正交，且恒正，證明：對任意個數(shù)，廣義多項式在上至少有一個零點。證明：用反證法。若存在個數(shù)，使廣義多項式在上沒有零點，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上恒正，或恒負。不妨設(shè)，又由恒正，故。但由于在上帶權(quán)正交，故

，這與上式矛盾。因此，對任意個數(shù)，廣義多項式在上至少有一個零點。第五章數(shù)值積分1.若求積公式（2）具有m次代數(shù)精度，試證明對于任意次數(shù)不超過m的代數(shù)多項式，都有。證明：因為對，都有，從而由的線性性質(zhì)以及任意有：。結(jié)論成立。2.證明柯特斯系數(shù)滿足。證明：（1）由，令，則

故

（2）由于牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度，故對零次多項式，有，即，也就是，即，由得。3.證明柯特斯系數(shù)滿足方程組：證明：由于牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度，故在區(qū)間上使用牛頓-柯特斯公式對精確成立，即：，也就是：或，寫成矩陣形式即為：4．證明，若不是整數(shù)，且，則；若不是整數(shù)，且，則。證明：因為，所以：

若不是整數(shù)，且時，有成立，所以：，于是。再由：和得：。同理當(dāng)時，，兩邊再減有：，即，所以若不是整數(shù)，且時，。證畢5.假設(shè)在上連續(xù)，。證明：存在成立證明：因在上連續(xù)，故在上必取得最大值和最小值，即當(dāng)時。又若令，則由得：。故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：必存在，使，即。6.若用復(fù)化梯形公式求積分，則積分區(qū)間要多少等分才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：欲使，其中，

只須，即積分區(qū)間要68