一元二次方程的應(yīng)用

“一元二次方程的應(yīng)用--面積問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析“一元二次方程的應(yīng)用”是湘教版九年級(jí)上冊(cè)第二單元一元二次方程第五節(jié)的內(nèi)容。之前我們學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法及應(yīng)用，它們都對(duì)本單元的學(xué)習(xí)做好了過(guò)程結(jié)構(gòu)的鋪墊和方法的遷移。本節(jié)課從最基礎(chǔ)最簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題入手進(jìn)行深入研究，學(xué)生相對(duì)比較熟悉。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，將指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的溝通，使學(xué)生不僅對(duì)一元二次方程的解法加以鞏固，而且會(huì)用列一元二次方程的方法解決面積問(wèn)題，同時(shí)體驗(yàn)方程解的合理性。該內(nèi)容的學(xué)習(xí)也將為今后學(xué)習(xí)其他類型的應(yīng)用題打好基礎(chǔ)，更為將來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題做好過(guò)渡。因此，它具有承上啟下的作用。學(xué)生分析應(yīng)用題的學(xué)習(xí)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活密不可分的重要內(nèi)容之一，學(xué)生在此之前有了一定的基礎(chǔ)，了解到列方程解應(yīng)用題的過(guò)程結(jié)構(gòu)，但是，從大部分學(xué)生的整體感知情況看，列方程解應(yīng)用題是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。難點(diǎn)主要反映在兩個(gè)方面：其一是分析題意找等量關(guān)系，其二是因生活經(jīng)驗(yàn)不足，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活問(wèn)題間不能有機(jī)地勾連。所以，教學(xué)中我們要從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境引入--找等量關(guān)系--建立方程模型--解決實(shí)際問(wèn)題”這一程序化的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生審題能力，找等量關(guān)系的方法，以及方法辨析選擇的靈活性和思維能力的培養(yǎng)。通過(guò)不同問(wèn)題的過(guò)程對(duì)照，不斷提升學(xué)生深度研究問(wèn)題的意識(shí)和敢于迎接挑戰(zhàn)的信心，達(dá)到努力發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的頂層目標(biāo)，初步培養(yǎng)起學(xué)生認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)、執(zhí)著、深思考的學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，并能理解方程解的實(shí)際意義。2.經(jīng)歷花園中小路的設(shè)計(jì)，體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活化，初步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力，并體驗(yàn)一元二次方程的建模思想。3.在探索交流、合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究、深度思考的學(xué)習(xí)品質(zhì)，學(xué)會(huì)智慧生活。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)：面積問(wèn)題中的等量關(guān)系分析。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入列方程解應(yīng)用題的基本步驟：①審(審題)②設(shè)(設(shè)元)③列(列方程)④解(解方程)⑤驗(yàn)(檢驗(yàn))⑥答(總結(jié))設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回憶一元二次方程的解法及注意事項(xiàng)，列方程解應(yīng)用題的步驟。梳理方程的知識(shí)結(jié)構(gòu)，引出課題。二、合作探究【探究一】模型一在一個(gè)長(zhǎng)為40cm，寬為28cm的矩形鐵皮的四角截去四個(gè)全等的小正方形，焊接成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，要求長(zhǎng)方體盒子的底面積為364cm2，應(yīng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？分析：數(shù)量關(guān)系：盒子底面積=盒子的長(zhǎng)×盒子的寬設(shè)：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子長(zhǎng)為：（40-2x）cm,寬為（28-2x）cm.可列方程為：答：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為7cm。設(shè)計(jì)意圖：用一個(gè)帶有情境的問(wèn)題導(dǎo)入，目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣?！咎骄慷刻骄炕顒?dòng)一：設(shè)計(jì)方案為美化校園，現(xiàn)學(xué)校舉行道路設(shè)計(jì)比賽，準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)32m,寬20m的矩形場(chǎng)地上修筑進(jìn)出口寬度相同的兩條道路（不一定是直的），可以有重合部分，余下的設(shè)計(jì)成綠地，要求綠地面積為540m2，經(jīng)過(guò)評(píng)委重重篩選，選出三幅作品，學(xué)校請(qǐng)大家計(jì)算下設(shè)計(jì)方案中道路的進(jìn)出口寬度。（注意設(shè)計(jì)的合理性和美觀性）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)讓學(xué)生設(shè)計(jì)花園中小路，打通數(shù)學(xué)與生活的鏈接，讓學(xué)生在豐富多樣的設(shè)計(jì)中發(fā)散思維，通過(guò)方法的多樣性呈現(xiàn)滲透思考問(wèn)題的多重角度，經(jīng)過(guò)歸納提煉生成用平移的方法打通找到小路與矩形花園的邊之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)一般圖形向特殊圖形的轉(zhuǎn)化。作品一：根據(jù)賽制結(jié)合作品一，整理成數(shù)學(xué)問(wèn)題。如圖,長(zhǎng)為32m,寬為20m的矩形地面上修建有進(jìn)出口寬度相同的道路(圖中陰影部分),余下部分進(jìn)行了綠化.若已知綠化面積為540m2,求道路進(jìn)出口的寬度.分析：雖然“整個(gè)矩形的面積-道路所占面積=綠化面積”，但道路不是規(guī)則圖形，因此不便于計(jì)算!若把道路平移，則可得到圖2-5，此時(shí)綠化就成了一個(gè)新的矩形了，再由本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系:矩形的面積=矩形長(zhǎng)x矩形的寬，就可建立一個(gè)一元二次方程。解：設(shè)道路的進(jìn)出口寬為x米，則則新矩形的長(zhǎng)為(32-x)m，寬為(20-x)m.整理得：解得：（不符合題意，舍去）答：所求道路的進(jìn)出口寬為2米。設(shè)計(jì)意圖：用一個(gè)帶有情境的問(wèn)題導(dǎo)入，目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。作品二：舉一反三條件不變，列出方程：作品三，平移不僅可以移道路還可以移綠地，并列出方程。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)學(xué)生呈現(xiàn)的方案的有機(jī)處理，讓學(xué)生體會(huì)變不規(guī)則為規(guī)則的有效路徑。這樣，自然實(shí)現(xiàn)化零為整、化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化曲為直合理轉(zhuǎn)化，在體驗(yàn)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程中體悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性和成就感?！咎骄咳烤毩?xí)某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修建兩條縱向和一條橫向的小道，剩余的地方種植花草如圖所示.要使種植花草的面積為532m，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米?(注:所有小道進(jìn)出口的寬度相等.)學(xué)生獨(dú)立完成，展示學(xué)生作業(yè)，并指導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生的合作探究中，根據(jù)自己的實(shí)際情況，選則要解決的問(wèn)題，并探究。三、歸納總結(jié)1、注意檢驗(yàn)解一元二次方程的根的合理性和正確性。2、數(shù)學(xué)思想：通過(guò)平移將不規(guī)則圖像轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，化零為整得到一個(gè)新圖形找到等量關(guān)系，列出方程求解。四、作業(yè)布置：必做題：教材第57頁(yè)第9題選做題：教材第57頁(yè)第11題及變圖3、4.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式題的訓(xùn)練，加深學(xué)生印象，了解學(xué)生掌握情況板書設(shè)計(jì)一元二次方程的應(yīng)用-------面積問(wèn)題解設(shè)：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子長(zhǎng)為：（40-2x）cm,寬為（28-2x）c