2022-2023學(xué)年蘇教版必修第一冊 專題3.3 從函數(shù)的觀點看一元二次方程與一元二次不等式 學(xué)案

專題3.3從函數(shù)的觀點看一元二次方程與一元二次不等式一、考情分析二、考點梳理二、考點梳理1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟1化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正.2判別式.對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.3求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.4畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.5寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.2.在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.(2)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.3．已知以a，b，c為參數(shù)的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：1根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；2根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.

4.對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．5．對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．6.（1）不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k三、題型突破(一)一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2.三個“二次”的關(guān)系設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac判別式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y(tǒng)＞0或y＜0的步驟求方程y＝0的解有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象不等式解集y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Ry＜0{x|x1＜x＜x2}??例1．（1）、（2021·浙江南湖·高一期中）不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一元二次不等式的解法求出解集．【詳解】由得，即，解得，

所以不等式的解集是，故選：A．（2）、（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求解.【詳解】（1）由可得，即，解得或，

所以不等式的解集為（2）由，知，（3）由可得，即，解得，所以不等式的解集為.（4）由可得，即，解得或，所以不等式的解集為.【變式訓(xùn)練1-1】．（2020·江蘇）不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】，故選：A.【變式訓(xùn)練1-2】．求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）因為，所以原不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為.（2）原不等式可化為,配方得,又,所以,解得，所以原不等式的解集為.（3）原不等式可化為.∵，∴原不等式的解集是.（4）∵，又∵的兩個實數(shù)根為，∴原不等式的解集是（5）原不等式可化為，且，∴，或.∴原不等式的解集是或.(二)含有參數(shù)的一元二次不等式的解法1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩根為，則。例2．（1）、（2020·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）已知不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知，不等式的解集為，可得出，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，不等式的解集為，則，解得.故選：C.（2）、（2020·江蘇·如皋市第一中學(xué)高一月考）已知，關(guān)于x的不等式的解集為（）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】分解因式得，由可得，即可得出解集.【詳解】不等式化為，，，故不等式的解集為或.故選：A.（3）、（多選題）當(dāng)，若不等式恒城立，則a的值可能為（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分離參數(shù)可得，求出在區(qū)間上的最大值即可求解.【詳解】當(dāng)，若不等式恒城立，等價于在區(qū)間上恒成立，設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在單調(diào)遞增，所以.所以，故選：ABC（4）、（2021·江蘇·南京外國語學(xué)校高一月考）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）A．B．C．不等式的解集為或D．的最小值為6【答案】BCD【分析】根據(jù)含參的一元二次不等式的解法，分析可得a的正負，即可判斷A的正誤；根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可判斷B的正誤；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得且，代入所求，化簡計算，即可判斷C的正誤；將代入，根據(jù)基本不等式，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】A選項，依題可得函數(shù)開口向下與軸交點橫坐標(biāo)為2，3，故A錯誤；B選項，依題可得時，函數(shù)值小于0，即，故B正確；C選項，因為開口向下與軸交點橫坐標(biāo)為2，3，所以，即，且，所以不等式可化為，即，解集為或，故C正確；D選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等，故D正確.故選：BCD.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·浙江高一單元測試）（多選題）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．【答案】AC【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可判斷A正確；根據(jù)不等式的解集，可得方程的兩根為、，利用韋達定理可得，代入相應(yīng)不等式，結(jié)合的符號，化簡后（求解），可判斷BCD.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，所以二次函數(shù)的開口方向向上，即，故A正確；方程的兩根為、，由韋達定理得，解得.對于B，，由于，所以，所以不等式的解集為，故B不正確；對于C，由的分析過程可知，所以或，所以不等式的解集為或，故C正確；對于D，，故D不正確.故選：AC.【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·浙江·高一單元測試）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．{或} C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解集求出，代入不等式中，化簡求出不等式的解集．【詳解】不等式的解集為，的兩根為，2，且，即，，解得，，則不等式可化為，解得，則不等式的解集為．故選：A【變式訓(xùn)練2-3】、（2020·江蘇省南京市第十二中學(xué)高一月考）設(shè)為實數(shù)，若關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】依題意可得，再解一元二次不等式即可；【詳解】解：因為關(guān)于的一元二次方程沒有實數(shù)根，所以，即，解得，即故答案為：【變式訓(xùn)練2-4】、（2020·江蘇省震澤中學(xué)高一月考）（多選題）已知關(guān)于的方程，則下列結(jié)論中正確的是（）A．方程有一個正根一個負根的充要條件是B．方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是C．方程無實數(shù)根的必要條件是D．當(dāng)時，方程的兩個實數(shù)根之和為【答案】ABC【分析】根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，結(jié)合判別式和韋達定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，方程有一個正一個負根的充要條件是，解得，所以A正確；對于B中，方程有兩個正實數(shù)根的充要條件是，解得，所以B正確；對于C中，方程無實數(shù)根，則，解得，又由，所以C正確；對于D中，當(dāng)時，方程無實數(shù)根，所以D錯誤.故選：ABC.(三)分式不等式的解法1.分式不等式：形如eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))例3．（1）、不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，不等式化為，解得﹣1＜x≤2，故選D．(2)、（2020·江蘇省高郵中學(xué)高二月考）不等式的解集為________．【答案】【分析】首先寫出分式不等式的等價不等式，再解一元二次不等式即可；【詳解】解：因為，所以，等價于解得或，故原不等式的解集為故答案為：【變式訓(xùn)練3-1】、（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）不等式的解是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式不等式的解法，將其等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即，等價于，解得：，故不等式的解集是，故選：C.【變式訓(xùn)練3-2】、（2020·江蘇·高二月考）不等式的解集為________．【答案】【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，即可解得.【詳解】不等式可化為：，解得：，故不等式的解集為：.故答案為：.(四)二次不等式綜合問題例4．(1)（2020·上饒中學(xué)高二期末（文））已知，若，滿足，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)圖象開口向下，且以為對稱軸，即，解得.故選：C.(2)．（2020·江蘇省南京市第十二中學(xué)高一月考）已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的解集求出a、b和c的關(guān)系，代入不等式中化簡，即可求出該不等式的解集．【詳解】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，則，解得，，所以不等式化為，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故選：A．【變式訓(xùn)練4-1】．（2020·寧陽縣第四中學(xué)高二期末）不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，不等式對恒成立，即恒成立，設(shè)，由可得，所以，只需，即的取值范圍為.故選：B.【變式訓(xùn)練4-2】．（2020·調(diào)兵山市第一高級中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，（），若任意，且都有，則實數(shù)a的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因為對任意的，且都有，故可得，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，的對稱軸為，，解之得.故a的取值范圍是.故選：A.例5、（2021·江蘇·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知不等式的解集為或.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于x的不等式（其中c為實數(shù)）.【答案】（1），，（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)不等式的解集得出對應(yīng)方程的解，由此求出、的值；（2）不等式化為，然后分，和討論即可求出不等式的解集．（1）不等式的解集為，或，所以1和是方程的解，所以，解得；由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得；所以，；.（2）由（1）知，不等式為，即，當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，解不等式得；當(dāng)時，若，即時，解不等式得或，若，即時，解不等式得，若，即，解不等式得或，綜上知，時，不等式的解集為；時，不等式的解集為時，不等式的解集為或；時，不等式的解集為時，不等式的解集為或．【變式訓(xùn)練5-1】．（2020·雞澤縣第一中學(xué)高一月考）設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對于，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）由得，然后分、、三種情況來解不等式；（2）由恒成立，由參變量分離法得出，并利用基本不等式求出在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），，.當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式為，該不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；（2）由題意，當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立.由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查含參二次不等式的解法，同時也考查了利用二次不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，在含單參數(shù)的二次不等式恒成立問題時，可充分利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，可避免分類討論，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.例6、（2020·浙江·臺州市啟超中學(xué)高一月考）設(shè).（1）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】(1)不等式轉(zhuǎn)化為對一切實數(shù)成立,列不等式即可求解;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,對a進行分類討論求解即可.【詳解】（1）由題意可得對一切實數(shù)成立，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，可得.所以實數(shù)a的取值范圍為.（2）由題意可得，當(dāng)時，不等式可化為，所以不等式的解集為,當(dāng)時，,當(dāng)時，,①當(dāng)，解集為,②當(dāng)，解集為或,③當(dāng)，解集為或.綜上所述,