有理數(shù)的乘法和除法

關(guān)于有理數(shù)的乘法和除法第一頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.5.1有理數(shù)的乘法第二頁，共七十一頁，2022年，8月28日我們已經(jīng)熟悉了非負數(shù)的乘法運算，那么如何計算

（-5）×3，

3×（-5），（-5）×（-3）呢？5×3=15，①例如第三頁，共七十一頁，2022年，8月28日動腦筋

我們把向東走的路程記為正數(shù).如果小麗從點O出發(fā)，以5km/h的速度向西行走3h后，小麗從O點向哪個方向行走了多少千米？第四頁，共七十一頁，2022年，8月28日小麗從O點向西行走了（5×3）km.由此，我們有（-5）×3=（5×3）②-第五頁，共七十一頁，2022年，8月28日

我們已經(jīng)知道(-5)×3=-(5×3)，探究那么3×(-5)，(-5)×(-3)又應怎樣計算呢？第六頁，共七十一頁，2022年，8月28日

非負數(shù)的乘法與加法是用分配律聯(lián)系起來的，因此，當數(shù)擴充到有理數(shù)后，要規(guī)定有理數(shù)的乘法法則，當然也要求它滿足分配律，以便把乘法與加法聯(lián)系起來.如果它滿足分配律，那么就會有3×(-5)+3×5=3×

[(-5)+5]=3×0=0這表明3×(-5)與3×5互為相反數(shù)，于是有3×(-5)=-(3×5).③第七頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論異號兩數(shù)相乘得負數(shù)，并且把絕對值相乘.從②、③式受到啟發(fā)，一般規(guī)定：3×(-5)=-(3×5)

③(-5)×3=-(5×3)②（-）×（+）→（-）（+）×（-）→（-）第八頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論任何數(shù)與0相乘，都得0.第九頁，共七十一頁，2022年，8月28日

類似地，我們有(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×0=0這表明(-5)×(-3)與(-5)×3互為相反數(shù).因為(-5)×3=-15，而-15的相反數(shù)是15，所以(-5)×(-3)=15.即(-5)×(-3)=15=5×3.④由④式看出，(-5)×(-3)得正數(shù)，并且把絕對值5與3相乘.第十頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并且把絕對值相乘.從①、④式受到啟發(fā)，于是規(guī)定：(-5)×(-3)=15=5×3③5×3=15

②（+）×（+）→（+）（-）×（-）→（+）第十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例1

計算：（1）3.5×（-2）；（2）；（3）；（4）（-0.57）×

0.舉例第十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）3.5×（-2）=-(3.5×2)根據(jù)乘法法則=-73.5)和(-2)為異號，結(jié)果為負3.5和(-2)的絕對值相乘解（2）=根據(jù)乘法法則=

為異號，結(jié)果為負它們的絕對值相乘第十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（3）=根據(jù)乘法法則=1

為同號，結(jié)果為正解（4）（-0.57）×0根據(jù)乘法法則=0任何數(shù)與0相乘，結(jié)果為0第十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.填表:因數(shù)因數(shù)積的符號絕對值的積積-27-10.3-10-14-+3-14-3練習第十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.計算：（1）；（2）.第十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日

在小學我們已經(jīng)學過乘法的交換律、結(jié)合律，那么這兩個運算律在有理數(shù)范圍內(nèi)是否也適用呢？第十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日

填空：

（1）(-2)×4=

，4×(-2)=

；-8-8動腦筋（2）[(-2)×(-3)]×(-4)=

×(-4)=

，

(-2)×[(-3)×(-4)]=(-2)×

=

.6-2412-24從上面的填空題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？第十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論乘法交換律：

×

=

×

.abab即，兩個有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.第十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論乘法結(jié)合律：(×)×

=

×(×).a

babcc

即，對于三個有理數(shù)相乘，可以先把前兩個數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個數(shù)相乘；或者先把后兩個數(shù)相乘，再把第一個數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變．第二十頁，共七十一頁，2022年，8月28日

和加法類似，根據(jù)乘法交換律和乘法結(jié)合律可以推出：三個或三個以上有理數(shù)相乘，可以寫成這些數(shù)的連乘式．對于連乘式，可以任意交換因數(shù)的位置，也可先把其中的幾個數(shù)相乘．第二十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日

（1）填空：動腦筋(-6)×[4+(-9)]=(-6)×

=

，(-6)×4+(-6)×(-9)=

+

=

.-53054-2430

（2）換幾個有理數(shù)試一試，你發(fā)現(xiàn)了什么？第二十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論乘法對加法的分配律（簡稱為分配律）：

×(

+

)

=

×

+

×

.b

caabac

（-1）a=-a利用分配律，可以得出

即，一個有理數(shù)與兩個有理數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加.第二十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例2

計算：

（1）；

（2）

（-12.5）×（-2.5）×（-8）×4

.舉例第二十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）=將分數(shù)逐個與60相乘=30-20-15+12=7分數(shù)與整數(shù)60相乘計算結(jié)果第二十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（2）(-12.5)×(-2.5)×(-8)×4=(-12.5)

×(-8)×(-2.5)×4(-12.5)和(-8)相乘為整數(shù)=100×(-10)(-2.5)和4相乘為整數(shù)=-1000相乘為整數(shù)的先結(jié)合起來(-12.5)和(-8)為同號相乘(-2.5)和4為異號相乘(-10)和100相乘為異號第二十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日

下列各式的積是正數(shù)還是負數(shù)？積的符號與負因數(shù)（因數(shù)為負數(shù)）的個數(shù)之間有什么關(guān)系？（1）（-2）×（-3）×（-4）；（2）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）.

幾個不等于0的數(shù)相乘，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.說一說第二十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例3

計算：

（1）（-8）×4×（-1）×（-3）；（2）.舉例第二十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）(-8)×4×

(-1)×(-3)=-(8×4×1×3)將負號提出來絕對值進行相乘=-96先確定積的符號第二十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日解四個負號相乘，結(jié)果為正號絕對值進行相乘=32先確定積的符號（2）第三十頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.計算:

（1）(-2)×17×(-5)；（2）(-15)×3×(-4)；（3）；（4）0.125×9×(-8)；（5）(-5)×(-4)×(-3)；（6）(-1.5)×6×(-4)；（7）；（8）(-10)×28×0.練習第三十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.解（1）(-2)×17×(-5)=2×5×17=170（2）(-15)×3×(-4)=15×4×3=180（3）（4）0.125×9×(-8)=-(8×0.125)×9=-9第三十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日（5）(-5)×(-4)×(-3)=-(5×4×3)=-60（6）(-1.5)×6×(-4)=1.5×4×6=36（7）（8）(-10)×28×0=0第三十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.計算:

（1）

；（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）.

第三十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日2.解（1）（2）（-4）×（-3）×（-

5）×（-2.5）

=4×3×5×2.5=150第三十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.5.2有理數(shù)的除法第三十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日我們知道2×3=6，因此6÷3=2.①那么如何計算（-6）÷3，

6÷（-3），（-6）÷（-3）呢？第三十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日

探究（-6）÷3=?，6÷（-3）=?，（-6）÷（-3）=?由于（-2）×3=-6，因此，（-6）÷3=-2.②類似地，由于（-2）×（-3）=6，由于2×（-3）=-6，因此，6÷（-3）=-2，③因此，（-6）÷（-3）=2.④第三十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日

從這些例子受到啟發(fā)，抽象出有理數(shù)的除法運算；

對于兩個有理數(shù)a，b，其中b≠0，如果有一個有理數(shù)c，使得cb=a，那么規(guī)定a÷b=c，且把c叫作a除以b的商.第三十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，并且把它們的絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0.有理數(shù)的除法是通過乘法來規(guī)定的，因此由①至④式可以得出：（+）÷（+）→（+）（-）÷（-）→（+）6÷

3=2

①(-6)÷3=-2②6÷(-3)=-2③(-6)÷(-3)=2④（-）÷（+）→（-）（+）÷（-）→（-）第四十頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例4

計算：

（1）（-24）÷4；（2）（-18）÷（-9）；（3）10÷（-5）.舉例第四十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）（-24）÷4=-

(24÷

4)根據(jù)除法法則(-24)和4為異號相除結(jié)果為負解（2）（-18）÷

（-9）=+(18÷

9)根據(jù)除法法則（-18）和(-9)為同號結(jié)果為正=-6=2第四十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（3）10÷（-5）=-(10÷

5)根據(jù)除法法則10和(-5)為異號相除結(jié)果為負=-2第四十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日

試問：10÷(-5)

還可以怎樣計算

？我們已經(jīng)知道10÷（-5）=-2，

所以⑤動腦筋又

由于，因此，我們把叫做-5的倒數(shù)，把-5叫做的倒數(shù).第四十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日

一般地，如果兩個數(shù)的乘積等于1，那么把其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱它們互為倒數(shù).0沒有倒數(shù).因此，⑤式表明10除以-5等于10乘-5的倒數(shù).⑤第四十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日結(jié)論除以一個不等于零的數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù).一般地，有理數(shù)的除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，即也可以表示成第四十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例5

計算：

（1）

；（2）；（3）.舉例第四十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）=（-12）×3根據(jù)除法法則異號相乘，結(jié)果為負解（2）=根據(jù)除法法則異號相乘，結(jié)果為負

的倒數(shù)是3=-36=-35

的倒數(shù)是第四十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（3）=根據(jù)除法法則同號相乘，結(jié)果為正=

的倒數(shù)是第四十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日

1.計算：

（1）14÷(-7)；（2）(-36)÷(-3)；（3）0÷

(-0.618)；（4）(-48)÷12.

練習第五十頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.解（1）14÷

(-7)=-2；（2）(-36)÷(-3)=12；（4）(-48)÷12=-4.（3）0÷

(-0.618)=0；第五十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日

2.填空：

（1）因為

×

=1，所以

的倒數(shù)是

；（2）的倒數(shù)是

；-3的倒數(shù)是

.-6-6第五十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日

3.計算：

（1）

(-36)÷(-0.6)

；（2）

；（3）

；（4）

.

60-28第五十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日

下面的算式含有乘、除兩種運算，怎樣進行有理數(shù)的乘、除混合運算呢？議一議可以按從左到右的順序依次計算.也可以先將除法轉(zhuǎn)化為乘法.第五十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日

例3

計算：（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）；舉例（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；（3）（4）第五十五頁，共七十一頁，2022年，8月28日解（1）（-56）÷（-2）

÷（-8）=28

÷（-8）可以依次計算先算前兩個數(shù)異號相除，結(jié)果為負=（2）（-10）÷[（-5）×（-2）]；解=（-10）÷10先計算后兩個=-1第五十六頁，共七十一頁，2022年，8月28日解=-30

×（-3）可以依次計算先算前兩位數(shù)=90依次計算=0.8（3）（4）解第五十七頁，共七十一頁，2022年，8月28日

下面是小明同學做的一道計算題，他的計算是否正確？如果不正確，說說他錯在哪里.說一說不正確，應該依次計算第五十八頁，共七十一頁，2022年，8月28日

計算器是日常生活中常用的一種現(xiàn)代計算工具，因此我們可以利用計算器來計算.第五十九頁，共七十一頁，2022年，8月28日

計算器有各種型號，型號不同，操作方法略有不同.下面我們以某種型號的計算器（圖1-17）為例介紹操作方法.

圖1-17某種電子計算器的面板示意圖第六十頁，共七十一頁，2022年，8月28日舉例

例7

用計算器計算（精確到0.001）：

-1840×0.28÷(-375)再將結(jié)果四舍五入后就可以得到答案1.374.解

按照下列順序按鍵：第六十一頁，共七十一頁，2022年，8月28日第六十二頁，共七十一頁，2022年，8月28日

不同的計算器，操作方法可能有所不同.具體操作方法應參看計算器的使用說明書.第六十三頁，共七十一頁，2022年，8月28日

1.計算：

（1）24÷(-3)÷(-4)

；（2）(-6)÷(-2)÷3；（3）2÷(-7)×(-4)；（4）18÷6×(-2).

練習第六十四頁，共七十一頁，2022年，8月28日1.解（1）24÷(-3)÷(-4)=-8÷(-4)=2；（2）(-6)÷(-2)÷3=3÷3=1；（3）2÷(-7)×(-4)=×(-4)

=